Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV) Macroeconomia I / Professor: Rubens Penha Cysne

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1 Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Geulio Vargas (EPGE/FGV) Macroeconomia I / 2016 Professor: Rubens Penha Cysne Lisa de Exercícios 4 - Gerações Superposas Obs: Na ausência de de nição de alguma variável, uilize aquela visa em sala de aula. 1. (Ausência de Pareo Oimalidade em Equilíbrio Geral Compeiivo) a) No conexo de uma economia com número in nio enumerável de famílias e bens, dê um exemplo de equilíbrio compeiivo que não seja Pareo óimo. b) No seu exemplo, você seria capaz de sugerir uma realocação de doações e um equilíbrio compeiivo (associado a al realocação) de al forma que al equilíbrio fosse Pareo óimo? 2. (Inversão de Limies): Considere as somas: m=1 n=1 n=1 m=1 x m;n = a x m;n = b para uma deerminada série dupla x m;n ; sendo a e b números reais: Pode-se garanir que a = b? Sugesão:Considere a série 8 < 1, se m=n x m;n = 1; se n=m+1 : 0; nos demais casos 1

2 3. O que R o exercício acima lhe ensina sobre derivação de inegrais, como em d 1 f(k(); k()d? _ dk 0 4. Com base no exercício 1 acima, discua a seguine a rmação em Weil (2008), Journal of Economic Perspecives, Vol. 22, No. 4, "Overlapping Generaions: The Firs Jubilee" no conexo de sua explicação da não validade do primeiro eorema de bem esar no modelo de gerações superposas: "se o valor dos recursos disponível para uma economia P i p ic h i P i p ie h i ); x h i é in nio, gasar mais em bens ( P h > P h denoando o consumo (c) ou doação (e) que o indivíduo h apresena do bem i, não é necessariamene sinônimo de gasar mais do que esá disponível ( P h ch i > P h eh i para algum bem i)." Sugesão: Observe sua resposa no exercício 1 acima. Em seguida, leia Weil (2008) da página 122 à página 125 (em paricular a noa de pé de página 7). Alernaivamene, para enender porque o primeiro eorema de bem esar não pode ser usado nese caso, leia a discussão que se segue à Proposição 9.2 na seção 9.1 em Acemoglu. 5. (Modelo GS Canônico) No conexo do modelo básico de gerações superposas, suponha que a função uilidade seja logaríimica e a função de produção Cobb-Douglas. a) Mosre que, ao esilo do modelo de Solow, a poupança passa a ser uma fração xa da renda salarial. b) Mosre que, nese modelo, a elevação da paciência ineremporal e a redução do crescimeno populacional elevam a relação capial/mão de obra de equilíbrio de seady sae. 6-(Seguridade Social com Capialização Toal) Considere no modelo de gerações superposas um sisema de seguridade social por capialização, com valor xo dado pela sequência d() 1 =0. a) Explicie o problema de maximização do consumidor. b) Explique porque, na ausência de qualquer resrição quano à poupança volunária s(), o conjuno de equilíbrios compeiivo não se alera. c) Como sua resposa seria afeada caso houvesse a imposição s() 0? 7) (Seguridade Social sem Capialização): Considere no modelo de gerações superposas viso em sala de aula um sisema de seguridade social sem capialização, onde para cada o governo colea d() dos jovens da geração e ransfere, em ermos per capia, (1+n)d() para os velhos nascidos na geração -1, sendo n a axa de crescimeno demográ co. 2

3 a) Explicie o problema de maximização do consumidor e comene as suas diferenças em relação ao problema do exercício anerior. b) Explique porque em geral se diz que al sisema de seguridade reduz a formação de capial. c) Explique de que forma ese sisema de seguridade pode ser usado para levar a economia a uma solução mais e ciene no senido de Pareo quando o equilíbrio inicial é dinamicamene ine ciene (com superacumulação de capial). 8) (Gerações Superposas com Alruismo Impuro): No chamado alruismo puro, os pais derivam uilidade da uilidade de seus herdeiros, com algum ipo de descono. Nese caso, denoando por V(y()) o valor da uilidade oal de um consumidor que deixa herança b(), para um descendene que pare de uma renda igual a um salário w, emos: V (y()) = max c()+b()y() (u(c()) + V (b() + w) Heurisicamene, como a uilidade do herdeiro por sua vez ambém dependerá da uilidade do próximo herdeiro e assim por diane, a uilidade oal do consumidor inicial passa a depender da uilidade de odos os seus herdeiros. Formalmene, pode-se mosrar que o problema acima pode ser escrio sob a forma de maximizar: i u(c( + i) i=0 Ese ipo de raciocínio é usado, em paricular, para jusi car a oimização dinásica que se aplica ao modelo neoclássico. Uma alernaiva a ese ipo de procedimeno se dá quando o consumidor deriva uilidade direamene da herança que deixa para seu descendene. Dáse nese caso o nome de alruísmo impuro. Pode-se modelar al economia assumindo que o consumo na infância é igual a zero (ou juno com os pais) e que a uilidade do consumidor i 2 [0; 1] é dada por: log(c i ()) + log(b i ()) onde c i () represena o consumo na vida adula e b i () a herança deixada para o descendene. Suponha consane e com medida 1 a população oal, depreciação igual à unidade e a pare de produção da economia dada sem progresso ecnológico e como no modelo de Solow (f(k()), onde k = K=L; com as mesmas expressões para o cuso dos faores). A resrição veri cada pelo consumidor i é: 3

4 c i () + b i y i () = w i () + R()b i ( 1) Suponha que a economia se inicia com deerminada disribuição de c i e b i : a) Qual a expressão para k( + 1) em função de f(k()) e? Sugesão: Inicie resolvendo o problema do consumidor para b i () e depois inegre no supore da disribuição. b) Mosre que a disribuição de heranças (ou riqueza) converge para a igualdade. 9) Calcule a uilidade esperada para um consumidor com juvenude perpéua (probabilidade de more consane ao longo do empo e igual a v e faor de descono, assumindo que a uilidade residual no caso de more é igual a zero. 10) Seja X a variável aleaória exponencial com parâmero p designando "empo aé primeira ocorrência de deerminado eveno M" e G(x) := P [X x]. a) Mosre que G pode ser obida a parir da equação diferencial: G 0 (x) = (1 G(x))p e da condição de conorno G(0)=0. b) Com base no iem a, inerpree o parâmero p como a "probabilidade por unidade de empo de ocorrer o eveno M". 11- (Gerações Superposas com Juvenude Perpéua): A abordagem aqui desenvolvida segue Blanchard (1985), "Deb, De cis and Finie Horizons, JPE. Numa economia a variável aleaória "empo aé a more" em disribuição exponencial com função densidade f x () = pe p ; p 2 (0; 1). Do pono de visa do agene oimizador, não exise incereza sobre a evolução no empo das demais variáveis da economia. A cada momeno um novo "core" populacional nasce. Como o core é grande o su ciene, p é ambém a axa de decaimeno populacional deerminísica dese core. Ou seja, há incereza individual, quano ao empo de vida, mas não incereza agregada. Assuma, a íulo de normalização, que ese novo core em um número de (novos) indivíduos sempre igual a p. Nesa economia as companhias de seguro pagam pv para os indivíduos com aivos v, recebendo os aivos a quando o indivíduo morre (como os indivíduos morrem com axa p no agregado e exisem muios indivíduos, cada companhia de seguro em lucro zero). 4

5 é a axa de preferência ineremporal. Denoe por c(s,), y(s,), v(s,), v(s,) e h(s,), respecivamene, o consumo, a renda do rabalho, os aivos e o valor desconado do rabalho, na daa, dos indivíduos nascidos na daa s. Os indivíduos nascidos na daa s maximizam, na daa, o valor esperado da uilidade desconada do consumo: max U = E log(c(s; ) exp( (b ))db (1) A resrição orçamenária do invidivíduo vivo nascido na daa s se escreve sob a forma: dv(s; z) = (r(z) + p)v(s; z) + y(s; z) d c(s; z) (2) onde r(z) é a axa de juros. De na: R(; z) = exp( Z A resrição de Ponzi do problema é dada por: z (r b + p)db) lim R(; z)v(z) = 0 z!1 A riqueza, do indivíduo nascido em s, derivada da renda do rabalho se escreve como: h(s; ) := y(s; z)r(; z)dz (3) a) Mosre que a população oal nesa economia, em qualquer empo > 0; em amanho consane e igual à unidade. b) Mosre, formalmene, que o problema 1 nesa economia pode alernaivamene ser escrio como: max U = Sugesão: De na a variável aleaória X al que: log(c(s; z) exp(( + p)(z ))dz (4) c(s; z); se T > z X() = 0; set z onde T é o empo esperado aé a more para os indivíduos nascidos em s e que se enconram no empo. 5

6 c) Mosre como ober a equação que deermina o consumo da geração s no momeno : c(s; ) = ( + p)(v(s; ) + h(s; )) (5) 12 - (Agregação e Equilíbrio Geral no Modelo de Juvenude Perpéua) De na as variáveis agregadas C(), Y(), V() e H(), cada uma delas correspondendo à agregação da variáves de nida aneriormene com a respeciva lera minúscula. A agregação segue sempre o mesmo procedimeno para qualquer desas variáveis minúsculas. Genericamene, represenado o valor agregado da variável g (que pode ser c, y, v ou h) por G, em-se, para odas as gerações s não poseriores a : G() = Z g(s; )pe p( s) ds (6) 1 Temos enão, a parir de (5), já que nem p nem dependem da idade do indivíduo: C() = ( + p)(v () + H()) (7) Hipóese sobre Renda do Trabalho: Para caracerizar a queda da capacidade de rabalho com o passar do empo, para aqueles nascidos em qualquer geração s, faça: y(s; ) = ay ()exp( ( s) (8) a) Mosre que (6) (usado para G=Y) e (8) implicam a = ( + p)=p (9) b) Mosre, a parir de (3) e (8), como escrever h(s; ) em função de Y(). Ou seja, como escrever a riqueza oriunda do rabalho, no pono, da geração s, em função da renda agregada da geração. Mosre que se obém: h(s; ) = a( Y (z) exp( (z )R(; z)dz))e ( s) (10) c) Use (9) e (6) para mosrar que a riqueza humana agregada é igual ao valor desconado, à axa r, da renda do rabalho das pessoas vivas a cada pono do empo, ou seja: H() = Y (z)exp( Z z ( + p + r()d))dz (11) Sugesão: Subsiua (10) em (6) e inegre inicialmene em s. 6

7 d) Use (6) para ober V(). Diferencie V() em relação a e use (2) para ober: dv () = r()v () + Y () d C() (12) e) Use (7), (12) e (11) para ober: dc d dv d = (r + )C (p + )(p + )V = rv + Y C f) Suponha que o lado da produção se dá pela função de produção com reornos de escala onde a produção líquida com L=1 a cada período se expressa por: F (K) = F (K; 1) K represenando a axa de depreciação. Suponha agora que = 0: Obenha as equações nais: dc d dk d = (F 0 (K) )C p(p + )K = F (K) C Faça o diagrama de fases C,K. O modelo com = 0 compora superacumulação? E quando > 0? 7

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