Teoria da Comunicação. Prof. Andrei Piccinini Legg Aula 09

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1 Teoria da Comuniação Pro. Andrei Piinini Legg Aula 09

2 Inrodução Sabemos que a inormação pode ser ransmiida aravés da modiiação das araerísias de uma sinusóide, hamada poradora do sinal de inormação. Se a ampliude dessa sinusóide or alerada de aordo om as variações de ampliude do sinal de ineresse, e se essa poradora maniver sua requênia onsane, enão emos uma modulação em ampliude. Podemos ambém ransmiir a inormação do sinal m aravés da aleração da requênia ou ase da sinusóide poradora.

3 Modulação em Ângulo ou Exponenial Os sinais PM e FM são desrios pelas seguines equações: ϕ = Aos[ k m ] PM p ϕ FM = Aos k m α dα

4 Modulação em Ângulo ou Exponenial ϕ = Aos[ k m ] PM E a requênia insanânea de um sinal PM é dado por d = p d [ ] ' k m = k m i Porano, na modulação em ase a requênia insanânea varia linearmene om a derivada do sinal modulane, m. p p

5 Modulação em Ângulo ou Exponenial Na modulação PM emos Se izermos = i i = k p m k m A requênia insanânea varia linearmene om o sinal modulane, m, e emos porano a modulação em requênia FM. = i d d θ θ θ = ' = [ k m α ] k dα m α dα

6 Modulação em Ângulo ou Exponenial i = = i d d k m θ θ θ = = [ k m α ] k dα m α dα Logo, a modulação em requênia é dada por ϕ FM = Aos k m α dα

7 Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo Com o propósio de deerminarmos a largura de banda oupada por um sinal FM, deine-se a seguine variável: a = m α dα Assim, o sinal FM pode ser represenado por ϕ ϕ ϕ FM FM FM = = = Aos[ k a ] [ [ ] ] j k a Re Ae Re ϕˆ [ ] FM

8 Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo Agora, Expandindo em série o segundo ermo ˆ ˆ a jk j FM a k j FM e Ae Ae ϕ ϕ = = = =!! 1 ˆ ˆ a n k j a k a jk Ae e Ae n n n j FM a jk j FM ϕ ϕ

9 Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo Agora, expandindo o primeiro ermo e omando somene a pare real do sinal ] sin 3! os! sin [os ] 3! [ sin ]! [1 os!! 1 ˆ = = = a k a k a k A a k a k A a k A a n k j a k a jk Ae FM FM n n n j FM ϕ ϕ ϕ

10 Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo O sinal FM modulado onsise em uma poradora vários ermos de ampliude modulados. ϕ FM 3 3 k k a = A[os k a sin a os sin ]! 3! O sinal a oi deinido omo uma inegral de m a = m α dα Logo, se M possui uma largura de banda B, enão A ambém é limiado em uma largura de banda B.

11 Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo As ouras onribuições de a oupam a seguine largura de banda: Largura de banda B Largura de banda 3B Largura de banda nb ] sin 3! os! sin [os 3 3 = a k a k a k A FM ϕ 1 3 * * * * * * n n A A A a A A A a A A a π π π

12 Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo ϕ FM k 3 = A[os k 3 a sin ] 3! a sin k! a os Fia áil noar que o espero de uma sinal FM em banda ilimiada. Apesar de o espero desse sinal er largura de banda ininia, veriiaremos que a maior pare da poênia do sinal modulado se onenra em um largura de banda inia.

13 Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo Usando a inormação de largura de banda, podemos lassiiar os sinais FM em dois ipos: Sinal FM de Faixa Esreia NBFM Narrow-band FM Sinal FM de Faixa Larga WBFM Wide-band FM

14 Modulação em Ângulo em Faixa Esreia Dierenemene da modulação AM, a modulação FM é um proesso não linear. Porano, o prinípio da superposição não se aplia aqui: { k [ a a ] } Aos Aos[ k a1 ] Aos[ k a 1 ] No enano, se k a << 1, enão os seguines ermos endem a zero. Consequenemene ϕ FM A[os k a sin ]

15 Modulação em Ângulo em Faixa Esreia ϕ FM A[os k a sin ] Esse é um sinal linear. Essa expressão é semelhane a de um sinal AM. Como a largura de banda de a é B, enão a largura de banda do sinal ϕ FM é B. Por essa razão, quando k a << 1 o sinal FM é hamado de NBFM Narrow-band FM.

16 Modulação em Ângulo em Faixa Esreia ϕ PM A[os k m sin ] p O sinal PM banda esreia NBPM Narrow-band PM é pareido om o sinal NBFM e é dado pela expressão aima. Apesar das semelhanças enre os sinais NBFM e AM é imporane relembrar que eles não são iguais: AM modulação em ampliude requênia onsane FM modulação em requênia ampliude onsane

17 Modulação em Ângulo em Faixa Esreia ϕ FM A[os k a sin ] ϕ PM A[os k m sin ] As equações aima sugerem que os sinais NBFM e NBPM podem ser gerados uilizando moduladores DSB-SC. p

18 Modulação em Ângulo em Banda Larga Agora, supondo que k a não é muio menor do que 1, enão não podemos desprezar os ermos de mais ala ordem da equação do sinal FM. Consequenemene, a análise desse sinal se orna muio mais ompliada. Para ailiar nossa análise, onsidere um sinal m deinido por uma largura de banda B. Esse sinal pode ser aproximada por uma sequênia de degraus, onorme ilusra a igura abaixo: m k

19 Modulação em Ângulo em Banda Larga A unção m aproximada por uma sequênia de degraus será denoada por mˆ. Por onveniênia ada pulso será hamada de élula. Torna-se relaivamene mais simples se analisar o sinal FM mˆ por ausa das ampliudes onsanes de ada élula. m k

20 Modulação em Ângulo em Banda Larga Para assegurarmos que a unção mˆ onenha oda inormação suiiene para desrever a unção original, m, assumiremos que a largura de ada élula não exederá o inervalo de empo deinido por Nyquis eorema da amosragem. Ou seja, T 1/B s. m k

21 Modulação em Ângulo em Banda Larga Considere uma élula qualquer, por exemplo, a que omee em =k. Essa élula assim omo qualquer oura élula possui ampliude onsane igual a mk. Porano, o sinal FM orrespondene a esa élula será uma senóide de requênia

22 Modulação em Ângulo em Banda Larga O sinal FM onsise em uma sequênia de pulsos orrespondenes a ada élula de mˆ. O espero FM de mˆ onsise em uma soma das ransormada de Fourier desses degraus pulsos. A ransormada de Fourier de um pulso senoidal é uma unção sin, represenado na igura abaixo

23 Modulação em Ângulo em Banda Larga Noe que o espero de ada pulso é espalhado ao redor de por

24 Modulação em Ângulo em Banda Larga As ampliudes máxima e mínima das élulas são mp e mp, respeivamene. Porano, as requênias máxima e mínima do sinal FM são kmp e kmp, respeivamene. O espero de ada pulso om requênia máxima e mínima é mosrado da igura abaixo:

25 Modulação em Ângulo em Banda Larga Porano, as omponenes de requênia máxima e mínima signiiaivas serão om uma largura de aixa de onsiderando que a poênia do sinal esá onenrada no lóbulo prinipal da unção sin.

26 Modulação em Ângulo em Banda Larga Observações: As requênias máxima e mínima da poradora são kmp e kmp. Suas omponenes esperais esariam siuadas nessas requênias se o sinal osse uma sinusóide eerna. Para sinusóides om duração inia de T segundos, o espero se espalha por π/t.

27 Modulação em Ângulo em Banda Larga ± kmp é hamado de desvio da poradora. Chamaremos o desvio de requênia de.

28 Modulação em Ângulo em Banda Larga A largura de aixa para um sinal FM pode ser expressa omo: O valor desa esimaiva é um pouo maior que o valor real, pois oi obida para mˆ e não para m que é um sinal mais suave. Porano emos que reajusar nossa esimaiva.

29 Modulação em Ângulo em Banda Larga Primeiro vamos analisar a equação para NBFM, ou seja, quando k é muio pequeno. Em ouras palavras, é muio pequeno em relação a B, de modo que podemos ignorá-lo, assim BFM 4B. No enano, vimos aneriormene que para esse aso a largura de aixa seria B. Isso india que uma esimaiva melhor é Que é o resulado obido por Carlson, que invesigou o problema rigorosamene para um únio om. Por isso essa órmula é onheida omo regra de Carlson.

30 Modulação em Ângulo em Banda Larga

31 Modulação em Ângulo em Banda Larga

32 Modulação FM em Banda Larga O sinal FM pode ser esrio omo: s ~ FM s = = Re[ A e ~ Re[ s e j π é hamado de envelope omplexo do sinal ~ s = A e Observar que ese sinal é periódio, porano é possível deerminar a sua série de Fourier Complexa.. e jπ jβsenπ ] jβsenπ m m ]

33 Deerminemos os oeiienes da série de Fourier omplexa. Onde os oeiienes são alulados da seguine orma: = n j n m e s π ~ d e A d e s T T n j sen j m T T n j m n m m m = = = ~ π π β π Modulação FM em Banda Larga

34 O resulado desa inegral não é analíio, assim, em-se omo resulado as unções de Bessel, al que: β n = A J n Subsiuindo-se na represenação iniial do sinal, em-se que: Cuja ransormada de Fourier é: S Modulação FM em Banda Larga A s = A J β os[π n ] n = J n β [ δ nm δ nm m ]

35 Modulação Faixa Larga S = A J n β [ δ n m δ n m ]

36 Largura de Faixa para ransmissão FM Regra de Carson s Empíria B T = 1 1 β Oura maneira é omar uma largura de aixa uja omponene em valor inerior a 1% da poradora não modulada, ou seja: Jn β > 0,01

37 Modulação Faixa Larga

38 Exemplo Nos Esados Unidos, o máximo valor do desvio de reqüênia é 75 khz para FM omerial. Se a largura em banda base é de 15 khz, que é ipiamene a máxima reqüênia de aúdio de ineresse, qual é largura de aixa requerida.

39 Exemplo O índie de modulação é dado pela razão enre o desvio máximo de reqüênia e a máxima reqüênia do sinal de modulação, ou seja: β = 75 khz = = 5 m 15 khz De aordo om o riério da regra de Carson B T = = 160 khz 15

40 Exemplo De aordo om o riério de 1%, analisando-se o gráio dado aneriormene, em-se que: B T = 3. = 3.75 = 40 khz Na práia é aloada para ada rádio FM uma largura de aixa de 00 khz

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42 Diagrama de bloos da geração indirea do sinal de FM Méodo de Armsrong

43 Diagrama de bloos de um mulipliador de reqüênia

44 Demodulação FM

45 Exeríio para asa Enonre a expressão no domínio da requênia para os sinais NBFM e NBPM. Faça um esboço do espero desses dois sinais.