PROGRAMAÇÃO II 4. ÁRVORE

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1 4. ÁRVORE PROGRAMAÇÃO II Prof. Jean Eduardo Glazar Uma árvore impõe uma estrutura hierárquica em uma coleção de itens. Um exemplo familiar é a árvore genealógica. Árvores despontam de forma natural em várias áreas da ciência da computação. Por exemplo, árvores são usadas para organizar informações em sistemas de banco de dados e para representar a estrutura sintática de programas fontes em compiladores. FUNDAMENTOS Uma árvore é uma coleção finita de n 0 nodos. Se n = 0, dizemos que a árvore é nula. Caso contrário, uma árvore apresenta as seguintes características: existe um nodo especial denominado raiz; os demais nodos são particionados em T1, T2,..., Tk estruturas disjuntas de árvores; as estruturas T1, T2,..., Tk denominam-se subárvores. OBS: todo nodo de uma árvore é a raiz de uma subárvore. A exigência de que as estruturas T1, T2,...,Tk sejam coleções disjuntas, garante que um mesmo nodo não aparecerá em mais de uma subárvore ao mesmo tempo, ou seja, nunca teremos subárvores interligadas. Observe que cada uma das estruturas Ti é organizada na forma de árvore, isto caracteriza uma definição recursiva. Abaixo é dado um exemplo de representação gráfica de uma árvore. 1

2 TERMOS MAIS USADOS Grau de um nodo: número de subárvores de um nodo. Por exemplo, na figura acima, o nodo a tem grau 3, o nodo d tem grau 2 e o nodo c tem grau 1. Grau de uma árvore: o grau de uma árvore (n-áridade) é definido como sendo igual ao máximo dos graus de todos os seus nodos. Na ilustração, podemos constatar que o grau da árvore é 3, pois nenhum nodo tem mais de 3 subárvores. Folhas de uma árvore: é um nodo que possui grau 0, ou seja, que não possui subárvores. Também conhecido como nodo terminal. No exemplo dado, são folhas os nodos e, k, g, l, m, i e j. Filhos de um nodo X: são as raízes das subárvores do nodo X. Neste caso, o nodo X é o pai. Os filhos do nodo b são e, f e g; h é o pai de l e m; os filhos do mesmo pai denominam-se irmãos. Ancestrais de um nodo: são todos os nodos ao longo do caminho, a partir da raiz até o nodo. Descendentes de um nodo: são todos os nodos abaixo deste nodo até as folhas. Nível de um nó: por definição dizemos que a raiz de uma árvore encontra-se no nível 1. Estando um nodo no nível n, seus filhos estarão no nível n+1. Altura ou profundidade: é definida como sendo o máximo dos níveis de todos os seus nodos. Uma árvore nula tem altura 0. A árvore da figura mostrada tem altura igual a 4. A subárvore com raiz d tem altura ÁRVORES BINÁRIAS Uma árvore binária é uma árvore que pode ser nula, ou então tem as seguintes características: existe um nodo especial denominado raiz; os demais nodos são particionados em T1, T2 estruturas disjuntas de árvores binárias; T1 é denominada subárvore esquerda e T2 subárvore direita da raiz. Árvore binária é um caso especial de árvore em que nenhum nodo tem grau superior a 2, isto é, nenhum nodo tem mais que dois filhos. Adicionalmente, para árvores binárias existe um senso de posição, ou seja, distingue-se entre uma subárvore esquerda e uma direita. Por exemplo, as árvores binárias abaixo são consideradas distintas: a primeira tem a subárvore direita nula e a segunda, a esquerda. 2

3 Propriedades 1. Número máximo de nodos no nível i (i > 1) de uma árvore binária é 2(i 1). 2. Número máximo de nodos em um árvore binária de altura k é 2 k 1. A terminologia básica utilizada para árvores binárias é a mesma definida para árvores de grau genérico. Podemos dizer agora filho esquerdo, filho direito, etc ÁRVORES DE BUSCA BINÁRIA Uma árvore binária, cuja raiz armazena o elemento R, é denominada árvore de busca binária se: todo elemento armazenado na subárvore esquerda é menor que R; nenhum elemento armazenado na subárvore direita é menor que R; as subárvores esquerda e direita também são árvores de busca binária. A árvore abaixo é um exemplo de árvore binária. O próximo exemplo tem o elemento d na raiz, todos os elementos na subárvore esquerda (a, b e c) são menores que a raiz, nenhum elemento da subárvore direita (d, e, f) é menor que a raiz e, no entanto, ela não é uma árvore de busca binária. Isto é devido ao fato de a subárvore esquerda não ser uma árvore de busca binária. Note que a subárvore esquerda, cuja raiz é a, tem uma subárvore esquerda que armazena um elemento maior que a raiz. Logo, a árvore como um todo não está de acordo com a definição e não é considerada, portanto, uma árvore de busca binária. 3

4 Operações Básicas em Árvores de Busca Binária Ao implementarmos árvores binárias, precisamos definir o formato dos nodos a serem empregados na organização dos dados. Como cada nodo precisa armarzenar um elemento e referenciar duas subárvores, podemos defini-lo como a seguir. Note que estaremos implementando uma árvore de caracteres, por alocação dinâmica. É possível implementar utilizando vetores, mas isto é muito pouco utilizado na prática, pelas limitações que já se conhece na implementação por vetores e porque não é uma programação muito intuitiva. PRINCIPAIS FUNÇÕES CriarArvore Inicia a árvore vazia. ArvoreVazia Retorna verdadeiro se a árvore estiver vazia e falso caso contrário. CriarNodoArvore Aloca memória para um novo nodo e retorna o seu apontador. Inserir Insere um elemento na árvore. Remover Remove um elemento na árvore. Localizar Localiza um elemento em uma árvore. Imprimir Imprime a árvore. Existem várias estratégias para imprimir uma árvore. Destruir Destroi a árvore, liberando a memória dos nodos. DEFINIÇÃO TYPE Informacao = RECORD chave : integer; { ou string ou outro tipo para pesquisa } { demais elementos de cada nodo da árvore, por exemplo: nome, cpf, telefone, etc... } Arvore = ^NodoArvore; NodoArvore = RECORD info : Informacao; filhoesq : Arvore; { Árvore da esquerda } filhodir : Arvore; { Árvore da direita } Árvore binária (quando dissermos árvore binária estaremos sempre nos referindo a árvore de busca binária) para nós será um ponteiro para a raiz da árvore. Como para muita estruturas definidas anteriormente, uma árvore binária vazia será representada por uma variável ponteiro nula. Então, se tivermos em um programa uma variável arv do tipo Arvore, que represente uma árvore binária e os seguintes elementos nesta árvore: a, b, d, e, f e g, teremos em memória a seguinte situação. 4

5 4.3. INSERÇÃO Com relação à inserção de um elemento numa árvore binária, os novos elementos inseridos entrarão sempre na condição de folhas, isto é, um nodo não pode entrar numa árvore e já assumir filhos. Para inserir o elemento c na árvore da figura acima, começamos pelo nodo raiz apontado pela variável arv (do tipo Arvore). Como c é menor que e, tomamos a subárvore da esquerda. Comparando com a nova raiz, temos c > b e concluímos que o elemento c deverá ser armazenado na subárvore direita. O processo se repete até chegarmos a uma subárvore nula. Neste ponto, uma folha é alocada (para armazenar o novo elemento) e entra como raiz da subárvore nula. No nosso exemplo, o elemento c entraria como sub-árvore esquerda do nodo que armazena o elemento d. Inserir um elemento numa árvore vazia é trivial. Se a árvore não se encontra vazia e o elemento a inserir é menor que a raiz, o inserimos na subárvore esquerda; caso contrário, devemos inseri-lo na subárvore direita. Antes de definirmos uma função para inserir um elemento na árvore, vamos definir as funções CriarArvore, ArvoreVazia e CriarNodoArvore. ALGUMAS IMPLEMENTAÇÕES: {###### Inicializar a árvore vazia ######} PROCEDURE CriarArvore ( VAR A : Arvore); A := NIL; { Árvore vazia. Apontador aponta para nada} 5

6 {###### Retorna TRUE se a árvore estiver vazia ##### ####### e FALSE caso contrario ##### } FUNCTION ArvoreVazia ( VAR A : Arvore ) : BOOLEAN; IF ( A = NIL ) THEN ArvoreVazia := TRUE ELSE ArvoreVazia := FALSE; {###### Aloca memória para um determinado NODO e ######} {###### retorna o apontador para este NODO. Se não for possível } {###### alocar memória, retorna NIL ######} FUNCTION CriarNodoArvore ( e : informacao ) : Arvore; VAR aux : Arvore; IF MaxAvail < SIZEOF(NodoArvore) { ** Testa se existe memória *} THEN WRITELN( Não existe memória suficiente ); CriarNodoArvore := NIL; END ELSE NEW(aux); aux^.info := e; {** Copiar todo o registro de E para INFO} CriarNodoArvore := aux; Passemos agora a uma função para inserir um elemento em uma árvore binária. {###### Insere um elemento novo em um árvore binária arv ######} PROCEDURE Inserir ( VAR arv : Arvore; novo : Arvore ); { se arvore for VAZIA, então a inserção é direta } IF ( ArvoreVazia(arv) ) THEN arv := novo; novo^.filhoesq := NIL; novo^.filhodir := NIL; END ELSE { se nao for vazia, então insere em um dos filhos } { verifica em qual arvore será inserido: na subarvore } { esquerda ou direita } IF (novo^.info.chave < arv^.info.chave) THEN Inserir(arv^.filhoEsq,novo) ELSE Inserir(arv^.filhoDir,novo); 6

7 4.4. ATRAVESSAMENTO EM ÁRVORES BINÁRIAS Atravessar uma árvore binária significa passar de forma sistemática, por cada um de seus nodos, realizando um certo processamento. Os tipos mais conhecidos de atravessamento são três: em-ordem pré-ordem pós-ordem No atravessamento em-ordem visitamos primeiro o lado esquerdo, depois a raiz e finalmente o lado direito. No pré-ordem, visitamos a raiz e então o lado esquerdo e direito repectivamente. Finalmente, no pós-ordem, o lado esquerdo e direito são, nesta ordem, visitados e só então visitamos a raiz. Para entender melhor cada tipo, vamos a um exemplo simples. Seja a árvore abaixo. De acordo com o explicado acima, os elementos desta árvore seriam acessados na seguinte ordem (de acordo com os três tipos de atravessamento): em-ordem: a, b, c pré-ordem: b, a, c pós-ordem: a, c, b Note que estes tipos de atravessamento servem para árvores binárias de uma forma geral. No exemplo dado, temos uma árvore de busca binária. Nestes tipos de árvore binária, o atravessamento em-ordem corresponde a um acesso na ordem crescente dos elementos. Vamos a um exemplo um pouco maior. 7

8 Caso fosse aplicado o atravessamento em-ordem para a árvore acima, os nodos seriam visitados na ordem: a, b, c, d, e, f. Para obter esta sequência, é fácil perceber que primeiro aplicamos o atravessamento em-ordem na subárvore esquerda (da raiz de d), visitando portanto os elementos a, b, c. Depois, visitamos o elemento d (a raiz) e finalmente, aplicamos o atravessamento em-ordem na subárvore direita, visitando portanto, os elemento e e f. Percemos então que, mais uma vez, podemos produzir um algoritmo recursivo para realizar atravessamentos. No caso do algoritmo para atravessamento em-ordem, seja uma árvore arv, teremos então o seguinte: arv é uma árvore nula: não há nada a fazer; Realizamos o atravessamento em-ordem da subárvore esquerda da raiz de arv; Visitamos o elemento da raiz; Realizamos o atravessamento em-ordem da subárvore direita da raiz de arv; Os algoritmos para atravessamento pré-ordem e pós-ordem podem ser generalizados segundo o mesmo raciocínio, só muda a ordem das ações. Um uso muito comum de atravessamento é para imprimir os elementos de uma árvore. Vamos então codificar funções para imprimir os elementos de uma árvore de busca binária. Vejamos as três funções abaixo, uma para cada tipo de atravessamento. {###### Imprime a árvore EM-ORDEM ######} PROCEDURE ImprimirEmOrdem ( VAR arv : Arvore ); IF ( NOT ArvoreVazia(arv) ) THEN ImprimirEmOrdem(arv^.filhoEsq); write(arv^.info.chave); { Imprimir todos os campos} ImprimirEmOrdem(arv^.filhoDir); {###### Imprime a árvore PRE-ORDEM ######} PROCEDURE ImprimirPreOrdem ( VAR arv : Arvore ); IF ( NOT ArvoreVazia(arv) ) THEN write(arv^.info.chave); { Imprimir todos os campos } ImprimirPreOrdem(arv^.filhoEsq); ImprimirPreOrdem(arv^.filhoDir); 8

9 {###### Imprime a árvore POS-ORDEM ######} PROCEDURE ImprimirPosOrdem ( VAR arv : Arvore ); IF ( NOT ArvoreVazia(arv) ) THEN ImprimirPosOrdem(arv^.filhoEsq); ImprimirPosOrdem(arv^.filhoDir); write(arv^.info.chave); { Imprimir todos os campos } Começamos a falar de atravessamento, dizendo que "atravessar uma árvore é passar (visitar) por todos os seus nodos realizando, para cada um deles, um certo processamento". Vimos funções que utilizam esses atravessamentos para imprimir elementos de uma árvore de busca binária, entretanto qualquer outra tarefa, que se aplique a uma determinada necessidade, pode ser feita. Por exemplo, poderíamos criar uma função para desalocar todos os nodos de uma árvore de busca binária, quando essa não fosse mais necessária no programa. Esta função utilizará um atravessamento pós-ordem. Vejamos abaixo. {###### Destrói a árvore desalocando todos os seus nodos ######} PROCEDURE Destruir( VAR arv : Arvore ); IF ( NOT ArvoreVazia(arv) ) THEN Destruir(arv^.filhoEsq); Destruir(arv^.filhoDir); DISPOSE(arv); 4.5. LOCALIZAR UM ELEMENTO EM ÁRVORES BINÁRIAS Se o elemento a ser localizado não se encontra na raiz da árvore, procuraremos este elemento na sub-árvore esquerda caso ele seja menor que a raiz, e na sub-árvore direita caso contrário. Portanto a nossa função seria: {##### Localizar um elemnto em uma árvore. Retorna o ponteiro #####} {##### para o elemento se encontrar e NIL caso contrário #####} FUNCTION Localizar( VAR arv : Arvore; e : TipoDaChave) : Arvore; IF (ArvoreVazia(arv) ) THEN Localizar := NIL ELSE IF (e = arv^.info.chave) THEN Localizar := arv ELSE IF (e < arv^.info.chave ) THEN Localizar := Localizar(arv^.filhoEsq,e) ELSE Localizar := Localizar(arv^.filhoDir,e); 9

10 4.6. REMOÇÃO O algoritmo para remoção em árvore de busca binária é talvez o mais trabalhoso que temos. Ainda sim, após analisarmos todos os possíveis casos, ele parecerá bastante simples. Para facilitar o entendimento, vamos admitir inicialmente que o elemento a ser removido encontra-se na raiz da árvore de busca binária arv. Nestas condições, temos três possibilidades: 1. a raiz não possui filhos: a solução é trivial. Podemos remover a raiz e anular arv; 2. a raiz possui um único filho: podemos remover o nodo raiz, substituindo-o pelo seu nodo-filho; 3. a raiz possui dois filhos: não é possível que os dois filhos assumam o lugar do pai. Escolhemos então o nodo que armazena o menor elemento na subárvore direita de arv. Para entender a solução adotada para o terceiro caso, precisamos lembrar da definição de árvore de busca binária. Segundo esta definição, não podemos ter elementos maiores nem iguais à raiz numa subárvore esquerda. Também não podemos ter elementos menores que a raiz numa subárvore direita. Ora, se tomamos o menor elemento da subárvore direita e o posicionamos na raiz, então continua valendo a definição. Sabemos que o menor elemento numa árvore de busca binária encontra-se no nodo que ocupa a posição mais à esquerda possível. Este nodo certamente não terá um filho esquerdo pois se o tivesse não seria o menor da árvore. Pode, entretanto, ter um filho direito (maior ou igual). Primeiro, desenvolveremos uma função que procura na árvore, o nodo que armazena o seu menor elemento, desliga-o da árvore e retorna um poteiro para este nodo. Lembrando que se este nodo tiver um filho direito, este tomará o lugar do pai. {##### Funcao que procura o menor nodo e o retira da arvore #####} FUNCTION TiraMenor(VAR arv : Arvore) : Arvore; VAR aux : Arvore; IF ( ArvoreVazia(arv^.filhoEsq) ) THEN aux := arv; arv := arv^.filhodir; aux^.filhodir := NIL; TiraMenor := aux; END ELSE TiraMenor := TiraMenor(arv^.filhoEsq)); Tendo implementado a função TiraMenor, podemos remover facilmente um nodo que tenha dois filhos. Observe a árvore do desenho abaixo: 10

11 Se quiséssemos remover o nodo raiz desta árvore bastariam as linhas de código abaixo: VAR pn : Arvore;... pn := TiraMenor(arv^.filhoDir); arv^.info = pn^.info; DISPOSE(pn);... Para entender o que a linha aux := TiraMenor(arv^.filhoDir); faz, observe o desenho abaixo: Abaixo mostramos a função para realizar a remoção de um elemento da árvore. Sempre testamos se a raiz da árvore é o elemento a ser removido. Se for, basta abranger as três 11

12 possibilidades mostradas em parágrafos anteriores. Se não, chamamos a mesma função recursivamente, até encontrar o elemento como sendo raiz de alguma subárvore. { ##### Procedimeno para remover um nodo da arvore. ##### } PROCEDURE Remover ( VAR arv : Arvore; e : informacao); VAR pn : Arvore; IF ( NOT ArvoreVazia(arv) ) THEN IF ( arv^.info.chave = e.chave) THEN pn := arv; IF ( ArvoreVazia(arv^.filhoEsq) ) THEN arv := arv^.filhodir ELSE IF ( ArvoreVazia(arv^.filhoDir) ) THEN arv := arv^.filhoesq ELSE pn := TiraMenor(arv^.filhoDir); arv^.info := pn^.info; DISPOSE(pn); END ELSE IF ( e.chave < arv^.info.chave ) THEN Remover(arv^.filhoEsq, e) ELSE Remover(arv^.filhoDir, e); Com todas as funções vistas até agora já podemos realizar testes. Abaixo é dado o progrma principal de exemplo que utiliza tudo que falamos até agora. Junte todas as funções que vimos até agora e experimente executar o programa exemplo abaixo. VAR arv, aux : Arvore; e : Informacao; ClrScr; CriarArvore(arv); e.chave := 'H'; Inserir(arv,CriarNodoArvore(e)); e.chave := 'B'; Inserir(arv,CriarNodoArvore(e)); e.chave := 'A'; Inserir(arv,CriarNodoArvore(e)); IF ( localizar(arv,'c') = NIL ) THEN writeln('nao achou'); imprimiremordem(arv); writeln; imprimirpreordem(arv); 12

13 writeln; imprimirposordem(arv); writeln; e.chave := 'B'; Remover(arv,e); imprimiremordem(arv); Destruir(arv); readln; end. Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo 4.7. EXERCÍCIOS 1. Considere a árvore esquematizada a seguir, determine: a) O grau de cada nodo; b) O grau da árvore; c) Quais são os nodos folhas; d) Os filhos de C; e) Os ancestrais de B, G e I; f) O nível e altura do nodo F; g) O nível e altura do nodo A; h) A altura da árvore. 2. Seja uma árvore de busca binária inicialmente vazia, esquematize o seu estado final, após terem sido inseridos os elementos 4, 1, 0, 5, 3, 7, 2, 6, 9 e 8, nesta ordem. 3. Informe o resultado após utilizar os seguintes atravessamentos na árvore do exercício 1. a) em-ordem; b) pós-ordem; c) pré-ordem. 4. Descreva como seria o algoritmo para contar o número de nodos não-terminais numa árvore de busca binária. 5. Escrever uma função que calcule a altura de uma árvore binária dada. A altura de uma árvore é igual ao máximo nível de seus nós. 6. Faça uma função que retire o maior elemento de uma árvore de busca binária. 13

14 Respostas: 5) FUNCTION CalculaAltura (VAR arv : Arvore); VAR x,y : INTEGER; IF ( ArvoreVazia(arv) ) THEN CalculaAltura := 0 ELSE x := CalculaAltura(arv^.filhoEsq); y := CalculaAltura(arv^.filhoDir); IF ( x > y ) THEN CalcularAltura := 1 + x ELSE CalcularAltura := 1 + y; 14

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