CAPÍTULO 9. y(t). y Medidor. Figura 9.1: Controlador Analógico

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2 CAPÍULO 9 Inrodução ao Conrole Discreo 9.1 Inrodução Os sisemas de conrole esudados aé ese pono envolvem conroladores analógicos, que produzem sinais de conrole conínuos no empo a parir de sinais da enrada ambém conínuos no empo, como mosrado na Figura 9.1 Eses conroladores apresenam pouca flexibilidade e modificações na lei de conrole implicam na modificação do hardware. Além diso, é difícil implemenar leis de conrole mais complexas. r + e u y(). D(s) Plana - y Medidor Figura 9.1: Conrolador Analógico Com o desenvolvimeno e redução de cusos do hardware, o conrole digial passou a ser uma solução cada vez mais usada. O conrole digial caraceriza-se pelo uso de um compuador específico ou geral, que gera a lei de conrole e exerce a função de conrolador. Conroladores digiais são flexíveis e as funções de conrole podem ser facilmene modificadas. Leis de conrole mais complexas ambém podem ser implemenadas sem dificuldade. O esquema do sisema de conrole é mosrado na Figura 9. abaixo: r() r(k) + e(k) D(z) D/A ZHO u() Plana y() y(k) A/D y() Medidor Figura 9.: Conrolador Digial

3 148 Capíulo 9: Inrodução ao Conrole Discreo Nese esquema o erro é amosrado e converido em uma seqüência de pulsos expressos em um código numérico (código binário, por exemplo). A função de ransferência do conrolador é converida em uma equação diferença implemenada como um programa no compuador. A saída do compuador por sua vez, que é expressa ambém no mesmo código binário, é converida para um sinal conínuo. Esa saída é a ação de conrole. Sisemas de conrole amosrados são usados quando um elevado grau de precisão é requerido. ambém no caso onde ransmissão de dados à longa disância é necessário, o uso de modulação de amplisude de pulso permie que um único meio de ransmissão seja usado para vários canais de informação sem esar sujeio a disorções enconradas em ransmissão analógica. Para alguns sisemas a amosragem é inerene aos mesmos. Por exemplo, no caso de um sisema de rasreameno por radar, ano o sinal enviado quano o sinal recebido são na forma de rem de pulsos. Resumidamene, o uso de sisemas de conrole amosrados ocorre: 1. Quando um compuador digial (ou microprocessador) é pare do laço de conrole.. Para comparilhameno no empo de componenes de conrole. 3. Quando canais de ransmissão formam pare do laço de conrole. 4. Quando a saída de um componene de conrole é essencialmene na forma discrea. As vanagens com relação ao conrole analógico são: 1. Implemenação simples de conroles complexos.. Flexibilidade no caso de mudança de leis de conrole. 3. Superioridade com relação a conroladores analógicos do pono de visa de ruídos inernos e efeios de drif. Por ouro lado algumas desvanagens ambém se apresenam: 1. Erros são inroduzidos pelos processos de amosragem e quanização, e podem degradar o desempenho do sisema.. O projeo pode se ornar mais complexo para compensar esa degradação. 9. Definições básicas Vários ermos usados com relação a sinais usados em conrole discreo são definidos a seguir ipos de sinais Definição 1 Sinal analógico é um sinal que oma um conjuno conínuo de valores em uma faixa conínua de empo. Definição 13 Sinal discreo no empo é o sinal definido apenas em insanes discreos do empo (apenas a variável independene é quanizada). Definição 14 Sinal amosrado se o sinal discreo no empo em ampliude que pode assumir uma faixa de valores conínuos enão o sinal é chamado amosrado. Definição 15 Sinal digial se o sinal discreo no empo em ampliude quanizada (ou seja, pode ser represenado por uma seqüência de números) enão o sinal é chamado digial.

4 EEL-DAS-UFSC Amosragem e reconsrução do sinal O conrole digial envolve a medição do sinal de saída da plana, que em geral é conínuo. Como ese sinal deve ser processado pelo compuador, ele deve ser discreizado. Ese é o chamado processo de amosragem. Por ouro lado o sinal de conrole gerado pelo compuador deve ser aplicado na plana. Como ese sinal é discreo, ele deve enão ser ransformado em um sinal conínuo. Ese é o processo de reconsrução do sinal. Eses dois processos são analisados a seguir Amosragem O processo de amosragem ransforma um sinal conínuo em um sinal discreo. Vários ipos de operações de amosragem podem ser usados: Amosragem periódica na qual os insanes de amosragem são igualmene espaçados e dados por k = k, k = 0, 1,,.... Amosragem de ordem múlipla nese caso k+r k é consane para odo k. Ou seja, um cero padrão de amosragem é repeido periodicamene. Amosragem com múliplas axas em casos onde o sisema de conrole possui vários laços envolvendo diferenes consanes de empo é conveniene à amosragem em ala freqüência para os laços com pequenas consanes de empo e amosragem em baixa freqüência para laços que envolvem consanes de empo lenas. Amosragem aleaória os insanes de amosragem são aleaórios. Na grande maioria das aplicações consideram-se apenas amosragem periódica. Do pono de visa do conrole é ineressane analisar o efeio que a amosragem em sobre o sinal a ser amosrado e as conseqüências para o desempenho do sisema. O desenvolvimeno a seguir apresena os faos básicos. Seja o processo de amosragem mosrado na Figura 9.3. e() e a () Figura 9.3: Processo de amosragem O amosrador convere o sinal conínuo em um rem de pulsos que ocorrem nos insanes = 0,,,... onde é o período de amosragem. O processo de amosragem é equivalene a muliplicar o sinal e() por um rem de pulsos periódicos, ou seja: e a () = e() p (9.3.1)

5 150 Capíulo 9: Inrodução ao Conrole Discreo δ () p () (a) rem de pulsos (b) rem de impulsos Figura 9.4: rem de pulsos onde p () é o rem de pulsos periódicos dado na Figura 9.4. O rem de pulsos pode ser aproximado por um rem de impulsos com o valor de impulso igual a 1 =, ou seja, a área do pulso. Enão: e a = e() δ () (9.3.) onde δ () é um rem de impulsos uniários represenado na Figura 9.4(b). A modelagem do processo de amosragem por um rem de impulsos é conveniene do pono de visa de derivação de vários resulados, como mosrado a seguir. O rem de impulsos pode ser represenado por δ () = e porano o sinal amosrado pode ser represenado por e a () = e() δ( k ) (9.3.3) δ( k ) (9.3.4) Esa expressão pode ser usada para calcular a ransformada de Fourier da função e a (). Para iso pode-se usar a propriedade da convolução na freqüência da ransformada de Fourier, dada a seguir. Propriedade 1 Se f 1 () em uma ransformada de Fourier F 1 (ω) e f () em uma ransformada de Fourier F (ω), enão f 1 () f () em uma ransformada 1 π F 1(ω) F (ω) dω. Usando-se esa propriedade em-se Mas F [e s ()] = π F [e()] F [ F [ δ( k ) ] = π δ( k ) ] δ(ω kω s ) k=

6 EEL-DAS-UFSC 151 onde ω s = π é a freqüência de amosragem. Ese úlimo resulado é derivado da ransformada de Fourier de um sinal periódico. Se f() é periódico, enão f() = F k e jknωa e F [f()] = π F k δ(ω kω a ) Aplicando-se ese resulado à função δ () = δ( k ) em-se [ ] F [δ ()] = F δ( k ) O k-ésimo coeficiene é calculado por F k = 1 δ()e jkωa d Usando-se a propriedade da função impulso em-se segue que em-se enão F [δ ] = π 1 F [e s ()] = π F [e()] ω a e jkωs d = 1 δ(ω kω a ) = ω a δ(ω kω a ) = E(ω) onde E(ω) = F [e()] denoa a ransformada de Fourier de e(). No enano, E(ω) δ(ω kω a ) = E(ω kω a ) Enão E a (ω) = F [e a ()] E(ω kω a ) δ(ω kω a ) δ(ω kω a ) E a (ω) é o especro de freqüências do sinal amosrado, o qual, pela expressão anerior, é calculado em ermos do especro de freqüências do sinal de enrada. Seja E(ω) o especro de freqüências do sinal a ser amosrado, com uma faixa de freqüências limiada, com valor máximo ω m, mosrado na Figura 9.5.

7 15 Capíulo 9: Inrodução ao Conrole Discreo E(ω 1 ω m ω m ω Figura 9.5: Especro do sinal conínuo E a (ω) 1 ω s ω m 0 ω m ω s ω s ω Figura 9.6: Especro do sinal conínuo E a (ω) 1 ω s 0 ω s ω s ω ω m Figura 9.7: Especro do sinal amosrado O especro do sinal amosrado, calculado pela expressão anerior é, para ω a > ω m, dado pela Figura 9.6. No enano, se ω a < ω m, o especro do sinal amosrado é aquele mosrado na Figura 9.7. Desa análise fica claro que a axa de amosragem deve ser suficienemene ala para garanir que as componenes de especro cenradas nas freqüências múliplas da freqüência de amosragem não serão superposos, o que impediria a recuperação do sinal não-amosrado. Esa condição de superposição é chamada de aliasing. O eorema de Shannon formaliza esa discussão. eorema 4 Um sinal conínuo no empo com uma ransformada de Fourier que é zero fora do inervalo ( ω m, ω m ) é dado de forma unívoca pelos seus valores em ponos eqüidisanes de a freqüência de amosragem é maior que ω m. O sinal conínuo pode ser calculado do sinal amosrado pela forma de inerpolação [ ] sen ωa( k) f() = k= f(k ) ω a( k ) onde ω a é a freqüência angular de amosragem em rad/seg.

8 EEL-DAS-UFSC 153 Como sinais reais sempre em componenes com freqüência elevada e como não seria econômico ou viável usar freqüências de amosragem muio elevadas, usa-se em geral um filro, chamado filro ani-aliasing, para raar o sinal anes anes da amosragem, reduzindo as componenes de ala freqüência, fora da faixa de ineresse. A freqüência ω a é chamada freqüência de Nyquis e deermina a faixa de freqüências onde deve esar conido o especro do sinal para que o aliasing seja eviado Reconsrução de sinais eoricamene seria possível recuperar o sinal original a parir do sinal amosrado. Para iso seria necessário um filro que deixasse passar o especro no inervalo ( ω m, ω m ), e corasse compleamene o especro fora dese inervalo. No enano, ese filro é realizável fisicamene, o que limia a possibilidade de reconsruir exaamene o sinal conínuo a parir do sinal amosrado. Iso fica claro a parir do eorema de Shannon, onde, embora seja eoricamene possível reconsruir o sinal a parir de uma série, amosras do sinal seriam necessárias no inervalo de a +, ou seja, o valor de f() depende de valores passados e fuuros e porano o sisema seria não causal. Pode-se enão usar vários méodos para reconsruir o sinal. O méodo usual em conrole digial consise no uso de um susenador de ordem zero. Susenador de ordem zero (SOZ) Esa é a forma mais simples de reconsrução do sinal, onde f() = f( k ), para k < k+1, como mosrado na Figura 9.8 e() Figura 9.8: Reconsrução com susenador de ordem zero Esa forma de amosragem é simples e pode ser usada para amosragem não periódica. No enano, uma inversa exaa da operação de amosragem só é dada para sinais que são conínuos à direia e consanes por pares nos inervalos de amosragem. Para odos os ouros sinais esa forma de amosragem produz um erro. Uma esimaiva do erro é dada por e SOZ = max f(k+1 ) f ( k ) h max f () k k Susenadores de ordem mais elevada Um susenador de ordem zero pode ser considerado como uma exrapolação usando um polinômio de ordem zero. Polinômios de ordem mais elevada podem ser usados para diminuir o erro de reconsrução.

9 154 Capíulo 9: Inrodução ao Conrole Discreo Se um polinômio de primeira ordem for usado em-se, por exemplo, um susenador de primeira ordem, dado por: f() = f( k ) + k k k 1 [f( k ) f( k 1 )], k < k+1 Susenadores de ordem mais elevada podem ser consruídos mas são mais difíceis de implemenar e porano pouco usados.

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