Árvores Rubro-Negras Letícia Rodrigues Bueno

Transcrição

1 Árvores Rubro-Negras Leícia Rodrigues Bueno UFABC

2 Árvores Rubro-Negras ( Red-Black Trees ): Inrodução Objeivo: garanir que operações básicas demorem O(lg n) no pior caso.

3 Árvores Rubro-Negras ( Red-Black Trees ): Inrodução Objeivo: garanir que operações básicas demorem O(lg n) no pior caso. Árvores rubro-negras: árvores binárias de busca com um bi exra por nó para cor vermelha ou prea;

4 Árvores Rubro-Negras ( Red-Black Trees ): Inrodução Objeivo: garanir que operações básicas demorem O(lg n) no pior caso. Árvores rubro-negras: árvores binárias de busca com um bi exra por nó para cor vermelha ou prea; Alura: no máximo 2 lg(n+1) onde n é número de nós;

5 Árvores Rubro-Negras ( Red-Black Trees ): Inrodução Objeivo: garanir que operações básicas demorem O(lg n) no pior caso. Árvores rubro-negras: árvores binárias de busca com um bi exra por nó para cor vermelha ou prea; Alura: no máximo 2 lg(n+1) onde n é número de nós; Inserção e remoção execuadas em O(lg n).

6 Árvores Rubro-Negras ( Red-Black Trees ): Inrodução Objeivo: garanir que operações básicas demorem O(lg n) no pior caso. Árvores rubro-negras: árvores binárias de busca com um bi exra por nó para cor vermelha ou prea; Alura: no máximo 2 lg(n+1) onde n é número de nós; Inserção e remoção execuadas em O(lg n). Nenhum caminho é maior do que duas vezes o comprimeno de qualquer ouro caminho;

7 Comparação enre Árvores Balanceadas Arvores Balanceadas h 1 + log 2 n AVL s h 1 log Compleas 2 a log 2 (n + 1) + log a 5 h = 1 + log 2 n where a = ( ) 2 RN s 1 + log 2 n h 2log 2 (n + 1)

8 Árvores Rubro-Negras: Definição Uma árvore rubro-negra é uma ABB que obedece às propriedades:

9 Árvores Rubro-Negras: Definição Uma árvore rubro-negra é uma ABB que obedece às propriedades: 1. Todo nó exerno é preo;

10 Árvores Rubro-Negras: Definição Uma árvore rubro-negra é uma ABB que obedece às propriedades: 1. Todo nó exerno é preo; 2. Para cada nó, odos os caminhos de um nó aé as folhas conêm mesmo número de nós preos;

11 Árvores Rubro-Negras: Definição Uma árvore rubro-negra é uma ABB que obedece às propriedades: 1. Todo nó exerno é preo; 2. Para cada nó, odos os caminhos de um nó aé as folhas conêm mesmo número de nós preos; 3. Se um nó é vermelho, enão ambos filhos são preos.

12 Exemplo de Árvore Rubro-Negra

13 Árvores Rubro-Negras: Inserção Nó inserido q é rubro. Possibilidades: Caso 1: v é negro Exemplo:

14 Árvores Rubro-Negras: Inserção Nó inserido q é rubro. Possibilidades: Caso 1: v é negro Exemplo: v q

15 Árvores Rubro-Negras: Inserção Nó inserido q é rubro. Possibilidades: Caso 2: v é rubro. Enão, w (pai de v) é preo. Caso 2.1: é rubro; Aleramos a cor de v,, w Exemplo:

16 Árvores Rubro-Negras: Inserção Nó inserido q é rubro. Possibilidades: Caso 2: v é rubro. Enão, w (pai de v) é preo. Caso 2.1: é rubro; Aleramos a cor de v,, w Exemplo: w v q

17 Árvores Rubro-Negras: Inserção Nó inserido q é rubro. Possibilidades: Caso 2: v é rubro. Enão, w (pai de v) é preo. Caso 2.1: é rubro; Aleramos a cor de v,, w Exemplo: w v q

18 Roações Caso 2.2: é preo Caso 2.2.1: q é filho esquerdo de v e v é filho esquerdo de w. Alera cor de v e w. w v q z roacao direia u y

19 Roações Caso 2.2: é preo Caso 2.2.1: q é filho esquerdo de v e v é filho esquerdo de w. Alera cor de v e w. w v q z y u roacao direia w v q z y u

20 Roações Caso 2.2: é preo Caso 2.2.2: q é filho direio de v e v é filho esquerdo de w. Alera cor de q e w. w v z q roacao dupla direia u y

21 Roações Caso 2.2: é preo Caso 2.2.2: q é filho direio de v e v é filho esquerdo de w. Alera cor de q e w. w v q z q roacao dupla direia v w u y z u y

22 Roações Caso 2.2: é preo Caso 2.2.3: q é filho direio de v e v é filho direio de w. Alera cor de v e w. w v z q roacao esquerda u y

23 Roações Caso 2.2: é preo Caso 2.2.3: q é filho direio de v e v é filho direio de w. Alera cor de v e w. w v q z y u roacao esquerda q v w y u z

24 Roações Caso 2.2: é preo Caso 2.2.4: q é filho esquerdo de v e v é filho direio de w. Alera cor de q e w. w v q z roacao dupla esquerda u y

25 Roações Caso 2.2: é preo Caso 2.2.4: q é filho esquerdo de v e v é filho direio de w. Alera cor de q e w. w v q q z roacao dupla esquerda w v u y u y z

26 Árvores Rubro-Negras: algorimo para inserção 1 InsereRN(x, pv, pw, pr, a): 2 se pv = exerno enão 3 ocupar(pv) 4 pv.esq pv.dir exerno 5 pv.chave x; pv.cor R 6 se praiz = exerno enão 7 pv.cor N; praiz pv 8 senão se x < pw.chave enão 9 pw.esq pv 10 senão pw.dir pv 11 senão se x pv.chave enão 12 se x < pv.chave enão pq pv.esq 13 senão pq pv.dir 14 InsereRN(x, pq, pv, pw, a) 15 se a = 1 enão roa(pq, pv, pw, pr, a) 16 senão se a = 0 enão a = 1 17 senão Inserção Inválida

27 Comparação: árvores AVL e rubro-negras

28 Comparação: árvores AVL e rubro-negras 1. Árvores AVL:

29 Comparação: árvores AVL e rubro-negras 1. Árvores AVL: 1.1 primeira árvore binária de busca com balanceameno proposa por Adel son-vel skii e Landis em 1962;

30 Comparação: árvores AVL e rubro-negras 1. Árvores AVL: 1.1 primeira árvore binária de busca com balanceameno proposa por Adel son-vel skii e Landis em 1962; 1.2 alura: enre log 2 (n+1) e log 2 (n+2) 0.328, porano, O(log n);

31 Comparação: árvores AVL e rubro-negras 1. Árvores AVL: 1.1 primeira árvore binária de busca com balanceameno proposa por Adel son-vel skii e Landis em 1962; 1.2 alura: enre log 2 (n+1) e log 2 (n+2) 0.328, porano, O(log n); 2. Árvores rubro-negras:

32 Comparação: árvores AVL e rubro-negras 1. Árvores AVL: 1.1 primeira árvore binária de busca com balanceameno proposa por Adel son-vel skii e Landis em 1962; 1.2 alura: enre log 2 (n+1) e log 2 (n+2) 0.328, porano, O(log n); 2. Árvores rubro-negras: 2.1 proposa por Guibas e Sedgewick em 1978;

33 Comparação: árvores AVL e rubro-negras 1. Árvores AVL: 1.1 primeira árvore binária de busca com balanceameno proposa por Adel son-vel skii e Landis em 1962; 1.2 alura: enre log 2 (n+1) e log 2 (n+2) 0.328, porano, O(log n); 2. Árvores rubro-negras: 2.1 proposa por Guibas e Sedgewick em 1978; 2.2 alura: 2 log 2 (n + 1), porano, O(log n);

34 Comparação: árvores AVL e rubro-negras 1. Árvores AVL: 1.1 primeira árvore binária de busca com balanceameno proposa por Adel son-vel skii e Landis em 1962; 1.2 alura: enre log 2 (n+1) e log 2 (n+2) 0.328, porano, O(log n); 2. Árvores rubro-negras: 2.1 proposa por Guibas e Sedgewick em 1978; 2.2 alura: 2 log 2 (n + 1), porano, O(log n); Comparação: árvores AVL são mais rigidamene balanceadas que árvores rubro-negras, levando a inserção e remoção mais lenas, porém recuperação (busca) mais rápida;

35 Exercícios 1. Prove ou dê conra-exemplo: 1.1 Toda árvore complea é AVL. 1.2 Toda árvore AVL é complea. 1.3 Toda árvore AVL é rubro-negra. 1.4 Toda árvore rubro-negra é AVL. 1.5 Toda árvore complea é rubro-negra. 1.6 Toda árvore rubro-negra é complea.

36 Exercícios 2. Mosre que o caminho mais longo a parir de um nó x em uma árvore rubro-negra aé uma folha descendene em comprimeno no máximo de duas vezes o comprimeno do caminho mais curo a parir do nó x aé uma folha descendene.

37 Exercícios 2. Mosre que o caminho mais longo a parir de um nó x em uma árvore rubro-negra aé uma folha descendene em comprimeno no máximo de duas vezes o comprimeno do caminho mais curo a parir do nó x aé uma folha descendene. 3. Dê um exemplo de inserção em árvore rubro-negra cuja recoloração dos nós se propaga aé a raiz.

38 Exercícios 2. Mosre que o caminho mais longo a parir de um nó x em uma árvore rubro-negra aé uma folha descendene em comprimeno no máximo de duas vezes o comprimeno do caminho mais curo a parir do nó x aé uma folha descendene. 3. Dê um exemplo de inserção em árvore rubro-negra cuja recoloração dos nós se propaga aé a raiz. 4. Escreva o procedimeno de remoção de um nó em árvores rubro-negras.

39 Exercícios 2. Mosre que o caminho mais longo a parir de um nó x em uma árvore rubro-negra aé uma folha descendene em comprimeno no máximo de duas vezes o comprimeno do caminho mais curo a parir do nó x aé uma folha descendene. 3. Dê um exemplo de inserção em árvore rubro-negra cuja recoloração dos nós se propaga aé a raiz. 4. Escreva o procedimeno de remoção de um nó em árvores rubro-negras. 5. Prove ou dê conra-exemplo: seja uma árvore rubro-negra cuja raiz possui a cor rubra. Se esa for alerada para negra, a árvore maném-se rubro-negra.

40 Bibliografia Uilizada SZWARCFITER, J. L. e MARKENZON, L. Esruuras de Dados e seus Algorimos, LTC, 1994.