PROJETO ÓTIMO DE PÓRTICOS PLANOS USANDO ALGORITMO GENÉTICO

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1 PROJTO ÓTIMO D PÓRTICOS PLANOS USANDO ALGORITMO GNÉTICO Anderson Pereira Deparameno de ngenharia de Civil Poniícia Universidade Caólica do Rio de Janeiro Rua Marquês de São Vicene 5/301L, Gávea CP , Rio de Janeiro, RJ, Brasil anderson@civ.puc-rio.br Palavras-Chave: Algorimo Genéico, Projeo Óimo, NBR 8800, Póricos Planos, sruuras Meálicas. Summar. The objecive o his work is o develop and implemen a mehodolog or he opimal design o plane rames. The search or he opimal design will be made using geneic algorihms (GA) as an auomaed design ool. The use he Templae Numerical Algorihms Librar (TNA) due o is ease o use, and he various mehods implemened in order o increase he eicienc, reliabili and accurac o he GA. The NBR-8800-design and execuion o seel srucures in buildings is used o illusrae he design mehodolog. Will be considered he opimizaion o dimensions o srucures subjeced o saic loads. The deerminaion o displacemens and he acive eors are made hrough a linear elasic Resumo. O objeivo dese rabalho é desenvolver e implemenar uma meodologia para o projeo óimo de póricos planos. A busca pelo projeo óimo será eia usando Algorimos Genéicos (GA) como uma erramena de projeo auomaizada. É uilizada a biblioeca Templae Numerical Algorihms (TNA) devido a sua acilidade de uso, bem como as várias meodologias implemenadas de maneira a aumenar a eiciência, coniança e precisão do GA. A norma NBR-8800 projeo e execução de esruuras de aço em ediícios é usada para ilusrar a meodologia de projeo. Será considerada a oimização de dimensões de esruuras sujeias a cargas esáicas. A deerminação dos deslocamenos bem como os esorços auanes são eios aravés de uma análise linear elásica. 1

2 1 INTRODUÇÃO O projeo de esruuras de aço envolve reqüenemene um processo de oimização no qual o projeo evolui de uma coniguração inicial a uma inal. O objeivo do projeo óimo de esruuras de aço é minimizar o cuso saisazendo criérios de desempenho e consrução. Tradicionalmene, o problema de projeo é resolvido por enaiva e erro, diado por especiicações de projeo e guiado pela experiência e inuição do projeisa. Porém, pesquisas são coninuamene eias de orma a desenvolver erramenas de projeo auomaizadas para ajudar os engenheiros no, muias vezes laborioso, processo de projeo. Durane a úlima década, a inovação desas erramenas de projeo se impulsionou com o adveno de processadores de micro compuadores com ala perormance. O objeivo dese rabalho é desenvolver e implemenar uma meodologia de oimização para o projeo de póricos planos meálicos. O projeo é limiado a esruuras com opologia, carregameno e propriedades dos maeriais conhecidos. As dimensões dos elemenos serão selecionadas de um banco de dados disponível. O algorimo avaliará combinações de peris aravés de uma análise linear. m conclusão, o algorimo gerará uma esruura de aço oimizada para condições de carregameno e opologia prescrias, saisazendo os criérios de projeo. m revisão das écnicas de oimização disponíveis na lieraura para variáveis discreas, o GA oi selecionado de orma a guiar a busca pelo espaço de solução de projeo disponíveis e chegar a uma esruura evoluída. MÉTODO D ANÁLIS FORMULAÇÃO DO PROBLMA D OTIMIZAÇÃO A Norma brasileira de projeo e execução de esruuras de aço em ediícios (Méodos dos sados Limies) NBR8800 é usada para deinir as resrições do problema. quações básicas das resrições Φ i : RSISTÊNCIA AO MOMNTO FLTOR - M rd Msd φ 1 = 1, 0 M rd onde : M sd = momeno leor soliciane M rd = φ b M n = resisências de cálculo ao momeno leor Resisência de cálculo ao momeno leor de vigas não esbelas é "φ b M n " onde φ b = 0,90 e "M n " é a resisência nominal calculada como o menor dos rês valores obidos, considerando os esados limies: lambagem local da alma (FLA), lambagem local da mesa comprimida (FLM) e lambagem laeral com orção (FLT):

3 a) M n = M pl, para p ; p b) M n = M p (M pl M r ), para p < r l ; r p c) M n = M cr, para > r (não aplicável a FLA) Onde : = Tipo de seção e eixo de lexão Peris "I" e "H" com dois eixos de simeria ou com um eixo de simeria no plano médio da alma. h w sados limies aplicáveis FLT FLM Momeno leor limie de lambagem elásica (M r ) ( r ) W c ou W (o que or menor) ( r ) W c ou W (o que or menor) Momeno leor de lambagem elásica (M cr ) Ver noa (a) FLA W - Parâmeros de esbelez () L b 1 b c 0,67 Wc "b/" h w 1,50 0,38 3,50 p r Valor de para o qual M cr = M r Noas: B (a) 1Cb Lb M cr = 1± 1+ B L r b r Para peris "I" o sinal (+) se aplica quando B x or posiivo e o sinal (-) quando B x or negaivo. Para peris "T" o sinal (+) se aplica quando a mesa or comprimida, e o sinal (-) quando or racionada. π ABx B1 = 4GIT 4Cw B = + π ABx LbBxA Para peris "I": 1 w 4 4 B x = 0 + h ( I + A h ) h c ( Ic + A ch c ) + ( h h c ) I 4 x 0,8 5,60 W c RSISTÊNCIA A TRAÇÃO COMPRSSÃO - N rd 3

4 Nsd φ = 1, 0 N rd onde : N sd = orça normal de ração soliciane N rd = φ N n = resisências de cálculo a orça normal de ração A resisência de cálculo φ N n a ser usada no dimensionameno de peças racionadas é obida de acordo com o esado limie de escoameno da seção brua onde φ = 0,90 e a resisencia nominal é N n = A g. Nsd φ 3 = 1, 0 N rd onde : N sd = orça normal de compressão soliciane N rd = φ N n = resisências de cálculo a orça normal de compressão No caso de barras axialmene comprimidas sujeias a lambagem por lexão a resisência de cálculo de é dada por φ c N n onde φ c = 0,90 e a resisência nominal N n é igual a: N n = ρqn = ρqa g Valores aproximados de ρ são dados pelas órmulas a seguir e valores mais precisos esão indicados na Tabela 4 e na Figura 4 ρ = 1,00 ρ = β 1 β = β 1 1+ α 1 Kl Q =.. π r 0,04 + para 0 < 0,0 para > 0,0 K = parâmero de lambagem l = comprimeno real, não conravenado. O comprimeno não conravenado pode variar para dierenes eixos de reerência da seção ransversal da barra comprimida (l x l ). m ediícios de andares múliplos, o comprimeno não conravenado de pilares é igual à disância enre os eixos das vigas de dois pavimenos sucessivos. No andar érreo ou em ediícios de 4

5 um andar, esse comprimeno deve ser medido a parir do opo da undação, quando esa or rígida r = raio de giração da seção ransversal brua, relaivo ao eixo em orno do qual se dá a lambagem Os valores de α variam de acordo com os ipos de seção e eixos de lambagem, de acordo com a Tabela abaixo: Peris I ou H laminados Seção ransversal d/b > 1, 40mm Flambagem em orno do eixo x x Curva de lambagem (A) a b (a) d/b 1, 40mm x x b (a) c (b) > 40mm x x d d Noas: a) As curvas de lambagem indicadas enre parêneses podem ser adoadas para aços de ala resisência, com > 430MPa. α = 0,158 para a curva a α = 0,81 para a curva b α = 0,384 para a curva c α = 0,57 para a curva d Q = 1,0 para seções cujos elemenos em relações b/ iguais ou ineriores às dadas na Tabela 1 (NBR) para seções classe 3, soliciadas por orça normal. Não se cumprindo esa condição em-se Q < 1,0 calculado da seguine orma: Q = Q s x Q a Q s e Q a são coeicienes que levam em cona a lambagem local de elemenos não enrijecidos e enrijecidos, respecivamene, deinidos a seguir. Os valores de Q s a serem usados são os seguines: 5

6 Q s = 1,34 0,76 b, para 0,55 b < 1,0 0,67 b Q s =, para > 1,0 b Onde: "b" e "" são a largura e a espessura do elemeno, de acordo com a igura abaixo: Figura 1: "b" e "" na deerminação de Q s. Os valores de Q a oram considerados iguais a 1. O parâmero de lambagem K, que deermina o comprimeno eeivo da lambagem da barra oi deerminado segundo as recomendações de 4.9. e dos anexos H e I da NBR As órmulas abaixo são aplicáveis aos casos onde são conhecidos os valores de "I/L" de vigas adjacenes, rigidamene ligadas aos pilares, e são baseados na hipóese de que odos os pilares da esruura considerada são conínuos e esão simulaneamene carregados com sua carga críica de lambagem. Nas esruuras comuns de ediícios, nem odos os pilares esarão soliciados por cargas proporcionais àquelas que provocam a lambagem simulânea de odos eles; porano, esa hipóese esá a avor da segurança. sruuras indeslocáveis G G 4 π K G A + G + π π g 1 K + K π π g K K A B B = sruuras deslocáveis 1 6

7 π G AG B 36 π K = K 6(G A + G B) π g K Ic Lc G = Ig α L g Noas: a) Os índices A e B reerem-se às exremidades A e B da barra. b) Na órmula de "G", "Σ" indica o somaório das relações "I/L" de odas as barras rigidamene ligadas ao nó, siuadas no plano em que esá sendo considerada a lambagem do pilar. "I c " é o momeno de inércia "L c " o comprimeno de um segmeno do pilar. "I g " é o momeno de inércia e "L g " o vão de uma viga ligada rigidamene ao nó. "I c " e "I g " são calculados em relação aos eixos perpendiculares ao plano de lambagem que esá sendo considerado. c) Para esruuras indeslocáveis, a rigidez I g /L g de uma viga poderá ser muliplicada pelos seguines aores α: α = 1,5 quando a oura exremidade da viga or roulada; α =,0 quando a oura exremidade da viga or impedida de girar (iso é, rigidamene ligada a um supore relaivamene rígido). d) Para esruuras deslocáveis, muliplicar a rigidez I g /L g da viga por α = 0,50 quando sua oura exremidade or roulada, e por α = 0,67 quando sua oura exremidade or engasada. Para exremidade de pilares apoiados em bases, porém, não rigidamene ligados a ais bases, "G" é eoricamene igual a, mas, a menos que se execue uma róula real, pode ser omado igual a 10 nos casos práicos. Se a exremidade do pilar esiver rigidamene ligada a uma base dimensionada de modo adequado, "G" pode ser omado igual a 1,0. Poderão ser usados valores ineriores a 1,0 desde que jusiicados por análise. RSISTÊNCIA AO CISALHAMNTO - V rd Vsd φ 4 = 1, 0 Vrd onde : V sd = orça corane soliciane V rd = φ v V n = resisências de cálculo a orça corane 7

8 A resisência de cálculo de almas à orça corane, de peris I, H em relação ao eixo perpendicular à alma, é φ v V n, onde φ v = 0,90 e a resisência nominal V n é deerminada como a seguir: para p para p < r para > r V n = V p l p V n = V V n p 1,8 = V pl pl Onde: = p r h w = 1,08 = 1,40 k = 4 + ( a h) k = 5,34 + k k 5,34 4 ( a h), para a, para a h < 1 h 1(k = 5,34 para a h > 3) V pl = 0,6A w (para análise elásica) V pl = 0,55A w (para análise plásica) a = disância enre enrijecedores ransversais h = alura livre da alma enre mesas = espessura da alma w FLXO-TRAÇÃO Para os eeios combinados de momenos leores e orça normal de ração emos: Nsd M sd φ 5 = + 1, 0 N M rd FLXO-COMPRSSÃO rd 8

9 Para os eeios combinados de momenos leores e orça normal de compressão: Nsd CmMsd φ 6 = + 1 N rd N sd 1 M rd 0,73N e Onde: C m = coeiciene correspondene à lexão, C m = 0,85 para barras de esruuras deslocáveis, π I N e = cargas de lambagem elásica por lexão = Ne =, (Kl).1 Formulação do Problema de Oimização As considerações mais imporanes para projeo de póricos de aço são segurança, cuso, e monagem. Na maioria dos casos, cuso é relacionado direamene ao peso da esruura; porém, ouros aores inclusive prazos inais de enrega, abricação, acessibilidade ao local da consrução e disponibilidade de maerial podem inluenciar a economia do projeo. A segurança do projeo dada pelos criérios de serviço.. Função Objeivo A objeivo é minimizar o cuso de projeo de aço que geralmene é relacionado direamene a seu peso. não, a unção objeivo é escria como a soma dos pesos das colunas e vigas, dadas pela expressão seguine W N = elem k L k A k ρ k onde ρ k é a densidade do maerial do elemeno, A k a área do elemeno e L k a área do elemeno. 9

10 3 ALGORITMO GNÉTICO UTILIZADO O algorimo genéico é um procedimeno de busca direa baseado na eoria de sobrevivência de Darwin. Caracerísicas que disinguem o GA de écnicas de convencionais de programação maemáica (Goldberg 1989): a.) O GA não opera direamene com as variáveis de projeo, mas com uma codiicação das variáveis de desígnio (represenações ipicamene binárias). b.) O GA só requer avaliação da unção objeivo e não requer gradienes da unção objeivo ou das resrições. c.) O GA avalia a unção objeivo para vários projeos selecionados randomicamene em lugar de passos consecuivos de um pono para o próximo baseado na inormação do gradiene (i.e. escalada da colina). O GA simula as regras de evolução genéica naural aplicando seleção, avaliação, crossover, e de muação sisemaicamene. Uma população de indivíduos é gerada e a caracerísica genéica de cada indivíduo é consruída codiicando suas variáveis de projeo (ou genes) em uma única represenação chamada de cromossomo. A biblioeca Templae Numerical Algorihms (TNA), desenvolvida pelo Núcleo de Pesquisa em Ineligência Compuacional Aplicada (ICA), vem sendo aplicada com sucesso na solução de diversos problemas. la cona com 3.1 Módulo de avaliação Algoriimos genéicos e evolucionários requerem que o problema de oimização seja ormulado com não resringido. Desa orma, o peso compuado em 3.1 é penalizado para releir as violações das resrições do problema. A unção objeivo não resringida ou avaliação é expressa pelo produo do peso: = W Φ máx. PN onde W é o peso da esruura, PN é um aor de penalização e Φ é a máxima penalidade dada por: Φ máx. φi = 1.0 máx. se φ 1.0 i se φ 1.0 i 3 XMPLOS D OTIMIZAÇÃO D PÓRTICOS PLANOS 10

11 Serão apresenados aqui exemplos de aplicações da meodologia apresenada nese rabalho. 3.1 Pórico 1 - O primeiro pórico considerado apresena opologia e carregando mosrados na Figura. O aço em um modulo de elasicidade de Mpa... Figura : Pórico 1 11

12 Finess Genome-Score Run 1 Genome-Score Run Order Run 1 = Run = W460x68.0* I W530x74.0 I W310x3.8* I W530x8.0 I 3 W410x38.8 I W530x8.0 I 4 W00x6.6 I HP50x6.0 H 5 W530x8.0 I W00x.5 I 6 W530x8.0 I W310x1.0* I 7 W410x53.0 I W00x15.0* I 8 W410x38.8 I W360x3.9 I 9 W460x68.0* I W530x7.0 I 10 W410x38.8 I W530x74.0 I 11 W410x38.8 I W310x3.8* I 1 W310x8.3 I W410x38.8 I 13 W410x38.8 I W310x3.8* I 14 W410x38.8 I W360x44.0 I 15 W310x8.3 I W310x1.0* I Generaions Figura 3: Pórico 1 - Resulados CONCLUSÕS O. 1

13 RFRÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Goldberg, D.. (1989). Geneic Algorihms in Search, Opimizaion, and Machine Learning, Addison-Wesle, New York. Goldberg, D.. (1989). Geneic Algorihms in Search, Opimizaion, and Machine Learning, Addison-Wesle, New York. 13