MARCOS VELOSO CZERNORUCKI REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADORES EM ESTUDOS DE TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS

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1 MARCOS VELOSO CZERNORUCKI REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADORES EM ESTUDOS DE TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS Disseração apresenada à Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo para obenção do íulo de Mesre em Engenharia São Paulo 007

2 MARCOS VELOSO CZERNORUCKI REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADORES EM ESTUDOS DE TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS Disseração apresenada à Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo para obenção do íulo de Mesre em Engenharia Área de concenração: Sisemas de Poência Orienador: Prof. Dr. Luiz Cera Zanea Jr. São Paulo 007

3 FICHA CATALOGRÁFICA Czernoruci, Marcos Veloso Represenação de ransformadores em esudos de ransiórios eleromagnéicos / M.V. Czernoruci. -- São Paulo, p. Disseração (Mesrado) Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo. Deparameno de Engenharia de Energia e Auomação Eléricas..Transformadores e reaores.transiórios eleromagnéicos I.Universidade de São Paulo. Escola Poliécnica. Deparameno de Engenharia de Energia e Auomação Eléricas II..

4 À Carla, Isabel e Ana Beariz

5 AGRADECIMENTOS Ao Prof. Dr. Luiz Cera Zanea Jr., pela orienação dispensada no decorrer do rabalho. Aos Profs. Drs. Carlos Eduardo de Morais Pereira e José Aquiles Baesso Grimoni pelas sugesões e comenários apresenados no exame de qualificação. Às demais pessoas que, direa ou indireamene, conribuíram na execução dese rabalho.

6 SUMÁRIO Lisa de Figuras Lisa de Tabelas Lisa de Símbolos Resumo Absrac Inrodução.... Considerações iniciais.... Objeivo....3 Moivação Meodologia...3 Elemenos básicos de projeo...4. Cálculo do ramo de magneização Curva de magneização do ransformador em vazio Cálculo da reaância em núcleo de ar Componene de perda...4. Cálculo da resisência ôhmica e reaância de dispersão Resisência ôhmica Reaância de curo-circuio Proposição do modelo Desenvolvimeno do modelo sem o ramo de magneização Exensão do modelo para ouras configurações...4

7 3.3 Modelagem do ramo de magneização Transformador monofásico com dois enrolamenos Transformador monofásico com rês enrolamenos Transformadores rifásicos Resulados das eapas de verificação dos modelos Simulações preliminares Teses com os ransformadores em vazio Verificação do modelo monofásico Verificação do modelo rifásico Eapa final com o modelo compleo Aspecos observados durane as simulações Conclusão e desenvolvimenos fuuros...54 Anexo A Modelos de ransformadores disponíveis no ATP...56 A. Componene Transformador Saurável...58 A. Modelo RL série Méodo de Inegração Trapezoidal...6 Anexo B Exemplo numérico de cálculo de reaância no ar: manual e aravés do programa desenvolvido...64 Anexo C Trabalhos publicados sobre modelagem de ransformadores Esado da are...69 Referências bibliográficas...78

8 LISTA DE FIGURAS Figura. Paricipação dos ransformadores no sisema eléricos... Figura. Curva de magneização ípica...5 Figura. Grandezas geoméricas de uma bobina...7 Figura.3 Parâmeros para cálculo da induância múua...8 Figura.4 Bobinas ipo helicoidal...9 Figura.5 Bobinas ipo disco...0 Figura.6 Grandezas dimensionais de um conduor reangular...7 Figura.7 Grandezas para o cálculo de reaância de curo-circuio...7 Figura 3. Esquema equivalene de Gs enre os nós e m... Figura 3. Modelos compleos para ransformadores monofásicos de dois (a) e rês (b) enrolamenos...6 Figura 3.3 Modelos compleos para ransformadores rifásicos de dois (a) e rês (b) enrolamenos...7 Figura 3.4 Curva de magneização formada por segmenos de rea...9 Figura 3.5 Solução gráfica do Méodo da Compensação...30 Figura 4. Esquema de ransformador monofásico com dois enrolamenos...36 Figura 4. Esquema de ransformador monofásico com rês enrolamenos...37 Figura 4.3 Esquema de ransformador rifásico com dois enrolamenos...37 Figura 4.4 Esquema de ransformador rifásico com rês enrolamenos...37 Figura 4.5 Ondas de ensão dos enrolamenos e fase A (ransformador rifásico com dois enrolamenos)...40

9 Figura 4.6 Ondas de ensão dos enrolamenos e fase B (ransformador rifásico com dois enrolamenos)...40 Figura 4.7 Ondas de ensão dos enrolamenos e fase C (ransformador rifásico com dois enrolamenos)...4 Figura 4.8 Tensão de alimenação aplicada direamene à induância não linear...4 Figura 4.9 Correne no elemeno não linear ransformador monofásico com θ = Figura 4.0 Correne no elemeno não linear ransformador monofásico com θ = Figura 4. Correne no elemeno não linear ransformador monofásico com θ = Figura 4. Tensão de alimenação rifásica aplicada direamene às induâncias não lineares...45 Figura 4.3 Correne no elemeno não linear ransformador rifásico FASE A...45 Figura 4.4 Correne no elemeno não linear ransformador rifásico FASE B...46 Figura 4.5 Correne no elemeno não linear ransformador rifásico FASE C...46 Figura 4.6 Correne no elemeno não linear ransformador rifásico compleo FASE A...48 Figura 4.7 Correne no secundário ransformador rifásico compleo FASE A...48 Figura 4.8 Correne no elemeno não linear ransformador rifásico compleo FASE B...49 Figura 4.9 Correne no secundário ransformador rifásico compleo FASE B...49 Figura 4.0 Correne no elemeno não linear ransformador rifásico compleo FASE C...50 Figura 4. Correne no secundário ransformador rifásico compleo FASE C...50 Figura 4. Desconinuidade na curva de correne no elemeno não linear...5 Figura 4.3 Correne no elemeno não linear com empo de simulação de 00 milisegundos..5 Figura A. Modelo do ransformador em valores por unidade...57 Figura A. Componene Transformador Saurável do ATP...58 Figura A.3 Componene monofásica do STC...59

10 Figura A.4 Circuio equivalene do STC referido ao primário...60 Figura A.5 Circuio equivalene do STC referido ao secundário...6 Figura A.6 Ramo RL monofásico...6 Figura A.7 Represenação esquemáica do ramo RL monofásico...63 Figura B. Esquema de ligação do ransformador com pono abero...64 Figura B. Esquema de ligação do ransformador com regulação separada...66 Figura C. Esquema usado para o cálculo do fluxo oal...74

11 LISTA DE TABELAS Tabela 4. Valores de ensões nodais para ransformador monofásico com rês enrolamenos...39 Tabela 4. Curva de magneização uilizada na simulação Tabela 4.3 Curva de magneização uilizada na simulação Tabela 4.4 Curva de magneização uilizada na simulação Tabela 4.5 Resulado do cálculo da induância L m...5

12 LISTA DE SÍMBOLOS X m : reaância de magneização R m : resisência de magneização V: ensão no erminal I exc : correne de exciação AT: ala ensão BT: baixa ensão α: inclinação da região I na curva de magneização β: inclinação da região III na curva de magneização X AR : reaância em núcleo de ar X CC : reaância de curo-circuio N: número de espiras do enrolameno H: alura axial da bobina R d : largura radial da bobina D m : diâmero médio da bobina a: raio do enrolameno m : alura do enrolameno n : número de espiras disribuído do enrolameno A: raio do enrolameno

13 m : alura do enrolameno n : número de espiras disribuído do enrolameno S: disância axial enre os cenros dos enrolamenos x, x, x 3, x 4 : dimensões axiais enre cabeças dos enrolamenos e N, N : número de espiras dos enrolamenos e respecivamene r, r, r 3, r 4 : dimensões diagonais que são função de x e A L: induância própria de uma bobina M: induância múua enre bobinas B n : função dos adimensionais ρ n e α D, D : diâmeros médios dos enrolamenos e respecivamene δ, ρ, λ, λ 4, λ 6, ξ, ξ 4 : valores que compõem a série numérica para cálculo da induância múua P H : perda por hiserese H : coeficiene de perdas ligado à área do ciclo de hiserese B FE : indução magnéica máxima do núcleo α: consane dependene de B FE f: freqüência VE : vol/espira do ransformador S : seção ransversal do núcleo σ: faor de empilhameno das chapas de núcleo

14 P F : perda Foucaul F : coeficiene de perdas Foucaul e: espessura da chapa de aço silício P FE : perda no ferro (hiserese + Foucaul) R: resisência ôhmica ρ: resisividade do maerial conduor l c : comprimeno médio de uma espira S c : secção ransversal do conduor b: espessura (radial) do conduor h: alura (axial) do conduor r: raio de cano do conduor D : diâmero do núcleo a e a : radiais dos enrolamenos A e B respecivamene c e b: canais inernos aos enrolamenos A e B respecivamene L w : alura média dos enrolamenos h : faor para o cálculo da reaância de dispersão S d, S d0, S d : áreas correspondenes aos diâmeros médios do enrolameno A, do canal enre A e B, e do enrolameno B, respecivamene H d : fluxo de dispersão que aravessa as áreas S d, S d0 e S d NI: ampére-espira do ransformador para o par de enrolamenos A e B

15 V, V, I, I : ensões e correnes de fase nos enrolamenos A e B respecivamene S N : poência nominal do par de enrolamenos [L]: mariz de induâncias [R]: mariz de resisências C: capaciância RL: ramo composo por resisência e induância em série Gs: elemeno equivalene série de um ramo RL Rs: inverso do elemeno Gs [Gs]: mariz dos elemenos Gs [Rs]: inversa da mariz [Gs] [Fs]: mariz análoga à [Gs] usada em ransformadores com rês enrolamenos i m : correne enre os nós e m [i m ]: veor das correnes i m dos enrolamenos v, v m : ensões nos nós e m respecivamene : passo de inegração his: ermo hisórico [his]: veor dos ermos hisóricos [I]: mariz idenidade [A], [B]: sub-marizes definidas para a equação do ransformador saurável

16 R : resisência de curo-circuio do enrolameno L : induância de curo-circuio do enrolameno n : número de espiras do enrolameno n : número de espiras do enrolameno [Y]: mariz de admiâncias nodais do ransformador [v d ]: veor das ensões desconhecidas [Y dd ]: mariz de admiâncias dos nós de ensões desconhecidas [i d ]: veor das correnes desconhecidas [Y dc ]: mariz de admiâncias composa pelos nós de ensões conhecidas e desconhecidas [e c ]: veor das ensões conhecidas g, g, g, g : elemenos da mariz [Gs] para o ransformador com dois enrolamenos dv/di: derivada da ensão em relação à correne e 0 (), e 0 m(): ensões dos nós e m respecivamene da rede sem o elemeno não linear Z : impedância equivalene de Thèvenin visa pelos nós e m [Z ]: mariz das impedâncias equivalenes de Thèvenin z, z mm, z m : impedâncias exraídas a parir da inversão da mariz de admiâncias [Y] do ransformador λ m : fluxo enre os nós e m h(- ): valores hisóricos usados para o cálculo do fluxo λ m

17 a (), b () : coeficienes do segmeno de rea () i comp : correne de compensação [i comp ]: veor das correnes de compensação i comp A sa, B sa : faores que são função dos coeficienes a (), b () do segmeno () [A sa ], [B sa ]: marizes dos faores A sa e B sa de cada perna, usadas nos modelos rifásicos V: diferença de ensão enre os nós onde é conecado o elemeno não linear [ V]: veor das diferenças de ensão V V 0 : diferença de ensão enre os nós onde é conecado o elemeno não linear com a rede em vazio [ V 0 ]: veor das diferenças de ensão V 0 [Z hr ]: mariz de Thèvenin reduzida [ M ]: soma maricial de [ A ] + [ ] sa Z hr R : resisência de aerrameno N calc : relação de ensões calculada N nom : relação das ensões nominais dos enrolamenos l m : induância de magneização r c : resisência da carga l c : induância da carga E: ensão de alimenação do gerador

18 θ: defasameno angular R c L c : represenação para um ramo RL da carga L m : induância calculada em cada passo de inegração Z c : impedância capaciiva ω: freqüência angular di/d: derivada da correne em relação ao empo V RMS : ensão em valor eficaz I RMS : correne em valor eficaz I pico : correne em valor de pico Φ pico : fluxo magnéico em valor de pico i Rm, i m : correnes do ramo de magneização referenes a R m e X m respecivamene φ l : parcela do fluxo magnéico fora do núcleo φ m : parcela do fluxo magnéico denro do núcleo

19 RESUMO Esudos de ransiórios eleromagnéicos são imporanes fones de informação para que os ransformadores sejam dimensionados de maneira correa. No enano, para que ais esudos sejam bem sucedidos, os modelos uilizados devem refleir com fidelidade o comporameno do equipameno. Ese rabalho mosra como os elemenos do modelo de um ransformador são influenciados pelas dimensões geoméricas de sua pare aiva. Também inroduz uma formulação alernaiva, para o ransformador saurável (STC) do ATP, desenvolvida denro do programa MATLAB. Os ramos RL foram represenados usando o Méodo de Inegração Trapezoidal e a magneização foi equacionada pelo Méodo da Compensação. Uma das conribuições que esa disseração oferece é a possibilidade de idenificar erros numéricos que ocorrem em simulações do ATP, bem como permiir a inerpreação de resulados que apresenem oscilações numéricas.

20 ABSTRACT Elecromagneic ransien sudies are an imporan source of informaion o develop ransformer dimensioning. Bu, for he success of ha purpose, i is imporan he models which are being used reflec wih fideliy he behavior of he machine. This lecure presens how he ransformer model elemens are influenced by he acive par geomerical dimensions. I also inroduces an alernaive formulaion for he ATP saurable ransformer (STC), wrien inside he MATLAB program. The RL branches are represened using he Trapezoidal Rule and he magneizaion by he Compensaion Mehod. One of he conribuions of his disseraion is he possibiliy o idenify numerical errors ha occur in ATP simulaions, and also permi numerical oscillaory resuls inerpreaion.

21 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos Capíulo Inrodução. Considerações Iniciais Transformadores esão presenes ao longo de odo o sisema elérico. Ese fao em moivado a exisência de diversos esudos de ransiórios eleromagnéicos relacionados a eses equipamenos. Abaixo é ilusrada, na forma de diagrama unifilar, a diversidade de seu uso denro de um sisema de energia ípico. G 3,8-34,5 V ABAIXADOR REGULADOR cargas indusriais G G 440, 500, 800 V INTERLIGAÇÃO ABAIXADOR 30, 38, 69 V REGULADOR 3,8 V ELEVADOR 30, 38 V 7, 0 V cargas residenciais e prediais Figura. Paricipação dos ransformadores no sisema elérico Eses esudos fornecem informações imporanes para proprieários e, principalmene, concessionárias, que conabilizam seu faurameno sobre o monane de energia que é enregue ao cliene, uma vez que ransiórios eleromagnéicos esão enre as principais causas de falhas

22 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos em ransformadores. Tais dados permiirão que a proeção dos ransformadores seja devidamene dimensionada, levando em cona o efeio desas ondas ransiórias. Os fabricanes de ransformadores ambém podem exrair dados de grande relevância deses esudos, pois possibiliam que os equipamenos sejam adequadamene dimensionados para as soliciações reais, às quais as máquinas serão submeidas e que muias vezes divergem das ondas normalizadas. Para que eses esudos enham êxio e sejam realizados com relaiva freqüência e precisão, é fundamenal que os modelos uilizados sejam de fácil acesso, simples manipulação e uilizem ferramenas de uso comum, conhecidas dos engenheiros elericisas. Por esa razão realizamos o presene rabalho.. Objeivo Em um primeiro momeno é apresenada uma formulação simples para o cálculo dos elemenos básicos do modelo eórico de ransformadores, ais como o ramo de magneização e impedâncias de curo-circuio, a parir da geomeria do núcleo e das bobinas da pare aiva. O inuio não é fornecer o equacionameno para a consrução de um ransformador de poência, mas sim permiir que o pesquisador enha a sensibilidade de verificar como parâmeros geoméricos influenciam o modelo do mesmo, podendo aé esimá-los em uma fase inicial de concepção do sisema, quando não se em odas as informações sobre o equipameno. O objeivo principal dese rabalho é a consrução de modelos, onde eses elemenos são inseridos possibiliando que o ransformador consruído seja esudado focando em seu comporameno quando submeido à sobreensões com frees de onda lena. Os resulados dos modelos são validados aravés de simulações equivalenes uilizando-se o programa ATP (Alernaive Transiens Program). O MATLAB, sofware uilizado na programação, possui um modelo já prono em seu oolbox, mas como ele é equivalene ao do ATP, não será usado como base de validação dos resulados.

23 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 3.3 Moivação A moivação dese rabalho esá em desenvolver modelos de ransformadores em uma linguagem de programação conhecida e que possam ser usados em esudos de ransiórios eleromagnéicos de um deerminado sisema elérico. Fuuramene, eses modelos poderão ser inseridos em uma rede mais complexa, sendo programados na mesma base de dados. Oura conribuição é a possibilidade de idenificar erros numéricos que ocorrem em simulações do ATP, bem como permiir a inerpreação de resulados que apresenem oscilações numéricas. Algumas delas são provenienes do Méodo de Inegração Trapezoidal. Com isso, uma análise mais dealhada, indica um poencial fuuro de melhoria e aperfeiçoameno dos modelos proposos, uma vez que os mesmos já esão sendo esados e sua fidelidade comprovada aravés dos resulados das simulações..4 Meodologia Foram escrios modelos de ransformadores monofásicos e rifásicos, como dois e rês enrolamenos, em ligação esrela aerrada. O desenvolvimeno deles surgiu como uma implemenação alernaiva para o modelo mais recene do ATP, chamado Saurable Transformer Componen (STC). Capaciâncias não fizeram pare dese modelameno, mas poderão ser incluídas caso haja ineresse no esudo realizado. Cada modelo foi confronado em seus dealhes com os resulados fornecidos por simulações equivalenes uilizando o programa ATP, verificando as correnes, ensões e fluxos que apareciam enre nós onde conecamos o ramo de magneização, resisências e induâncias de curo-circuio e cargas.

24 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 4 Capíulo Elemenos Básicos de Projeo Nese capíulo buscamos expor um equacionameno simples, porém práico sobre o projeo de um ransformador, o qual foi exraído basicamene de [4], [8], [0] e [9]. Traa-se de uma fone imporane de informação, apresenando como as grandezas eléricas de um ransformador de poência variam de acordo com sua geomeria da pare aiva (núcleo e enrolamenos).. Cálculo do Ramo de Magneização O modelo do ramo de magneização de um ransformador é composo por dois elemenos principais: o primeiro em naureza reaiva (X m ) e modela a caracerísica não linear do núcleo ferromagnéico, podendo ser exraído da curva de magneização do ransformador. O segundo em naureza resisiva (R m ), represenando a perda em vazio. Eses dois componenes esão presenes quer o equipameno opere em carga ou em vazio... CURVA DE MAGNETIZAÇÃO DO TRANSFORMADOR EM VAZIO O levanameno da curva de magneização de ransformadores é um esudo basane soliciado pelos compradores aos fabricanes. Iso porque dela se obêm informações imporanes para análises do comporameno do equipameno quando ese é submeido a sobreensões de diferenes magniudes e períodos. Ela possui uma caracerísica singular para cada projeo, podendo ser adoada a mesma curva para as diversas unidades de um mesmo loe de ransformadores.

25 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 5 A curva de magneização relaciona a ensão de um deerminado erminal (AT, BT, erciário) com a correne de exciação nese erminal, podendo ser dividida em rês pares disinas: região de permeabilidade magnéica consane, joelho e sauração. A figura. mosra esas rês regiões denro da curva. V (%) região II região III região I α β Iexc (%) Figura.: Curva de magneização ípica Região I: Região II: Região III: Permeabilidade magnéica consane Joelho Sauração A região de permeabilidade consane é aquela na qual a correne de exciação do núcleo varia linearmene com o aumeno da ensão nos erminais do ransformador, ou seja, a reaância é definida apenas por an(α). Nesa região o núcleo opera como o caminho de menor reluância ou maior permeabilidade magnéica, a qual se maném consane em odo ese recho da curva. Na região II ocorre a chamada deformação não linear, que indica o início da sauração do maerial, no enano os domínios magnéicos não esão compleamene alinhados.

26 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 6 O comporameno em vazio do ransformador nas regiões I e II é definido basicamene pelo maerial ferromagnéico que esá sendo uilizado no núcleo. A reaância de magneização do ransformador, como descrio em [], é definida por: V X m = (.) I exc Já na região III ocorre o pleno alinhameno deses domínios, saurando compleamene o maerial. Com isso as linhas de fluxo fecham-se exernamene ao núcleo. A reaância an(β) é muio menor que aquela definida na região I e recebe o nome de reaância em núcleo de ar, por não mais conar com o núcleo para que haja o fechameno das linhas de fluxo magnéico gerado pelas bobinas do ransformador. Um valor esimaivo para a reaância em núcleo de ar é aproximadamene igual a duas vezes a reaância de dispersão do ransformador, conforme ciado em [] e [7]. X. (.) AR X CC Onde: X AR : reaância em núcleo de ar X CC : reaância de curo-circuio A medição dos valores que compõem a região III da curva não é feia no laboraório de ensaios, pois há dificuldade que os níveis de ensão desa região sejam aingidos sem que exisa disorção na forma de onda, devido à sauração dos próprios equipamenos de medição, causando dese modo imprecisão nos valores medidos. Para eviar ese problema, os ponos da região III são obidos enquano as bobinas não foram conjugadas ao núcleo, esando ainda na linha de fabricação, conecando os enrolamenos que compõem o erminal que se deseja ensaiar, na condição de garania. Esa medição fornecerá os valores correspondenes à rea ponilhada, com inclinação β, ilusrada na figura..

27 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 7.. CÁLCULO DE REATÂNCIA EM NÚCLEO DE AR As reaâncias próprias e múuas em núcleo de ar são calculadas a parir do dimensional das bobinas do ransformador, endo como variáveis os valores de diâmeros, número de espiras, aluras radial e axial, ec. A induância própria de uma bobina é dada pela seguine equação, baseada em [4]: e onde: L = = D + 0,45 H m ( πd N ) 9 + m H R 0,64 D 0 d m [H] (.3) Rd + 0,84 H N: é o número de espiras do enrolameno H: é a alura axial da bobina, em cenímeros R d : é a largura radial da bobina, em cenímeros D m : é o diâmero médio, em cenímeros A figura abaixo mosra de forma mais clara as dimensões da equação (.3). D m R d H Figura. Grandezas geoméricas de uma bobina

28 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 8 No caso dos erminais serem conecados aravés de duas ou mais bobinas em série, as induâncias múuas devem ser adicionadas à própria, formando a induância oal do conjuno [8]. Assumem-se duas bobinas concênricas, com raio, alura e número de espiras disribuído dados por a, m, n e A, m, n, respecivamene para cada um dos enrolamenos e que o raio A é maior que o raio a. Ainda considera-se a disância axial S enre os cenros dos enrolamenos, que deermina a posição relaiva enre eles, pois eles podem esar oalmene separados, parcialmene conjugados para cima ou para baixo, ou compleamene conjugados. a m x S x 4 A x x 3 m Figura.3 Parâmeros para cálculo da induância múua Da figura.3, podemos escrever as seguines relações geoméricas: ( m ) x + x = S + m ( m ) S + m = (.4)

29 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 9 x ( m ) 3 = S m ( m ) x + 4 = S m Como foi dio aneriormene n e n são os números de espiras disribuídos ao longo do enrolameno. Quando uma bobina é consruída do ipo camada ou helicoidal, a alura do enrolameno é proporcional ao número de espiras, pois odas as espiras enconram-se disribuídas no senido axial. Já em uma bobina ipo disco, as espiras são disribuídas em cada disco no senido radial e o número oal de espiras é dado, de forma genérica, pelo número de espiras por disco muliplicado pelo número de discos oal do enrolameno. Desa maneira o ipo de bobina usada no projeo é levado em cona no cálculo da reaância no ar. N n = e m N n = (.5) m A figura.4 mosra duas bobinas ipo hélice, com fios reangulares em paralelo, formando um único feixe [7]. Consruivamene a principal diferença enre uma bobina ipo hélice em relação à do ipo camada, são os espaçadores no senido axial, que são usados nas bobinas helicoidais, por moivos dieléricos e érmicos. Figura.4: Bobinas ipo helicoidal Na figura.5 emos duas bobinas ipo disco, exraídas de [8] e [9]. Esas podem ser idenificadas exernamene pela presença de cruzamenos enre os discos, que são as passagens

30 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 0 dos fios de um disco para o seguine. Normalmene a quanidade de fios paralelos é bem menor que a de um enrolameno ipo helicoidal, mesmo porque esas bobinas, geralmene são usadas em enrolamenos de ala ensão e baixa correne. Porém como conseqüência disso, a bobina possui grande número de espiras, levando cada disco a acomodar diversas espiras radialmene. Eses podem ser do ipo conínuo ou esabilizado, dependendo das soliciações dieléricas enconradas em fase de projeo. Figura.5: Bobinas ipo disco Após calcularmos os parâmeros x n, sendo n =,, 3 e 4, é possível obermos as dimensões das diagonais, endo como referência do raio A do enrolameno exerno. r + = A x r = + (.6) A x r + 3 = A x3 r + 4 = A x4

31 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos A equação geral da induância múua é apresenada em [8] e dada pela seguine expressão: [ r B r B r B r ] M = π + (µh) (.7) 0,00 a nn B4 Onde B n, sendo n =,, 3 e 4, é uma função da inerpolação dos parâmeros ρ n e α, podendo ser obido aravés das abelas 9 e 30 de [8]. e A ρ n = (.8) r n a α = (.9) A Onde ρ n e α são números adimensionais. Na práica, para enrolamenos axialmene siméricos, procura-se fazer com que o deslocameno enre cenros S seja nulo. Ese fao leva a uma simplificação da equação (.7), pois x = m + m, x = m m e ainda x 4 = -x, x 3 = -x. As diagonais formuladas aneriormene passam a ser r 4 = r e r 3 = r. A equação simplificada da induância múua passa a ser: 6 [ r B r ] 0 M π (H) (.0) = 0,004 a nn B Dificilmene, os erminais são formados por mais de dois enrolamenos, a não ser no caso de auoransformadores, ou ransformadores especiais. O cálculo da induância múua é feio aos pares, porano se um deerminado erminal possuir, por exemplo, rês enrolamenos, o cálculo deve ser realizado com descrio acima e a induância oal obida como segue: ( M + M ) L oal = L + (H) (.) + L + L M 3 A parcela das induâncias múuas é muliplicada por dois, devido ao fao de M ij = M ji. Podemos escrever a equação genérica para n enrolamenos:

32 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos j i n j n i ij nn oal M L L L L = = =... (H) (.) Apesar do equacionameno acima ser simples, o uso de abelas leva a algumas limiações para a programação e implemenação dese algorimo. Por esa razão a própria referência [8] apresena um méodo alernaivo para o cálculo da induância múua que uiliza ouros parâmeros, baseados em séries numéricas, faciliando sua formulação em programa de compuador. Traa-se de uma derivação da equação (.0): 3 0 0,00 = K A N N a M ρ δ ρ ρ π (H) (.3) Onde: = ρ δ ξ λ ρ δ ξ λ ρ δ ξ λ λ K Porém na práica, as parcelas a parir de λ 6 passam a ser desprezíveis, podendo ser desconsideradas no equacionameno , = ρ δ ξ λ ρ δ ξ λ λ ρ δ ρ ρ π A N N a M (H) (.4) Chamando de D o diâmero médio do enrolameno inerno e D o diâmero médio do enrolameno exerno, podemos reescrever a equação como descrio a seguir: ,00 = K D N N D M ρ δ ρ ρ π (H) (.5) Onde: + + = ρ δ ξ λ ρ δ ξ λ λ K ( ) 4 4 m D + = δ

33 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 3 e D ρ = + 4 ( ) m λ = 7 6 δ 4 D λ = D + δ 33 8 D δ 4 4 ainda λ = D δ 43 D + 8 δ D ξ = 6 ρ D δ 6 6 ξ 4 = 9 8 D + ρ 33 8 D ρ 4 4 Com ese equacionameno é possível calcular eoricamene o valor de reaância no ar percenual e raçar a curva de magneização do ransformador calculando X m em qualquer condição, aravés da equação (.). O resulado da reaância no ar pode ser confirmado aravés de ensaio em fábrica, como foi mencionado aneriormene. Foi desenvolvida uma roina de programação, junamene com ese esudo, para que a reaância em núcleo de ar seja calculada compuacionalmene. No anexo B dese rabalho expomos dois exemplos numéricos, mosrando quais são os dados de enrada dese programa e seus resulados.

34 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 4..3 COMPONENTE DE PERDA A segunda componene do ramo de magneização é a que se refere à perda no ferro. Conforme descrio em [0] e [], esa pode ser dividida em duas componenes: por hiserese e Foucaul, por correnes induzidas. A perda por hiserese deve-se à reorienação dos domínios denro da esruura crisalina do maerial ferromagnéico, devido à magneização cíclica (alernância de fluxo). Sua expressão é dada por: Sendo: P H α ( B ) f = (.6) H FE H : coeficiene de perdas ligado à área do ciclo de hiserese; B FE : a indução magnéica máxima do núcleo; α: consane dependene de B FE, que varia enre,6 e,, sendo um valor ípico igual a ; f: freqüência. A equação (.5) ambém pode ser escria da seguine forma, assumindo o valor ípico de α = : P H ( B ) f = (.7) H FE Da equação básica do ransformador, é possível exrair o valor de B FE : Onde VE B FE = (.8) 4 4,44 fs 0 VE : vol/espira do ransformador S : seção ransversal do núcleo dada em cenímeros, a qual pode ser calculada como: πd S = σ (.9) 4

35 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 5 Sendo σ é o faor de empilhameno das chapas de núcleo, o qual possui um valor ípico da ordem de 0,96. Já a perda Foucaul ou por correnes parasias é gerada pela energia dissipada por efeio Joule, devido à circulação de correnes induzidas na massa meálica do maerial do núcleo, pela variação emporal do fluxo magnéico confinado em seu inerior. Sua expressão é dada por: Onde: ( B ) f e P = (.0) F F FE F : é o coeficiene de perdas Foucaul, inversamene proporcional à resisividade ρ do maerial; B FE : a indução magnéica máxima do núcleo; f: freqüência; e: é a espessura da chapa de aço silício, normalmene dada em milímeros. Com essas duas componenes calculadas, podemos chegar à perda ferro oal dada por: ou ( ) VE PFE = PH + PF = H f + F f e πd 4 4,44 0 (.) f σ 4 P H FE = + F e f πd 4 4,44 0 (.) VE 4 σ E a componene de perda R m é dada por: R m V = (.3) P FE Onde V é a ensão de alimenação.

36 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 6 Com isso podemos ober os valores que compõem o ramo de magneização (X m e R m ), calculados a parir de valores geoméricos do núcleo.. Cálculo da Resisência Ôhmica e Reaância de Dispersão.. RESISTÊNCIA ÔHMICA A resisência ôhmica de uma bobina pode ser calculada, como descrio em [0], a parir da seguine equação eórica básica: Onde: N R ρl S c = (.4) c ρ: é a resisividade do maerial conduor. No caso do cobre ρ =,7*0-8 Ω.m (à 0 C); l c : é comprimeno médio de uma espira; N: é o número de espiras; S c : é a secção ransversal do conduor. No caso de um conduor reangular, que é o usualmene uilizado em ransformadores de grande pore, os canos dos conduores são arredondados, para eviar a presença de canos vivos que aumenam a soliciação dielérica quando o enrolameno esá imerso em uma região de ala inensidade de campo elérico. Com isso a seção do conduor pode ser calculada da seguine forma: Onde: S c ( 4 π ) r = bh (.5) b: é a espessura (radial) do conduor; h: é a alura (axial) do conduor; r: é o raio de cano;

37 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 7 ρlc N R = (.6) bh ( 4 π ) r r r r h b Figura.6 Grandezas dimensionais de um conduor reangular.. REATÂNCIA DE CURTO-CIRCUITO A reaância de curo-circuio é influenciada, em ermos de projeo, pela geomeria dos enrolamenos, incluindo canais inermediários e conra o núcleo, como é apresenado em [9]. Abaixo descrevemos de forma simplificada o cálculo desa grandeza para um ransformador de dois enrolamenos: c A B Lw b D a a Onde: Figura.7 Grandezas para o cálculo de reaância de curo-circuio D : é o diâmero do núcleo a e a : são os radiais dos enrolamenos A e B respecivamene c e b: são os canais inernos aos enrolamenos A e B respecivamene L w : é a alura média dos enrolamenos

38 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 8 Define-se o faor de h como sendo: e as áreas: S S S h a + a + b = (.7) πlw 6 ( D + c + a ) d = π 0 [m ] 6 ( D + c + a + b) a 3 d 0 = π b0 [m ] (.8) 6 ( D + c + a + b + a ) d = π 0 [m ] S = S + S + S [m ] d d d 0 d a 3 O fluxo de dispersão que aravessa essas áreas pode ser calculado como segue: H d = (,4π NI ) 3 0 h L w 0 [T] (.9) Onde NI é o ampére-espira do ransformador para o par de enrolamenos. E as ensões de curocircuio primário e secundário: = 4, 44 fn S d H d [V] E Onde: E = 4, 44 fn S d H d [V] (.30) f: é a freqüência nominal de projeo N e N : são os números de espiras dos enrolamenos A e B respecivamene Finalmene, a reaância de curo-circuio por fase pode ser definida como a razão enre a poência reaiva sobre a poência nominal do ransformador. Onde: ( EI ) ( E ) 00 I 00 (%) X cc = = (.3) S S N N

39 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 9 I e I : são as correnes nos enrolamenos A e B respecivamene; S N : é a poência nominal do par de enrolamenos.

40 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 0 Capíulo 3 Proposição do Modelo No capíulo apresenamos equações que nos permiem ober os parâmeros do modelo eórico de um ransformador a parir de suas dimensões geoméricas. Eses valores poderão ser inseridos em um programa de ransiórios eleromagnéicos e simulados em uma rede elérica que se deseje esudar. O ATP possui um modelo de ransformador saurável denominado STC, cuja equação é deduzida no anexo A dese rabalho. A mariz [L] da equação (A.6), para valores muio baixos de impedância de curo-circuio ou correne de exciação desprezível, pode orna-se mal condicionada, pelo fao de seu deerminane ser praicamene nulo, apresenando possíveis problemas numéricos de inversão []. Por isso buscamos um méodo alernaivo que modele o ransformador sem depender direamene da inversão de [L], mas rabalhe com sub-marizes, procurando eviar ese mal condicionameno durane seu processo de manipulação. A proposição apresenada nese capíulo é aplicada para o modelo STC do ATP, que é descrio pela equação (A.3). A magneização é modelada aravés do Méodo da Compensação, pelo cálculo do equivalene de Thèvenin para os modelos monofásicos e rifásicos, sendo a curva de magneização do ransformador represenada por segmenos de rea, que em conjuno aproximam um comporameno não linear.

41 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 3. Desenvolvimeno do Modelo sem o Ramo de Magneização No anexo A apresenamos o modelo para um ramo RL série, chegando à equação final (A.5). Definimos L + R como Gs, podendo escrever a correne enre dois nós e m como: L im ( ) = Gs[ v ( ) vm ( ) ] + Gs [ v ( ) vm ( ) ] + Rim ( ) (3.) Ou simplesmene: i m [ v ( ) v ( ) ] + his( ) ( ) = Gs (3.) m Onde his é o ermo hisórico que guarda as informações de correnes e ensões do passado, e pode ser escrio da seguine forma: L his( ) = Gs [ v ( ) vm ( ) ] + Rim ( ) A figura A.7 do anexo A pode ser represenada da seguine maneira: v () Gs v m () m i m () his ( - ) Figura 3. Esquema equivalene de Gs enre os nós e m Podemos escrever Gs na forma maricial, a parir da inversão de [Rs]:

42 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + = + = I R L L L R Rs (3.3) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + = = L R L I Rs Gs (3.4) Onde [I] é a mariz idenidade. Definindo as marizes [A] e [B] da equação (A.3): [ ] = L R L R A 0 0 e [ ] = n n n n n n L B (3.5) Com isso escrevemos o veor de correnes [i m ()]: [ ] [ ] [ ] [ ] { } [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( his v v Gs i m m + = (3.6) Onde [his(- )] é o veor dos ermos hisóricos, que pode ser escrio como: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + = ) ( ) ( ) ( ) ( i R L v v Gs his m m Podemos escrever a mariz [Gs], definida em (3.4) em ermos de [A] e [B], como segue: [ ] [ ] [ ] [ ] B A I Gs = (3.7) Noe que as marizes [A] e [B] podem sempre ser inveridas, ou seja, o problema de condicionameno de [L] não exise mais. Porano o veor dos ermos hisóricos, agora em função de [A] e [B] é descrio como: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + = ) ( ) ( ) ( i R L v B A I his m m (3.8) Podemos ainda fazer:

43 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 3 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = R L I L R L (3.9) Ou da seguine forma: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = R L I L R L (3.0) Se escrevermos a expressão acima em função das marizes [A] e [B], emos: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + = A I B R L (3.) Assim o veor dos ermos hisóricos é definido da seguine maneira: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + + = ) ( ) ( ) ( v i A I B B A I his m m (3.) Finalmene o veor [his(- )], pode ser expresso pela seguine equação: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] + + = ) ( ) ( ) ( v B i A I A I his m m (3.3) E o veor [i m ()], da seguine forma: [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] ) ( ) ( ) ( his v B A I i m m + = (3.4) Do iem 8.3 de [], podemos exrair a seguine proposição para a manipulação de uma mariz misa, a parir do equacionameno considerando uma rede genérica: [ ] [ ] [ ] [ ][ ] { } c dc d dd d e Y i Y v = (3.5) Onde :

44 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 4 [v d ]: veor das ensões desconhecidas [Y dd ]: mariz de admiâncias dos nós de ensões desconhecidas [i d ]: veor das correnes desconhecidas [Y dc ]: mariz de admiâncias composa pelos nós de ensões conhecidas e desconhecidas [e c ]: veor das ensões conhecidas Os nós de ensões desconhecidas são os nós do ransformador e esão represenados nas figuras 3. e 3.3 em cor vermelha. Os nós de ensões conhecidas são os que conecamos ao gerador de ensão que alimena o ransformador com uma ensão E. A mariz [Y dd ] é a própria mariz de admiância [Y] do ransformador modelado e as ensões nodais, que compõem o veor v d, para cada insane de inegração incremenado de, são obidas aravés de: [ ( ) ] = [ Y ] {[ his( ) ] [ Y ] E} v (3.6) Com isso, as ensões nos erminais do ransformador são calculadas a parir dos ermos hisóricos do passo anerior. 3. Exensão do Modelo para Ouras Configurações Com base na formulação apresenada no iem 3., escrevemos quaro modelos de ransformadores no programa MATLAB, que são os seguines: ) Transformador Monofásico com Dois Enrolamenos ) Transformador Monofásico com Três Enrolamenos 3) Transformador Trifásico com Dois Enrolamenos 4) Transformador Trifásico com Três Enrolamenos Na verdade, os demais modelos são exensões do caso monofásico com dois enrolamenos. No início dese capíulo, definimos [Gs]. A mesma faz pare da composição da mariz de admiâncias do ransformador, sendo escria como segue:

45 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 5 g g Gs (3.7) g g [ ] = No caso de um ransformador monofásico com dois enrolamenos, [Gs] é inserida na mariz de admiâncias [Y] do ransformador da seguine maneira: [ ] [ Gs] [ Gs] [ ] [ ] Gs + Gs + Y = (3.8) A mariz [Y] para ese caso em a dimensão 4x4, pelo fao do modelo ser consiuído por quaro nós. Para o ransformador monofásico com rês enrolamenos são inseridos dois nós para a represenação do segundo, secundário ou erciário. Com isso a mariz [Y] passa a er uma dimensão 6x6, e uma mariz [Fs] é inroduzida para diferenciar os dois conjunos primáriosecundário e primário-erciário na consrução de [Y]. Nos modelos rifásicos, inuiivamene as dimensões das marizes deveriam riplicar em relação aos casos monofásicos. Porano, a mariz do ransformador rifásico de dois enrolamenos seria de dimensão x e a do rifásico de rês enrolamenos 8x8. Porém, como esamos rabalhando com modelos em ligação esrela, não faz senido que cada fase enha um pono neuro isolado dos demais, pois não é o que ocorre na práica. Assim, cada pono neuro nos modelos rifásicos foi considerado único para as rês fases, fazendo com que a mariz rifásica de dois enrolamenos se ornasse de dimensão 8x8 e a de rês enrolamenos x. A monagem das marizes ambém deve levar em cona elemenos exernos ligados ao ransformador, como cargas conecadas ao secundário, resisores de aerrameno, ec. No iem 3.3 os modelos serão compleados com a inserção do ramo de magneização no nó S do STC. A seguir são apresenadas, de maneira ilusraiva, as redes compleas consideradas nas simulações do capíulo 4.

46 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 6 (a) (b) Figura 3. Modelos compleos para ransformadores monofásicos de dois (a) e rês (b) enrolamenos

47 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 7 (a) (b) Figura 3.3 Modelos compleos para ransformadores rifásicos de dois (a) e rês (b) enrolamenos

48 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos Modelagem do Ramo de Magneização Para a realização de esudos ransiórios, ais como correnes de inrush e ferro-ressonância, é fundamenal que a magneização do núcleo seja represenada. No capíulo vimos que o ramo de magneização de um ransformador é composo por duas componenes: uma de naureza induiva (X m ) e oura resisiva (R m ). A componene de perdas (R m ) não será considerada nese rabalho, porém sua inserção nos modelos pode ser feia facilmene. Focaremos a componene não linear do ramo de magneização. Ese efeio é represenado na figura., onde é mosrado que a derivada dv/di varia dependendo do recho da curva em que o equipameno esiver operando. Esa curva pode ser aproximada por rechos lineares, que em conjuno erão um comporameno não linear. A referência [] apresena rês méodos para a inrodução de um elemeno não linear em um sisema, sendo que adoaremos a formulação do Méodo da Compensação [], que consise em resolver o seguine equacionameno, aravés da obenção do equivalene de Thèvenin do sisema linear: 0 0 v ( ) v ( ) = e ( ) e ( ) Z i ( ) (3.9) m m m Onde: v () e v m (): são as ensões dos nós e m respecivamene da rede com o elemeno não linear; e 0 () e e 0 m(): são as ensões dos nós e m respecivamene da rede sem o elemeno não linear; Z : é a impedância equivalene de Thèvenin visa pelos nós e m; i m : é a correne que percorre o elemeno não linear. É imporane lembrar que a rede visa pelos nós onde será conecado o elemeno não linear deve ser linear. Tomando os modelos de ransformadores monofásicos e rifásicos, a impedância equivalene de Thèvenin é aquela visa respecivamene pelos nós -3 (em vermelho), conforme represenado na figura 3. e -3, 5-3 e 7-3 (em vermelho) na figura 3.3.

49 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 9 Como esá deduzido em [], inserindo um gerador de correne uniário (+) no nó e (-) no nó m, podemos escrever: Z = v v = z + z z (3.0) m mm m Onde as impedâncias z, z mm e z m podem ser exraídas a parir da inversão da mariz de admiâncias [Y] do ransformador. Vamos descrever a seguir o equacionameno que foi desenvolvido para os modelos monofásicos e rifásicos TRANSFORMADOR MONOFÁSICO COM DOIS ENROLAMENTOS De acordo com o que mencionamos acima, a solução do equacionameno aravés do Méodo da Compensação, consise em resolver a equação (3.9). Em um ransformador monofásico somene um elemeno não linear deve ser inroduzido para represenar a magneização. Ese é caracerizado por uma curva que define a caracerísica λ x i do maerial. Figura 3.4: Curva de magneização formada por segmenos de rea Genericamene, podemos escrever o fluxo enre dois nós e m, como sendo: [ v ] ( ) vm ( λ ( ) = λ ( ) + ) d (3.) m m Aplicando o Méodo de Inegração Trapezoidal, emos:

50 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 30 λ m ( ) = λm ( ) + [ v ( ) vm ( ) + v ( ) vm ( ) ] (3.) E definimos o ermo dos valores hisóricos como sendo: h( ) = λ m ( ) + [ v ( ) vm ( ) ] (3.3) A diferença de ensão enre os nós e m, exraída de (3.), é uma função de λ=f(i) da correne i m, corrigida pelo ermo dos valores hisóricos h (- ): v ( ) vm ( ) = [ f ( i) h( ) ] (3.4) Podendo definir: f ( i) = [ f ( i) h( ) ] (3.5) Porano, a solução dese equacionameno seria o pono onde as curvas das equações (3.9) e (3.5) se enconram. Figura 3.5 Solução gráfica do Méodo da Compensação

51 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 3 A função f (i) descreve a curva de magneização do elemeno não linear definida por segmenos de rea, como mosra a figura 3.4. A parir da equação de uma rea genérica, escrevemos: λ = f ( i) = ai + b (3.6) Subsiuindo (3.6) em (3.5) chegamos em: f [ a i + b h( )] i) = ( ) comp ( (3.7) ( ) Onde, indica o segmeno de rea (,, 3,...) que o ransformador esá operando em deerminado insane de empo e i comp é a correne de compensação enre os nós e m onde esá conecado o elemeno não linear. Definimos enão os faores A sa e B sa, como sendo: A sa a( = ) e B [ b h( )] sa = ( ) (3.8) E escrevemos (3.7) como função deses faores: f + ( i) = Asaicomp Bsa (3.9) Noe que, para o recho, o valor de b () é zero. Para um recho genérico, é possível definir os coeficienes a () e b () de acordo com a equação da rea da qual eles fazem pare. Sejam i e j ponos que deerminam o seguimeno de rea da curva λ x i comp : λ = a i + b (3.30) i ( ) comp _ i ( ) λ = a i + b (3.3) j ( ) comp _ j ( ) Subraindo (3.3) de (3.30), obemos a equação de a (). a ( ) = i λ λ j comp _ j i i comp _ i (3.3) Aravés de uma manipulação das equações acima, podemos escrever b () como:

52 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 3 b ( ) λ i = i i comp _ j comp _ j λ i i j comp _ i comp _ i (3.33) Porano o modelo deve ser capaz de idenificar em qual recho da curva o ransformador esá operando e calcular o valor da correne nos nós e m uilizando o recho da curva λ x i comp correo para aquela condição. Tomando as equações (3.9), (3.4), (3.5) e (3.9) podemos chegar à seguine igualdade: e 0 m Z i comp = A sa i comp B sa (3.34) e i comp e = Z 0 m + B + A sa sa (3.35) Lembrando que e 0 m é a diferença de ensão que ínhamos anes de inserir o elemeno não linear enre os nós e m (rede em vazio). Enquano o ransformador opera no mesmo recho da curva λ x i comp, o coeficiene A sa é sempre consane, porém B sa é aualizado a cada ieração, pois é uma função dos ermos hisóricos, sendo alerado sempre que h(- ) muda de valor TRANSFORMADOR MONOFÁSICO COM TRÊS ENROLAMENTOS O ransformador monofásico com rês enrolamenos é uma exensão do modelo com dois enrolamenos. Conforme ciado aneriormene, ele é consruído acrescenando-se mais um elemeno monofásico de dois enrolamenos conecado aos nós -3, como mosra a figura 3.. Sendo assim, o desenvolvimeno da sauração denro dese modelo orna-se idênico ao realizado no ransformador de dois enrolamenos. Porano o cálculo do fluxo (λ m ), da correne i comp e dos coeficienes A sa e B sa é elaborado da mesma forma como no modelo anerior TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS Nos modelos de ransformadores rifásicos com dois e rês enrolamenos, o ramo de magneização deve ser represenado para as rês fases de forma simulânea, ou seja, como o valor

53 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 33 do fluxo em cada perna será diferene, a condição de sauração em um deerminado insane de empo não será a mesma nas rês colunas do núcleo. Por essa razão, agora o equivalene de Thèvenin não é um número, mas sim uma mariz, que represena ambém o acoplameno que exise enre as fases. Os faores A sa e B sa ambém êm a forma maricial. Como mencionamos no iem 3., a mariz rifásica para dois enrolamenos possui ordem oio e para rês enrolamenos, ordem doze. No enano, para o cálculo do equivalene de Thèvenin, os nós de ineresse são apenas aqueles em que o elemeno não linear esará conecado, ou seja, os nós, 3, 5 e 7 para a mariz com dois enrolamenos e, 3, 7, 0, para o modelo com rês enrolamenos represenados na figura 3.3. Desa maneira, a mariz de Thèvenin considerada para o ransformador com dois enrolamenos, fica da seguine forma: V V V V Z = Z Z Z 3 4 Z Z Z Z 3 4 Z Z Z Z Z Z Z Z I I I I (3.36) Para o caso de rês enrolamenos, basa alerar índices das ensões e correnes referenes aos nós do primário. As impedâncias acima são obidas da inversão da mariz de admiâncias [Y] do ransformador com a rede em vazio, formando a própria mariz [Z h ] de Thèvenin. Na verdade a curva do elemeno não linear é definida pela relação enre a diferença de ensão enre os dois nós ( V) onde ese é conecado e a correne (I). Assim, de (3.9) e (3.0), escrevemos: V V3 V V5 V3 = V 5 V 7 V3 V V V V ( Z + Z Z ) ( Z3 Z 3 ) ( Z4 Z 4 ) I ( Z ) ( + ) ( ) 3 Z Z 33 Z Z 3 Z 34 Z 4 I ( ) ( ) ( ) Z 4 Z Z 43 Z 3 Z 44 + Z Z 34 I 3 Podemos definir a mariz de Thèvenin reduzida [Z hr ] e com base em (3.9), (3.4) e (3.5): (3.37)

54 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 34 ( ) ( ) ( ) = I f I f I f I I I Z Z Z Z Z Z Z Z Z V V V r r r r r r r r r (3.38) De (3.9) escrevemos a equação acima em função de [A sa ] e [B sa ]. + = sa sa sa sa sa sa r r r r r r r r r B B B I I I A A A I I I Z Z Z Z Z Z Z Z Z V V V (3.39) O veor de correnes no elemeno é [i comp ], como definido em (3.34). Porano, emos: [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] sa comp sa comp hr B i A i Z V + = 0 (3.40) Chamando [ ] [ ] sa Z hr A + de [ ] M e passando para o ouro lado da igualdade, chegamos em: [ ] [ ] [ ] [ ] { } B V M i comp = 0 (3.4) Lembrando que A sa e B sa de cada fase são definidos da mesma maneira como no caso monofásico, ou seja, o programa deve idenificar qual o recho da curva correspondene ao fluxo de cada perna em um deerminado insane de empo.

55 Represenação de Transformadores em Esudos de Transiórios Eleromagnéicos 35 Capíulo 4 Resulados das Eapas de Verificação dos Modelos Nese capíulo iremos apresenar como os modelos foram desenvolvidos passo a passo, desde uma eapa inicial, onde o inuio era apenas esar o erro de relação de ransformação sob a aplicação de uma onda do ipo degrau, aé simulações com os modelos compleos, incluindo o ramo de magneização, com seu comporameno não linear e cargas conecadas ao secundário dos ransformadores, como foi represenado nas figuras 3. e 3.3. Dividimos a eapa de verificação dos modelos em rês pares principais. A primeira foi desenvolvida sem o ramo de magneização, ou seja, apenas com uma resisência de curo-circuio no primário, resisência e induância de curo no secundário e uma carga no secundário de cada modelo. Maner apenas uma resisência de curo-circuio no primário serviu como pono de omada da correne de alimenação, faciliando as simulações. Na segunda pare, inserimos o ramo de magneização, fazendo simulações com os ransformadores em vazio a fim de verificar a correne e fluxo do ramo. Na erceira pare, represenamos o ramo de curo do primário por um RL, compleando assim o modelo com carga RL e o ramo de magneização podendo ser represenado por uma curva formada por rês ou mais rechos.