Árvores AVL. Prof. Othon M. N. Batista Estrutura de Dados

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1 Árvores AVL Prof. Othon M. N. Batista Estrutura de Dados

2 Roteiro (/2) Árvore Binária de Pesquisa - Pior Tempo ABP Balanceada e Não Balanceada Balanceamento de Árvores Balanceamento de ABP Balanceamento Perfeito AVL - Balanceamento Bom, Não Perfeito Altura dos Nós Após Inserir 7 Rotação Simples em uma Árvore AVL Inserir e Rotacionar em Árvore AVL Rotação Simples em Árvore AVL Inserções em Árvores AVL Inserção em Árvore AVL: Caso Externo Inserção em Árvore AVL: Caso Interno Rotação Dupla: Segunda Rotação implementação Rotação Simples

3 Roteiro (2/2) Rotação Dupla Inserção em Árvores AVL Inserção em Árvores Binárias de Pesquisa Inserção em Árvores AVL Exemplo de Inserção em Árvores AVL Rotação Simples (Caso Externo) Rotação Dupla (Caso Interno) Remoção em Árvore AVL Vantagens e Desvantagens de Árvores AVL Solução da Rotação Dupla

4 Árvore Binária de Pesquisa Pior Tempo O pior tempo de pesquisa em uma Árvore Binária de Pesquisa (ABP) é O(n) O que acontece se os elementos são inseridos a partir de uma lista ordenada? Inserir: 2, 4, 6, 8,, 2 em uma ABP vazia Problema: falta de balanceamento : compare as alturas das sub-árvores da esquerda e da direita Árvore não balanceada e degenerada

5 ABP Balanceada e Não Balanceada Esta está balanceada???

6 Balanceamento de Árvores Não balancear Pode ser que alguns nós tenham profundidade muito alta Balancear Sempre A árvore deve sempre estar balanceada perfeitamente Bom Balanceamento Permite apenas um pouco de desbanlaceamento Ajustes nos acessos Auto-ajuste

7 Balanceamento de ABP Existem muitos algoritmos para manter ABP balanceadas Árvores Adelson-Velskii and Landis (AVL) (árvores balanceadas na altura) Árvores Splay e outras árvores que autoajustam-se B-trees e outras árvores de pesquisa com vários caminhos

8 Balanceamento Perfeito Queremos uma árvore completa após cada operação a árvore está cheia exceto possivelmente na parte inferior direita. Isso é caro computacionalmente Por exemplo, inserir 2 na árvore da esquerda e então reconstruir toda a árvore Inserir 2 & reconstruir árvore

9 AVL - Balanceamento Bom, Não Perfeito As árvores AVL são árvores binárias balanceadas na altura Fator de balanceamento de um nó altura (subárvore da esquerda) - altura (subárovre da direita) Uma árvore AVL tem o fator de balanceamento calculado para cada nó Para cada nó, o fator de balanceamento não pode ser superior a ou inferior a - Cada nó precisa conhecer a altura.

10 Alturas dos Nós, FB = Árvore A (AVL) altura = 2 FB = - = Árvore B (AVL) altura vazia = - altura de um nó = h fator de balanceamento = h esquerda - h direita

11 Após Inserir 7 Árvore A (AVL) Árvore B (não AVL) altura vazia = - altura de um nó = h fator de balanceamento = h esquerda - h direita 8 Fator de Balanceamento - (-) = 2 -

12 Inserir e Rotacionar em Árvore AVL A operação de inserção pode fazer com que o fator de balanceamento fique 2 ou -2 para algum nó. somente os nós no caminho do ponto de inserção até a raiz possivelmente mudaram a altura Após a inserção, deve-se voltar até a raiz, atualizando as alturas Se um novo fator de balanceamento é 2 or 2, ajuste a árvore com rotação ao redor do nó

13 Rotação Simples em uma Árvore AVL

14 Inserções em Árvores AVL O nó que precisa de balanceamento é Ξ. Existem 4 casos: Casos Externos (apenas rotação simples) :. Inserir na subárvore da esquerda da subárvore da esquerda de Ξ. 2. Inserir na subárvore da direita da subárvore da direita de Ξ. Casos Internos (rotação dupla) : 3. Inserir na subárvore da esquerda da subárvore da direita de Ξ. 4. Inserir na subárvore da direita da subárvore da esquerda de Ξ. O balanceamento é realizado por quatro algoritmos de rotação distintos

15 Inserção em AVL: Caso Externo Considere uma subárvore AVL válida j k h h h Z X Y

16 Inserção em AVL: Caso Externo k j h Inserir em X destrói a propriedade AVL no nó j h+ h Z Y X

17 Inserção em AVL: Caso Externo j Faça uma rotação à direita k h h+ h Z Y X

18 Inserção em AVL: Caso Externo j Faça uma rotação à direita k h h+ h Z Y X

19 Inserção em AVL: Caso Externo h+ k j rotação à direita completa! (a rotação à esquerda é simétrica) h h X Y Z A propriedade AVL foi restaurada!

20 Inserção em AVL: Caso Interno Considere uma subárvore AVL válida j k h h h Z X Y

21 Inserção em AVL: Caso Interno Inserir em Y destrói a propriedade AVL no nó j k j Uma rotação à direita restaura o balanceamento? h h h+ Z X Y

22 Inserção em AVL: Caso Interno X h k h+ j h Uma rotação à direita não restaura o balanceamento k está desbalanceado. Z Y

23 Inserção em AVL: Caso Interno Considere a estrutura da subárvore Y j k h X h h+ Z Y

24 Inserção em AVL: Caso Interno Y = nó i e subárvores V e W j k h h i h+ Z X h ou h- V W

25 Inserção em AVL: Caso Interno k j Faremos uma rotação dupla esquerda-direita X i Z V W

26 Rotação Dupla: Primeira Rotação j Rotação à esquerda completa i k Z W X V

27 Rotação Dupla: Segunda Rotação j Agora uma rotação à direita i k Z W X V

28 Rotação Dupla: Segunda Rotação Rotação à direita completa i O balanceamento foi restaurado k j h h ou h- h X V W Z

29 Implementação ap_arvore FB (-2, -,,, 2) dados esquerda direita Não é necessário guardar a altura; somente o fator de balanceamento; FB deve ser modificado no caminho da inserção mesmo que não haja rotações.

30 Rotação Simples procedure RotacaoDireita(var n : ap_arvore); var p : ap_arvore; begin n p := nˆ.direita; nˆ.direita := pˆ.esquerda; pˆ.esquerda := n; n := p; end; Também é necessário modificar as alturas ou fatores de balanceamento de n e p. X Y Z Inserir

31 Rotação Dupla Implemente a rotação dupla em duas linhas. procedure RotacaoDuplaDireita(var n : ap_arvore); begin???? n end; X Z V W

32 Inserção em Árvores AVL As inserções ocorrem nas folhas (como em uma árvore binária de pesquisa) somente os nós no caminho do ponto de inserção até a raiz possivelmente mudam a altura Após a inserção, voltar até à raiz, um nó após o outro, atualizando as alturas Se um novo fator de balanceamento é 2 or 2, ajuste a árvore com rotação ao redor do nó

33 Inserção em Árvores Binárias de Pesquisa procedure Inserir(var arvore : ap_arvore; x : dados); begin if (arvore = nil) then begin new (arvore); arvore ˆ.direita := nil; arvore ˆ.esquerda := nil; arvore ˆ.dados = x; end else begin if (x < arvore ˆ.dados) then Inserir (arvore ˆ.esquerda, x); if (x > arvore ˆ.dados) then Inserir (arvore ˆ.direita, x); end; end;

34 Inserção em Árvores AVL procedure Inserir(var arvore : ap_arvore; x : dados); begin if (arvore = nil) then begin new (arvore); arvore ˆ.direita := nil; arvore ˆ.esquerda := nil; arvore ˆ.dados = x; arvore ˆ.FB = ; end

35 Inserção em Árvores AVL else begin if (x < arvore ˆ.dados) then begin Inserir (arvore ˆ.esquerda, x); arvore ˆ.FB = Altura (arvore ˆ.esquerda) - Altura (arvore ˆ. direita); if (FB = 2) then begin if (arvore ˆ. esquerda.data > x ) then //caso externo arvore = RotacaoEsquerda (arvore); else //caso interno arvore = RotacaoDuplaEsquerda (arvore); end;

36 Inserção em Árvores AVL if (x > arvore ˆ.dados) then begin Inserir (arvore ˆ.esquerda, x); arvore ˆ.FB = Altura (arvore ˆ.esquerda) - Altura (arvore ˆ. direita); if (FB = -2) then begin if (arvore ˆ. direita.data < x ) then //caso externo arvore = RotacaoDireita (arvore); else //caso interno arvore = RotacaoDuplaDireita (arvore); end; arvore ˆ.FB = Altura (arvore ˆ.esquerda) - Altura (arvore ˆ. direita); end; end;

37 Exemplo de Inserção em Árvores AVL Inserir 5 e depois 4

38 Exemplo de Inserção em Árvores AVL

39 Exemplo de Inserção em Árvores AVL Agora insira 45

40 Rotação Simples (Caso Externo) Desbalanceado Agora insira 34

41 Rotação Dupla (Caso Interno) Inserção de Desbalanceado

42 Remoção em Árvore AVL Parecido, mas mais complexo que a inserção As rotações simples e duplas são necessárias para balancear A falta de balanceamento pode se propagar em direção à raiz e muitas rotações podem ser necessárias.

43 Vantagens e Desvantagens de Vantagens Árvores AVL. Inserção, remoção e pesquisa são O(log N), já que as árvores AVL são sempre balanceadas na altura. 2. O balanceamento da altura adiciona apenas um fator constante à velocidade da inserção. Desvantagens. Difícil de programar e depurar; mais espaço parao fator de balanceamento 2. Assintoticamente melhor, mas o balanceamento tem um custo. 3. Buscas em bases de dados maiores utilizam outras estruturas como Árvores B ou B+.

44 Solução da Rotação Dupla procedure RotacaoDuplaDireita(var n : ap_arvore); begin RotacaoEsquerda(nˆ.right); n RotacaoDireita(n); end; X Z V W

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