Estruturas de Dados I

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1 UFES - Curso de verão 2011 Estruturas de Dados I Profa. Juliana Pinheiro Campos

2 Árvores binárias de busca (ou São árvores projetadas para dar suporte a operações de busca de forma eficiente. Árvores binárias de busca combinam as vantagens de 2 estruturas: Vetor ordenado (busca eficiente); Lista encadeada (inserir e remover elementos de forma eficiente). Armazena elementos que tem uma relação de ordem (>, <, =) entre si.

3 Árvores binárias de busca (ou As árvores binárias de busca possuem uma propriedade fundamental: O valor associado à raiz é sempre maior do que o valor associado a qualquer nó da subárvore à esquerda (sae) e é sempre menor do que o valor associado a qualquer nó da subárvore à direita (sad). Essa propriedade garante que, quando a árvore é percorrida em ordem simétrica (sae, raiz, sad), os valores são encontrados em ordem crescente.

4 Árvores binárias de busca (ou Mostre a impressão dos valores da arvore caso fosse utilizada a ordem simétrica

5 Árvores binárias de busca (ou Uma variação possível permite que haja repetição de valores na árvore: o valor associado à raiz é sempre maior que o valor associado a qualquer nó da sae, e é sempre menor ou igual ao valor associado a qualquer nó da sad.

6 Árvores binárias de busca (ou Como a busca de um valor pode ser feito nessa árvore? Comparamos o valor buscado com a raiz. Se for igual, encontramos o valor buscado. Se for menor, a busca continua na sae; caso contrario, a busca continua na sad.. 3

7 Árvores binárias de busca (ou Procedimento Pesquisa para uma árvore binária de busca : Para encontrar um valor x, primeiro compareo com o valor que está na raiz. Se x é menor do que o valor que está na raiz, vá para a sae; se x é maior, vá para a sad. Repita o processo recursivamente, até que o valor procurado seja encontrado ou então um nó folha seja atingido.

8 Consideramos o caso em que a informação associada a um no é um número inteiro. struct arvore { int info; struct arvore* esq; struct arvore* dir; }; typedef struct arvore Arvore;

9 As funções que vamos analisar são: Busca: busca um elemento na árvore; Insere: insere um novo elemento na árvore na posição correta para que a propriedade fundamental seja mantida; Retira: retira um elemento da árvore mantendo a propriedade fundamental; As outras funções de árvores são análogas às funções vistas para árvores binárias comuns.

10 Busca: Arvore* busca(arvore* a, int v){ if(!estavazia(a)) { if (v < a->info) return busca(a->esq, v); else if(v > a->info) return busca(a->dir, v); else return a; } return NULL; }

11 Inserção: uma subárvore vazia atingida indica o ponto de inserção. Se a árvore for vazia, deve ser substituída por uma árvore cujo único nó contém o valor v; Se a árvore não for vazia, compara v com a raiz e inserimos v na sae ou na sad, conforme o resultado da comparação. É necessário atualizar os ponteiros para as subarvores à esquerda ou à direita, pois a função pode alterar o valor do ponteiro para a raiz da (sub) árvore.

12 Arvore* insere(arvore* a, int v){ if(a==null){ a = malloc(sizeof(arvore)); a->info = v; a->esq = a->dir = NULL; } else if (v < a->info) a->esq = insere(a->esq, v); else if(v > a->info) a->dir = insere(a->dir, v); } return a;

13 Remoção: Se a árvore for vazia, nada deve ser feito; Se a árvore não for vazia, compara v com a raiz e retiramos v na sae ou na sad, conforme o resultado da comparação. Ou retira elemento se for encontrado. Existem 3 situações possíveis: Retirar elemento que é folha Quando elemento possui um único filho Quando o elemento a ser retirado possui 2 filhos

14 ESTRUTURAS DE DADOS Remoção: Retirar elemento que é folha Como fazer para retirar o nó 3? Basta retirar o elemento da árvore e atualizar o pai. 1 4 X3

15 Remoção: Quando elemento possui um único filho X4 Como fazer para retirar o nó 4? É necessário acertar o ponteiro do pai, fazendo o único neto ser seu filho direto. Em seguida, retira-se o elemento da árvore. 3

16 Remoção: Quando o elemento a ser retirado possui 2 filhos Como fazer para retirar o nó 6? 1 4 3

17 Remoção: quando elemento possui 2 filhos Encontramos o elemento que precede o elemento a ser retirado na ordenação (o elemento mais à direita da subárvore a esquerda); Trocamos a informação com o nó encontrado; Retiramos da subárvore à esquerda (recursivamente) o nó encontrado (que agora contém o valor que se quer retirar) X 3 3 3

18 Remoção: quando elemento possui 2 filhos O elemento pode ser substituído pelo elemento que o precede na ordenação (o elemento mais à direita da subárvore a esquerda); OU O elemento pode ser substituído pelo elemento que o sucede na ordenação (o elemento mais à esquerda da subárvore a direita);

19 Operações em árvores binárias de busca Arvore* retira(arvore* a, int v){ if(a==null){ return NULL; } else if (v < a->info) a->esq = retira(a->esq, v); else if(v > a->info) a->dir = retira(a->dir, v); else{ // Achou o elemento que quer remover if(a->esq == NULL && a->dir == NULL){ free(a); a = NULL; } else if(a->esq == NULL){ Arvore *t = a; a = a->dir; free(t); }...

20 Arvore* retira(arvore* a, int v){... else if(a->dir == NULL){ Arvore *t = a; a = a->esq; free(t); } else{ // Arvore tem os dois filhos Arvore *f = a->esq; while(f->dir!= NULL) f = f->dir; a->info = f->info; f->info = v; a->esq = retira(a->esq, v); } } return a; }

21 Análise de complexidade da operação de busca O número de comparações em função do número n de elementos na árvore em uma pesquisa com sucesso é: Melhor caso: Pior caso: Caso médio: C(n) = O(1) C(n) = O(n) C(n) = O(log n) Quando o elemento procurado se encontra na raiz. Quando os elementos estão em ordem crescente ou decrescente. Quando o número de elementos na sae e na sad é equilibrado. O tempo de execução dos algoritmos para árvores binárias de pesquisa dependem muito do formato das árvores.

22 É importante manter as árvores com altura pequena (próximo da altura mínima log n), isto é, manter as árvores com uma distribuição dos nós próxima à da árvore cheia. Escreva um programa que utilize as funções de árvore binária de busca estudadas.

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