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1 Universidade Federal de Lavras Deparameno de Ciências Exaas Prof. Daniel Furado Ferreira 8 a Lisa de Exercícios Disribuição de Amosragem 1) O empo de vida de uma lâmpada possui disribuição normal com média µ = 8 horas e variância σ 2 = 4. Perguna-se: a) Qual a probabilidade de se enconrar uma lâmpada com mais de 81 horas? b) Qual a probabilidade de se enconrar uma lâmpada com menos de 78 horas? c) Se fosse realizada uma amosra dessa população de amanho n = 25 lâmpadas, qual seria a probabilidade da média da amosra er mais de 81 horas? Qual é a probabilidade dessa amosra er média inferior a 78 horas de duração? d) Qual é o eorema que garaniu o cálculo das probabilidades do iem anerior? 2) Um elevador em supore máximo de 7 kg para uma loação de n = 1 pessoas. Sabendo que o peso médio de humanos é de µ = 62 kg e cujo desvio padrão é igual a σ = 1 kg, responder as seguines quesões, assumindo que o peso possui disribuição normal: a) Qual é a probabilidade de uma pessoa pesar mais de 7 kg? b) Qual é a probabilidade de o elevador er sua carga máxima ulrapassada para um grupo aleaório de n = 1 pessoas que o uilizam? c) Com base na resposa dada no iem (b), você julga que a carga de supore máximo esá bem especificada para ese elevador? Jusifique. 3) Consule a abela simplificada da disribuição qui-quadrado apresenada a seguir e faça o esboço para os seguines evenos, de acordo com noação uilizada em aula. ν,5,25,1 6 12,592 14,449 16, ,57 17,535 2,9 1 18,37 2,483 23,29 a),25 para n = 11; b),1 para ν = 6; c),5 para ν = 1; d) α para ν = 8, al que P ( < α) =,95; e) Sabendo que k f ( ) d =,95, para ν = 8, deerminar o valor de k. 4) A seguir apresenamos um resumo da abela da disribuição de Suden. Consule-a e faça o esboço de cada gráfico com os valores enconrados de acordo com as quesões apresenadas. ν,5,25 9 1,833 2, ,812 2, ,729 2,93 a) P ( > c ) =,5 ou,5 para ν = 1 graus de liberdade; b),95 para n = 2; c),25 para n = 1; d) α/2 al que P ( α/2 < < α/2 ) =,95 para ν = 1 graus de liberdade; e) Para uma amosra de amanho n = 1, sabe-se que c f()d =,25. Quano vale c? 5) Faça o gráfico ilusrando os seguines evenos probabilísicos, para a disribuição F. A abela seguine é um resumo da abela original, considerando o valor da probabilidade α = 5% para o eveno P (F > F c ) = α. ν 1 ν ,61 5,5 4,77 1 4,96 3,33 3,2 a) F,5 com ν 1 = 5 e n 2 = 6; b) F,5 com n 1 = 1 e n 2 = 6; c) F,5 com ν 1 = 1 e ν 2 = 1. Compare ese valor com o de,25 com ν = 1, procurando verificar se a relação 2 α/2;ν = F α;ν 1=1,ν 2=ν é verdadeira. Qual é a sua conclusão?

2 2 Resolução 1) As probabilidades almejadas são dadas por: a) P (X > 81) = P ( Z > (81 8)/ 4 ) = P (Z >,5) =,5,1915 = 3,85%; b) P (X < 78) = P ( Z < (78 8)/ 4 ) = P (Z < 1,) =,5,3413 = 15,87%; ( c) Nese caso, X N µ X = 8; σ X = σ2 n = 4 ) 25 Logo, Da mesma forma, P ( X > 81) = P 81 8 Z > 4 = P (Z > 2,5) =,5,4938 =,62%; 25 P ( X < 78) = P 78 8 Z < 4 = P (Z < 5,),5,5 = %. 25 d) É o eorema do limie cenral, que diz que a disribuição das médias de uma população qualquer em disribuição aproximadamene normal com média igual a média da população e variância igual a σ 2 /n; se a disribuição da população é normal, a disribuição das médias é ambém normal (exaa). 2) Sendo X N(µ = 62; σ 2 = 1), enão as probabilidades almejadas são dadas por: a) P (X > 7) = P ( Z > (7 62)/ 1 ) = P (Z >,8) =,5,2881 = 21,19%; ( b) Nese caso, X N µ X = 62; σ X = σ2 n = 1 ) 1 = 1 Como a probabilidade de ulrapassar a carga de supore é o oal da amosra ulrapassar 7 kg, que corresponde a média ser superior a 7 kg. Assim, P ( X > 7) = P ( ) 7 62 Z > = P (Z > 2,53) =,5,4943 =,57%; 1 c) Como,57% é uma probabilidade pequena, mas não suficiene pequena para eses propósios, enão acho que a carga máxima do elevador esa mal especificada (opinião pessoal. Oura pessoa pode achar que é bom o suficiene ese valor). Poderia ser omadas medidas simples, como redução do número limiane de pessoas no elevador, ou seja, passando de 1 para 9 ou 8, por exemplo. Claro que odo elevador em uma margem de segurança muio maior que ese limie. Porano, se a carga de supore for ulrapassada, os cabos não irão se romper. O que pode aconecer é que se isso for frequene, enão pode causar fadiga no equipameno e com o passar dos anos, isso venha aconecer. Claro que manuenções permanenes irão corrigir fadigas no equipameno ambém. Mas o problema de fadiga seria eviado se a probabilidade de que a carga máxima seja ulrapassa seja apenas infiniésimos. Para alguns, essa probabilidade já seria pequena o suficiene para considerar que o elevador eseja bem dimensionado. 3) De acordo com a abela fornecida e com as afirmaivas probabilísicas emos as seguines resposas aos exercícios proposos, considerando a disribuição qui-quadrado. a),25;ν=1 = 2,483, de acordo com a consula que realizamos na abela miniaura da disribuição qui-quadrado que apresenamos. Devemos uilizar a probabilidade,25 (coluna da abela) e a linha correspondene aos graus de liberdade ν = 1. Veja a figura a seguir. Esaísica Básica - GEX112

3 3 f ( ),975,25 2,483 b),1;ν=6 = 16,812, de acordo com a consula que realizamos na abela miniaura da disribuição qui-quadrado que apresenamos. Devemos uilizar a probabilidade,1 (coluna da abela) e a linha correspondene aos graus de liberdade ν = 6. Veja a figura a seguir. f ( ),99,1 16,812 c),5;ν=1 = 18,37, de acordo com a consula que realizamos na abela miniaura da disribuição qui-quadrado que apresenamos. Devemos uilizar a probabilidade,5 (coluna da abela) e a linha correspondene aos graus de liberdade ν = 1. Veja a figura a seguir. f ( ),95,5 18,37 d) α =,5;ν=8 = 15,57, pois se P ( < α) =,95, significa que P ( > α) =,5, sendo α =,5. Não fizemos gráficos ilusraivo dese caso, pois é essencialmene o mesmo do iem (3e). e) Ese caso apresenamos apenas uma aleração de noação. Temos que a inegral definida anunciada deermina uma área sob a curva (disribuição qui-quadrado com ν = 8 graus de liberdade) enre e o valor de k igual a,95. Veja esquema ilusraivo, com área em cinza. Esaísica Básica - GEX112

4 4 f ( ),95,5 k = 15,57 Logo, a área sob a curva delimiada por k e represena 5%. Assim, k =,5;ν=8 = 15,57. 4) De acordo com a abela fornecida e com as afirmaivas probabilísicas emos as seguines resposas aos exercícios proposos, considerando a disribuição de Suden. a) P ( > c ) =,5 com ν = 1, logo se consularmos a abela miniaura da disribuição de Suden emos c = 1,812. Veja esquema a seguir.,95,5 c = 1,812 b),95 com ν = 2 1 = 19 graus de liberdade é equivalene ao,5 com ν = 19 graus de liberdade, mas com sinal negaivo, pois a disribuição é simérica. Assim,,95 =,5. Logo, se consularmos a abela miniaura da disribuição de Suden emos,95 = 1,729. Veja esquema a seguir.,5,95 = 1,729,95 c),25 com ν = 1 1 = 9; logo, se consularmos a abela miniaura da disribuição de Suden emos,25 = 2,262. Veja esquema a seguir. Esaísica Básica - GEX112

5 5,975,25,25 = 2,262 d) Para deerminarmos α/2 dado que P ( α/2 < < α/2 ) =,95, emos que α =,5 e α/2 =,25. Consulando a abela com ν = 1 graus de liberdade observamos,25;ν=1 = 2,228. Veja esquema ilusraivo a seguir.,95,25,25 = 2,228,25,25 = 2,228 e) Podemos escrever a expressão c f()d =,25 por P ( > c ) =,25, logo c =,25;ν=9. Assim, se consularmos a abela miniaura da disribuição de Suden emos c = 2,262. Veja esquema a seguir e perceba de uma maneira geral as diferenes formas (noações) que possuímos para ober quanis superiores da disribuição de Suden.,975,25,25 = 2,262 5) De acordo com a abela fornecida e com as afirmaivas probabilísicas emos as seguines resposas aos exercícios proposos, considerando a disribuição F de Snedecor. a) F,5;ν1=5;ν 2=5 = 5,5, valor resulane da consula à abela miniaura da disribuição F. Veja figura ilusraiva a seguir. Esaísica Básica - GEX112

6 6 f(f ) 95% 5,5 5% F b) F,5;ν1=9;ν 2=5 = 4,77, valor resulane da consula à abela miniaura da disribuição F. Veja figura ilusraiva a seguir. f(f ) 95% 4,77 5% F c) F,5;ν1=1;ν 2=1 = 4,96, valor resulane da consula à abela miniaura da disribuição F. Se consularmos a abela de Suden veremos que,25;ν=1 = 2,228. Se omarmos o quadrado do quanil, emos 2,228 2 = 4,963, que é igual ao valor abelado de F. Assim, esa relação é sempre válida, e pode ser colocada de forma geral por F α;ν1=1;ν 2 = 2 α/2;ν=ν 2. Observe que a probabilidade em é meade (α/2) da apresenada em F (α); os graus de liberdade ν 1 são sempre iguais a 1; e os graus de liberdade de, ν, é igual a ν 2 de F. Esaísica Básica - GEX112

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