Conceitos gerais Terminologia Forma de Representação de Árvores Árvores Binárias

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2 Conceitos gerais Terminologia Forma de Representação de Árvores Árvores Binárias Conceitos gerais Representação por Contiguidade Física Representação por Encadeamento Operações 2

3 Conceitos gerais Uma árvore é uma estrutura de dados que se caracteriza por uma relação de hierarquia entre os elementos que a compõe. Árvores são estrutura de dados não lineares. Exemplo: Organograma de uma empresa Divisão de um livros em capítulos, seções, tópicos Estrutura de diretórios 3

4 Definição É um conjunto finito T de um ou mais nodos, tal que: Existe um nodo principal RAIZ; Os demais nodos formam conjuntos disjuntos onde cada um destes subconjuntos é uma árvore. As árvores recebem a denominação de sub-árvores. Exemplo a Raiz b Árvore c d e Sub-árvore f g h 4

5 Raiz Grau Folha Nível Altura Floresta 5

6 Terminologia RAIZ Nodo de origem da árvore. GRAU Indica o número de filhos de um nodo. FOLHA (NODO TERMINAL) Nodo que não tem filhos. 2 a Raiz 2 b Árvore c 3 d 0 0 Subárvore e f 0 g 0 h Subárvore 0 6

7 Terminologia NÍVEL é o comprimento, ou seja, o número de linhas do caminho da raiz até o nodo. Nível a Raiz 0 b Árvore c 1 d e f g h 2 Raiz é de nível zero (0). 7

8 Terminologia Exemplo: Raiz A B C D E F Nodo Grau Nível A 2 0 B 0 1 C 3 1 D 0 2 E 0 2 F 0 2 8

9 Terminologia ALTURA é o nível mais alto da árvore. A B C D E F Na árvore acima, a altura é igual a 2. 9

10 Terminologia FLORESTA é um conjunto de zero ou mais árvores disjunta (se for eliminado o nodo raiz da árvore, as sub-árvores que restarem chamam-se de floresta). a Raiz b Árvore c d Floresta e f g h Floresta 10

11 Hierárquica Conjunto Expressão Parentetizada Expressão não Parentetizada Endentação 11

12 Formas de Representação de Árvores Representação Hierárquica A B C D E F G H I 12

13 Formas de Representação de Árvores Representação por Conjunto (Diagrama de Inclusão ou Composição) A B C H G C E C I 13

14 Formas de Representação de Árvores Representação por Expressão Parentetizada (Parênteses Aninhados) ( A ( B ( ) C ( D ( G ( ) H ( ) ) E ( ) F ( I ( ) ) ) ) ) 14

15 Formas de Representação de Árvores Representação por Expressão não Parentetizada AA 2 B 0 C 3 D 2 G 0 H 0 E 0 F 1 I 0 15

16 Formas de Representação de Árvores Representação por Endentação 16

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18 Conceitos gerais Representação por Contiguidade Física Representação por Encadeamento Operações 18

19 Árvores Binárias Uma árvore binária (T) é um conjunto finito de nós que pode ser vazio ou pode ser dividida em três sub-conjuntos disjuntos: raiz, subárvore esquerda (Te) e subárvore direita (Td). São árvores onde cada nodo tem no máximo dois filhos, desta forma, obtém-se uma estrutura apropriada para a busca binária, pois sabe-se que existe, para cada nodo, duas subárvores (Te e Td). (T) Subárvore esquerda (Te) Subárvore direita (Td) 19

20 Árvores Binárias Para cada nodo da árvore associa-se uma chave (dado, valor ou informações) que permite a realização de uma classificação. A Construção da árvore deve ser de forma que na subárvore à esquerda (Te) da raiz só existam nodos com chaves menores que a chave da raiz. A subárvore a direita (Td) só pode conter nodos com valores maiores que a raiz. Com esta reestruturação da árvore, a busca de um determinado nodo torna-se trivial. O acesso aos dados pode ser feito então através de funções recursivas. 20

21 Exemplo de uma aplicação de Árvore Binária (Analisador de Expressão) + * 5 Expressão: (3 + 6) * (4-1)

22 Representação por Contiguidade Física Representação por Encadeamento 22

23 Representação por Contiguidade Física Os nodos são representados sequencialmente na memória. Devem ser tomados os seguintes cuidados: Ser alocado espaço suficiente para armazenar a estrutura completa; Os nodos devem ser armazenados em uma lista, onde cada nodo i da árvore ocupa o i-ésimo nodo da lista. Como saber a quantidade de nodos de uma árvore binária: Através de um veto com n elementos onde: n = quantidade de nodos da árvore. h = altura da árvore. h + 1 n =

24 Representação por Contiguidade Física 0 A 1 2 B C D E F G 0 A 1 2 B 3 4 D A B C D E F G A B - C h = n = 2-1 n = 7 (Quantidade de nodos da árvore) 24

25 Representação por Contiguidade Física Representação por Contiguidade Física não é um modo conveniente para representar árvores, na maioria dos casos. Vantagens: Adequado para árvore binária completas. Útil para o armazenamento em disco ou fita (sequencial). Desvantagens: A estrutura pode ter muitos espaços sem uso. Estrutura possui limite finito no número de nodos. 25

26 Representação por Encadeamento esq info dir esq: endereço do nodo filho à esquerda info: contém a informação do nodo dir: endereço do nodo filho à direita 26

27 Representação por Encadeamento A A B C B D E C D E 27

28 Caminhamento Inserção Procura Remoção 28

29 Consiste em processar de forma sistemática e ordenada cada nodo da árvore apenas uma vez, obtendo assim uma seqüência linear de nodos. Estudaremos 4 tipos de caminhamento: Pré ordem Em ordem Pós ordem Em nível 29

30 Caminhamento Pré-Fixado (Pré Ordem ou Profundidade) 1) Visitar a raiz; 2) Caminha na sub-árvore da esquerda; 3) Caminha na sub-árvore a direita. A A 1 B C B 2 C 5 Caminhamento: ABC D 3 E 4 F 6 G 7 Caminhamento: ABDECFG

31 Caminhamento In-Fixado (Em ordem ou Central) 1) Caminha na sub-árvore da esquerda; 2) Visitar a raiz; 3) Caminha na sub-árvore a direita. A A 4 B C B 2 C 5 Caminhamento: BAC D 1 E 3 F 7 G 6 Caminhamento: DBEACGF

32 Caminhamento Pós-Fixado (Pós ordem) 1) Caminha na sub-árvore da esquerda; 2) Caminha na sub-árvore a direita; 3) Visitar a raiz. B A C B 3 A 7 C 6 Caminhamento: BCA D 1 E 2 F 5 G 4 Caminhamento: DEBGFCA

33 Caminhamento Em Nível O caminhamento ocorre de acordo com a disposição dos nodos nos níveis em que se encontram. B A C B 2 A 1 C 3 Caminhamento: ABC D 4 E 5 F 6 G 7 Caminhamento: ABCDEFG

34 Inserir Procurar Remover 34

35 A inserção começa com uma busca; procurando pelo valor, mas se não for encontrado, procuraremos as sub-árvores da esquerda ou direita como na busca. Eventualmente, alcançaremos a folha, e então inserimos o valor nesta posição. Ou seja nós examinamos a raiz e introduzimos um nodo novo na sub-árvore da esquerda se o valor novo é menor do que a raiz, ou na sub-árvore da direita se o valor novo for maior do que a raiz. Exemplo: Inserir o nodo 5 na árvore 35

36 Para a busca em uma árvore binária por um valor específico começamos examinando a raiz. (A) Se o valor for igual a raiz, o valor existe na árvore. (B) Se o valor for menor do que a raiz, então deve buscar na sub-árvore da esquerda, e assim recursivamente em todos os nodos da sub-árvore. (C) Se o valor for maior do que a raiz, então deve buscar na sub-árvore da direita. e assim recursivamente em todos os nodos da sub-árvore. Exemplo: Procurar o nodo 6 36

37 A exclusão de um nodo é mais complexa. Para excluir o nodo de uma árvore binária de busca, considera-se três casos: (A) Folha: Excluindo uma folha é simples, somente remova-o da árvore. (B) Nodo com um filho: Excluindo-o e o filho sobe para a posição do pai. (C) Nodo com dois filhos: Pode-se substituir o valor do nodo a ser retirado pelo valor sucessor (o nodo mais a esquerda da sub-árvore direita) ou pelo valor antecessor (o nodo mais a direita da sub-árvore esquerda), e aí remove-se o nodo sucessor (ou antecessor). (C) (B) (A) 37