Estruturas de Dados. Profº Carlos Alberto Teixeira Batista

Transcrição

1 Estruturas de Dados Profº Carlos Alberto Teixeira Batista

2 Árvores São estruturas de dados adequadas para a representação de hierarquias. Uma árvore é composta por um conjunto de nós. Existe um nó r, denominado raiz, que contém zero ou mais subárvores, cujas raízes são ligadas diretamente a r. A raiz se liga a um ou mais elementos, e cada um destes forma uma nova subárvore. Esses elementos são seus galhos ou filhos.

3 Árvores Fundamentos básicos GRAU número de subárvores de um nó. FOLHA um nó que possui grau zero, ou seja, não possui subárvores. FILHOS são as raízes das subárvores de um nó. Nó não terminal é um nó que não é uma folha e é diferente da raiz.

4 Árvores Fundamentos básicos A altura de uma árvore é o comprimento do caminho mais longo da raiz até uma das folhas. Uma árvore nula tem altura 0. Todos os nós são acessíveis a partir da raiz. Existe um único caminho entre a raiz e qualquer outro nó.

5 Árvores Formas de representação gráfica

6 Árvores Binárias Árvore Binária: Uma árvore binária é uma árvore que pode ser nula, ou então tem as seguintes características: Existe um nó especial denominado raiz; Nenhum nó tem grau superior a 2 (dois), isto é, nenhum nó tem mais de dois filhos; Existe um senso de posição, ou seja, distingue-se entre uma subárvore esquerda e uma subárvore direita.

7 Árvores Binárias Atravessamento (ou caminhamento) de árvore é a passagem de forma sistemática por cada um de seus nós; Diferentes formas de percorrer os nós de uma árvore: Pré-ordem ou prefixa (busca em profundidade) Em ordem ou infixa (ordem central) Pós-ordem ou posfixa Em nível

8 Árvores Binárias Pré-ordem (prefixa) visitar a raiz; caminhar na subárvore à esquerda, segundo este caminhamento; caminhar na subárvore à direita, segundo este caminhamento.

9 Árvores Binárias Atravessamento em ordem (infixa) caminhar na subárvore à esquerda, segundo este caminhamento; visitar a raiz; caminhar na subárvore à direita, segundo este caminhamento.

10 Árvores Binárias Atravessamento pós-ordem (posfixa) a) caminhar na subárvore à esquerda, segundo este caminhamento; b) caminhar na subárvore à direita, segundo este caminhamento; c) visitar a raiz.

11 Árvores Binárias Atravessamento em nível Percorre-se a árvore de cima para baixo e da esquerda para a direita.

12 Árvores Binárias Árvore Estritamente Binária: É uma árvore binária na qual todo nó tem 0 ou 2 subárvores, ou seja, nenhum nó tem filho único.

13 Árvores Binárias Árvore Binária Cheia Todos os nós, exceto os do último nível, possuem exatamente duas subárvores. Uma árvore binária cheia de altura h tem 2 h 1 nós.

14 Árvores Binárias Árvore Degenerada Cada nó possui exatamente um filho, e a árvore tem o mesmo número de níveis que de nós

15 Árvore Binária de Busca Uma árvore é denominada árvore binária de busca se: Todo elemento da subárvore esquerda é menor que o elemento raiz; Nenhum elemento da subárvore direita é menor que o elemento raiz; As subárvores direita e esquerda também são árvores de busca binária.

16 Árvore Binária de Busca Busca Se o valor for igual à raiz, o valor existe na árvore. Se o valor for menor do que a raiz, então deve buscar-se na subárvore da esquerda, e assim recursivamente, em todos os nós da subárvore. Se o valor for maior que a raiz, deve-se buscar na subárvore da direita, até alcançar-se o nó folha da árvore, encontrando ou não o valor requerido.

17 Árvore Binária de Busca Inserção Se a árvore estiver vazia, cria um novo no e insere as informações do novo nó. Compara a chave a ser inserida com a chave do nó analisado: o Se menor, insere a chave na subárvore esquerda; o Se maior, insere a chave na subárvore direita.

18 Árvore Binária de Busca Inserção Exemplo: Inserir os seguintes elementos: 7, 13, 20, 4, 1, 18, 5, 11.

19 Árvore Binária de Busca Remoção A remoção de um nó é um processo mais complexo. Para excluir um nó de uma árvore binária de busca, há de se considerar três casos distintos: Remoção na folha Remoção de um nó com um filho Remoção de um nó com dois filhos

20 Árvore Binária de Busca Remoção na folha A exclusão na folha é a mais simples, basta removê-lo da árvore.

21 Árvore Binária de Busca Remoção de um nó com um filho Excluindo-o, o filho sobe para a posição do pai.

22 Árvore Binária de Busca Remoção de um nó com dois filhos Neste caso, pode-se operar de duas maneiras diferentes: 1. Substitui-se o valor do nó a ser retirado pelo valor sucessor (o nó mais à esquerda da subárvore direita); 2. Substitui-se o valor do nó a ser retirado pelo valor antecessor (o nó mais à direita da subárvore esquerda)

23 Árvore Binária de Busca Remoção de um nó com dois filhos Exemplo de remoção substituindo o nó pelo seu antecessor.

24 Árvore Binária de Busca Remoção de um nó com dois filhos Exemplo de remoção substituindo o nó pelo seu sucessor.