Estruturas de Dados. Árvores AVL: Partes I e II. Desempenho de ABBs (Revisão)

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1 Estruturas de Dados Árvores AVL: Partes I e II Prof. Ricardo J. G. B. Campello Parte deste material é baseado em adaptações e extensões de slides disponíveis em (Goodrich & Tamassia). Desempenho de ABBs (Revisão) Mapa / Dicionário com n itens implementado com árvore de busca binária de altura h o espaço usado é O(n) implementação encadeada métodos search, insert e remove têm tempo O(h) A altura h é O(n) no pior caso: chaves inseridas em ordem crescente ou decrescente A altura h é O(log n): no melhor caso árvore completa na média inserção aleatória de itens

2 Desempenho de ABBs (Revisão) Mesmo no caso médio, é possível mostrar que, embora a altura esperada da árvore seja O(log n), existe um fator constante de aproximadamente,. Em outras palavras, mesmo no caso médio o desempenho é ainda aproximadamente 0% pior do que aquele em uma árvore completa/cheia. Em resumo: Inserção e remoção em ABBs não garantem balanceamento No pior caso, operações são O(n) No caso médio, operações são aproximadamente O(, log n) Questão: Não seria possível reorganizar uma ABB após cada inserção ou remoção de forma a mantê-la sempre completa? 3 Restabelecimento de ABBs Completas Restabelecer a completude após uma operação de modificação exige percorrer todos os nós da ABB. Logo, complexidade é, no mínimo, proporcional a n: ou seja, é Ω(n) veja exemplo ao lado Árvores AVL constituem uma alternativa muito mais eficiente para manter o balanceamento. após inserção (chave 0) e restabelecimento

3 Árvores AVL Uma árvore AVL é uma árvore binária de busca específica. Particularmente, é tal que cada nó interno v é balanceado (ou regulado) no sentido que: alturas dos filhos de v podem diferir em no máximo. 8 6 Isso implica que árvores AVL são ABBs balanceadas: AB tal que qualquer de suas sub-árvores com n nós possui altura O(log n). Exemplo de Árvore AVL: alturas mostradas ao lado dos nós e chaves no interior. 5 Busca em AVLs Exatamente igual a qualquer ABB: < 6 > = 8 9 Algoritmo search(t, k, v) se isexternal(t, v) então retorne v // chave não existe senão x elem(t, v) se k < x.key então retorne search(t, k, leftchild(t, v)) senão se k > x.key então retorne search(t, k, rightchild(t, v)) senão // k = x.key retorne v // chave encontrada! Como a árvore é balanceada, executa em tempo O(log n) no pior caso! 6 3

4 Inserção em Árvores AVL Inicialmente é como em qualquer ABB. Exemplo (inserindo item com chave 5): antes da inserção após a inserção 7 Desbalanceamento Após inserção, nós ancestrais daquele inserido (e portanto a árvore como um todo) podem se tornar desbalanceados única situação possível para um nó z ficar desbalanceado: uma das sub-árvores filhas ter altura em uma unidade maior que a outra inserção feita nessa sub-árvore de maior altura inserção ter sido tal que causou o aumento da altura dessa sub-árvore z h+ z h+ h h h h+ antes da inserção após inserção

5 Desbalanceamento Para detectar o desbalanceamento, basta verificar as alturas dos filhos de cada nó ancestral após a inserção. Controle das Alturas: É eficiente mantê-las armazenadas! Nos próprios nós (nodos) da árvore! insert(t, x); x.key = 5 5 Basta então atualizar, acima na árvore (até a raiz se necessário), as alturas dos nós ancestrais ao inserido. Para saber se a altura de um nó deve ser atualizada, basta olhar a dos dois filhos. Roda em tempo O(log n) no pior caso Detecção de Desbalanceamento Algoritmo para ajuste de alturas e detecção do o nó desbalanceado:. Faça a altura do novo nó inserido ser igual a. Suba acima na árvore verificando se é preciso ajustar a altura de cada ancestral 3. Pare ao encontrar o primeiro ancestral que não demanda ajuste de altura, ou quando encontrar a raiz, ou quando o ajuste de altura em um ancestral causar desbalanceamento no pai deste. Se um desbalanceamento for detectado, interrompa a rotina de ajuste de alturas e retorne o nó desbalanceado (z) OBS: Interrompe após a detecção do o nó desbalanceado. O re-balanceamento restabelecerá a altura da sub-árvore! insert(t, x); x.key = 5 7 z

6 Algoritmo de Inserção. Execute a rotina de inserção em uma ABB. Execute a rotina de ajuste de alturas e detecção de nó desbalanceado vista anteriormente 3. Pare se nenhum nó desbalanceado foi detectado. Caso contrário, execute o re-balanceamento da sub-árvore com raiz no nó detectado insert(t, x); x.key = 5 7 z Re-Balanceamento Sejam: w o nó inserido z o o ancestral desbalanceado de w y o ancestral de w diretamente responsável por desbalancear z filho de z com maior altura x o filho de y ancestral de w não necessariamente o pai de w filho de y com maior altura Nota: x e y são sempre os filhos com maior altura, sem empates caso contrário não teriam causado o desbalanceamento de z 7 78 y w Desbalanceamento implica que a sub-árvore com raiz em z teve sua altura original aumentada após a inserção z x 6

7 Re-Balanceamento Reestruturação: Re-balanceamento por operações de rotação. Sejam a, b, c os nós na ordem de um caminhamento inter-fixado por x, y, z.,,, são as sub-árvores que não incluem esses nós, na ordem. São possíveis sub-árvores (caminhamento, a,, b,, c, ): c = x c = y a = x a = y T 3 Re-Balanceamento A reestruturação sempre torna b a raiz com filhos a e c, e faz os filhos de a e c serem,, e, mantendo o caminhamento, a,, b,, c, e portanto a relação de ordem da árvore! c = x rotação simples c = x T a = x rotação simples a = x 7

8 Re-Balanceamento A reestruturação restabelece a altura original da sub-árvore com raiz em z, quando aumentada em devido à inserção de w (desbalanceamento), mantendo assim o balanceamento de todos os demais nós da árvore. c = y rotação dupla c = y a = y rotação dupla a = y T3 5 Exemplo 5 z y x desbalanceada... 3 x 7 6 y z balanceada

9 o. Caso de Rotação Simples. Se z é filho direito (esquerdo), então faça y ser o novo filho direito (esquerdo) do pai de z. Senão, se z é raiz, faça y ser a nova raiz. Faça o filho esquerdo de y ser o filho direito de z c = x 3. Faça z ser o filho esquerdo de y. Atualize as alturas de z, x, e y em função das alturas de,, e, que não mudam! T c = x o. Caso de Rotação Simples. Se z é filho direito (esquerdo), então faça y ser o novo filho direito (esquerdo) do pai de z. Senão, se z é raiz, faça y ser a nova raiz. Faça o filho direito de y ser o filho esquerdo de z a = x 3. Faça z ser o filho direito de y. Atualize as alturas de z, x, e y em função das alturas de,, e, que não mudam! a = x 9

10 o. Caso de Rotação Dupla. Se z é filho direito (esquerdo), então faça x ser o novo filho direito (esquerdo) do pai de z. Senão, se z é raiz, faça x ser a nova raiz. Faça o filho direito de x ser o filho esquerdo de y c = y 3. Faça y ser o filho direito de x. Faça o filho esquerdo de x ser o filho direito de z 5. Faça z ser o filho esquerdo de x 6. Atualize as alturas de z, y e x em função das alturas de,, e, que não mudam! c = y o. Caso de Rotação Dupla. Se z é filho direito (esquerdo), então faça x ser o novo filho direito (esquerdo) do pai de z. Senão, se z é raiz, faça x ser a nova raiz. Faça o filho esquerdo de x ser o filho direito de y a = y 3. Faça y ser o filho esquerdo de x. Faça o filho direito de x ser o filho esquerdo de z 5. Faça z ser o filho direito de x 6. Atualize as alturas de z, y e x em função das alturas de,, e, que não mudam! a = y 0

11 Complexidade Operação de busca (search) é O(log n): altura da árvore é O(log n) nenhuma reestruturação é necessária Operação de inserção (insert) é O(log n): busca inicial é O(log n) atualização das alturas acima na árvore é O(log n) reestruturação é O() modifica-se a relação pai-filho de um número constante de nós, através de um número constante de operações, se árvore for implementada via estrutura encadeada Exercícios. Dê um exemplo de uma AB e dois exemplos de inserção de itens nessa mesma árvore para os quais em um dos casos a inserção causa desbalanceamento e no outro caso não causa. Em ambos os casos indique as alturas de cada nó da árvore antes e depois da inserção do item. Para o caso em que ocorre o desbalanceamento: Indique quem são os nós x, y e z segundo a notação adotada. Indique qual tipo de rotação é necessária para re-balancear a AVL. Mostre quem são os nós a, b, c e as sub-árvores,, e segundo a notação adotada Apresente a árvore após a operação de rotação indicada, incluindo as alturas de cada nó.

12 Exercícios. Apresente exemplos de árvores AVL (com pelo menos 0 nós internos) desbalanceadas após uma inserção e mostre em detalhes o processo de reestruturação: Para cada exemplo, indique qual rotação é necessária e quais são os nós x, y, z, a, b, c e as sub-árvores,, e segundo a notação adotada. Apresente ao menos um exemplo para cada tipo de rotação! 3 Bibliografia M. T. Goodrich & R. Tamassia, Estruturas de Dados e Algoritmos em Java, Bookman, 00 M. T. Goodrich & R. Tamassia, Data Structures and Algorithms in C++/Java, John Wiley & Sons, 00/005 Szwarcfiter & Markenzon, Estruturas de Dados e seus Algoritmos, LTC, 99