Árvores Binárias. Observação: Material elaborado a partir do material do Professor Marcos Costa.

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1 Árvores Binárias Observação: Material elaborado a partir do material do Professor Marcos Costa.

2 Árvores Binárias Árvore binária é definida como um conjunto finito de nós que Ou está vazio Ou consiste de um nó chamado raiz mais os elementos de duas árvores binárias distintas chamadas de subárvores

3 Árvores Binárias Em uma árvore binária Cada nó possui no máximo duas subárvores Existem referências para as subárvores esquerda e direita de cada nó

4 Árvores Binárias A Nó Raiz Subárvore da esquerda B C Subárvore da direita Nó Nó D E F Nó Nó Nó

5 Árvores Binárias Graus O número de subárvores de um nó é chamado de grau daquele nó Um nó de grau zero é chamado nó externo ou folha Os outros nós são chamados nós internos

6 Árvores Binárias Graus Grau 2 Nó Interno A Grau 2 Nó Interno B C Grau 1 Nó Interno Grau 0 Folha Grau 0 Folha D E F Grau 0 Folha

7 Árvores Binárias Níveis O nível do nó raiz é 0 Se um nó está no nível i Então as raízes de suas subárvores estão no nível i+1

8 Árvores Binárias Níveis Nível 0 A B Nível 1 Nível 1 C Nível 2 D E F Nível 2 Nível 2

9 Árvores Binárias Altura A altura de um nó é o comprimento do caminho mais longo deste nó até o nó folha A altura de uma árvore é a altura do nó raiz Uma folha tem altura 0

10 Árvores Binárias Altura A Altura 2 B Altura 1 Altura 1 C D E F Altura 0 Altura 0 Altura 0

11 Árvore Binária Árvores binárias são estruturas de dados hierárquicas Por esse motivo, é comum também chamarmos um nó de pai e outro de filho Por ex. O nó raiz é pai dos nós que estão nas raízes da subárvore direita e subárvore esquerda

12 Árvore Binária de Pesquisa Uma árvore binária de pesquisa é uma árvore binária em que todo nó interno contém um registro E, para cada nó, todos os registros com chaves menores estão na subárvore esquerda e todos os registros com chaves maiores estão na subárvore direita

13 Árvore Binária de Pesquisa

14 Pesquisa Para localizar um determinado elemento em uma árvore binária de pesquisa A cada nó interno, comparamos o valor do nó corrente com o valor do elemento procurado

15 Pesquisa Se o o valor procurado for menor do que o valor do nó corrente A pesquisa continua na subárvore da esquerda Se o valor procurado for maior do que o valor do nó corrente A pesquisa continua na subárvore da direita

16 Pesquisa Se, durante a pesquisa, for encontrada uma folha A pesquisa termina sem sucesso

17 Pesquisa Buscando o elemento

18 Pesquisa Buscando o elemento

19 Pesquisa Algoritmo Algoritmo pesquisa(elemento, no) Entrada: o elemento procurado e um nó da árvore binária de pesquisa Saída: verdadeiro, se o elemento for encontrado. Caso contrário, falso se no == vazio entao retorne falso senao se elemento == no.elemento entao retorne verdadeiro senao se elemento < no.elemento entao retorne pesquisa(elemento, no.esquerda) senao retorne pesquisa(elemento, no.direita)

20 Inserção Para inserir um elemento em uma árvore binária de pesquisa Utiliza-se o mesmo processo da busca Com uma diferença Ao encontrar uma folha, encontra-se o ponto de inserção do novo elemento

21 Inserção Inserindo o elemento

22 Inserção A árvore de pesquisa anterior pode ser obtida quando inserimos os seguintes elementos, na ordem 10, 7, 8, 5, 14, 1, 21 É considerado um erro tentar inserir um elemento já presente na árvore

23 Inserção Algoritmo Algoritmo insere(elemento, no) Entrada: o elemento a ser inserido e um nó da árvore binária de pesquisa Saída: O novo nó inserido se no == vazio entao no = novo No(elemento) senao se elemento == no.elemento entao erro Elemento já existe senao se elemento < no.elemento entao no.esquerda = insere(elemento, no.esquerda) senao no.direita = insere(elemento, no.direita) retorne no

24 Inserção - Exercício Os seguintes valores são inseridos, nesta ordem, numa árvore binária de busca inicialmente vazia. Desenhe a árvore resultante

25 O TAD ArvoreBinaria Método Especificação Exceção busca insere Procura um elemento na árvore binária. Entrada: o elemento a ser procurado. Saída: true, se o elemento for encontrado. Caso contrário, false Insere um elemento na árvore binária. Entrada: o elemento a ser inserido. Saída: nenhuma não Se o elemento já existir Percorre Passa por todos elementos da árvore em ordem crescente Entrada: nenhuma Saída: nenhuma não

26 O TAD ArvoreBinaria Método Especificação Exceção estavazia altura Entrada: nenhuma. Saída: true se a árvore estiver vazia. Caso contrário, false. Retorna a altura da árvore binária Entrada: nenhuma. Saída: a altura da árvore binária não não

27 O TAD ArvoreBinaria Métodos Privados Os métodos privados da classe ArvoreBinaria São métodos recursivos, que inicialmente são chamados a partir da raiz Descendo um nível da árvore a cada chamada recursiva

28 O TAD ArvoreBinaria Métodos Privados void percorre(no no) Desce para a esquerda recursivamente Imprime o elemento do nó Desce para a direita recursivamente

29 O TAD ArvoreBinaria Métodos Privados No insere(int elemento, No no) Efetivamente realiza a inserção O método público o invoca da seguinte maneira raiz = insere(elemento, raiz) Esta atribuição é particularmente importante quando for feita a primeira inserção Lembre-se que a raiz inicialmente é igual a 0 (árvore vazia)

30 O TAD ArvoreBinaria class ArvoreBinaria { boolean busca(int elemento); void insere(int elemento); boolean estavazia(); void percorre(); }; private No raiz; private bool busca(int elemento, No no); private No insere(int elemento, No no);

31 O TAD ArvoreBinaria class No { int elemento; No esquerdo; No direito; };

32 Exercício Individual Implemente a árvore binária a partir do código especificado.

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