Árvores AVL IAED, 2014/2015

Transcrição

1 Árvores AVL IAED, 24/25

2 Resumo da aula de hoje Recapitular algumas ideias da última aula Pesquisa, inserção, remoção & travessias em árvores binárias de pesquisa. Árvores binárias equilibradas Exemplo: Rotações, pesquisa, inserção e remoção em AVL trees Exercícios 2 IAED, 24/25

3 Estrutura de uma Árvore Binária #include "Item.h" typedef struct node { Item item; l r struct node *l; struct node *r; } *link; l r l r 3 IAED, 24/25

4 Árvores de Procura Binárias (BST) Nós na sub-árvore esquerda tem chaves menores ou iguais que a raíz Nós na sub-árvore direita tem chaves maiores ou iguais que a raíz IAED, 24/25

5 Árvores de Procura Binárias (BST) Vamos procurar o 2 No pior caso, a pesquisa escala com a profundidade da árvore IAED, 24/25

6 Inserção de um novo elemento Vamos inserir o elemento IAED, 24/25

7 Remoção de um elemento Mais difícil: 3 possibilidades IAED, 24/25

8 Exemplos: Remoção de um elemento. Se o nó não tiver filhos à fácil... Basta apagar. 2. Se o nó tiver um só filho... Também é fácil. 3. Remoção de um nó interno:. substituímos o elemento a remover pelo maior dos elementos à esquerda do elemento a ser removido. 2. removemos esse elemento (que estará necessariamente nas condições ou 2) 2 IAED, 24/25

9 Travessia em Pre-Order Visita raíz antes dos filhos: Output: 2, 2, 8, 2, 9, 8, 32, 23, 45 void traverse(link h) { 2 if (h == NULL) return; visit(h->item); 2 32 traverse(h->l); traverse(h->r); } IAED, 24/25

10 Travessia em In-Order (sorted!!) Visita a raíz depois de visitar o filho esquerdo e antes de visitar o direito Output: 2, 8, 9, 2, 8, 2, 23, 32, 45 void traverse(link h) { } if (h == NULL) return; traverse(h->l); visit(h); traverse(h->r); IAED, 24/25

11 Travessia em Post-Order Apenas visita a raíz depois de visitar o filho direito e o esquerdo Output: 2, 9, 8, 8, 2, 23, 45, 32, 2 void Exemplo traverse(link de aplicação: avaliação h) de expressões posfixadas 2 { if (h == NULL) 2 32 return; } traverse(h->l); traverse(h->r); visit(h); IAED, 24/25

12 Pesquisas em BST Geralmente eficiente: O(log N) No pior caso, ON ( ) para uma árvore desequilibrada Ordem de inserção:,2,3,4,5,6,7,8 No caso de chaves aleatórias, O(log N) Comparação com pesquisa binária em tabelas: Tempo de pesquisa comparável Tempo de inserção muito mais rápido ON ( ) 6 IAED, 24/25

13 Árvores Binárias Equilibradas Evitam o pior caso de ON ( ) Algum overhead na construção Alternativa: Reequilibrar uma árvore, depois de construída Usar aleatoriedade Usar técnicas especiais de construção (AVL, Red-Black, etc) 3 D 4 E 5 F 2 C B A 7 IAED, 24/25

14 Árvores AVL (Adelson-Velskii e Landis) BST em que, para cada nó interno, a profundidade (height) de ambos os filhos difere, no máximo, em Height Nota: Estamos a considerar que a profundidade de uma folha = 8 IAED, 24/25

15 Árvores AVL (Adelson-Velskii e Landis) Será que esta árvore esta equilibrada? IAED, 24/25

16 Inserção em Árvores AVL Inserção de um elemento pode desequilibrar a árvore IAED, 24/25

17 Inserção em Árvores AVL Inserção de um elemento pode desequilibrar a árvore Vamos inserir o! Height IAED, 24/25

18 Inserção em Árvores AVL Inserção de um elemento pode desequilibrar a árvore Height IAED, 24/25

19 Inserção em Árvores AVL Inserção de um elemento pode desequilibrar a árvore árvore desequilibrada! Height IAED, 24/25

20 Inserção em Árvores AVL Pode ser necessário equilibrar após a inserção árvore desequilibrada! Height IAED, 24/25

21 Inserção em Árvores AVL árvore equilibrada! Height IAED, 24/25

22 Inserção em Árvores AVL Em vez da altura (height) podemos analisar directamente o balance factor = height (left) height (right) árvore equilibrada! Height IAED, 24/25

23 Inserção em Árvores AVL Em vez da altura (height) podemos analisar directamente o balance factor = height (left) height (right) árvore equilibrada! Balance factor IAED, 24/25

24 Operações de Rotação - Esquerda link rotl(link h) { link x = h->r; } h->r = x->l; x->l = h; return x; D F h H x D h F G x H I B E G I B E A C A C 29 IAED, 24/25

25 Operações de Rotação - Direita link rotr(link h) { link x = h->l; } h->l = x->r; x->r = h; return x; D h B H x A C F I A B C D E F x H h E G G I 3 IAED, 24/25

26 Inserção em Árvores AVL Inserir novo elemento, numa folha, como numa BST normal Percorrer o caminho desde a nova folha até à raíz Para cada nó encontrado, verificar se as alturas dos dois filhos (esquerdo e direito) não diferem em mais do que Se diferirem, equilibrar a sub-árvore com raíz nesse nó, efectuando uma rotação (simples ou dupla) Após equilibrar a sub-árvore com raíz num determinado nó x, não será necessário equilibrar as sub-árvores com raíz nos antepassados de x Terminar após uma equilibragem, ou quando atingirmos a raíz 3 IAED, 24/25

27 Equilibragem de Árvores AVL Rotação Simples I (left) A B C A B C 32 rotação esquerda IAED, 24/25

28 Equilibragem de Árvores AVL Rotação Simples II (right) A B C A B C 33 rotação direita IAED, 24/25

29 AVL Ex. : Inserção com rotações simples Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos inserir o elemento Balance factor IAED, 24/25

30 AVL Ex. : Inserção com rotações simples Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos inserir o elemento 8 Esta BST está equilibrada? Balance factor IAED, 24/25

31 AVL Ex. : Inserção com rotações simples Agora vamos introduzir o elemento 9... Está equilibrada? NÃO!!!! Vamos subir do 9 em direção à raiz até encontrar um elemento desequilibrado Balance factor IAED, 24/25

32 AVL Ex. : Inserção com rotações simples Para equilibrar, basta fazer uma rotação simples para a direita (rotr) aplicada ao elemento IAED, 24/25

33 AVL Ex. : Inserção com rotações simples Para equilibrar, basta fazer uma rotação simples para a direita (rotr) aplicada ao elemento 27...e já está!!! IAED, 24/25

34 AVL Ex. : Inserção com rotações simples RECEITA : Quando o novo nó é inserido na sub-árvore da esquerda, da subárvore da esquerda do elemento desequilibrado, basta-nos aplicar uma IAED, 24/25 rotr a esse elemento.

35 AVL Ex. 2: Inserção com rotações simples Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos inserir o elemento IAED, 24/25

36 AVL Ex. 2: Inserção com rotações simples Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos inserir o elemento IAED, 24/25 9

37 AVL Ex. 2: Inserção com rotações simples Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos inserir o elemento RECEITA 2: Quando o novo nó é inserido na sub-árvore da direita, da sub-árvore da direita, do elemento desequilibrado, basta-nos aplicar uma rotl a esse 42 elemento IAED, 24/25 9

38 AVL Ex. 2: Inserção com rotações simples Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) RESULTADO FINAL: IAED, 24/25

39 AVL Ex. 3: Inserção com rotações duplas Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos inserir o elemento IAED, 24/25

40 AVL Ex. 3: Inserção com rotações duplas Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos inserir o elemento 56 Receita 3: O novo nó é inserido na sub-árvore da direita, da sub-árvore da esquerda do elemento desequilibrado!! O que fazer? Rotação dupla Esquerda-Direita IAED, 24/25

41 Equilibragem de Árvores AVL Rotação Dupla I Esquerda-Direita A B C A B C 46 rotação esquerda IAED, 24/25

42 Equilibragem de Árvores AVL Rotação Dupla I (cont) Esquerda-Direita A B C A B C 47 rotação esquerda, direita IAED, 24/25

43 Equilibragem de Árvores AVL Rotação Dupla II Direita-Esquerda A B C A B C 48 rotação direita IAED, 24/25

44 Equilibragem de Árvores AVL Rotação Dupla II (cont) Direita-Esquerda A B C A B C 49 rotação direita, esquerda IAED, 24/25

45 AVL Ex. 3: Inserção com rotações duplas Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos inserir o elemento 56 Receita 3: O novo nó é inserido na sub-árvore da direita, da sub-árvore da esquerda do elemento desequilibrado!! O que fazer? Rotação dupla Esquerda-Direita rotl 56 5 IAED, 24/25

46 AVL Ex. 3: Inserção com rotações duplas Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos inserir o elemento 56 Receita 3: O novo nó é inserido na sub-árvore da direita, da sub-árvore da esquerda do elemento desequilibrado!! O que fazer? Rotação dupla Esquerda-Direita rotl 5 5 IAED, 24/25

47 AVL Ex. 3: Inserção com rotações duplas Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos inserir o elemento 56 Receita 3: O novo nó é inserido na sub-árvore da direita, da sub-árvore da esquerda do elemento desequilibrado!! O que fazer? Rotação dupla Esquerda-Direita rotr 5 52 IAED, 24/25

48 AVL Ex. 3: Inserção com rotações duplas Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos inserir o elemento 56 Receita 3: O novo nó é inserido na sub-árvore da direita, da sub-árvore da esquerda do elemento desequilibrado!! O que fazer? Rotação dupla Esquerda-Direita rotr 53 IAED, 24/25

49 AVL Ex. 3: Inserção com rotações duplas Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos inserir o elemento 56 RESULTADO FINAL: IAED, 24/25

50 AVL Ex. 4: Inserção com rotações duplas Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Depois de inserir o elemento 65 temos: IAED, 24/25

51 AVL Ex. 4: Inserção com rotações duplas Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Depois de inserir o elemento 65 temos: Receita 4: O novo nó é inserido na sub-árvore da esquerda, da sub-árvore da direita do elemento desequilibrado!! O que fazer? Rotação dupla Direita-Esquerda IAED, 24/25 rotr

52 AVL Ex. 4: Inserção com rotações duplas Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Depois de inserir o elemento 65 temos: Receita 4: O novo nó é inserido na sub-árvore da esquerda, da sub-árvore da direita do elemento desequilibrado!! O que fazer? Rotação dupla Direita-Esquerda IAED, 24/25 rotr

53 AVL Ex. 4: Inserção com rotações duplas Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Depois de inserir o elemento 65 temos: rotl Receita 4: O novo nó é inserido na sub-árvore da esquerda, da sub-árvore da direita do elemento desequilibrado!! O que fazer? Rotação dupla Direita-Esquerda IAED, 24/25

54 AVL Ex. 4: Inserção com rotações duplas Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Depois de inserir o elemento 65 temos : rotl Receita 4: O novo nó é inserido na sub-árvore da esquerda, da sub-árvore da direita do elemento desequilibrado!! O que fazer? Rotação dupla Direita-Esquerda IAED, 24/25

55 AVL Ex. 4: Inserção com rotações duplas Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Depois de inserir o elemento 65 temos (resultado final): IAED, 24/25

56 Resumo Caso : Se o novo nó é inserido na sub-árvore da esquerda, da subárvore da esquerda do elemento desequilibrado, basta-nos aplicar uma rotação simples para a direita aplicada a esse elemento. Caso 2: Se o novo nó é inserido na sub-árvore da direita, da sub-árvore da direita do elemento desequilibrado, basta-nos aplicar uma rotação simples para a esquerda aplicada a esse elemento. Caso 3: Se o novo nó é inserido na sub-árvore da direita, da sub-árvore da esquerda do elemento desequilibrado, fazemos uma rotação dupla Esquerda-Direita Caso 4: Se o novo nó é inserido na sub-árvore da esquerda, da subárvore da direita do elemento desequilibrado, fazemos uma rotação dupla Direita-Esquerda 6 IAED, 24/25

57 Remoção em Árvores AVL Remoção de um elemento pode desequilibrar a árvore Balance factor IAED, 24/25

58 Remoção em Árvores AVL Remoção de um elemento pode desequilibrar a árvore árvore desequilibrada! IAED, 24/25

59 Remoção em Árvores AVL Remover um nó como numa BST normal Percorrer o caminho desde o nó removido até à raíz Para cada nó encontrado, verificar se as alturas dos dois filhos (esquerdo e direito) não diferem em mais do que Se diferirem, equilibrar a sub-árvore com raíz nesse nó, efectuando uma rotação simples ou uma rotação dupla Após equilibrar a sub-árvore com raíz num determinado nó x, poderá ser necessário equilibrar as sub-árvores com raízes nos antepassados de x Terminar apenas quando atingirmos a raíz 64 IAED, 24/25

60 AVL Ex. 5: Remoção de nós Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos remover o elemento 72: IAED, 24/25

61 AVL Ex. 5: Remoção de nós Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos remover o elemento 72: 2 45 rotr IAED, 24/25

62 AVL Ex. 5: Remoção de nós Considere a árvore em baixo. Os números ao lado correspondem ao balance factor = height (left) height (right) Vamos remover o elemento 72: IAED, 24/25

63 Pesquisa em Árvores AVL Pesquisa é realizada como numa árvore BST normal Pesquisa não altera a árvore 68 IAED, 24/25

64 Desempenho de Árvores AVL Uma equilibragem (rotação dupla ou simples): O() Pesquisa: O (log N) O(log N) Inserção: O (log N) Profundidade é, não é necessário equilibrar Procurar a posição para inserir é O (log N) Manter equilibrada é O (log N) : subir na árvore e equilibrar vez Remoção: O (log N) Procurar o elemento a remover é O (log N) Manter equilibrada é O (log N) : subir na árvore e equilibrar no máximo O (log N) vezes 69 IAED, 24/25

65 Exercício Construa uma árvore AVL inserindo os seguintes elementos (por esta ordem): 63, 9, 9, 27, 8, 8, 99 e 8 Desenhe a árvore equilibrada resultante, e escreva o resultado de uma travessia pre-order sobre essa árvore. 7 IAED, 24/25

66 Exercício 63, 9, 9, 27, 8, 8, 99 e RotL(9) + RotR(63) à <-RotR IAED, 24/25

67 Exercício Balance factors Travessia pre-order: 9, 9, 8, 63, 27, 99, 8, 8 72 IAED, 24/25

68 Exercício Balance factors Vamos agora remover o elemento 8!! 73 IAED, 24/25

69 Exercício nó desequilibrado! Vamos agora remover o elemento 8!! 74 IAED, 24/25

70 Exercício nó desequilibrado! O que fazer? 75 IAED, 24/25

71 Exercício nó desequilibrado! O que fazer? Rodar o elemento desequilibrado para a esquerda IAED, 24/25

72 Exercício Já está! 77 IAED, 24/25

73 ADTs + AVLs: Alterações ao código anterior ST.h #ifndef _ST_ #define _ST_ #include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include "Item.h" typedef struct STnode* link; void STinit(link*); int STcount(link); Item STsearch(link,Key); void STinsert(link*,Item); void STdelete(link*,Key); void STsort(link,void (*visit)(item)); void STfree(link*); 78 #endif IAED, 24/25

74 ST.c (alterações a verde) #include "ST.h Height vai guardando a altura do nó struct STnode { Item item; link l, r; int height}; link NEW(Item item, link l, link r) { link x = (link)malloc(sizeof(struct STnode)); x->item = item; x->l = l; x->r = r; x->height=; return x; } int height(link h){ 79 } if (h == NULL) return ; return h->height; IAED, 24/25

75 ST.c (alterações a verde) link rotl(link h) { int height_left, height_right; link x = h->r; h->r = x->l; x->l = h; Actualizar a altura dos nós envolvidos height_left = height(h->l); height_right = height(h->r); h->height = height_left > height_right? height_left + : height_right + ; height_left = height(x->l); height_right = height(x->r); x->height = height_left > height_right? height_left + : height_right + ; 8 } return x; IAED, 24/25

76 ST.c (alterações a verde) link rotr(link h) { int height_left, height_right; link x = h->l; h->l = x->r; x->r = h; Actualizar a altura dos nós envolvidos height_left = height(h->l); height_right = height(h->r); h->height = height_left > height_right? height_left + : height_right + ; height_left = height(x->l); height_right = height(x->r); x->height = height_left > height_right? height_left + : height_right + ; 8 } return x; IAED, 24/25

77 ST.c (alterações a verde) link rotlr(link h) /*rotação dupla esquerda direita*/ { } if (h==null) return h; h->l = rotl(h->l); return rotr(h); link rotrl(link h) /*rotação dupla direita esquerda*/ { } if (h==null) return h; h->r = rotr(h->r); return rotl(h); int Balance(link h) {/*Balance factor*/ if(h == NULL) return ; return height(h->l) - height(h->r); 82 } IAED, 24/25

78 ST.c (alterações a verde) link AVLbalance(link h) { int balancefactor; if (h==null) return h; 83 } balancefactor= Balance(h); if(balancefactor>) { if (Balance(h->l)>) h=rotr(h); else h=rotlr(h); } else if(balancefactor<-){ if (Balance(h->r)<) h = rotl(h); else h = rotrl(h); } else{ int height_left = height(h->l); int height_right = height(h->r); h->height = height_left > height_right? height_left + : height_right + ; } return h; IAED, 24/25

79 ST.c (alterações a verde) link insertr(link h, Item item) { if (h == NULL) return NEW(item, NULL, NULL); if (less(key(item), key(h->item))) h->l = insertr(h->l, item); else h->r = insertr(h->r, item); h = AVLbalance(h); return h; } 84 IAED, 24/25

80 ST.c (alterações a verde) link deleter(link h, Key k) { if (h == NULL) return h; else if (less(k, key(h->item))) h->l = deleter(h->l,k); 85 } else if (less(key(h->item), k)) h->r = deleter(h->r,k) ; else{ if (h->l!=null && h->r!=null){ link aux = max(h->l); {Item x; x = h->item; h->item = aux->item; aux->item = x;} h->l = deleter(h->l, key(aux->item)); } else { link aux = h; if (h->l == NULL && h->r == NULL) h=null; else if (h->l == NULL) h = h->r; else h = h->l; deleteitem(aux->item); free(aux); } } h = AVLbalance(h); return h; IAED, 24/25