Mecânica de Sistemas de Partículas Prof. Lúcio Fassarella * 2013 *

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1 Mecânica e Sisemas e Parículas Prof. Lúcio Fassarella * 2013 * 1. A velociae e escape e um planea ou esrela é e nia como seno a menor velociae requeria na superfície o objeo para que uma parícula escape o seu campo graviacional, negligenciano as forças issipaivas evias a amosfera (se for o caso). Discua a ieia e euza a velociae e escape a Terra. 2. Consiere uma parícula em quea próximo à superfície a Terra sob ação a graviae e força issipaivas. (a) Deuza a equação e movimeno sob a hipóese e que a força e issipação é proporcional a rapiez a parícula (b) Inegre a equação para ober a velociae em função o empo (c) Deuza a velociae erminal a parícula (a velociae limie quano o empo e quea é su cienemene longo) Um pênulo balísico é um isposiivo usao para meir a velociae e um projéil, seno consiuio por um bloco e maeira e massa M e por uma cora e comprimeno L. O proceimeno usao para meir a velociae e um projéil e massa m consise em isparar o projéil no bloco em repouso com ângulo e inciência horizonal e meir o eslocameno angular o pênulo em relação a verical. Deuza a velociae o projéil em função e M, L, m e Uma parícula e massa m se move em uma imensão com inâmica governaa pela equação iferencial one L _x L x = 0 L = m2 12 _x4 + m _x 2 V (x) V 2 (x) : Deuza a expressão explícia a equação e movimeno a parícula e escreva a naureza física o sisema a parir ela. 5. Consiere o sisema formao por rês massas m 0, m 1 e m 2 isposas num plano próximas a superfície a Terra conforme a gura, one enoa a isância enre as rolaas R 1 e R 2. (a) Deermine a posição e equilíbrio o sisema e as conições sobre as massas para que o equilíbrio possa ocorrer. (b) Desenvolva um moelo inâmico para escrever a evolução o sisema e uma posição inicial para a posição e equilíbrio. (c) Elabore um programa e compuaor para calcular a solução o íem a e ploar inamicamene a solução o iem b. 1 Problema obio com moi cações e [1, p.33]. 2 Problema obio com moi cações e [1, p.33]. Resposa: a parícula se movimena sob ação a força F = V 0 ou seja, a equação e movimeno é equivalene a 2a. Lei e Newon com essa força. 1

2 6. Quano uma parícula se move sob ação e uma força epenene a velociae F = F (r _r), um poencial generalizao é um campo U = U (r v) al que U U F (r _r) = r v one as erivaas são e nias em coorenaas carezianas por r = x y z v = v x (a) 3 Deuza a força que age sobre um parícula e massa m que se move no espaço sob a in uência a força erivável o seguine poencial generalizao (one é um veor xo no espaço): v y v z U (r v) = V (r) + L L = mr v: (b) 4 Consiere que uma parícula se move sob ação a seguine força F (r _r r) = r 3 1 one r é a posição a parícula e c > 0 é uma consane. Deermine um poencial generalizao U = U (r v) para essa força epenene a velociae e aceleração. _r 2 2rr c 2 r : 7. Consiere um sisema e uas parículas e massas m 1 e m 2 e enoe suas posições relaivas a um sisema e coorenaas inercial por r 1 e r 2, respecivamene. Denoe por M, R e L q a massa oal, o cenro e massa e o momeno angular relaivo a um pono q xo no sisema e referência. (a) Denoano por F e a resulane as forças exernas sob o sisema, prove que se o sisema saisfaz a equação M R = F e enão ele cumpre a Forma Fraca a Lei a Ação e Reação: as forças que as parículas o sisema exercem uma sobre a oura êm a mesma magniue, a mesma ireção e senios oposos. (b) Denoano por N e q o orque resulane as forças exernas em relação ao pono q, prove que se o sisema saisfaz a equação o iem a e a equação _L q = N e q enão o sisema cumpre a Forma Fore a Lei a Ação e Reação: as forças que as parículas o sisema exercem uma sobre a oura êm mesma a magniue, a ireção a rea e nia pelas posições as parículas e senios oposos Um barril que pesa 10 kg e esá em repouso sobre uma balança recebe água espejaa e uma alura e 5 m a uma axa e 60 kg por minuo. Deermine a leiura a balança quano o empo e espejo for T, supono que o barril não enha ransborao Consiere um foguee e massa inicial M 0 (que inclui a massa o combusível) cujas axa e exausão A = jm=j e velociae e exausão u os gases propelenes são consanes. (a) Desprezano a resisência o ar e assumino que aceleração a graviae g é consane, escreva e resolva a equação e movimeno o foguee, levano em cona que a massa oal e combusível é m c < M 0. (b) Supono M 0, m c e u são xaos, eermine a axa e exausão que maximiza a aliue alcançaa pelo foguee. (c) Resolva os íens a e b sem esprezar a resisência o ar. () Resolva os íens a e b consierano que a aceleração a graviae num pono o espaço é proporcional ao inverso o quarao a isância ao cenro a Terra. (e) Resolva os íens a e b sem esprezar a resisência o ar e consierano que a aceleração a graviae num pono o espaço é proporcional ao inverso o quarao a isância ao cenro a Terra. 3 Problema obio com moi cações e [1, p.32]. 4 Na eleroinâmica e Weber, essa expressão (com o valor aequao a consane ) e ne a força eleromagnéica que uma carga localizaa na origem arai/repele (epeneno o sinal e ser ) uma carga localizaa na posição r. Resposa: U (r _r) = 1 r 5 Problema obio com moi cações e [2, p.229]. 6 Problema obio com moi cações e [2, p.230]. Os íens c, e e epenem e consierações aicionais para serem aboraos e poem não possuir soluções exaas. _r 2 2c 2. 2

3 10. 7 Uma massa m formaa e fragmenos e gases envolve uma esrela e massa M. Consiere que a massa m é muio menor o que M e que o raio a esrela é esprezível em comparação com as isâncias enre a esrela e os fragmenos e parículas os gases. Suponha que os fragmenos e gases enham inicialmene uma energia mecânica oal E e momeno angular oal L. (a) Mosre que exise uma energia máxima E que poe ser peria pelo maerial evio ao ario inerno. (b) Mosre que o maerial ene a se concenrar num anel com cenro na esrela evio a pera e energia, calcule a energia issipaa E máxima e o raio r o anel esacionário. (Observação: o anel esacionário não precisa ser homogêneo ou uniforme.) (Sugesão: use o Méoo os Muliplicaores e Lagrange.) 11. Elabore uma apresenação sobre o Espalhameno e Ruherfor, conforme e nio e escrio em [2, Seção 4.8 (pp ), Exercício 31 (p.234)]. 12. Elabore uma apresenação sobre o Espalhameno Compon, conforme e nio e escrio em [2, Exercício 27 (p.233)]. References [1] H. Golsein: Classical Mechanics - Secon Eiion. Aison-Wesley Publishing Company, [2] K.R. Symon: Mecânica. Eiora Campus: Rio e Janeiro, Problema obio com moi cações e [2, p.231]. 3

4 Resoluções Dinâmica e Sisemas e Parículas Quesão 8: Um barril que pesa 10 kg e esá em repouso sobre uma balança recebe água espejaa e uma alura e 5 m a uma axa e 60 kg por minuo. Deermine a leiura a balança após ranscorrio um inervalo e empo 1 > 0 ese o início o espejo e água, supono que o barril não enha ransborao. Resolução. Denoe por g a aceleração a graviae, m b = 10 kg a massa o barril, h = 5 m e = 60 kg= min = 1 kg= s. A força F () exercia pela balança num insane realiza uas ações: (i) supora o peso m () g o barril mais a água nele conia (erramaa ese o início o processo em = 0) e (ii) pára a massa e água m () = que coninuamene cai e ainge o barril com velociae v Pelas conições o problemas, emos: m () = m b + e v = p 2gh: A variação o momeno a água que ainge e pára no barril enre e + é aa por p ( + ) p () = [m ( + ) m ()] {z } massa e água (v 0) {z } variação a velociae one segue: p = m v = p 2gh: Enão, a 2a. Lei e Newon concluimos que a força exercia pela balança num insane > 0 é aa por F () = m () g + p = m b g + g + p 2gh: Para ilusrar, após = 1 min a leiura a balança é aa por (g 10 m= s 2 ): F (60 s) 710N: 4

5 Dinâmica e Sisemas e Parículas Quesão 9a: Consiere um foguee e massa inicial M 0 (que inclui a massa o combusível) cujas axa e exausão A = jm=j e velociae e exausão u os gases propelenes são consanes. Desprezano a resisência o ar e assumino que aceleração a graviae g é consane, escreva e resolva a equação e movimeno o foguee, levano em cona que a massa oal e combusível é m c < M 0. Resolução. Consiere o movimeno escrio e um referencial inercial, com eixo verical orienao para cima. De nimos os seguines parâmeros: - : empo e funcionameno o foguee - y () : aliue o foguee y 0 = 0 : aliue inicial o foguee - v () = _y () : velociae o foguee - M () : massa o foguee (incluino o combusível aina armazenao) m c : massa oal e combusível - A () = M _ () : axa e combusão o foguee ( M _ = A) - u () : rapiez os gases propelios o foguee no insane (a velociae os gases é u) - P () = M () v () : momeno o foguee no insane - g = g (y) : aceleração graviacional na aliue y g 0 = g (y 0 ) : aceleração a graviae no pono e lançameno o foguee - f = f (y v) : força e resisência o ar, epenene a aliue e a velociae o foguee - F () = : força exerna que aua no foguee no insane. Após um inervalo e empo 6= 0 su cienemene pequeno, consierano que v () u () é a velociae os gases propelios em relação ao observaor inercial no insane, emos que o momeno o foguee e gases expelios no insane + é ao por P ( + ) M ( + ) v ( + ) + [M () M ( + )] [v () u ()] : Pela 2a. Lei e Newon, F () é igual a axa e variação o momeno em relação ao empo: F () = P ( + ) P () M ( + ) v ( + ) + [M () M ( + )] [v () u ()] M () v () M ( + ) [v ( + ) v ()] + [M ( + ) M ()] u () : No limie! 0, obemos a equação e movimeno o foguee: F () = M () v () + u () M () : Consierano a e nição e axa e exausão (A = M) _ e que a expressão a força exerna que aua no foguee é aa por F () = M () g (y) f (y v) obemos Equivalenemene: v () = g (y) f (y v) M () + u () M () A () : v () + 1 u () f (y v) + g (y) = M () M () A () : Agora, com as suposições (i) A = jm=j consane, (ii) u consane, (iii) g consane, (iv) f 0 e usano obemos a equação simpli caa: A solução essa equação é aa por: v () = v 0 + u ln M () = M 0 A (0 m c =A) v () = M 0 M0 M 0 A ua A g g: 0 m c =A: 5