Equações Simultâneas. Aula 16. Gujarati, 2011 Capítulos 18 a 20 Wooldridge, 2011 Capítulo 16

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1 Equações Simulâneas Aula 16 Gujarai, 011 Capíulos 18 a 0 Wooldridge, 011 Capíulo 16

2 Inrodução Durane boa pare do desenvolvimeno dos coneúdos desa disciplina, nós nos preocupamos apenas com modelos de regressão com uma única equação, iso é, com modelos em que há uma única variável dependene e uma ou mais variáveis explicaivas. Nesses modelos, o desaque foi a esimação do valor médio da variável resposa (dependene), condicionado aos valores das variáveis explicaivas (regressores).

3 Inrodução A relação de causa e efeio, nesses modelos, se exisir, vai das variáveis explicaivas para a variável resposa. Porém, exisem casos onde essa relação unidirecional não faz muio senido. Isso ocorre quando a variável resposa é deerminada por um grupo de variáveis explicaivas e algumas dessas (endógenas), por sua vez, são deerminadas pela variável resposa. 3

4 Inrodução Ou seja, há uma relação de mão dupla, ou simulânea enre a variável resposa e alguns regressores endógenos, o que orna a disinção enre variáveis dependenes e independenes de valor duvidoso. O melhor, enão, é agrupar um conjuno de variáveis que possam ser deerminadas simulaneamene pelo conjuno resane de variáveis exaamene o que fazem os modelos de equações simulâneas. 4

5 Inrodução Assim, nos modelos de equações simulâneas há mais de uma equação uma para cada variável endógena. E diferenemene dos modelos de uma única equação, nos modelos de equações simulâneas não podemos deixar de esimar os parâmeros de uma equação (a idenificada) sem levar em cona as informações proporcionadas pelas demais equações do sisema. 5

6 Exemplo 1 MODELO DE OFERTA E DEMANDA É fao bem conhecido que o preço, P, de um bem e a quanidade, Q, vendida são deerminados pela inersecção das curvas de demanda e ofera desse bem. Para simplificar, vamos supor que as curvas de ofera e demanda sejam lineares e, ainda, acrescenando os choques aleaórios, u 1 e u, podemos escrever as equações de ofera e demanda empíricas como:

7 Exemplo 1 MODELO DE OFERTA E DEMANDA Função de demanda: Q d α 1 α P u 1, α 0 (i) Função de ofera: Q O β 1 β P u, β 0 (ii) Condição de equilíbrio: Q d Q O (iii) 7

8 Exemplo 1 MODELO DE OFERTA E DEMANDA Do slide anerior, podemos enender o seguine: Se a curva de ofera iver inclinação posiiva e o choque q D1 D S u 1,, em (i), variar, em decorrência de alerações nas variáveis que afeam a quanidade demandada, a curva da demanda se deslocará para cima, se u 1, for posiivo, ou para baixo, se u 1, for negaivo. Curva de ofera posiivamene inclinada p Enreano, como mosra a figura anerior, um deslocameno na curva de demanda provoca alerações ano em Q quano em P. Ou seja, u 1, e P, em (i), não podem ser consideradas independenes.

9 DEMONSTRAÇÃO (Exemplo 1) Volando às equações de ineresse Função de demanda: Q d α 1 α P u 1, α 0 (i) Função de ofera: Q O β 1 β P u, β 0 (ii) Condição de equilíbrio: Q d Q O (iii) De (iii), vem que u1 1 P Q d 1 P u Q o 9

10 DEMONSTRAÇÃO (Exemplo 1) Isolando o preço, emos que Assim, podemos calcular a covariância, por exemplo, enre P e o choque u 1 :

11 Simulaneidade Simulaneidade: uma ou mais variáveis explicaivas são deerminadas conjunamene com a variável dependene. Desa maneira, exise dependência enre variáveis explicaivas e o ermo de erro aleaório. Exemplo clássico: ofera e demanda por um produo ou faor de produção. Quando há simulaneidade, o méodo dos mínimos quadrados gera esimadores viesados e inconsisenes.

12 Exemplo Wooldridge (01), supõe que salário e consumo de bebidas alcoólicas (alcool) sejam deerminados pelo seguine modelo de equações simulâneas: log( salario) 0 alcool 1 educ u 1 alcool 0 1 log( salario) educ 3 log( preço) u em que preço denoa o índice de preço local do álcool, que inclui os imposos locais e esaduais; educ empo de escolaridade (em anos).

13 Exemplo 3 Romer (1993), discue, a parir da consrução de diversos modelos eóricos, que países mais aberos devem er axas de inflação mais baixas. Basicamene o auor em o seguine sisema de equações em mene: 0 1aberura log( rendapc) u 1 aberura 0 1 log( rendapc) area 3 u em que axa de inflação; rendapc renda per capia de 1980, em dólares; aberura paricipação média das imporações no PIB; área área do país (em milhas quadradas).

14 Idenificação de Uma Equação Esruural Problema de idenificação Por problema de idenificação enendemos a possibilidade de recuperar, ou não, os parâmeros de uma equação esruural (aquela que reraa a esruura de uma economia ou o comporameno de um agene econômico) a parir dos coeficienes esimados na forma reduzida. 14

15 Idenificação de Uma Equação Esruural Forma Reduzida Uma equação na forma reduzida é aquela que expressa uma variável endógena apenas em ermos das variáveis exógenas e dos ermos de erros esocásicos. 15

16 Idenificação de Uma Equação Esruural Problema de idenificação (con.) Se a recuperação dos parâmeros esruurais puder ser feia, com base nos parâmeros da forma reduzida, enão dizemos que a equação esruural em paua é idenificada. Caso a recuperação não possa ser concreizada, enão a equação esruural em paua é dia não idenificada (ou subidenificada). 16

17 Idenificação de Uma Equação Esruural Problema de idenificação (con.) Quando idenificada, uma equação esruural pode ser exaamene idenificada (quando é possível ober valores exaos dos parâmeros esruurais) ou superidenificada (quando mais de uma valor numérico puder ser obido para alguns dos parâmeros esruurais). 17

18 Volando ao Exemplo 1 Considerando o seguine modelo de equações simulâneas: Função de demanda: Q d α 1 α P u 1, α 0 (i) Função de ofera: Q O β 1 β P u, β 0 (ii) Condição de equilíbrio: Q d Q O (iii) A equação (i) esá idenificada? E a equação (ii)? Jusifique adequadamene as suas resposas. 18

19 Solução Via (iii), podemos ober u1 E isolando o preço, emos 1 P Q d 1 P u Q o (forma reduzida para o preço) 19

20 Solução Analogamene, podemos enconrar a forma reduzida para Q da seguine maneira: (a) isolando o preço em (i); (b) subsiuindo o resulado enconrado em (a) em (ii). Do exposo, emos que Q 1 1 u u1 (forma reduzida para a quanidade) 0

21 Solução Nos slides aneriores enconramos a forma reduzida para o preço, dada por: P 1 1 (R1) em que e 1 u u1 Noe que o parâmero pode ser esimado por MQO, dada a definição de forma reduzida.

22 Solução Também, enconramos a forma reduzida para a quanidade, dada por: Q (R) em que 1 1 e u u 1 Noe que o parâmero pode ser esimado por MQO, dada a definição de forma reduzida.

23 Solução As equações (R1) e (R) são equações na forma reduzida para o preço e para a quanidade, respecivamene. Nelas, além de ser possível observar que exisem apenas dois parâmeros envolvidos ambém é possível noar que ais parâmeros podem ser esimados por MQO, dada a definição de forma reduzida. Ainda, é possível observar que ais parâmeros das formas reduzidas são combinações dos parâmeros esruurais.

24 Solução Ou seja, poderíamos enar, de forma indirea, aravés da esimação dos parâmeros da forma reduzida, por MQO, recuperar os parâmeros esruurais. Tal meodologia indireos (MQI). recebe o nome de mínimos quadrados Todavia, no caso em esudo, não é difícil perceber que é impossível recuperar odos os parâmeros esruurais, de forma indirea, de qualquer uma das duas equações esruurais. Dessa forma, pela definição de idenificação, ambas as equações esruurais no sisema são dias subidenificadas.

25 Méodos de Idenificação Condição de Classificação Definição. A primeira equação em um modelo de equações simulâneas com duas equações será idenificada se, e somene se, a segunda equação coniver ao menos uma variável exógena (com coeficiene diferene de zero) que eseja excluída da primeira equação. Noa: A idenificação da segunda equação é, nauralmene, apenas a imagem espelhada da declaração para a primeira equação.

26 Volando ao Exemplo 1 Considerando o seguine modelo de equações simulâneas: Função de demanda: Q d α 1 α P u 1, α 0 (i) Função de ofera: Q O β 1 β P u, β 0 (ii) Condição de equilíbrio: Q d Q O (iii) alguma das equações do sisema pode ser considerada idenificada, usando a condição de classificação?

27 Assumindo que rendapc e área sejam exógenas no modelo de equações simulâneas Volando ao Exemplo 3 0 1aberura log( rendapc) u 1 aberura 0 1 log( rendapc) area 3 u em que axa de inflação; rendapc renda per capia de 1980, em dólares; aberura paricipação média das imporações no PIB; área área do país (em milhas quadradas). alguma das equações do sisema pode ser considerada idenificada, usando a condição de classificação?

28 Méodos de Idenificação Condição de Ordem Inicialmene vamos definir as seguines quanidades: M número de variáveis endógenas no modelo; m número de variáveis endógenas em uma dada equação; K número de variáveis exógenas no modelo, incluindo o inercepo; k número de variáveis exógenas em uma dada equação (incluindo o inercepo, caso apareça na equação em paua).

29 Méodos de Idenificação Condição de Ordem Definição. Em um modelo com M equações simulâneas, para que uma equação seja idenificada, o número de variáveis exógenas excluídas da equação de ineresse não deve ser menor que o número de variáveis endógenas incluídas nessa equação menos 1. Iso é, K k m 1. 9

30 Méodos de Idenificação Condição de Ordem Dessa forma, Se K k < m 1, a equação é subidenificada; Se K k = m 1, a equação é exaamene idenificada; Se K k > m 1, a equação é superidenificada. 30

31 Assumindo que rendapc e área sejam exógenas no modelo de equações simulâneas Volando ao Exemplo 3 0 1aberura log( rendapc) u 1 aberura 0 1 log( rendapc) area 3 u em que axa de inflação; rendapc renda per capia de 1980, em dólares; aberura paricipação média das imporações no PIB; área área do país (em milhas quadradas). alguma das equações do sisema pode ser considerada idenificada, usando a condição de ordem?

32 Observações (Méodo de Idenificação: Condição de Ordem) Noa 1: Se a equação de ineresse esiver exaamene idenificada, enão podemos recuperar os seus parâmeros esruurais via méodo dos mínimos quadrados indireos. Ou seja, via esimação dos parâmeros da forma reduzida. Noa : Se a equação de ineresse esiver sobreidenificada, enão o méodo dos mínimos quadrados indireos gera resulados inconsisenes. Deveremos, nesse caso, enão, usar o méodo dos mínimos quadrados em eságios (SLS), que será abordado em breve. Noa 3: A condição de ordem é necessária para a idenificação mas não é suficiene (a condição de poso é suficiene para mais dealhes, vide Leiura Complemenar).

33 Considere o modelo de equações simulâneas: D Q i Exemplo 4 S Q i em que: é a quanidade demandada, é a quanidade oferada, P i é o preço, e u 1i e u i são ermos aleaórios. É correo afirmar que: (0) o esimador de mínimos quadrados ordinários aplicado a cada uma das equações é consisene e não-endencioso; F (1) no modelo acima a equação de demanda é idenificada mas a equação de ofera não é; F D () se a equação de demanda for definida por P Y u, em que Y i é a renda, a equação de ofera será idenificada; V D (3) a equação de demanda será idenificada se for definida por P Y u ; (4) a variável renda, empregada nos dois iens aneriores, é uma variável insrumenal Q Q Q D i S i D i P 1 Q S i 1 P i i u 1i u i Qi 1 ' i 1 i 1i (demanda) (ofera) Qi 1 ' i 1 i 1i (3) F (4) V 33

34 Exercício a) Um possível modelo para esimar os efeios do hábio de fumar sobre a renda anual (alvez com os dias perdidos de rabalho devido à doenças ou aos efeios sobre a produividade) pode ser dado por log( renda) 0 cigs 1 educ idade 3 idade 4 u 1 em que cigs número de cigarros fumados por dia, em média. Levando em cona o sinal esperado, inerpree o parâmero associado à variável cigs?

35 Exercício (con.) b) Por ouro lado, o consumo de cigarros pode ser deerminado conjunamene com a renda. Sendo ese o caso, uma equação de demanda por cigarro pode ser dada por cigs γ 0 γ γ 1 5 log(renda) γ log(cigpric) γ educ 6 γ 3 idade resaurane u γ 4 idade em que cigpric é preço do pacoe de cigarros; resaurane dummy que assume o valor 1 quando o indivíduo reside numa localidade onde os resauranes enham resrições quano ao fumo.

36 Exercício (con.) b) (con.) Qual deve ser o sinal esperado para 5 e 6? Jusifique suas resposas. c) Enconre a forma reduzida para cigs. d) Esime os parâmeros do modelo proposo em (c). Para ano, uilize os dados disponíveis na base smoke1.wf1. Ainda, as variáveis log(cigpric) e resaurane são relevanes? e) A equação de renda esá idenificada?

37 EXERCÍCIOS EXTRAS

38 Exercício 1 Suponha o seguine modelo de ofera e demanda: q (d) = a 1 + b 1 p + c 1 y + u 1 (1) q (0) = a + b p + u () q (d) = q (0) (3) em que q é quanidade, p é o preço, y é a renda e u 1 e u são os choques de demanda e ofera, respecivamene. Perguna: as equações (1) e () são idenificadas? Jusifique.

39 Exercício Volando ao Exercício 1, mosre dealhadamene como seria possível recuperar odos os parâmeros da equação exaamene idenificada, via méodo dos mínimos quadrados indireos. Ou seja, enconre as formas reduzidas para o preço e para a quanidade e uilize-as na busca dos parâmeros esruurais da equação exaamene idenificada. Deixe bem claro o seu raciocínio.

40 Exercício 3 (Volando ao EXEMPLO 1 Modelo de Ofera e Demanda) Suponha a seguine siuação, dada pela figura a seguir: q D1 D S Curva de ofera verical p iso é, elasicidade preço infinia. Ainda, suponha que o choque u 1, em (i), varie, em decorrência de alerações nas variáveis que afeam a quanidade demandada. Assim, o que pode ser dio sobre Cov(u 1,P )? Jusifique.

41 Exercício 4 (Volando ao EXEMPLO 1 Modelo de Ofera e Demanda) Suponha a seguine siuação, dada pela figura a seguir: q D1 D S Curva de ofera horizonal p iso é, quanidade compleamene inelásica a preço. Ainda, suponha que o choque u 1, em (i), varia, em decorrência de alerações nas variáveis que afeam a quanidade demandada. Assim, o que pode ser dio sobre Cov(u 1,P )? Jusifique.

42 Exercício 5 Wooldridge (01), supõe que salário e o consumo de bebidas alcoólicas sejam deerminados pelo seguine modelo de equações simulâneas: log( salario) 0 alcool 1 educ u 1 alcool 0 1 log( salario) educ 3 log( preço) u em que preço denoa o índice de preço local do álcool, que inclui os imposos locais e esaduais; educ empo de escolaridade (em anos).

43 Exercício 5 (con.) Perguna-se: a) Wooldridge (01), assume que as variáveis educ e preço são exógenas. Você concorda com essa suposição? Jusifique a sua resposa. b) Caso odos os parâmeros do sisema de equações anerior sejam diferenes de zero, qual equação esá idenificada? Jusifique a sua resposa. c) Você indicaria o uso do méodo dos mínimos quadrados indireos para esimar os parâmeros esruurais desse sisema? Jusifique a sua resposa. 43

44 Exercício 6 Considere o seguine sisema de equações hipoéico Y 1i 10 Y 1 i 11 X 1i u 1i (a) Y i 0 Y 1 1i 1 X i u i (b) em que Y 1 e Y são variáveis muuamene dependenes; X 1 e X são variáveis exógenas; u 1 e u são os ermos de erro esocásicos. 44

45 Exercício 6 (con.) i) Enconre a forma reduzida para Y 1. ii) Calcule Cov(Y 1,u ) e comene. iii) Enconre a forma reduzida para Y, calcule Cov(Y,u 1 ) e comene. iv) Mosre dealhadamene como seria possível recuperar os parâmeros da(s) equação(ões) exaamene idenificada(s), via méodo dos mínimos quadrados indireos. 45

46 Exercício 7 Volando ao Exemplo 3, enconre as formas reduzidas para a inflação e para a aberura. Ainda, uilize-as na busca dos parâmeros esruurais da equação exaamene idenificada, deixando bem claro o seu raciocínio. Ou seja, mosre dealhadamene como seria possível recuperar odos os parâmeros da equação exaamene idenificada, via méodo dos mínimos quadrados indireos.

47 EXEMPLO RESOLVIDO

48 Exemplo Resolvido É fao bem conhecido que o preço, P, de um bem e a quanidade, Q, vendida são deerminados pela inersecção das curvas de demanda e ofera desse bem. Assim, supondo que as curvas de ofera e demanda sejam lineares, para simplificar, e acrescenando os choques aleaórios, u 1 e u, podemos escrever as equações de ofera e demanda empíricas como:

49 Exemplo Resolvido Função de demanda: Q d α 1 α P u 1, α 0 (i) Função de ofera: Q O β 1 β P u, β 0 (ii) Condição de equilíbrio: Q d Q O (iii) 49

50 Exemplo Resolvido Do slide anerior, podemos enender o seguine: Se a curva de ofera iver inclinação posiiva e o choque q D1 D S u 1, em (i), variar, em decorrência de alerações nas variáveis que afeam a quanidade demandada, a curva da demanda se deslocará para cima, se u 1 for posiivo, ou para baixo, se u 1 for negaivo. Curva de ofera posiivamene inclinada p Enreano, como mosra a figura anerior, um deslocameno na curva de demanda provoca alerações ano em Q quano em P. Ou seja, u 1 e P, em (i), não podem ser consideradas independenes.

51 Exemplo Resolvido Igualando (i) e (ii), vem que E isolando o preço, emos (R1) (forma reduzida para o preço) 51

52 Exemplo Resolvido Assim, a parir de (R1), por exemplo, podemos calcular a covariância enre o P e o choque u 1 (cona análoga pode ser feia com o choque u ):

53 Exemplo Resolvido Nos slides aneriores, enconramos a forma reduzida para o preço, dada por: P 1 1 (R1) em que e 1 u u1 Noe que o parâmero pode ser esimado por MQO, dada a definição de forma reduzida.

54 Exemplo Resolvido Ainda, isolando o preço, em (i), e subsiuindo em (ii), oberemos a forma reduzida para a quanidade, dada por Q (R) em que 1 1 e u u 1 Noe que o parâmero pode ser esimado por MQO, dada a definição de forma reduzida.

55 Exemplo Resolvido As equações (R1) e (R) são equações na forma reduzida para o preço e para a quanidade, respecivamene. Nelas, além de ser possível observar que exisem apenas dois parâmeros envolvidos ambém é possível noar que ais parâmeros podem ser esimados por MQO, dada a definição de forma reduzida. Ainda, é possível observar que ais parâmeros das formas reduzidas são combinações dos parâmeros esruurais.

56 Exemplo Resolvido Ou seja, poderíamos enar, de forma indirea, aravés da esimação dos parâmeros da forma reduzida, por MQO, recuperar os parâmeros esruurais. Para al meodologia dáse o nome de mínimos quadrados indireos. Todavia, no caso em esudo, não é difícil perceber que é impossível recuperar odos os parâmeros esruurais, de forma indirea, de qualquer uma das duas equações esruurais. Dessa forma, pela definição de idenificação, ambas as equações esruurais no sisema são dias subidenificadas.

57 Exemplo Resolvido De acordo com a condição de classificação, alguma das equações, a seguir, enconra-se idenificada? Função de demanda: Q d α 1 α P u 1, α 0 (i) Função de ofera: Q O β 1 β P u, β 0 (ii) Condição de equilíbrio: Q d Q O (iii) Não é difícil observar que as equações (i) e (ii) são nãoidenificadas, de acordo com a condição de classificação

58 Exemplo Resolvido De acordo com a condição de ordem, alguma das equações, a seguir, enconra-se idenificada? Função de demanda: Q d α 1 α P u 1, α 0 (i) Função de ofera: Q O β 1 β P u, β 0 (ii) Condição de equilíbrio: Q d Q O (iii) Não é difícil observar que as equações (i) e (ii) são nãoidenificadas, de acordo com a condição de ordem

59 Exemplo Resolvido Uma forma alernaiva de ver o problema de idenificação, descrio em Gujarai (006, p. 596), é muliplicando a equação (i) por uma consane, 0 1, e a equação (ii) por 1-, 59

60 Exemplo Resolvido Para, assim, somando as duas equações aneriores, ober a seguine equação híbrida que não pode ser disinguida nem de (i) nem de (ii). Ou seja, as equações (i) e (ii) não esão idenificadas. 60

61 Exemplo Resolvido Para que uma equação esruural seja idenificada, iso é, para que seus parâmeros sejam esimados de forma consisene, precisamos mosrar que essa equação não é similar à equação híbrida. 61

62 LEITURA COMPLEMENTAR (MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS) Gujarai, 011 Capíulos 18 a 0 Wooldridge, 011 Capíulo 16 6

63 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS IDENTIFICAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO ESTRUTURAL 63

64 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS O problema de idenificação aparece quando procuramos uma resposa para a seguine perguna: dados apenas informações relaivas às variáveis preço, P, e quanidade, Q, como sabemos se esamos esimando uma demanda ou uma de ofera? Alernaivamene, se pensamos que esamos ajusando uma função de demanda, como podemos garanir que esamos, de fao, esimando a função de demanda e não qualquer oura coisa? Dessa forma, uma resposa à perguna anerior é necessária anes de esimarmos os parâmeros da nossa função demanda.

65 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS IDENTIFICAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO ESTRUTURAL Problema de idenificação Por problema de idenificação enendemos a possibilidade de ober, ou não, os parâmeros de uma equação esruural (aquela que reraa a esruura de uma economia ou o comporameno de um agene econômico) a parir dos coeficienes esimados na forma reduzida. 65

66 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS IDENTIFICAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO ESTRUTURAL Forma Reduzida Uma equação na forma reduzida é aquela que expressa uma variável endógena apenas em ermos das variáveis exógenas e dos ermos de erro esocásicos. 66

67 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS IDENTIFICAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO ESTRUTURAL Problema de idenificação Se a recuperação dos parâmeros esruurais puder ser feia, com base nos parâmeros da forma reduzida, enão dizemos que a equação esruural em paua é idenificada. Caso a recuperação não possa ser concreizada, enão a equação esruural em paua é dia não idenificada (ou subidenificada). 67

68 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS IDENTIFICAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO ESTRUTURAL Problema de idenificação Quando idenificada, uma equação esruural pode ser exaamene idenificada (quando é possível ober valores exaos dos parâmeros esruurais) ou superidenificada (quando mais de uma valor numérico puder ser obido para alguns dos parâmeros esruurais). 68

69 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS IDENTIFICAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO ESTRUTURAL Problema de idenificação O problema de idenificação surge pois uma dada equação na forma reduzida pode ser compaível com diferenes equações esruurais ou diferenes hipóeses (modelos), e, dessa forma, por exemplo, fica complicado dizer qual hipóese específica esá sob invesigação. 69

70 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Volando ao Exemplo 1 MODELO DE OFERTA E DEMANDA Função de demanda : Q d 0 P 1 u 1, 1 0 (i) Função de ofera : Q S 0 P 1 u, 1 0 (ii) Condição de equilíbrio : Q d Q S (iii) 70

71 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Igualando (i) e (ii), vem que E isolando o preço, emos Volando ao Exemplo 1 SUBIDENTIFICAÇÃO 0 P u P u (R1) 71

72 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Volando ao Exemplo 1 SUBIDENTIFICAÇÃO Ainda, isolando o preço, em (i), e subsiuindo em (ii), vem que (R) 7

73 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Volando ao Exemplo 1 SUBIDENTIFICAÇÃO As equações (R1) e (R) são equações na forma reduzida. Enreano, emos apenas dois parâmeros envolvidos nas formas reduzidas, enquano que as equações esruurais envolvem quaro parâmeros. Ou seja, não há como recuperar os parâmeros esruurais, via formas reduzidas. 73

74 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Volando ao Exemplo 1 SUBIDENTIFICAÇÃO Uma forma alernaiva de ver o problema de idenificação, descrio em Gujarai (006, p. 596), é muliplicando a equação (i) por uma consane, 0 1, e a equação (ii) por 1-, 74

75 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Volando ao Exemplo 1 SUBIDENTIFICAÇÃO Para, assim, somando as duas equações aneriores, ober a seguine equação híbrida que não pode ser disinguida nem de (i) nem de (ii). Ou seja, as equações (i) e (ii) não esão idenificadas. 75

76 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Volando ao Exemplo 1 SUBIDENTIFICAÇÃO Para que uma equação esruural seja idenificada, iso é, para que seus parâmeros sejam esimados de forma consisene, precisamos mosrar que essa equação não é similar à equação híbrida. 76

77 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Exemplo IDENTIFICAÇÃO EXATA Suponhamos o modelo de ofera e demanda (com duas equações esruurais): q = a 1 + b 1 p + c 1 y + u 1 (1) q = a + b p + c R + u () em que q é quanidade, p é o preço, y é a renda, R é a chuva e u 1 e u são os ermos de erro. 77

78 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Exemplo IDENTIFICAÇÃO EXATA As variáveis p e q são endógenas e as variáveis y e R são exógenas. Sendo assim, como as variáveis y e R são independenes dos erros, podemos esimar os parâmeros das regressões para p, e para q, em função de y e R, por MQO. Enreano, os parâmeros de (1) e () não devem ser esimados por MQO. 78

79 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Exemplo IDENTIFICAÇÃO EXATA O que faremos, enão, é reescrever os parâmeros nas equações de ofera e demanda originais, a parir das regressões de p e q em função de y e R (formas reduzidas). Ese méodo é chamado de mínimos quadrados indireos. Observação: O méodo de mínimos quadrados indireos nem sempre funciona. Vamos discuir, em breve, as condições para o seu funcionameno. 79

80 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Fazendo o raameno adequado nas equações (1) e () eremos: q p 1 4 Exemplo IDENTIFICAÇÃO EXATA y y 5 R 3 R 6 1 Em que os i s são funções dos parâmeros originais (ou esruurais) e são chamados parâmeros na forma reduzida. Obemos os EMQ dos parâmeros na forma reduzida e depois escrevemos os parâmeros esruurais em função dos parâmeros na forma reduzida. 80

81 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Observação Os esimadores dos coeficienes na forma reduzida são consisenes e, sob premissas adequadas, ambém são assinoicamene eficienes. Ainda, é possível demonsrar que as esimadores indireos dos parâmeros esruurais herdam odas as propriedades assinóicas dos esimadores na forma reduzida. Enreano, propriedades como ausência de viés, em geral, não são válidas (GUJARATI, 006, APÊNDICE 0A). 81

82 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS IDENTIFICAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO ESTRUTURAL Condição básica de idenificação: cada variável explicaiva é não correlacionada com o ermo erro da equação esruural.

83 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Méodos de idenificação 1) Condição de ordem: Definição. Em um modelo de M equações simulâneas, para que uma equação seja idenificada, o número de variáveis predeerminadas excluídas da equação não deve ser menor que o número de variáveis endógenas incluídas nessa equação menos 1. Iso é, K k m 1

84 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Méodos de idenificação 1) Condição de ordem (con.): em que M número de variáveis endógenas no modelo; m número de variáveis endógenas em uma dada equação; K número de variáveis predeerminadas no modelo, incluindo o inercepo; k número de variáveis predeerminadas em uma dada equação. 84

85 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Méodos de idenificação 1) Condição de ordem (con.): Assim, Se K k = m 1, a equação é exaamene idenificada Se K k > m 1, a equação é superidenificada; Observação: A condição de ordem é necessária para a idenificação mas não é suficiene. Iso é, mesmo que aendida, pode aconecer que uma equação não seja idenificada. 85

86 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Méodos de idenificação Exemplo Função Demanda: Q = P + u 1 Função Ofera: Q = P + u em que Q e P são variáveis endógenas; Aplicando a condição de ordem, vemos que nem a função demanda e nem a função ofera esão idenificadas. 86

87 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Méodos de idenificação Exemplo Função Demanda: Q = P + I + u 1 Função Ofera: Q = P + u em que Q e P são variáveis endógenas; I é uma variável exógena. Aplicando a condição de ordem, vemos que a função demanda não esá idenificada. Por ouro lado, a função ofera esá exaamene idenificada. 87

88 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Méodos de idenificação ) Condição de poso: Definição. Em um modelo conendo M equações com M variáveis endógenas, uma equação é idenificada se, e somene se, pelo menos um deerminane diferene de zero, de ordem (M-1) x (M-1), puder ser consruído a parir dos coeficienes das variáveis (ano endógenas quano predeerminadas) excluídas da equação em paua, mas incluídas nas ouras equações do modelo. 88

89 89 Considere o seguine sisema de equações simulâneas em que as variáveis y são endógenas e as variáveis x são exógenas: Exemplo i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i u X Y Y Y u X X Y Y u X X Y Y u X Y Y Y MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS

90 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Méodos de idenificação ) Condição de poso: a) Excluir a linha paricular; b) Pegue as colunas correspondenes aos elemenos que êm zeros naquela linha; c) Se desse conjuno de colunas pudermos enconrar (M-1) linhas e colunas que não sejam odas zero, onde M é o número de var. endógenas, e nenhuma coluna (ou linha) for proporcional a oura coluna (ou linha) para odos os valores dos parâmeros, enão a equação é idenificada. Observação: A condição de poso é necessária e suficiene para a idenificação.

91 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Vamos escrever o sisema de acordo com o quadro a seguir: Exemplo (con.) Coeficienes das variáveis Equação c y 1 y y 3 y 4 x 1 x x 3 (1) () (3) (4)

92 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Exemplo (con.) Podemos observar, por exemplo, que a primeira equação não é idenificada, pois o deerminane da mariz, que nesse caso é única, gerada pelas colunas de ineresse resulou no valor zero. 9

93 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Exercício Uilizando o sisema proposo no Exemplo 6, aplique a condição de ordem para verificar a idenificação das equações do sisema. Compare com os resulados obidos pela condição de poso. 93

94 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Exercício Equação K - k m - 1 Idenificada? (1) Exaamene () 1 1 Exaamene (3) 1 1 Exaamene (4) Exaamene 94

95 MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS É possível enconrar esimaivas quando a condição de poso não é válida, mas esas esimaivas são desprovidas de senido. Não é sempre verdade que não podemos dizer nada sobre os parâmeros de uma equação não-idenificada. Em alguns casos, os esimadores de MQO nos dão alguma informação sobre os parâmeros, mesmo se eles não forem consisenes. Há alguns casos em que o modelo de equações simulâneas pode ser esimado uilizando MQO. Um exemplo disso é o modelo recursivo. Ver seção 9.9 do Maddala.

96 Exercício 1 São correas as afirmaivas. Em modelos de equações simulâneas: (0) o problema da idenificação precede o da esimação. (1) se a condição de ordem for saisfeia, a condição de poso ambém será saisfeia. () os esimadores de mínimos quadrados indireos e os de mínimos quadrados de dois eságios são não-endenciosos e consisenes. (3) se uma equação é exaamene idenificada, os méodos de mínimos quadrados indireos e de dois eságios produzem resulados idênicos. (4) o méodo de mínimos quadrados indireos pode ser aplicado ano a equações exaamene idenificados quano a equações superidenificadas. (0) V (1) F () F (3) V (4) F 96

97 Exercício Equação de Demanda: Q = P + R + u 1 Equação de ofera: Q = P + P -1 + u 1 em que no período, Q é a quanidade de produo; P, o preço (endógeno) do produo; R, a renda do consumidor; u i, o disúrbio aleaório da equação de demanda e u, o disúrbio aleaório da equação de ofera. A parir desas equações são obidas as equações na forma reduzida: P = R + P -1 + v 1 e Q = R + 5 P -1 +w. 0 0 (0) Assim sendo, 0, 1 e (1) A condição de poso indica que a primeira e a segunda equações são idenificadas. () Se muliplicarmos a equação de demanda por (0 < < 1) e a equação de ofera por (1- ) e somá-las, desde que o resulado dessa soma seja diferene da equação de ofera e da equação de demanda, as duas serão idenificadas. (3) O méodo de mínimos quadrados ordinários produz esimadores consisenes e eficienes dos parâmeros da forma esruural. (4) Para verificar se qualquer equação do sisema é idenificável, basa aplicar a condição de ordem. 97 (0) F (1) V () V (3) F (4) F

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