Programação II. Árvores Binárias (Binary Trees) Bruno Feijó Dept. de Informática, PUC-Rio

Transcrição

1 Programação II Árvores Binárias (Binary Trees) Bruno Feijó Dept. de Informática, PUC-Rio

2 Árvores Dados organizados de maneira hierárquica Exemplos: arquivos em diretórios, subdivisão de espaço 2D em um game, expressões aritméticas, análise sintagmática,... + Quadtree (divisão em 4 até quadrado c/terreno uniforme) para gerar caminhos num jogo Estruturas de dados lineares (pilhas, filas,...) não são adequadas Árvore Binária (2 filhos) Número de filhos por nó > 2 Número variável de Filhos Cheia ou não Desenhamos invertida (i.e. cresce de cima para baixo, diferente da natureza)!

3 Parâmetros de uma Árvore nível n 0 raiz 1 2 altura h = 2 folhas Se a árvore é cheia e tem número fixo de filhos por nó (b), o número de nós em um determinado nível n é b n Por exemplo, para árvores com 3 filhos (b=3): 3 n Neste caso, o número total de nós de uma árvore cheia de altura h é b 0 + b 1 + b b h que, usando a fórmula de série geométrica, é igual a (b h+1 1)/(b 1)

4 Representação de uma árvore de int Uma árvore é representada por um ponteiro para o nó raiz Um nó de árvore é uma estrutura contendo a informação e ponteiros para os filhos Quadtree (4 filhos por nó) Árvore Binária (2 filhos por nó) #define N 4 struct noarv int info; struct noarv * filhos[n]; ; typedef struct noarv NoArv; Só veremos Árvores Binárias!! struct noarv int info; struct noarv * esq; struct noarv * dir; ; typedef struct noarv NoArv; arv_cria: NoArv * arv_cria(int v, NoArv * e, NoArv * d) NoArv * p= (NoArv *)malloc(sizeof(noarv)); p->info = v; p->esq = e; p->dir = d; return p; arv_imprime: void arv_imprime(noarv * a) if (a!=null) printf("%d ",a->info); arv_imprime(a->esq); arv_imprime(a->dir);

5 Outras Funções Árvores Binárias de int Libera memória (libera sub-árvores primeiro e retorna árvore vazia): NoArv * arv_libera(noarv * a) if (a!=null) arv_libera(a->esq); arv_libera(a->dir); free(a); return NULL; Verifica se uma informação está na árvore (i.e. se pertence à árvore): int arv_pertence(noarv * a, int v) if (a==null) return 0; else return a->info==v arv_pertence(a->esq,v) arv_pertence(a->dir,v);

6 Construindo uma Árvore Binária de int NoArv * a= arv_cria(5, arv_cria(3,null,arv_cria(4,null,null)), arv_cria(9,arv_cria(7,null,null),arv_cria(11,null,null)) ); ou NoArv * a= arv_cria(5, arv_cria(3, NULL, arv_cria(4, NULL, NULL ) ), arv_cria(9, arv_cria(7, NULL, NULL ), arv_cria(11, NULL, NULL ) ) );

7 ÁRVORES BINÁRIAS DE BUSCA

8 Ordenação o valor associado à raiz é sempre maior que o valor associado a qualquer nó da sub-árvore à esquerda o valor associado à raiz é sempre menor ou igual (para permitir repetições) que o valor associado a qualquer nó da sub-árvore à direita Ordens de percurso (recursão) Ordem simétrica Percorre esq/dir, trata a raiz, percorre dir/esq Exemplo esq-raiz-dir: Exemplo dir-raiz-esq: Pré-ordem Trata a raiz, percorre esq/dir, percorre dir/esq Exemplo raiz-esq-dir: Pós-ordem Percorre esq/dir, percorre dir/esq, trata raiz Exemplo esq-dir-raiz: void arv_imprimesime(noarv * a) if (a!=null) arv_imprimesime(a->esq); printf("%d ",a->info); arv_imprimesime(a->dir);

9 Busca Deve explorar a propriedade de ordenação da árvore: se for igual à raiz, o valor foi encontrado se for menor, a busca continua na esq se for maior, a busca continua na direita Pode retornar Booleano (0 ou 1) ou o nó (neste último caso, NULL significa que o valor não foi encontrado) NoArv * arv_busca(noarv * a, int v) if (a==null) return NULL; if (a->info > v) return arv_busca(a->esq,v); if (a->info < v) return arv_busca(a->dir,v); return a; int main(void)... t = arv_busca(a,7); if (t!=null) printf("valor %d encontrado\n",t->info);...

10 Complexidade da Busca O tempo para encontrar um determinado nó depende da altura h da árvore. A árvore deve, portanto, estar BALANCEADA: os nós têm todos (ou quase todos) 2 nós. Isto faz com que os lados esquerdos e direitos tenham aproximadamente o mesmo número de nós. Totalmente Balanceada Balanceada Desbalanceada Totalmente Desbalanceada (degenerada) O pior caso, numa árvore de busca balanceada, é quando o nó procurado está no último nível. Neste caso fazemos h comparações: O(h). Em termos de nós: n = h = 2 h h+1 = n + 1 log (n + 1) = h + 1 h = log (n + 1) 1 h < log n O(log n) Se a árvore estiver degenerada: O(n) O melhor caso é quando o nó procurado está no meio da ordenação, isto é, é a raiz da árvore: O(1). O caso médio também é O(log n).

11 Complexidade Notação Big O Tamanho O(n) O(log n) Melhor O(1) O(log n) O(n) O(n log n) O(n 2 ) Tempo constante Tempo logarítmico Tempo linear Tempo loglinear (ou quaselinear) Tempo quadrático seg 3 seg 60 1 min min h dia mês ano anos 36 seg Vetor Ordenado vs Árvore Binária de Busca Busca binária em um vetor ordenado e em uma árvore binária ordenada têm a mesma complexidade de tempo: O(log n). Se mantivermos a árvore sempre balanceada, teremos uma busca mais eficiente (apesar da mesma complexidade). Entretanto, as operações de inserção e de remoção de um elemento em um vetor ordenado implicam numa nova arrumação do vetor muito pouco eficiente. Estruturas dinâmicas (como as árvores binárias) são mais adequadas para estas operações. Ademais, estas operações também têm a complexidade de O(log n).

12 Operação de Inserção NoArv * arv_insere(noarv * a, int v) if (a==null) a = (NoArv *)malloc(sizeof(noarv)); a->info = v; a->esq = a->dir = NULL; else if (v < a->info) a->esq = arv_insere(a->esq,v); else // v >= a->info a->dir = arv_insere(a->dir,v); return a; NÃO Permite repetição! Permite repetição! NoArv * arv_insere(noarv * a, int v) if (a==null) a = (NoArv *)malloc(sizeof(noarv)); a->info = v; a->esq = a->dir = NULL; else if (v < a->info) a->esq = arv_insere(a->esq,v); else if (v > a->info) a->dir = arv_insere(a->dir,v); return a;