Aula 13 Árvores Adelson-Velskii e Landis

Transcrição

1 Algoritmos e Estruturas de Dados I Aula 13 Árvores Adelson-Velskii e Landis Prof. Jesús P. Mena-Chalco jesus.mena@ufabc.edu.br Q

2 AVL G.M. Adelson-Velskii y E.M. Landis An algorithm for the organization of information. Proceedings of the USSR Academy of Sciences, vol. 146, pp , 1962 AVL foi a primeira estrutura (conhecida) de árvore de altura balanceada/equilibrada. 2

3 AVL Georgy M. Adelson-Velsky Russia Evgenii Mikhailovich Landis Ucrania ( /abril/26) ( ) 3

4 Árvores AVL Uma árvore AVL é definida como: Uma árvore vazia é uma árvore AVL. Sendo T uma ABB, com subárvores esquerda (L) e direita (R), T será uma árvore AVL contanto que: L e R são árvores AVL A definição de uma ABB de altura equilibrada (AVL) requer que cada subárvore seja também de altura equilibrada. 4

5 Fator de balanceamento O fator de balanceamento/equilibrio de um nó T em uma ABB é definido como: Para qualquer nó T em uma árvore AVL, o fator de balanceamento assume o valor: +1, 0, -1. 5

6 RR 6

7 LL 7

8 LR 8

9 LR (outro exemplo) 9

10 RL 10

11 Rotações 11

12 Rotações O processo de rebalanceamento é conduzido utilizando 4 tipos de rotações LL RR LR RL Suponha que o novo nó inserido é Y: As rotações são caracterizadas pelo ancestral A (com fator de balanceamento +2 ou -2) mais próximo do nó Y. 12

13 Rotações LL: Y inserido na subárvore esquerda da subárvore esquerda de A LR: Y inserido na subárvore direita da subárvore esquerda de A RR: Y inserido na subárvore direita da subárvore direita de A RL: Y inserido na subárvore esquerda da subárvore direita de A Seja B o filho de A no qual ocorreu a inserção de Y LL (A = +2; B = +1) LR (A = +2; B = -1) RR (A = -2; B = -1) RL (A = -2; B = +1) A B Y 13

14 Rotação LL 14

15 Rotação LL 15

16 Rotação LL 16

17 Rotação LL 17

18 Rotação LL 18

19 Rotação LL 19

20 Rotação LL 20

21 Rotação LL 21

22 Rotação RR 22

23 Rotação RR 23

24 Rotação RR 24

25 Rotação RR 25

26 Rotação RR 26

27 Rotação RR 27

28 Rotação RR 28

29 Rotação RR 29

30 Rotação LR (a) 30

31 Rotação LR (b) 31

32 Rotação LR (b) 32

33 Rotação LR (b) 33

34 Rotação LR (c) 34

35 Rotação LR (c) 35

36 Rotação LR (c) 36

37 Rotação LR 37

38 Rotação LR 38

39 Rotação LR 39

40 Rotação LR 40

41 Rotação LR 41

42 Rotação LR 42

43 Rotação LR 43

44 Rotação LR 44

45 Rotação RL (a) 45

46 Rotação RL (b) 46

47 Rotação RL (b) 47

48 Rotação RL (b) 48

49 Rotação RL (c) 49

50 Ferramenta de visualização: AVL -1*( ) 50

51 Provamos que AVL é uma árvores balanceada? 51

52 Balanceamento de árvores AVL Uma árvore AVL de altura h é balanceada se h = O(log(n)) Outra forma de pensar: Dada uma árvore AVL de altura h, qual seria o valor mínimo possivel para n? 52

53 Balanceamento de árvores AVL Uma árvore AVL de altura h é balanceada se h = O(log(n)) Outra forma de pensar: Dada uma árvore AVL de altura h, qual seria o valor mínimo possivel para n? h-2 h-1 53

54 Balanceamento de árvores AVL Seja Th uma árvore AVL com altura h e número mínimo de nós. Nesta definição h=4 T1 T2 T3 T4 54

55 Balanceamento de árvores AVL Basta calcular um limite inferior do número de nós de T h. Seja Th o número de nós de Th. 55

56 Analogia com a sequência de Fibonacci 56

57 AVL Como Temos 57

58 AVL Como AVL é uma árvore balanceada! Temos 58

59 AVL Um teorema provado por Adelson-Velskii e Landis garante que a árvore balanceada nunca será 45% mais alta que a correspondente árvore perfeitamente balanceada, independentemente do número de nós existentes. 59

60 AVL 60

61 Implementações Árvores balanceadas são muito utilizadas em problemas reais: JAVA: TreeMap, TreeSet. C++: Map, Set do STL. Custo de busca, inserção, remoção da árvore AVL: O(log n) 61

62 Considerações de avaliações empíricas Há um custo adicional para manter uma árvore balanceada, mesmo assim garantindo O(log2 n), mesmo no pior caso, para todas as operações. Em testes empíricos: Uma rotação é necessária a cada duas inserções. Uma rotação é necessária a cada cinco remoções. A remoção em árvore balanceada é tão simples (ou tão complexa) quanto a inserção. 62

63 Remoção em árvores AVL 63

64 Remoção A remoção em árvores AVL é similar à remoção em uma ABB. Todavia, é preciso verificar o balanceamento e, se necessário, aplicar algumas das rotações. 64

65 Remoção 65

66 Remoção 66

67 Remoção 67

68 Remoção 68

69 Remoção 69

70 Remoção 70

71 Remoção 71

72 Remoção 72

73 Remoção 73

74 Remoção 74

75 Remoção 75

76 Remoção 76

77 Remoção 77

78 Remoção 78

79 Sobre os slides Slides baseados em: Szwarcfiter, J.L. & Markezon, L. Estruturas de Dados e seus Algoritmos, 3a edição, LTC, Horowitz, E. & Sahni, S.; Fundamentos de Estruturas de Dados, Editora Campus, Wirth, N.; Algoritmos e Estruturas de Dados, Prentice/Hall do Brasil, Material de aula do Prof. José Augusto Baranauskas (USP/Riberão Preto) 79

80 Sobre Fibonacci 80

81 Números de Fibonacci Os números de Fibonacci foram propostos por Leonardo di Pisa (Fibonacci), em 1202, como uma solução para o problema de determinaro tamanho da população de coelhos. (*) fonte 81

82 Números de Fibonacci 82

83 Números de Fibonacci 83

84 Números de Fibonacci (*) fonte 84

85 Números de Fibonacci Os números de Fibonacci estão relacionados com a razão aurea e o i-ésimo número pode ser aproximado pela seguinte equação (formula explícita): 85

86 Golden ratio 86

87 87