Aula - 2 Movimento em uma dimensão

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1 Aula - Moimeno em uma dimensão Física Geral I - F- 18 o semesre, 1 Ilusração dos Principia de Newon mosrando a ideia de inegral

2 Moimeno 1-D Conceios: posição, moimeno, rajeória Velocidade média Velocidade insanânea Aceleração média Aceleração insanânea Exemplos Enender o moimeno é uma das meas das leis da Física. A Mecânica esuda o moimeno e as suas causas. A sua descrição é feia pela CinemáFca. As suas causas são descrias pela Dinâmica. Iniciamos com o moimeno em 1- D. F18 o Semesre de 1

3 Quesão 1: Quais são, no SI, as unidades referenes a disância, elocidade e aceleração? 1. m/s; m; s;. km; km/h; m/s 3. m/s; m/s; m/s 4. m; m/s; m/s 5. nenhuma das alernafas F18 o Semesre de 1 3

4 Posição 1D Em cinemáica, os conceios de empo e posição são primiios. Um objeo é localizado pela sua posição ao longo de um eixo orienado, relaiamene a um pono de referência, geralmene omado como a origem (x ). Exemplo: x 1 x 7 x x 3 x 4 x 5 x 6 x O moimeno de um objeo consise na mudança de sua posição com o decorrer do empo. Um conceio imporane é o da relaiidade do moimeno: sua descrição depende do obserador. Já a escolha da origem é arbirária. A rajeória é o lugar geomérico dos ponos do espaço ocupados pelo objeo que se moimena. F18 o Semesre de 1 4

5 Deslocameno e Velocidade média O deslocameno unidimensional de um objeo num ineralo de empo ( - 1 ) é a diferença enre a posição final (x ) no insane e a posição inicial (x 1 ) no insane 1. A elocidade média é definida como: x x1 Δx m (unidade: m/s) Δ 1 Se Δx > m> senido de x crescene); (moimeno para a direia, ou no Se Δx < < (moimeno para a esquerda, ou no m ou no senido de x decrescene). F18 o Semesre de 1 5

6 Exemplo: (uma possíel represenação do moimeno) ) e enre ( ) e enre ( ) e enre ( x x x x x x m m m m m m < > de a 5, s : m 4 m/5,s 8, m/s de 5, a 1,5 s: m 6 m/5,5s 1,9 m/s Em odo o ineralo (de a 1,5 s) : m 1 m/1,5s 9,5 m/s Exemplo numérico: corrida de 1 meros. Exemplo: F18 o Semesre de 1 6

7 Velocidade média x() Velocidade média enre: Δx( ) m Δ e gθ + Δ Δx() A elocidade média nos dá informações sobre o moimeno em um ineralo de empo. Mas podemos querer saber a elocidade em um dado insane. θ Δ 1 x( ) D D + Δ F18 o Semesre de 1 7

8 Velocidade média x() Velocidade média enre: Δx( ) m Δ e gθ + Δ θ Δx() < 1 Δ + Δ F18 o Semesre de 1 8

9 Velocidade média x() Velocidade média enre: Δx( ) m Δ e gθ + Δ Δ θ Δx() + Δ F18 o Semesre de 1 9

10 Velocidade média x() Velocidade média enre: Δx( ) m Δ e gθ + Δ θ + Δ F18 o Semesre de 1 1

11 Velocidade insanânea x() ( ) Δx( ) Δ dx( d ) lim Δ gθ (a elocidade insanânea é a deriada da posição em relação ao empo) θ Velocidade insanânea em rea angene à cura F18 o Semesre de 1 11

12 Velocidade insanânea Geomericamene: ( ) lim Δ Δx Δ dx d Deriada angene Exemplo: No gráfico abaixo (corrida de 1 m), a elocidade em s é 9m ( s) 11,s 8,m s F18 o Semesre de 1 1

13 Visualização gráfica da deriada hp://mahdl.maa.org/images/upload_library/4/ol4/kaskosz/derapp.hml F18 o Semesre de 1 13

14 Algumas deriadas imporanes f () a f ( ) + b g( ) a consane n sinω cosω df ( ) / adf ( )/ d+ bdg( ) / d n n 1 ω cosω ω sinω d e λ λe λ 1 ln λ - F18 o Semesre de 1 14

15 Velocidade escalar média e elocidade média A elocidade escalar média é uma forma de descreer a rapidez com que um objeo se moe. Ela enole apenas a disância percorrida, independenemene da direção e do senido: disância oal percorrida em Δ Em muias siuações, em. m Enreano, essas duas elocidades podem ser basane diferenes. Exemplo: parícula pare de O, descree uma circunferência de raio r e reorna a O, depois de decorrido um empo T. Nese caso: m e π r em T A elocidade escalar é o módulo da elocidade; ela é desiuída de qualquer indicação de direção e senido. (O elocímero de um carro marca a elocidade escalar insanânea e não a elocidade, já que ele não pode deerminar a direção e o senido do moimeno). r o F18 o Semesre de 1 15

16 Quesão Uma iagem de Campinas a São Paulo é feia, em média em 1,5 horas. A disância enre esas duas cidades é de 15 km. Quais são a elocidade média e escalar média numa iagem de ida e ola à São Paulo, com uma parada oal de horas durane o percurso? 1. 6 e km/h. e 6 km/h 3. 1 e 6 km/h 4. 6 e 1 km/h 5. Nenhuma das acima F18 o Semesre de 1 16

17 Velocidade insanânea Um caso paricular: elocidade consane ( ) dx d m x x ou: x x ( ) Graficamene: x() () x x F18 o Semesre de 1 17

18 O cálculo de x() a parir de () Ese é o problema inerso. Considere inicialmene o caso de elocidade consane, iso é: x x ( ) () Noe que (- ) é a área sob a cura da elocidade consane em função do empo. Ese é um resulado geral. Para demonsrá-lo, usaremos que para ineralos de empo muio curos podemos escreer: Δx ( ) Δ, onde () é a elocidade insanânea em. F18 o Semesre de 1 18

19 O cálculo de x() a parir de () Diidimos o ineralo (- ) em um número grande N de pequenos ineralos Δ Δx ( ) Δ i i () ( i ) Δ x () x ( ) Δ x i ( ) Δ i i i () i No limie N e : x( ) x ( ) d Δx área F18 o Semesre de 1 19

20 O cálculo de x() a parir de () dx( ) ( ) e x( ) x d ( ) d A elocidade é obida deriando-se a posição em relação ao empo; geomericamene, a elocidade é o coeficiene angular da rea angene à cura da posição em função do empo no insane considerado. O deslocameno é obido pela ani-deriação (ou inegração) da elocidade; geomericamene, o deslocameno é a área sob a cura da elocidade em função do empo. F18 o Semesre de 1

21 Algumas inegrais imporanes f () a f ( ) + b g( ) a consane F() a F( ) + bg( ) n + 1, n 1 n / n + 1 sinω cosω e λ 1 a cosω / ω sinω / ω λ e / λ ln F18 o Semesre de 1 1

22 Quesão 3: Qual desses cinco gráficos de coordenada ersus empo represena o moimeno de uma parícula cujo módulo da elocidade esá aumenando? I II III IV V F18 o Semesre de 1

23 Aceleração média Aceleração média: a m Noe que a m ambém pode ser Exemplo: Um corredor acelera uniformemene aé aingir 1 m/s em 4, s. Maném a elocidade nos próximos 4,s e reduz a elocidade para 8, m/s nos 5,s seguines. Acelerações médias: de s aé 4s: a m 1 m/s / 4s,5 m/s 1 1 Δ Δ >, < ou. de 4s aé 8s: a m m/s / 4s m/s de 8s aé 13s: a m - m/s / 5s -,4 m/s (m/s) (unidade: m/s ) (s) F18 o Semesre de 1 3

24 Aceleração média Aceleração média enre: Δ( ) () a m gθ Δ e + Δ θ Δ() Δ + Δ F18 o Semesre de 1 4

25 Aceleração insanânea Aceleração insanânea em : () Δ( ) a( ) lim Δ Δ d( ) d gθ θ (a aceleração insanânea é a deriada da elocidade em relação ao empo) rea angene à cura da elocidade F18 o Semesre de 1 5

26 Aceleração insanânea a lim Δ Δ Δ d d Primeira Deriada () Gráficos Noe que d d dx a d d d 5,9m s a( s),7s, d x d Exemplo: Na corrida de 1 m, a aceleração em s é: m s Segunda deriada () a() F18 o Semesre de 1 6

27 Aceleração consane Se a aceleração a é consane: a a m ( ) ( ) Se e ( ), a elocidade fica: + a Noe que nese moimeno a elocidade média é dada por Como F18 o Semesre de 1 x x + ( m x x +, m ) emos: x x + + a () m / 7

28 Resumo: aceleração consane F18 o Semesre de 1 8 ( ) ( ) x x x x a a x x a As equações de moimeno para o caso de aceleração consane são:

29 Exemplo 1: O moimeno de uma parícula é descrio pela equação: x 4+ 3 ( x em me em s) a) fazer o gráfico de x(); b) calcular () e a() e fazer os gráficos correspondenes. dx ( ) 4 d d a( ) d ( m/s) ( m/s ) F18 o Semesre de 1 9

30 O GP de Mônaco 1 ola 3,34 km F18 o Semesre de 1 3

31 Veel no GP de Mônaco Velocidade (km/h) Tempo (s) Tempo Velocidade Tempo Velocidade Tempo Velocidade Link: hp:// F18 o Semesre de 1 31

32 Disância Percorrida e Velocidade Escalar Média 3 dx( ) ( ) e x( ) x d ( ) d Área sob a cura deslocameno Velocidade (km/h) em 1 ola 3.35km!!!!! disânciaoal 3.35 km 36s 163km h Δ 74s 1h Tempo (s) F18 o Semesre de 1 3

33 Aceleração a lim Δ Δ Δ d d Deria Velocidade (km/h) Aceleração (m/s ) X: 44.1 Y: X: 49 Y:.734 X: 5.9 Y: Tempo (s) Tempo (s) F18 o Semesre de 1 33

34 Aceleração da graidade Galileu, o primeiro físico moderno, esudou a queda dos corpos. Refuou as hipóeses de Arisóeles. Araés de experimenos, mosrou que os corpos caem com a mesma elocidade (aceleração), independenemene de sua massa. x ~, ~ : consequências de uma aceleração consane! F18 o Semesre de 1 34

35 Aceleração da graidade a resisência do ar!! Mas... deemos noar que há, em geral, ouras forças auando no corpo em queda considerado, o que pode frusrar uma experiência se não formos suficienemene cuidadosos. F18 o Semesre de 1 35

36 Resumo: aceleração consane (-g) As equações de moimeno para o caso da aceleração da graidade -g são (ao longo do eixo y): y y y y + g g 1 + g ( y y ) ( + ) Todo objeo em queda lire fica sujeio a uma aceleração dirigida para baixo, qualquer que seja seu moimeno inicial (objeos airados para cima ou para baixo ou aqueles solos a parir do repouso). 1 y g F18 o Semesre de 1 36

37 Exemplo Um corpo cai liremene a parir do repouso; calcule a sua posição e sua elocidade em 1,,, e 3, s. 1 y g e g y g Em 1, s: y - 4,9 m e -9,8m/s Coninuando, obenha os resulados da abela ao lado. F18 o Semesre de 1 37

38 O cálculo de () a parir de a() Ese é noamene o problema inerso. Considere inicialmene o caso de aceleração consane. Enão: a( ) Noe que a(- ) é a área sob a cura da aceleração a() consane em função do empo. Ese ambém é um resulado geral. Para demonsrá-lo, usaremos que para ineralos de empo muio curos podemos escreer Δ a( ) Δ a() onde a() é a aceleração insanânea no insane. a F18 o Semesre de 1 38

39 O cálculo de () a parir de a() Diidimos o ineralo (- ) em um número grande N de pequenos ineralos Δ. Δ a( ) Δ i i a() a( i ) Δ () ( ) Δ i a ( ) Δ i a No limie N à e Δà : i ( ) d i a() i Δ área F18 o Semesre de 1 39

40 O cálculo de () a parir de a() d( ) a( ) e ( ) d a( ) d A aceleração é obida deriando-se a elocidade; geomericamene, é o coeficiene angular da rea angene à cura da elocidade em função do empo no insane considerado. A elocidade é obida pela ani-deriação (ou inegração) da aceleração; geomericamene, a ariação de elocidade é igual à área sob a cura da aceleração em função do empo. F18 o Semesre de 1 4

41 Quesão 4 Baseado na cura da elocidade em função do empor e sabendo que em x para, escolha os gráficos de posição e aceleração que melhor represenam o moimeno desa parícula. 1. I. II 3. III 4. NDA 3 () 1-1 x() a() 3 () x() 3 () x() a() a() F18 o Semesre de 1 41

42 Moimeno relaio 1D Dadas as posições x A e x B de dois corpos A e B em relação a uma origem (referencial), a posição relaia de A em relação a B é dada por: x AB x A x B Enão, a elocidade relaia AB de A em relação a B é: dx AB dx A dx B AB A B d d d E a aceleração relaia a AB de A em relação a B é: d AB a AB aa ab d A AB + B Alernaiamene, podemos escreer: a a + a Regra mnemônica: F18 o Semesre de 1 + AT AB BT A AB B 4

43 Referencial Relaio: Exemplo Link: hp:// Ao fazer o reabasecimeno aéreo, os dois aiões êm elocidade relaia próxima de zero. hp:// F18 o Semesre de 1 43