ANÁLISE DE ESTRUTURAS VIA ANSYS

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1 2 ANÁLISE DE ESTRUTURAS VIA ANSYS A Análise de esruuras provavelmene é a aplicação mais comum do méodo dos elemenos finios. O ermo esruura não só diz respeio as esruuras de engenharia civil como pones e edifícios, mas ambém esruuras navais, aeronáuicas, mecânicas e ec. O ANSYS é um sofware de elemenos finios que pode ser uilizado nas mais diversas classes de problemas de engenharia (ANSYS, [29] 1998). A capacidade do ANSYS inclui habilidades para resolver see ipos de análises esruurais disponíveis. Os primeiros parâmeros desconhecidos (graus de liberdade nodais) calculados em uma análise de esruuras são deslocamenos e roações. Ouras quanidades, como deformações, ensões e força de reação, são derivadas enão dos deslocamenos nodais. Análises esruurais esão disponíveis apenas nos programas ANSYS/Muliphysics, ANSYS/Mechanical, ANSYS/Srucural, e ANSYS/Professional. Os see ipos de análises de esruuras que podem ser execuadas são os seguines: Análise esáica--usada para deerminar deslocamenos, ensões, ec. sob condição de carga esáica. Tem-se dois ipo de análises esáicas, linear e não linear, sendo que as não-linearidades podem incluir plasicidade, ensão, rigidez, grandes deformações, grandes ensões, hiperelasicidade, superfície de conao, e fissuração. Análise modal--usada para calcular as freqüências naurais e modos de vibração de uma esruura. Há diferenes méodos disponíveis de exração de modos. Análise harmônica--usada para deerminar a resposa de uma esruura a cargas harmônicas variáveis no empo.

2 27 Análise dinâmica ransiene--usada para deerminar a resposa de uma esruura às cargas arbirariamene variáveis no empo. São permiidas odas as não-linearidades mencionadas na análise esáica. Análise especral--uma exensão da análise modal, usada para calcular ensões e deformações devidas a um especro de resposa ou uma conribuição de PSD (vibrações aleaórias). Análise de Flambagem--Usada para calcular as cargas de flambagem e deerminar a forma do modo de flambagem. Ambas as análises, flambagem linear e flambagem não linear, são possíveis. Análise Dinâmica Explícia O ANSYS provê uma inerface ao LS-DYNA, programa de elemenos finios usado para calcular soluções rápidas para cargas dinâmicas, grandes deformações e complexos problemas de conao. Além dos ipos de análise ciados, várias caracerísicas especiais esão disponíveis, como: mecânica da fraura, compósios, fadiga, p-méodo, ec. Nese rabalho de disseração foram uilizados, além do módulo de oimização, a análise esáica e a análise modal. Para a análise de uma esruura, o ANSYS divide o procedimeno em rês eapas: Preprocessor, Soluion e Posprocessor. Na primeira eapa, Preprocessor, é feia a modelagem da esruura, a definição do ipo de elemeno esruural (viga, barras, placas, ec.), das consanes caracerísicas do elemeno e do ipo de maerial relacionado ao mesmo. Ainda nessa eapa, são numerados os nós e as barras. Na segunda eapa, Soluion, é feia a definição dos ipos de forças auanes na esruura e suas condições de apoio e do ipo de análise escolhido. Feia a análise da esruura, inicia-se a erceira eapa, Posprocessor, em que é feia a apresenação dos resulados da análise da eapa anerior. Só após as análises esáicas e/ou dinâmicas é que se pode uilizar o módulo de oimização e seus méodos e ferramenas.

3 O méodo dos elemenos finios (MEF) A idéia básica do Méodo dos Elemenos Finios consise em uilizar como parâmeros as variáveis nodais de um número finio de ponos previamene escolhidos, denominados de nós. No MEF o domínio de inegração é subdividido em uma série de regiões, ou elemenos finios, inerconecadas enre si aravés de um número discreo de ponos nodais. Para cada região (ou elemeno) se esabelece um comporameno local aproximado, de al forma que as incógnias do problema em qualquer pono do elemeno podem ser definidas em função das mesmas incógnias nos ponos nodais do elemeno. Em seguida, minimizando o funcional do problema, obido das somas das conribuições de cada elemeno, se chega a um sisema oal de equações, cuja solução permie conhecer os valores das incógnias nos ponos nodais. Finalmene a parir desses valores pode-se calcular ouros resulados inermediários. Aqui será apresenada de forma resumida a formulação do MEF para esruuras de comporameno linear elásico, velocidades e acelerações não desprezíveis. Uilizando-se o princípio dos deslocamenos viruais, em-se que o rabalho (ou energia) virual oal inerno é igual ao rabalho virual oal exerno: δ 1 U = δ 1 W (2.1) onde a primeira variação da energia de deformação é: δ 1 U = v δε σ dv (2.2) sendo δ ε = veor das deformações viruais; e σ = veor das ensões reais Assim, a primeira variação do rabalho virual exerno é: δ 1 W = v δu b dv + v u mu! dv (2.3)

4 29 sendo: δ u = veor dos deslocamenos viruais; b = veor da força de volume real; m! u = veor da força de inércia, onde m é a mariz de densidade de massa e! u! é o veor das acelerações. A íulo de ilusração considera-se o domínio de um corpo sólido subdividido em regiões, como na figura 2.1 y T f = {fx fy} i vi e ui k ponos nodais j Figura 2.1 Subdivisão de corpo sólido x E diso oma-se um elemeno genérico e de volume V e como na Figura 2.2 u e =Nu Figura 2.2 Generalização de E.F Assim, a formulação de elemenos finios no modelo de deslocamenos, considerando um comporameno linear elásico apresenará as relações: σ e = D e εe ; (2.4) ε e = B u e e ; (2.5) u e = N u ; (2.6)

5 30 δ ue = N e δu ; (2.7)! u e = N! u (2.8) onde: σ e = ensão inicial correspondene ao elemeno e ; D e = mariz elásica do maerial correspondene ao elemeno e ; ε e = deformação dos componenes do elemeno; B e = mariz de compaibilidade cinemáica, ou mariz das deformações ou deslocamenos; u e = deslocameno correspondene ao elemeno e ; δ u e = veor dos deslocamenos viruais do elemeno e ; δ u = veor dos deslocamenos viruais da esruura; N e = mariz função de forma do elemeno ou mariz de inerpolação dos deslocamenos correspondenes;! u! e = veor da aceleração correspondene ao elemeno e ;! u! = veor das acelerações nodais da esruura; u = veor dos deslocamenos nodais da esruura; N = mariz função de forma da esruura ou mariz de inerpolação dos deslocamenos; Assim, subsiuindo-se as relações das equações (2.4) a (2.8) em (2.2) e (2.3) e, em seguida, em (2.1), obém-se: K u + Mu! = F (2.9) onde: n K = e K e (mariz de rigidez) (2.10) n= 1

6 31 n M = M e n= 1 (mariz de massa consane) (2.11) n F = F e n= 1 (veor das forças nodais) (2.12) u e! u correspondem aos veores de deslocamenos e acelerações, respecivamene. Já o símbolo, represena a monagem das marizes globais e forças nodais globais a parir das conribuições respecivas das marizes dos elemenos e forças dos elemenos. Assim as equações êm suas parcelas de rigidez, massa e força nodal represenadas no MEF por: K = e v N e DB e dv (2.13) Me = v N e mne dv (2.14) Fe = v N e b dv + s f N e f ds f (2.15) Vale ainda um comenário sobre as forças de dissipação, represenadas pela força de amorecimeno dada por: C u! (2.16) sendo, C = αk + βm (2.17) onde: C = mariz de amorecimeno; u! = veor das velocidades nodais da esruura; α e β = coeficienes de ponderação;

7 32 Assim, levando-se em consideração essas forças de dissipação a equação (2.3) ficaria: δ 1 U = v δu b dv + s δu f ds v u mu dv f f +! (2.18) ( f = veor da força de superfície real) e a equação geral do movimeno seria dada por: K u + Cu! + Mu! = F (2.19) 2.2 Análise esáica A análise esáica de esruuras em por objeivo principal quanificar a magniude dos esforços inernos e dos deslocamenos que se manifesam em qualquer sisema esruural, quando o mesmo é submeido a um carregameno arbirário, desprezando-se o efeio das forças de amorecimeno e das forças de inércia. Tal procedimeno no ANSYS fornece uma ampla gama de resulados numéricos, compaíveis com o carregameno aplicado, cuja avaliação de forma qualiaiva viabilizará a sua uilização na elaboração do projeo da esruura do sisema analisado. A parir das formulações apresenadas no iem 2.1 e considerando-se as condições de: u! 0!! u 0 em-se a equação represenaiva da análise esáica como: K u = F (2.20) O procedimeno para a realização de uma análise esáica consise de rês principais eapas:

8 33 1. Consrução do modelo define-se o ipo de elemeno (viga, placa, ubo, ec), as consanes reais, propriedades dos maeriais (módulo de elasicidade, densidade, coeficiene de Poisson, ec.), a geomeria do modelo (área, momeno de inércia, alura, largura, diâmero, espessura, ec.) e disposição dos elemenos esruurais (coordenadas nodais). As condições de conorno podem ser definidas ainda nesa fase. 2. Aplicação do carregameno e obenção de solução pode-se aplicar forças exernas e pressões, forças de inércia (como gravidade ou velocidade roacional, imposição de deslocamenos iniciais, emperauras --para deformação érmica--, fluência --para expansão nuclear--, ec). O carregameno pode ser aribuído a um modelo sólido (keypoins, lines, areas) ou no modelo de elemeno finio (nós e elemenos). Pode ser feia a opção por aplicação das condições de conorno (resrições de deslocamenos) nesa fase. 3. Revisão dos resulados - após o programa resolver o modelo deve-se proceder a apresenação dos resulados desejados (deformadas, mapas de ensões, deslocamenos, esforços auanes, ec.), lisagem e "ploagens" dos mais variados parâmeros de resposa. 2.3 Análise modal : freqüências naurais e modos de vibração A dinâmica das esruuras esuda as modificações ocorridas na quanidade de movimeno dos sisemas elásicos. Alguns exemplos são: ação de um moor sobre sua base, ação dos venos ou das ondas do mar em esruuras, ação dos erremoos ou explosões, impaco de cargas móveis sobre sisemas esruurais e cargas produzidas pelo movimeno de pessoas em esruuras. Esa úlima sendo, além das resrições de ensão esáica, o caso de esudo das resrições de projeo dese rabalho, levando-se em consideração as vibrações livres, ou seja, quando provocadas exclusivamene pela energia poencial e cinéica. Diso vem o ineresse em se ober, aravés de análise modal, as freqüências naurais e modos de vibração. Sabe-se que graus de liberdade são coordenadas que definem como se enconram as configurações de um sisema a qualquer insane. Um modo de vibração é uma configuração do sisema segundo a qual ese pode oscilar,

9 34 manendo-se consane a relação enre os deslocamenos dos diversos ponos da esruura (Clough, R. W. & Penzien, J., [30] 1993) Na análise dinâmica do presene rabalho preende-se ober as freqüências naurais ω i e os modos de vibração correspondenes u i para os ipos de esruuras proposas. Para isso, basa resolver um problema de vibração livre não amorecida, o que leva a considerar nas formulações apresenadas em (2.1) as condições de: Cu! 0 ; e F() 0 Assim, para um movimeno harmônico na freqüência ω i e modo u i, resolve-se o problema de vibração livre do ipo:!! ui = ω 2 u i i (2.21) donde em-se que, ( K ω 2 M)u i = 0 i (2.22) A equação (2.22) é um problema de auovalor. Para esse problema, além da mariz de rigidez K, deve-se definir a mariz de massa M da esruura. As freqüências naurais e os modos de vibração são parâmeros imporanes no projeo de uma esruura para condições de carregameno dinâmico. Uma análise modal no ANSYS é sempre uma análise linear. Quaisquer não-linearidades, como plasicidade e elemenos de conao, são ignoradas aé mesmo se iverem sido definidas. Pode-se escolher denre vários méodos de exração de modos: Block Lanczos, subspace, PowerDynamics, reduced, unsymmeric, damped, e QR damped (Bahe, K., [31] 1982). No rabalho uilizou-se o modo de exração subspace, que é geralmene usado para grandes problemas de auovalores siméricos, além de ser o méodo mais fácil de usar,

10 35 pois, apesar de mais leno, exrai odos os modos. Vários conroles de solução esão disponíveis para gerenciar o processo de exração e expansão por subspace. O procedimeno para a realização de uma análise modal consise de quaro principais passos: 1. Consrução do modelo define-se o ipo de elemeno (viga, placa, ubo, ec), as consanes reais, propriedades dos maeriais (módulo de elasicidade, densidade, coeficiene de Poisson, ec.), a geomeria do modelo (área, momeno de inércia, alura, largura, diâmero, espessura, ec.) e disposição dos elemenos esruurais (coordenadas nodais). As condições de conorno podem ser definidas ainda nesa fase. 2. Solução Nese passo define-se o ipo de análise para a solução em elemeno finio das freqüências naurais. Deermina-se a exração e expansão dos modos de vibração para a revisão; 3. Exração e expansão dos modos conrola-se o número de modos a serem exraídos e expandidos, aravés da especificação de uma faixa de freqüência, são obidos e ampliados os modos denro daquela faixa (no presene rabalho foram obidos os cinco primeiros modos de vibração). 4. Revisão dos resulados - Após o programa resolver o modelo, deve-se proceder a apresenação dos resulados desejados (lisagem das freqüências correspondenes aos modos expandidos, "ploagem" da deformada de cada modo de vibração, animação do comporameno da esruura nos vários modos de vibração). 2.4 Exemplos de análise esáica e modal A fim de demonsrar o que será poseriormene realizado em ermos de análise das arquibancadas reuilizáveis, apresenam-se dois casos simples de análises: no primeiro uma simulação de viga em 2D; no segundo o caso clássico para análise modal da viga em balanço. Nesse úlimo os resulados são comparados com os obidos aravés do uso das expressões fornecidas por Clough, R. W. & Penzien, J., [30] (1993).

11 Análise esáica de uma viga no espaço bidimensional Tem-se uma viga biapoiada como ilusra a Figura 2.3. A simulação desse problema físico é realizada em análise de elemenos finios no programa ANSYS, uilizando-se geração semi-auomáica e auomáica. 2N Figura 2.3 Viga biapoiada em 2D Os dados de projeo são: momeno de inércia da seção ransversal de 6,7e-5 m 4, área da seção ransversal de 0,02 m², módulo de elasicidade de 2,5 e7 N/m², densidade do maerial 2,5 N/m³ e coeficiene de Poisson de 0, Consrução do modelo (pré-processameno): - escolhe-se o ipo de elemeno: Beam 2D elasic - para ese ipo de elemeno as consanes reais (1, no caso) requeridas são a área da seção (0,02 m²), o momeno de inércia da seção (6,7 e-5 m 4 ) e a alura (0,2 m) - Especifica-se as propriedades do maerial como módulo de elasicidade (2,5 e7 N/m²), densidade do maerial (2,5 Kg/m³)e coeficiene de poisson (0,25) - Cria-se a geomeria: enra-se com as coordenadas dos nós exremos aravés de inerface gráfica ou linha de comando (nó 1 x=0,y=0,z=0 e nó 11 x=4,y=0, z=0, o resane dos nós gera-se auomaicamene); - No caso aqui apresenado pode-se gerar rês elemenos e, auomaicamene, pedir uma geração auomáica para o resane dos, por exemplo, oio elemenos e depois pede-se uma visualização de odos os elemenos (ver Figura 2.4); 2. Aplicação do carregameno e obenção de solução (solução): - Aplicam-se as condições de apoio resrição de deslocameno na direção X nó 1 e resrições de deslocamenos em X e Y no nó 11;

12 37 - Aplica-se o carregameno correspondene no nó 6 (cenro da viga, Fy = -2 N), escolhe-se o ipo de análise esáica; - Execua-se a solução; 3. Revisão dos resulados (pós-processameno): - Pode-se requerer deformadas ou ouras grandezas auanes nos elemenos e nós, lisar resulados, "ploagens", diagramas de esforços, ensões auanes. Esforços Valores Mínimos Máximos Deslocameno 0 mm 1,5 mm Deformação 0 µsrain 119,4 µsrain Tensão 0 N/m² 2985 N/m² Momeno fleor 0 Nm 2 Nm Esforço corane -1 N 1 N Tabela 2.1 Resulados da análise de uma viga 2D

13 38 a) modelagem b) deformada c) DEC d) DMF e) deslocameno em Y f) ensões g) deformação Figura 2.4 a) modelagem, b) deformada, c) Diagrama de Esforços Coranes, d) Diagrama de Momenos Fleores, e) deslocameno em UY, f) ensões e g) deformações de viga 2D

14 Análise modal de uma viga em balanço Afim de ilusrar uma aplicação simples de análise dinâmica modal, repora-se ao caso clássico de viga engasada em balanço, modelada com elemeno linear elásico em 2D. Cujas propriedades são: E = x 10 6 N/m², DENS = 7830 Kg/m³ e ν = 0,3. Figura 2.5 Exemplo de viga em balanço. 1. Consrução do modelo (pré-processameno): - escolhe-se o ipo de elemeno: Beam 2D elasic; - para ese ipo de elemeno as consanes real (1, no casos) requeridas são a área da seção (0,0001 m²), o momeno de inércia da seção (8,3333e-4 m 4 ) e a alura (0,01 m) - Especifica-se as propriedades do maerial módulo de elasicidade (2.068e11 N/m²), densidade do maerial (7830 Kg/m³)e coeficiene de Poisson (0,3). - Cria-se a geomeria: enra-se com as coordenadas nodais ou keypoins aravés de inerface gráfica ou linha de comando (nó 1 x=0,y=0,z=0 e nó 2 x=1,y=0, z=0); - Pode-se especificar a divisão do elemeno para compor a malha, cria-se ambém as linhas; 2. Obenção de solução: - Aplica-se as condições de apoio: resrição de deslocameno e roação do nó 1; - Caso se enha escolhido análise modal deve-se proceder a escolha do méodo de exração e expansão dos modos e inserir a faixa de freqüência desejada no

15 40 caso de se er alguma em especial (no caso modo de exração subspace, 5 modos). 3. Exração e expansão dos modos (solução, caso de análise modal): - Anes de lisar os resulados na eapa seguine pode-se escolher um resumo de odos os modos, ou um modo específico, com sua respeciva freqüência naural. 4. Revisão dos resulados (pós-processador): - Tem-se acesso a odas as resposas da esruura no caso da análise dinâmica modal, as freqüências naurais para os respecivos modos de vibração. Os valores das cinco primeiras freqüências naurais podem ser visualizadas na Tabela 2.2, bem como uma ilusração com os quaro primeiros modos de vibração consa na Figura 2.6. Figura 2.6 Quaro primeiros modos de vibração _ viga em balanço Modos de vibração Freqüências Naurais (Hz) Teoria* ANSYS 1 (fundamenal) 8,31 8, ,94 52, ,68 145, ,69 285, ,22 472,64 *Resulados analíicos obidos com a formulação presene em Clough & Penzien.[30] (1993). Tabela 2.2 Cinco primeiras freqüências naurais_viga em balanço

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