ÁRVORE BINÁRIA DE BUSCA

Transcrição

1 ÁRVORE BINÁRIA DE BUSCA

2 Introdução O algoritmo de busca binária em vetores tem bom desempenho e deve ser usado quando temos os dados já ordenados. No entanto, se precisarmos inserir e remover elementos da estrutura e, ao mesmo tempo, dar suporte a funções de busca eficientes, a estrutura de vetor não se torna adequada. Para inserirmos um novo elemento num vetor ordenado, temos que rearrumar os elementos no vetor, para abrir espaço para a inserção do novo elemento. Situação análoga ocorre quando removemos um elemento do vetor. Precisamos portanto de uma estrutura dinâmica que dê suporte a operações de busca.

3 Introdução As árvores binárias que serão consideradas nesta seção têm uma propriedade fundamental: o valor associado à raiz é sempre maior que o valor associado a qualquer nó da sub-árvore à esquerda (sae), e é sempre menor que o valor associado a qualquer nó da sub-árvore à direita (sad). Essa propriedade garante que, quando a árvore é percorrida em ordem infixada (ou simétrica) (sae - raiz - sad), os valores são encontrados em ordem crescente.

4 Introdução

5 Introdução Para procurar um valor numa árvore, comparamos o valor que buscamos com o valor associado à raiz. Em caso de igualdade o valor foi encontrado; Se o valor procurado for menor que o valor da raiz a busca continua na sae; Se o valor procurado for maior que o valor da raiz a busca continua na sad. Por essa razão, estas árvores são freqüentemente chamadas de árvores binárias de busca.

6 Introdução Se a informação a ser armazenada em cada nó da árvore for um número inteiro podemos usar os operadores relacionais ( <, >, = ). Porém, se tivermos que considerar casos em que a informação é mais complexa, a função de comparação deve ser definida pelo programador, especificamente para cada caso.

7 Tipo da Árvore Binária typedef struct Arv TArv; struct Arv { int info; TArv* esq; TArv* dir; TArv* p; };

8 Operação de Busca TArv* busca (TArv* r, int v) { if (r == NULL) return NULL; else if (r->info > v) return busca(r->esq,v); else if (r->info < v) return busca(r->dir,v); else return r; }

9 Operação de Inserção: caminhando... TArv* inserir(tarv* raiz, TArv* novo){ TArv *cam, *pai; pai = NULL; cam = raiz; // Caminha na árvore até achar posição while(cam!= NULL){ pai = cam; if (novo->info < cam->info) cam = cam->esq; else cam = cam->dir; }

10 Operação de Inserção: ajustando... } novo->p = pai; if(pai == NULL) // árvore vazia raiz = novo; else if(novo->info < pai->info) // Ajusta SAE pai->esq = novo; else // Ajusta SAD pai->dir = novo; return raiz;

11 Antes de falar de remoção, vamos de sucessor É o menor entre os maiores que x; Como encontrá-lo? Comparação...caminhando pela árvore Outra forma?

12 Antes de falar de remoção, vamos de sucessor se ele existir!!! Cenário 1: É o menor elemento entre os elementos de sua sad, se ela existir; Cenário 2: É o mais baixo ancestral de x cujo filho à esquerda é o próprio x. Cenário 3: É o mais baixo ancestral de x cujo filho à esquerda é também um ancestral de x;

13 Antes de falar de remoção, vamos de sucessor TArv* sucessor(tarv* x){ TArv* ancestral; } if (x->dir!= NULL) // tem sae? return menor(x->dir); else{ ancestral = x->p; while( (ancestral!= NULL) && (x == ancestral->dir)) { x = ancestral; ancestral = ancestral->p; } return ancestral; }

14 Operação de Remoção Existem três situações possíveis: A primeira é quando se deseja retirar um elemento que é folha da árvore. A segunda situação acontece quando o nó a ser retirado possui um único filho. A terceira situação ocorre quando o nó a ser retirado tem dois filhos.

15 Operação de Remoção Primeira e Segunda Situações

16 Operação de Remoção Primeira e Segunda Situações A primeira, e mais simples, é quando se deseja retirar um elemento que é folha da árvore. Neste caso, basta retirar o elemento da árvore e atualizar o pai, pois seu filho não existe mais. A segunda situação, ainda simples, acontece quando o nó a ser retirado possui um único filho. Para retirar esse elemento é necessário antes acertar o ponteiro do pai, pulando o nó: o único neto passa a ser filho direto.

17 Operação de Remoção Terceira Situação Localiza o nó a ser eliminado (nó 6) Encontra o nó mais a direita da sub-árvore da esquerda (nó 4) Trocar os valores entre o nó a ser eliminado e o nó encontrado. Localiza novamente o nó a ser eliminado (nó 6)

18 Operação de Remoção Terceira Situação Para poder retirar esse nó da árvore, devemos proceder da seguinte forma: encontramos o elemento que precede o elemento a ser retirado na ordenação. Isto equivale a encontrar o elemento mais à direita da sub-árvore à esquerda; trocamos a informação do nó a ser retirado com a informação do nó encontrado; retiramos novamente o nó encontrado (que agora contém a informação do nó que se deseja retirar). Observa-se que retirar tal nó agora é trivial, pois esse é um nó folha ou um nó com um único filho.

19 Operação de Remoção TArv* remover(tarv* raiz, TArv* z){ TArv *y, *x; // posiciona y no sucessor de z, no caso de z ter 2 descendentes; // caso contrario y fica em z; y = ( ((z->esq == NULL) (z->dir == NULL))? z : sucessor(z) ); x = ((y->esq!= NULL)? y->esq: y->dir); // descendente de y if (x!= NULL) x->p = y->p; if (y->p == NULL){ // Removendo raiz com único descendente? raiz = x; }else if (y == y->p->esq) y->p->esq = x; else y->p->dir = x; if (x!= z) z->info = y->info; free(y); return raiz; }