3. Conteúdo de um vértice v é conteúdo dos filhos de v.

Transcrição

1 Árvore Hierárquica Em inglês é chamada de Heap. Representar: conjunto C de elementos com relação. Operações: Ins x,c (inserir x em C e ExMax C (extrair o máximo do conjunto). Chamado também de Fila de Prioridade. Definição: É uma árvore binária tal que: 1. Para um inteiro p 0 todas as folhas estão na profundidade p ou p As de profundidade p estão todas "à esquerda" das de profundidade p Conteúdo de um vértice v é conteúdo dos filhos de v.

2 elemento novo

3 Não é árvore hierarquica Não é árvore hierarquica As propriedades (1) e (2) implicam que a árvore é quase completa ou completa. Se todas as folhas ocorrem na profundidade p então a árvore é completa,

4 com profundidade 2 p 1 1 vértices. A propriedade (3) é chamada de hierarquização. Se a relação de ordem for ao invés de, o mínimo ocorre na raiz. Seja M um vetor na memória: M i M M 2 i 2 i+ 1 Se M j é um filho então M j/2 é o pai, filho esquerdo ou direito (j 2i 1 2i 1 /2 i).

5 filho esq de 9 filho dir de i M filho esq de 30 filho dir de 30

6 Vantagem: representação SEM apontador. Operação de inserção Ins x,c conj. C, n = 6 (n+1) ésimo, novo

7 8 ELEM 3-9 9> Rebaixado 9 ELEM 9 9>8 3 8 Rebaixado Exercício: Se o elemento novo fosse 7, ao invés de 9?

8 Algoritmo Ins x,c Entrada: vetor M que representa uma árvore hierárquica com n objetos, e um objeto x Saída: vetor M contendo x 1. ELEM x; 2. M n 1 x; (* provisoriamente colocado como última folha *) 3. j n 1; i n 1 /2 ; (* índice do pai *) 4. enqto i 0eM i ELEM faça { 5. M j M i ; (* o pai é rebaixado *) 6. j i; i i/2 ; (* índice do novo pai, um nível acima *) 7. } (* fim do enqto *) 8. M j ELEM; (* coloca x no lugar correto *) Complexidade: O lg n. Por quê?

9 9 lg( n + 1) Rebaixamento Antes do algoritmo ExMax C, veremos o algoritmo para rebaixar a raiz, cujas subárvores esquerda e direita são árvores hieráquicas, mas a raiz contém um objeto MENOR que os dois filhos, e portanto a árvore toda não é hierarquica.

10 Rebaixar a raiz Árv.Hierarq. Árv.Hierarq. 6 Rebaixar

11 ELEM 6 6<9 Rebaixar 3 9 filho maior Promovido 3 ELEM = 6 Rebaixar 6< filho maior

12 9 3 8 Promovido Algoritmo Rebaixa i,n Entrada: vetor M que representa uma árvore hierárquica com n objetos, e índice i da raiz a ser rebaixada (ou seja, M i é o vértice a ser rebaixado, que pode ser raiz de uma subárvore). Saída: vetor M contendo após rebaixar a raiz para o local apropriado 1. ELEM M i ; j 2 i; achou falso;(*m j éofilhoesquerdo*) 2. enqto (j n) e (não achou) faça{ (* enqto há rebaixamento a ser feito *) 3. se (j n e M j M j 1 ) 4. então j j 1; (* M j é o filho maior *)

13 5. se (ELEM M j ) 6. então achou verdadeiro; (* terminar rebaixamentos *) 7. senão { 8. M j/2 M j ; (* filho maior é promovido *) 9. j 2 j; (* índice do novo filho, um nível abaixo *) 10. } (* fim-senão *) 11. }(*fim-enqto*) 12. M j/2 ELEM; (* a raiz original é colocada no nó pai de M j *) Complexidade: O lg n. Por quê?

14 Operação de extração do max, ExMax C (1) O máximo está na raiz. Seja y o objeto na última folha M n. max Extrai max Árv. Hierarq. y última folha (2) Promove y para raiz, e tira M n da árvore, ou seja faz n n 1. A árvore resultante não é mais hierárquica.

15 y promove y para raiz não é mais Árv. Hierarq. tira última folha (3) Aplica o algoritmo Rebaixa, que rebaixa a raiz com y até o local apropriado, tornando a árvore de novo em hierárquica. y Rebaixa raiz de novo, Árv. Hierarq.

16 Complexidade O lg n. Por quê?

17 Hierarquização Objetivo: transformar uma árvore binária (representada por um vetor com n objetos) em árvore hierárquica. Solução: aplicar o Algoritmo Rebaixa da seguinte forma (note que as folhas sozinhas já constituem uma árvore hierárquica): 1. Aplicar primeiro Rebaixa sobre cada pai das folhas, junto com as folhas; resulta várias subárvores hierarquizadas com as raizes que são pais das folhas; 2. A seguir aplicar Rebaixa sobre cada avô das folhas; resulta hierarquização um nível acima; 3. E assim por diante, subindo de nível, até chegar à raiz. Algoritmo Hierarq Entrada: vetor M com n vértices Saída: M hierarquizada para i n/2 até 1 faça { Rebaixa(i, n); }

18 Exercício: a complexidade de tempo do Hierarq é T n O n. (solução no livro.)

19 HeapSort (Ordenação por Hierarquização) Objetivo: dado um vetor com n objetos, ordená-lo em ordem crescente. Solução: 1. Aplicar o Algoritmo Hierarq sobre o vetor M. Resulta uma árvore hierárquica em tempo O n ; 2. Aplicar ExMax n vezes. Resulta M ordenado em tempo O nlg n. 3. Tempo total: O nlg n. Algoritmo OrdHierarq (ou HeapSort) Entrada: vetor M com n objetos Saída: M em ordem crescente 1. Hierarq(M, n); 2. para i n até 2 faça { 3. (* a seguir troca M 1, o máximo, com M i *) 4. t M i ;M i M 1 ;M 1 t;

20 5. Rebaixa(1,i 1); 6. }(*fim-para*) Início com M 25,31,26,5,6 Aplica Hierarq(M, 5) resulta em M max 31,25,26,5,6 Inicia laço para i n... i 5 6, 25, 26, 5, max 31, Rebaixa 1,4 max 26,25,6,5,31 i 4 5, 25, 6, max 26,31, Rebaixa 1,3 max 25,5,6,26,31 i 3 6, 5, max 25,26,31, Rebaixa 1,2 max 6,5,25,26,31 i 2 5, max 6,25,26,31 Rebaixa 1,1 max 5,6,25,26,31 Figura: Ilustração de execução do algoritmo OrdHierarq.

21 1. Inserir 2. Rebaixa 3. ExMax (ou ExMin) 4. Hierarq 5. OrdHierarq Resumo Exercícios sobre Heap (Árvore Hierárquica). 1. Dada a matriz hieraquizada, com a relação : índ M

22 a. Desenhar a árvore binária correspondente; b. Inserir um novo objeto 2, aplicando o algoritmo Ins x,c visto. 2. Considere a mesma árvore do exercício (1). Remover o mínimo aplicando o algoritmo ExMin C. 3. Hierarquizar a matriz M a seguir, aplicando o algoritmo Hierarq dado, com a relação índ M Ordenar a matriz a seguir, em ordem crescente, aplicando o algoritmo OrdHierarq índ M