UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ. Relatório Final: Estrutura de Dados II

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ Relatório Final: Estrutura de Dados II Felipe José Aguiar Maia João Gonçalves Filho Prof.: Negreiros FORTALEZA 2010

2 Sumário 1 Introdução 2 2 Estruturas de Dados AVL Splay Árvore B Árvore B Open Hashing Interface Gráfica 8 4 Manual do programa 10 1

3 1 Introdução Este relatório possui uma breve explicação sobre o que foi abordado na disciplina Estrutura de Dados 2 e sobre como foi desenvolvido o programa pedido no trabalho final. O programa possui uma implementação gráfica de todas as Estruturas estudadas na disciplina, além de outras funcionalidades que serão abordadas mais a frente nesse relatório. O programa foi todo desenvolvido em C++ utilizando a biblioteca gráfica QT da Nokia. Inicialmente o programa foi desenvolvido em Linux, porém, como foi pedido pelo professor, o programa foi importado para Windows. Atualmente o programa possui versões tanto para Linux quanto para Windows. No CD que acompanha esse relatório, é possível encontrar na pasta Estruturas todo os códigos das estruturas implementadas, de maneira que elas podem ser utilizadas em outros programas. Na pasta QT project se encontra todos os arquivos com código do programa, bem como o arquivo teste.pro, que se aberto no QT Creator mostra todo o projeto. Na pasta executável windows se encontra a versão do programa que roda em Windows. Na pasta executavel linux se encontra a versão do programa que roda em Linux. A seção Estruturas de Dados possui um resumo das principais características sobre as estruturas discutidas, alem de comentários referentes às decisões tomadas durante a codificação das estruturas em C++. A seção Interface Gráfica fala um pouco sobra a biblioteca gráfica escolhida para esse trabalho e mostra como foi desenvolvida a parte da interface gráfica do programa. Por último seção Manual do programa mostra como funciona o programa e pode servir de referência para aqueles que desejam utilizá-lo. 2 Estruturas de Dados As estruturas citadas a seguir foram desenvolvidas seguindo as orientações do professor e com a ajuda de material extra que está citado na seção Bibliografia. 2.1 AVL A estrutura AVL, desenvolvida por Aldelson-Velsky e por Landis em 1962, é uma árvore binária que possui como principal característica o fato dela buscar ficar sempre balanceada. Ou seja, em todos os nós a diferença de altura do filho direito para o filho esquerdo não deve ser maior que 1. 2

4 Para se manter balanceada a árvore utiliza rotações em seus nós. Essas rotações ocorrem sempre que algum nó fica desbalanceado apos uma inserção ou remoção. Como essa rotações são apenas trocas de ponteiros, elas não são muito custosas. Em nossa implementação, existem quatro rotações utilizadas no balanceamento: 3

5 É possível implementar as rotações duplas como sendo duas rotações simples, porém em nossa implementação, o método que faz o balanceamento detecta quando é necessário realizar a rotação dupla e a realiza. Isso diminui a quantidade de trocas de ponteiros. Em uma simples ocorrem 3 trocas de ponteiros, em uma dupla ocorrem 5. Se fossem realizadas duas simples, em vez de uma dupla ocorreriam 6 trocas, essa diferença pode não parecer muito grande, porém ao decorrer de muitas trocas isso pode ser significativo. A inserção que foi implementada é recursiva, ela vai descendo até o local que deve inserir e faz a inserção. Na volta da recursão, ela vai fazendo a checagem do balanceamento e vai realizando os ajustes. A inserção depende apenas da altura da árvore, como a altura é a menor possível, visto que ela é balanceada, a ordem da inserção é O(log n). A busca implementada também recursiva, ela também simplesmente vai descendo, verificando para qual lado tem que descer, até encontrar ou chegar no fim da árvore. Ela também é O(log n). Da mesma forma acontece com a deleção, ela vai descendo até encontrar o valor a ser deletado, se encontrar o valor ela faz a verificação se esse valor é folha, ou nó interno. Se for folha simplesmente deleta. Se for nó interno olha se tem um ou dois filho, se tiver um filho ele passa a ocupar o lugar do nó deletado se tiver dois filhos o nó mais a direita o filho mais a esquerda troca de lugar com o valor deletado e ocorre a deleção. Na volta da recursão é feita a verificação se a árvore continua balanceada. A coisa mais custosa na deleção também é a descida, o resto é apenas troca de ponteiro constante. Por isso a ordem da deleção também é O(log n). 2.2 Splay A árvore Splay foi criada em 1985 por Daniel Sleator e por Robert Tarjan. A principal característica da Splay é que nela os elementos mais procurados tendem a ficar próximos ao topo. Isso é possível porque quando um elemento é buscado, ele sobe para o topo através de rotações. Na árvore Splay que foi implementada para esse trabalho existem 6 tipos de rotação: 4

6 Na nossa implementação, inserção da Splay é semelhante a inserção de uma árvore binária comum. Ela desce até o local onde o nó deve ser inserido e realiza a inserção. Não é necessário realizar outras ações. Em geral a ordem da Splay é O(log n), porem, como essa árvore não é balanceada, pode ocorrer de, no pior caso, a inserção ser da ordem de O(n). É na busca que a Splay se diferencia. A busca da Splay é recursiva. Ela desce até o elemento procurado. Se for encontrado, esse elemento vai subindo na volta da recursão até o topo. Essa escalada é realizada através das rotações mostradas acima. Na nossa implementação as rotações duplas 5

7 ocorrem preferencialmente, sendo que as rotações simples acontecem apenas quando o elemento está a apenas uma posição do topo. É possível implementar a Splay usando apenas as rotações simples porém dessa maneira também ocorrem trocas de ponteiros desnecessárias. Vale observar também que duas Zig é diferente de uma Zigzig e o mesmo vale para Zag. A remoção da Splay é semelhante á da AVL, porém não é necessário fazer a verificação de balanceamento quando vai voltando na recursão. 2.3 Árvore B A árvore B, diferentemente da Splay e da AVL, é uma árvore multiway, isto é, pode ter mais que dois filho. Na árvore B os valores são inseridos, de forma ordenada, em uma página até que essa página estoura e se divide entre ela mesma e uma pagina irmã. A página estoura quando o seu total de elementos é maior que ord 2, sendo ord a ordem da árvore. Desse estouro o elemento central dessa página sobe para a sua página pai. Se essa página que estourou é a raiz, uma nova raiz é criada, o elemento central da pagina que estourou sobe para essa nova raiz e a árvore ganha altura. Figura 1: Exemplo de estouro Além de um vetor do tipo do dado de tamanho ord 2, a estrutura da pagina da B também possui um vetor de tamanho ord que guarda os ponteiros para as páginas filhas. Dessa maneira, podemos observar que a árvore B cresce de baixo para cima. Na nossa implementação da B, a inserção é recursiva. Ela desce até a folha em que o elemento deve ser inserido, insere ele na ultima posição, em seguida ordena a página. O algoritmo de ordenação escolhido foi o insertion sort, pos nesse caso como sempre vai haver no máximo 1 elemento fora do lugar, ele é O(m), sendo m igual a quantidade de elementos na página. Após isso ele vai verificando se ocorreu estouro na volta da recursão até chegar a raiz. Se ocorre estouro na raiz a árvore ganha altura como já foi dito. A ordem dessa inserção é log(n) + m, sendo que a base desse logaritmo é ord Como m é constante podemos dizer que a inserção é O(log(n)). 6

8 A busca que foi implementada nesse trabalho procura elemento pelas casas pagina através de uma busca binária. Se o elemento não for encontrado, a busca verifica se o elemento procurado esta entre a casa atual e uma vizinha, se for o caso a busca já sabe em que posição descer. Se a casa atual for a primeira ele também verifica se o valor procurado é menor para saber se não deve descer pelo primeiro caminho, a mesma coisa acontece quando a casa atual é a última. Dessa maneira a busca prossegue até encontrar o elemento ou chegar nas folhas. A busca é O(log(n)). A remoção da B foi implementada de maneira recursiva. Ela busca o elemento a ser removido e em seguida verifica o status. Se for folha ele ele faz a remoção e verifica se é necessario fazer o split. Isso ocorre quando o tamanho do m da folha é menor que ord. Se for o caso ele vai fazendo o split enquanto volta na recursão. Se o status desse elemento não for folha, ele olha o descendente mais à esquerda do filho direito do elemento que se quer deletar e ocorre uma troca. Nesse momento o elemento passa a ser folha e pode ser deletado normalmente. 2.4 Árvore B+ A Árvore B+ é uma árvore semelhante a B com a diferença de que os valores da folhas são guardados em disco e não na memória principal como acontece com as outras páginas. Isso faz com que a B+ tenha muita utilidade quando se mexe com uma quantidade de valores que não cabe na memória principal. A estrutura da nossa implementação da árvore B+ posse um ponteiro de arquivo, usado para manipular a parde da árvore que fica localizada em disco, e possui também uma árvore B, onde são guardados todas as outras paginas que não são folhas da B+. A nossa inserção foi implementada da seguinte maneira: No inicio, quando quando ainda não tem nada na B da B+, os valores são adicionados diretamente no arquivo. Quando acontece o primeiro estouro o elemento central dessa página que está localizada no arquivo é inserido na B. As páginas dessas estrutura B foram modificadas de maneira que quando são folhas de B, elas passam a possuir um vetor que guarda as posições no arquivo das página filhas. A mesma coisa acontece quando ocorrem os outros, o valor do meio da pagina estourada é enviada para a B e a B resolve a situação. A busca da funciona da seguinte ele busca na B que esta dentro B+ o valor procurado. Se o valor for encontrado ele continua descendo pela esquerda ate chegar nas folha da B. Quando chega nas folhas da B, a busca descobre em que posição do arquivo se encontra a folha de B+ em que o elemento pode estar. Feito isso ele examina essa região do arquivo e encontra ou não o valor. 7

9 A remoção faz uma busca pelo elemento que se quer encontrar. Encontrado o elemento em uma pagina de B+, a remoção simplesmente joga esse elemento para o final da página e diminui o m dessa página. Infelizmente, não conseguimos implementar a remoção física em tempo ábil. Portanto, mesmo que o m dessa pagina fique menor que orf não ocorre deleção da página nem ela recebe valores dos irmãos ou algo do tipo. 2.5 Open Hashing As árvores Hash foram inventadas em 1979 por Ralph Merkle. O Open Hashing implementado nesse trabalho consiste em um vetor de ponteiros para listas encadeadas. Esse vetor sempre possui um tamanho primo. Em cada lista encadeada são inseridos os que valores que quando dividios pelo tamanho do vetor, o resto é igual à posição dessa lista encadeada dentro do vetor. Na nossa implementação do Open Hashing o inserte simplesmente tira o mod do valor que vai ser inserido e descobre em qual lista inserir. Depois disso ele insere nessa lista. Não há ordenação da lista, dessa maneira a ordem da inserção é constante. Na busca é verificado em qual lista pode está o valor e em seguida é feita uma busca exaustiva nessa lista. Quando o tamanho do vetor é relativamente grande, essa busca apresenta um bom desempenho. Ela é O(n) - O(f), sendo f o fator de carga. Na deleção é feita uma busca e em seguida esse elemento é deletado simplesmente dessa lista encadeada. Como é feita uma busca, a ordem da deleção também é O(n) - O(f). 3 Interface Gráfica O programa foi desenvolvido utilizando a biblioteca gráfica QT, em um ambiente de desenvolvido fornecido com a biblioteca chamado QT Creator. Por um lado isso facilita muito a programação, visto que à uma integração entre a biblioteca e o ambiente, por outro lado isso dificulta a visualização do código em um computador em que o ambiente não está instalado. Mesmo assim, todos os arquivos do projeto estão em uma pasta chamada QT project no CD que acompanha esse relatório. A seguir encontra-se uma breve explicação sobre como foi desenvolvida a parte gráfica do programa. Para cada estrutura do programa existe uma classe Scene. Essa classe é responsável pela criação das subjanelas do programa, pelo desenho das 8

10 estruturas nessas janelas e pela cominicação entre a janela principal e as subjanelas. No caso das árvores AVL e Splay, o desenho é feito de maneira bem parecida. O método print é um método recursivo que desenha o nó atual e em seguida se chama para desenhar o seu filho direito e seu filho esquerdo. A diferença entre os dois é que no caso da AVL, o print não se importa com o irmão do nó atual, isso porque como a AVL é balanceada o fato do print assumir que o irmão do nó possui sempre a mesma altura não cria muitos problemas na hora de visualizar a árvore. Porém o mesmo não é possível na Splay. Se o mesmo método for usado na splay seriam vistos grandes buracos desnecessários entre os nós. Por isso o print da Scene da árvore Splay observa tanto a altura do nó atual quanto do seu irmão na hora de calcular o espaçamento entre eles. No caso da B e B+ o problema é semelhante, porém é ainda pior, visto que o número de irmão da página pode variar. Para desenhar as árvores multiway utilizamos um algoritmo de busca em largura. O algoritmo funciona da seguinte maneira: Uma fila de ponteiros para paginas é criada; a raiz da árvore é colocada nessa fila; iniciasse o while que continua enquanto houverem elementos na fila; iniciasse o for que dura a quantidade de elementos no nível atual, inicialmente ele só vai até 1; todos os filhos de todos os elementos desse nível da árvore são colocados na fila, inicialmente isso é todos os filhos da raiz; ainda dentro desse for todos os elementos desse nível são desenhados e retirados da fila; ainda nesse for é guardada a quantidade de elementos do próximo nível da árvore; o for acaba e o while faz ele se repetir para o próximo nível; esse while continua até acabar a fila e todos os elementos estarem desenhados; No algoritmo a cima não foi citado, para não ficar muito extenso, que as linhas entre os nós são desenhadas de baixo para cima. Como o desenho 9

11 ocorre de cima para baixo, quando é a vez de um determinado nó ser desenhado, seu pai já foi desenhado e é possível saber as coordenadas em que isso ocorre, para que seja feita a ligação. O desenho B++ é semelhante a da B, a diferença é que as folhas da B++ são pintadas de azul indicando que são folhas da B++ e estes valores estão no arquivo. 4 Manual do programa Como pode ser visto a seguir, a janela principal do programa possui os menus Arquivo, Estruturas, Opções, Ajuda. Ela também possui os botoes inserir, deletar, buscar. No menu Arquivo é possível salvar em arquivo qualquer uma da estruturas. Também é possível importar os valores que serão inseridos a partir de um arquivo de texto qualquer, basta que os valores estejam separados por espaços ou enter. 10

12 No menu Estruturas é possível selecionar quais estruturas serão criadas no programa. Também existe a opção de destruir todas as estruturas. Essa opção simplesmente apaga todos os valores das estruturas. No menu Opções é possível realizar a Inserção Aleatória e a Remoção Aleatória. Nos dois surge um popup perguntando quantos elementos devem ser inseridos ou removidos aleatoriamente. Além disso o botão Preferências abre uma janela onde é possível modificar algumas propriedades no programa, isso será melhor discutido a seguir. No menu ajuda é possível abrir uma janela que possui informações sobre o programa. 11

13 Observe a cima como fica o programa quando todas as estruturas são criadas através do menu Estruturas. Também veja no canto superior esquerdo do programa o seguintes botões: O primeiro botão serve para realizar inserções em todas as estruturas que foram criadas através do menu Estruturas. O segundo botão faz a remoção de algum elemento dessas estruturas. E o terceiro realiza a busca. Todos os três botões quando acionados abrem um popup perguntando qual valor deve ser inserido, removido ou buscado. 12

14 Veja a baixo o que acontece quando inserimos um valor: Após apertarmos o botão de inserção, surge o popup acima. Apos digitado o valor e apertado o OK, veja o que acontece com as estruturas: Nesse momento se apertarmos alguma das setas do teclado, veremos que é possível mover as estruturas. Isso permite que se possa observar as estruturas mesmo quando elas não cabem mais na tela. Apertando os botões W e S é possível também alterar a diferença de altura entre os diferentes níveis das estruturas. Isso ajuda na visualização quando as linhas ficam muito unidas. 13

15 O programa também permite que sejam realizadas algumas configurações através da seguinte janela acessível através do menu preferências: Aqui é possível altera a ordem das árvores multiway. Alterar a velocidade de movimento quando se aperta as setas. Alterar a espessura das linhas que fazem as ligações nas árvores, as cores das linhas. É possível alterar a velocidade das animações que ocorrem durante a destruição e quando se tenta inserir repetido. E por ultimo é possível alterar a largura da árvore Hash. 14

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