Problemas com ABP Desbalanceamento progressivo

Transcrição

1 Árvores Binárias de Pesquisa Árvores Balanceadas Aresentam uma relação de ordem A ordem é definida ela chave Oerações: inserir consultar 5 excluir Problemas com ABP Exemlo: Problemas com ABP Desbalanceamento rogressivo : 1, 5, 15, 2, 25, 3, 35 : 1, 13, 24,, 56 Exemlo: inserção: 1, 13, 24,, Alternativa de solução: Árvores balanceadas AVL 56

2 Balanceamento de Árvores Distribuição equilibrada dos nós otimizar as oerações de consulta diminuir o número médio de comarações Distribuição uniforme não uniforme chaves mais solicitadas mais erto da raiz Por Freqüência Por freqüência de acesso Pressuõe distribuição não uniforme de acessos 5 5% 12% % 4% 6 9 5% Balanceamento or distribuição de acessos! 55 4% Árvores balanceadas or ALTURA Uma árvore binária é comletamente balanceada se a distância média dos nodos até a raiz for mínima Por Freqüência X Por Altura 5 5% 8 5% 12% % 5% 5 6 4% 4% 6 9 5% 4% 4 4% % 55 4%

3 Balanceamento or ALTURA 22 Árvores AVL Adelson-Velskii e Landis (1962) Árvore não comletamente balanceada Uma árvore AVL é uma árvore binária de esquisa (ABP) construída de tal modo que a altura de sua subárvore direita difere da altura da subárvore esquerda de no máximo 1. 1 Árvores AVL árvores FATOR(1) são chamadas Árvores AVL AVL AVL Adelson-Velskii e Landis (1962) Árvores balanceadas or altura HB(k)-Tree Height-Balanced k -Tree árvore binária ara qualquer nodo, as alturas de suas duas subárvores não diferem de mais do que k unidades cada uma das subárvores do nodo aresenta a roriedade FATOR(k) D B E A C G H AVL I J

4 Árvores balanceadas or altura HB(k)-Tree Height-Balanced k -Tree árvore binária ara qualquer nodo, as alturas de suas duas subárvores não diferem de mais do que k unidades cada uma das subárvores do nodo aresenta a roriedade FATOR(k) Ex: verificar se a árvore ao lado é FATOR(1) Não FATOR(2) Não FATOR(3) Sim -2 B D E A G H I J +3 C Árvores AVL Adelson-Velskii e Landis (1962) árvores FATOR(1) são chamadas Árvores AVL Uma árvore AVL é uma árvore binária de esquisa (ABP) construída de tal modo que a altura de sua subárvore direita difere da altura da subárvore esquerda de no máximo 1. 1 Exercício: cio: Exercício: cio: Resosta Verifique quais das ABP são AVL: Verifique quais das ABP são AVL: AVL Não AVL

5 Exercício cio Verifique quais das ABP são AVL: Exercício: cio: Resosta Verifique quais das ABP são AVL: AVL Não AVL AVL: comletamente balanceada Oerações or exemlo: INSERÇÃO deve ser reservada a roriedade AVL Oerações Como manter uma árvore AVL semre balanceada aós uma inserção ou exclusão? Através de uma oeração de ROTAÇÃO Característica da oeração reservar a ordem das chaves basta uma execução da oeração de rotação ara tornar a árvore AVL novamente Reestruturar a árvore

6 Balanceamento de Árvore AVL com Simles à direita àesquerda Dula à direita àesquerda Simles DIREITA Toda vez que uma subárvore fica com um fator: ositivo e sua subárvore da esquerda também tem um fator ositivo ROTAÇÃO SIMPLES À DIREITA

7 ? Balanceamento de Árvore AVL com Simles à direita Incluir Nó é a raiz de transformação 6 6 u 4,, e T4 são subárvores (vazias ou não)

8 Ajustado! u u Simles ESQUERDA u Toda vez que uma subárvore fica com um u fator: negativo e sua subárvore da direita também tem um fator negativo rocedure rotacao_direita(var t: no); var tu: no; begin tu:= t^.esq; t^.esq:= tu^.dir; tu^.dir:= t; t^.bal:= ; t:= tu; end; ROTAÇÃO SIMPLES À ESQUERDA

9 Esquerda Esquerda Esquerda? Esquerda Esquerda Esquerda Incluir

10 Esquerda Ajustado! Esquerda z Esquerda z Esquerda 9 Esquerda z Esquerda z Dula DIREITA Toda vez que uma subárvore fica com um fator: ositivo e sua subárvore da esquerda tem um fator negativo ROTAÇÃO DUPLA À DIREITA rocedure rotacao_esquerda(var t: no); var tu: no; begin tu:= t^.dir; t^.dir:= tu^.esq; tu^.esq:= t; t^.bal:= ; t:= tu; end;

11 Dula Dula Dula? Dula Dula u T4 Esquerda u v T DIREITA v 1 ESQUERDA u v T4

12 Dula Dula u v T4 Dula u v T4 rocedure rotacao_esquerda_direita (var t: no); var tu, tv: no; begin tu:= t^.esq; tv:= tu^.dir; tu^.dir:= tv^.esq; tv^.esq:= tu; t^.esq:= tv^.dir; tv^.dir:= t; if tv^.bal = then t^.bal:= 1 else t^.bal:= ; if tv^.bal = 1 then tu^.bal:= ; else tu^.bal:= ; t:= tv; end; Dula Dula Dula PASSO 1 Esquerda Incluir

13 Dula Dula PASSO 2 Dula ESQUERDA Toda vez que uma subárvore fica com um fator: negativo e sua subárvore da direita tem um fator ositivo 6 ROTAÇÃO DUPLA À ESQUERDA Dula Esquerda Dula Esquerda Dula Esquerda?

14 Dula Esquerda Dula Esquerda Dula Esquerda DIREITA 12 2 ESQUERDA Dula Esquerda Dula Esquerda y z T4 ROTAÇÃO DIREITA y z z Dula Esquerda y z y y T4 T4 z ROTAÇÃO ESQUERDA T4

15 Dula Esquerda rocedure rotacao_direita_esquerda (var t: no); var tu, tv: no; begin tu:= t^.dir; tv:= tu^.esq; tu^.esq:= tv^.dir; tv^.dir:= tu; t^.dir:= tv^.esq; tv^.esq:= t; if tv^.bal = 1 then t^.bal:= else t^.bal:= ; if tv^.bal = then tu^.bal:= 1; else tu^.bal:= ; t:= tv; end; Exemlos de Re-estruturar a árvore fazendo a rotação a artir do nó a esquerda, imediato a raiz. Reetir o rocedimento até que a árvore fique balanceada não recisa ser AVL Exemlos de (Esquerda e ) Considere a árvore abaixo, no qual 12 está entre 9 e 15. Fazendo a rotação direita em 9, onde ficará 12? Terminada a rotação a direita, tente agora a rotação a esquerda em 15. Exemlos de (dentro da árvore) Considere a árvore abaixo: Execute a rotação em 15. O que acontece com o nó (que é ai de 15)? Execute agora a oeração oosta em. O que acontece com 15 (que é ai de )?

16 Mostre que a árvore abaixo ode ser comletamente balanceada usando rotações a direita e a esquerda. Vamos ver quem consegue estruturar a árvore com o caminho mais curto da raiz até as folhas (altura da árvore)? Dica: uma abordagem é fazer o balanceamento sobre a raiz e recursivamente nas suas subárvores. 82 Exemlos de 5 12 htt:// de Árvores AVL de Árvores AVL Excluir 5 Inserir 14 14

17 AVL Adelson-Velskii e Landis (1962) árvores FATOR(1) são chamadas Árvores AVL Uma árvore AVL é uma árvore binária de esquisa (ABP) construída de tal modo que a altura de sua subárvore direita difere da altura da subárvore esquerda de no máximo 1. 1 FATOR (1) [,1] AVL - Rotações Simles à direita raiz fator ositivo subárvore fator ositivo àesquerda raiz fator negativo subárvore fator negativo Dula à direita raiz fator ositivo subárvore fator negativo àesquerda raiz fator negativo subárvore fator ositivo Esquerda Esquerda

18 Dula Dula? Dula 12 8 ESQUERDA DIREITA Dula Esquerda Dula Esquerda Dula Esquerda? DIREITA 12 2 ESQUERDA

19 Exercícios cios Inserir em AVL, refazendo a árvore quando tiver rotação e anotando as rotações realizadas: 5, 4, 3, 45, 47, 55, 56, 1, 2, 3 Alguns Problemas Percorre-se a árvore verificando se a chave já existe ou não Em caso ositivo, encerra a tentativa de inserção Caso contrário, a busca encontra o local correto de inserção do novo nó Verifica-se se a inclusão tornará a árvore desbalanceada Em caso negativo, o rocesso termina Caso contrário, deve-se efetuar o balanceamento da árvore Descobre-se qual a oeração de rotação a ser executada Executa-se a rotação Como saber se a árvore está balanceada? Verificando se existe um nó desregulado Como saber se um nó está desregulado? Determina-se as alturas de suas sub-árvores e subtrai-se uma da outra Procedimento muito lento! Como ser mais eficiente? Para cada nó v de uma árvore, armazena-se uma variável balanço, onde balanço(v) = altura(v.esq)- altura(v.dir) Alguns roblemas... Que valores são ossíveis ara balanço?,, 1 De novo, como ser eficiente no cálculo do balanço? Dado q, como o nodo inserido. Se q ertencer à sub-árvore esquerda de v e essa inclusão resultar em aumento na altura da sub-árvore, então balanço(v) := balanço(v) + 1 Se balanço(v) = 2, então v está desregulado Se q ertencer à sub-árvore direita de v e essa inclusão resultar em aumento na altura da sub-árvore, então balanço(v) := balanço(v) - 1 Se balanço(v) = -2, então v está desregulado

20 Alguns roblemas... Mas, quando é que a inclusão de q causa aumento na altura da sub-árvore v? Suonha que q seja incluído na sub-árvore à esquerda de v. Para q incluído na sub-árvore à direita, considerase o caso simétrico. INSERÇÃO A DIREITA Se, antes da inclusão: Balanço(v)= 1, 1 então Balanço(v) se tornará altura da árvore não foi alterada Por consequência, altura dos outros nós no caminho até a raiz, não se altera também. Balanço(v)=, então Balanço(v) se tornará altura da árvore foi modificada Por consequência, altura dos outros nós no caminho até a raiz, ode ter sido alterada também. Reetir o rocesso (recursivamente), com v substituído or seu ai. Balanço(v)=, então Balanço(v) se tornará -2 altura da árvore foi modificada e o nó está desregulado correta deve ser emregada. Como a árvore será redesenhada, não é necessário verificar os outros nós. INSERÇÃO A DIREITA INSERÇÃO A DIREITA

21 INSERÇÃO A DIREITA INSERÇÃO A ESQUERDA Se, antes da inclusão: Balanço(v)= - 1, então Balanço(v) se tornará altura da árvore não foi alterada Por consequência, altura dos outros nós no caminho até a raiz, não se altera também. Balanço(v)=, então Balanço(v) se tornará 1 altura da árvore foi modificada Por consequência, altura dos outros nós no caminho até a raiz, ode ter sido alterada também. Reetir o rocesso (recursivamente), com v substituído or seu ai. Balanço(v)= 1, 1 então Balanço(v) se tornará 2 altura da árvore foi modificada e o nó está desregulado correta deve ser emregada. Como a árvore será redesenhada, não é necessário verificar os outros nós. INSERÇÃO A ESQUERDA INSERÇÃO A ESQUERDA

22 INSERÇÃO A ESQUERDA Proc InsereAVL (var a:arvore; x:info; ok:lógico); { Insere nodo em uma árvore AVL, onde A reresenta a raiz da árvore, x, a chave a ser inserida e h a altura da árvore } se a = nil então início InicioNo(a,x); ok:=verdadeiro fim; senão se x = a^.info então are se x < a^.chave então início InsereAVL(a^.esq,x,ok); se ok então caso a^.bal seja 1: a^.bal := ; ok := falso; : a^.bal := ; : Caso1(a,ok); fim; senão início InsereAVL(a^.dir,x,ok); se ok então caso a^.bal seja : a^.bal := ; ok := falso; : a^.bal := 1 1: Caso2(a,ok); fim; fim; Proc InícioNo (var a:arvore, x:info); { Aloca o novo nodo } início aloca(a); a^.esq := nil; a^.dir := nil; a^.chave := x; a^.bal := ; fim; Proc Caso1 (var a:arvore, ok:lógico); { Faz balanceamento da árvore} início tu = a^.esq; se tu^.bal = então início a^.esq := tu^.dir; tu^.dir := a; a^.bal := ; a := tu; fim; senão início tv := tu^.dir; tu^.dir := tv^.esq; tv^.esq := tu; a^.esq := tv^.dir; tv^.dir := a; se tv^.bal = então a^.bal := 1; senão a^.bal := ; se tv^.bal = 1 então tu^.bal := ; senão tu^.bal := ; a := tv; fim; a^.bal := ; ok := falso; fim;

23 Proc Caso2 (var a:arvore, ok:lógico); { Faz balanceamento da árvore} início tu = a^.dir; se tu^.bal = 1 então início a^.dir := tu^.esq; tu^.esq := a; a^.bal := ; a := tu; fim; senão início tv := tu^.esq; tu^.esq := tv^.dir; tv^.dir := tu; a^.dir := tv^.esq; tv^.esq := a; se tv^.bal = 1 então a^.bal := ; senão a^.bal := ; se tv^.bal = então tu^.bal := 1; senão tu^.bal := ; a := tv; fim; a^.bal := ; ok := falso; fim; Remoção Caso arecido com as inclusões. No entanto, nem semre se consegue solucionar com uma única rotação... htt://webages.ull.es/users/jriera/docencia/avl/a VL%2tree%2alet.htm