Matemática 2 aula 11 COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS POLINÔMIOS I. P(x) = 4x (x 1) + (x 1)

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1 Matemática aula POLINÔMIOS I. COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA b a P() b P() + + Calculando P (), temos: b a P() b b + b + a ab b a P () b + ( ab) + b + a b Se P () P (), podemos observar que: b + ( ab) + b + a b + + b a b a a Logo a + b +. P() (a + b 09) c, se são idênticos temos: Q() (a b) + 9 a + b 09 0 a + b (a b) 9 a ab b ab a b 9 c 9 ab 09 9 ab 60 ab 0 Como nosso interesse é que P() e Q() sejam iguais, abc P() (m + n p) + (m + n p) + p 0 m + n p 0 Assim m + n p 0 p 0 p ( ) m + n 0 m + n m n + ( ) m n 0 0 m+ n 0 m+ n 0 n 8 m + (8) 0 0 m 6+ 0 m 6 Assim a soma m + n + p P() + P() ( ) + ( ) P() ( )( + ) ( ). q() Logo, o quociente é.. + k (k+ ) + (+ ) + (k + ) + (k + ) + (k + ) (k + ) (k + ) k + k+ 0 k COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. P() + a + b + c P( ) + a b + c P() + P( ) a + c 0 (a + c) 0 a 0 a + c 0 c 0 Assim: P() + b P() + b 0 b P() P() 8 6. P() e D() ( ) + Aplicando o algoritmo da divisão: Resto é zero (0) (Retificação de gabarito) ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA

2 P() ( + )(A + B + C + D + E + F + G) + + K + W + Z D E + F + G D E + F + G D E F + G 0 E F + G 0 E F G 0 F G 0 F G G m + n m ( + m) + n Quociente y my + n (y + y )q+ y my + n y (y+ )q+ Se y 0 ou y, temos: 0 m.0+ n n + ( ) m( ) + + 7m 0 m Efetuando a divisão pelo método das chaves, temos: p q (P ) + (p ) (p ) q (p ) (p ) (p ) [0 (p )] + q (p ) 0 O resto deve ser zero. Assim: 0 (p ) 0 (p ) 0 p p 6 e q (p ) 0 (p ) q. (6 ) q 6 A B C A( + 6) + B( ) + C( ) ( )( ) 6 ( A+ B+ C) + ( A B C) + 6A Pela igualdade de polinômios: A+ B+ C 0 C B 6A 6 A A B C B ( B ) B + B + 0 B C Daí, A B + C 9. Se P() + + a + b e d() ( + ) + + Usando o método das chaves, temos: + + a + b (a ) + b (a ) + b 0 Como P() é divisível por d(), o resto é zero, todos os coeficientes são zero. (a ) + b 0 a e b 0. P() ƒ( ) P() Q() ƒ() + R() grau de R < grau de ƒ grau de R. Fórmula de Mairre: raízes são da forma cos kπ isen + k π, π π k 0 ù. Seja Wcos + isen w ( )( ). As raízes de são w, w, w, w. Seja R() a + b + c + d, logo: ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA

3 ( ) P w aw + bw + cw+ d 6 P( w ) aw + bw + cw + d 9 6 P( w ) aw + bw + cw + d 8 P( w ) aw + bw + cw + d Definindo V(y) ay + by + cy + d w, w, w, w são raízes de V(y). Logo V(y) deve ser identicamente nulo, pois possui mais de raízes. Daí: a b c 0 e d que é o resto.. Vamos usar um diagrama simples. Obs.; Esta é uma forma bem geral de resolver esses tipos de problemas de lógica, que coloquei aqui para tomarem nota. Segunda solução. A mais prática, própria para vestibulares, ª fase. A caia vermelha está à direita do grampo. Então, não tem grampo na vermelha. A borracha está à direita da caia vermelha. Então, não tem borracha na vermelha. Logo, a caia vermelha só pode ter moeda. (Retificação de gabarito). KAB significa sim? KAB I. Se KAB for não, temos: Não significa sim? Não. II. Se KAB for sim, temos: Sim significa sim? Sim. Logo, quem responde sempre fala a verdade. Eplicação sobre o diagrama: coloca-se S (sim) no quarto quadradinho da primeira linha. Se a caia verde for a primeira (da esquerda) para a direita, caso contrário coloca-se N (não). POLINÔMIOS II aula COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA A caia verde está à esquerda da caia azul. Logo a caia azul não pode ser a primeira, pois não haveria ninguém a sua esquerda. E a caia verde não pode ser a terceira, pois não estaria a esquerda de ninguém. A moeda está à esquerda da borracha. Analogamente ao primeiro, a borracha não é a primeira, nem a moeda é a terceira. A caia vermelha está à direita do grampo. Primeiro, a caia vermelha não tem grampo. Segundo não é a primeira, pois precisa está à direita de alguém. O grampo não é o terceiro, precisa ter alguém a sua direita. (*) Se vermelha e azul não são a primeira, então verde é a primeira. (**) Se moeda e grampo não estão na terceira, então a borracha está. A borracha está a direita da caia vermelha. Logo borracha não está na vermelha. E analogamente ao anterior, borracha não está na primeira e vermelha não é a terceira. (*) Vermelha não tem borracha nem grampo, então tem moeda. O que já responde a pergunta. (**) Vermelha não é ª nem ª, então é ª, mas vermelha tem moeda, então moeda é ª. Daí temos:. P() e D() Seja: P() Q(). D() + R() () () () + () () + () () ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q.D R Q.0 R R P0 Q0.D0 R0 0 Q0.0 R0 R0 0 P Q. D + R Q. 0+ R R R () a+ b+ c R() a + b + c R0 ( ) 0 c 0 R( ) a b+ c Resolvendo o sistema: a c 0 e b R(). Resposta correta:. f() (8 + ). ( ) + Se 0 f() 8() +. [ () ] + () f() ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA

4 . P + + a+ b Se P é divisível por. Assim 0 P() 0 P() Assim P() () + () + a + b + + a+ b a+ b. P() + p + q é divisível por, logo: Se 0 ± Assim: I) P( ) 0 ( ) + ( ) p( ) + q p+ q 0 p+ q (I) II) P() 0 () + () p() + q 0 p+ q (II) III) p+ q p p p + q q q p Logo: q. P() P() P() P() P() Seja Q() P() Q() Q() Q() Q() Q() 0 Q() K. ( )( )( )( )( ) P() K. ( )( )( )( )( ) + P(6) k K + 0 0K + K 0 Logo P() ( )( )( )( )( ) + 0 Daí, P(0). ( )( )( )( )( ) Temos: P( ) ( ) ( ) + ( + ). Também, P( ) + p q + p q q p m n ; ( + )( ) + 0 Substituindo por 0 P( ) ( ) 8( ) + m( ) n m n 0 m+ n 7 P() () 8() + m n m n 0 m n 8 m+ n 7 m n 8 m m m n 8. n 8 n Logo m. n. 0 temos:. Considere o polinômio P() + P +. Se P() dividido por ( ) e ( + ) tem restos iguais, então P() P( ). P() + P + P() P + P( ) ( ) + P( ) + ( ) P Como P() P( ), então P + P P P COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. P() + + p + q + Q() ( ) P() ( )( )( α)( β), onde α e β são raízes. α+β+ + α+β Por Girard: α. β.. αβ Resolvendo: Δ 6 9 α β. f() ( ). q f() f() ( ). q + f() f() ( )( ). q + A + B Se 0 Resto f() ( )( ). q + A() + B A+ B (I) ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA

5 Se 0 f() ( )( ). q + A() + B A + B (II) Usando I e II temos: A+ B A + B A+ 0 A A+ B + B Resto B. P() a + b é raiz 0 é raiz P( ) a( ) + b( ) + ( ) 0 a+ b (I) P() a() + b() + () 0 8a + b + 0 8a + b (II) Tomando I e II temos: 8 a+ b 8a+ 8b 8a + b 8a + b b 0 0 b b a+ b a+ a a a 6. I) P() ( )q + 0 Pelo teorema do resto temos: P() II) P()( )( + )q + A + B P() ( )( + )q + A() + B A+ B 7. I) P() ( )( )( a) (a é raiz) P() ( )( )( a) 0 ( a) 0 a a II) P( ) ( )( )( + ) ( )( )() P() Q() P() Q() Q() + 6 P() Q() P() P() Q() + P() Q() 9. P() + a + b P( ) ( ) + a( ) + b( ) a b 0 a b 8 P + a + b 0 a b a b 8 0 a b 9 a b 8 a b 9 a 9 a a b 9 b 9 b 6 b a + b 0 0. P() + + ( ). q + r 0 Se P q+ r r r 9 Logo P(). () + () + [() ]q + q + q ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA

6 .. P() P() ( )(6 + + ) 7 Quando o interesse é apenas o resto da divisão por um polinômio do º grau, devemos usar o Teorema.. Perceba que um número não pode ser menor que 0 e maior que. Logo os não podem estar falando a verdade. Mas se a resposta for 7, por eemplo, os primeiros estão falando a verdade. Como os mesmos minutos e da mesma forma, formamos outra corrente de elos, e para unir as duas mais minutos. Daí, conseguimos uma forma com minutos. P() ( + ) q() + R Fazendo + 0 P. +. q + R P 0 + R P R Lembrando que: P() ( ) (6 + + ) 7 Substituindo, temos: P Constante, pois o divisor é do º grau. POLINÔMIOS III aula P COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA. ƒ + + d() Por Briot-Ruffini, temos: d() 0 0 ou ƒ q() ou q() quando fatorado q() ( ) ( + ), logo: ƒ ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) Um outro divisor poderia ser ( + ). P P ( + ) q() + A + B Resto Devemos observar que o divisor é igual a zero, ou seja, nas raízes do divisor. + ou Assim, temos: ( ) ( + ) ( ) q() + A + B R() I) Faça, logo temos: ( ) 80 + ( ) 79 ( ) ( ) ( + ) ( ) q( ) + A( ) + B A + B A + B 7 A B 7 6 ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA

7 II) Agora faça () 80 () () ( + ) ( ) q() + A + B + A + B A + B Pelo sistema: A B 7 + A + B A 8 A Como: A + B + B B R() A + B R() e o R(0). 0. Temos a b r e c b + r em que r é a razão da P.A. Logo a + b + c 6 b b Temos também: P() Q(). ( ) + R() P() S(). ( + ) + R() Em que R() K é polinômio constante, ou seja, grau zero. Logo P() K e P( ) K P() P( ) ( ) 0 8( ) 8 ( ) 0 8( ) a + 8b + c + a 8b c a + 8b + c 0 6a + b + c 0 Substituindo: 6( r) +. + ( + r) 0 6 6r r 0 r 8 8 r.. Novamente, lembramos que: 999 P() ( ) P() d(). q() + R() d() ( ) q() Q() ( 999 ) ( ) Q() + R() I) Se d() for divisor de P(), significa que: d() 0 0 Para, temos P() 0. Substituindo P() Realmente P() é divisível por d(). Logo, R() 0 II) Para 0, temos: 999 ( ) Q() (0 ) Q(0) Q(0) Q(0). COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS + f g + h + a( + ) + b( ) + a + a + b b I) b b II) a a. P() Q()( + + ) + ( + ) P() S()( + ) + ( + ) P(X) T()( + )( + + ) + R() T()( + + ) + R() Sendo α, α raízes de + + e β, β de + + i i α cis60, α cis00, + i i β cis0, β cis0 Temos: P( α ) α + R( α) P( α ) α + R( α) onde R() a + b + c + d P( β ) β + R( β) P( β ) β + R( β) Também: α cis80 α cis0 α cis900 α cis600 β cis60 + i β cis0 β cis70 i β cis80 i + i Substituindo em R(): a( ) + b + i c i d i a( ) + b i c i d i a () + b i c i d i a () + b + i + c i + d i+ Igualando parte real e imaginária: ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 7

8 b c a + + d () b c + b c 7 a + d ( ) b c ( ) ( ) Somando () e (): b e c Substituindo em () e (): a e d Logo R() m m n m m m n n P() (C ) + (A 0) + (p 8)! I) II) C 0 C m A 0 0 A 0 n! 0 n(n ) 0 n (n )! III) (p 8)! 0 (p 8)! p 8 p 0 Logo: mnp Resposta correta: + + (Não tem item correto). P () + p + q P () + m p + q + m m + m m + (p + ) + q + m + m m (m + p + ) + q m m p 0 p m q q m 0 q m. P() ( a)( + a) ( + a)(a + B) + r + a 0 a Se a 0 a + a 0 a Substituindo na identidade temos: I) P( a) ( a a)( a + a) ( a + a)(a + B) + r ( a)(a) R R a II) P(a) (a a)(a + a) (a + a)(aa + B) a 0 (a)(aa+ B) a a(aa+ B) a Aa+ B a P( a) ( a a)( a + a) ( a + a)( aa + B) a 0 ( a)( aa + B) a aa + B a Aa + B a Aa + B a Aa a A Aa + B a Assim q A+ B a r a B ( + m) ( n) + ( + m + n)( + m + n)] + ( + m n)(m + n) + (m + n) + (m + n)(m n) m + n m n (m + n)(m n) m + n m 6 m m + n + n n m n () ( ) P + q r + p + qr + + ( )( + ) P() + a + b + c Q(). ( + ) Sabemos que + ( )( + )( ). Logo: P () 0 a+ b+ c 0 P( ) 0 a b+ c 0 P( ) 0 8 a+ b+ c 0 Resolvendo o sistema: a c e b Daí, a + b + c 8 9. P() k + k + P( ) k( ) + k( ) + k k + k + k k + P( ) k k + 8 ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA

9 Se: P() P( ) k k k k + k + a( + ) + b( + ) ( + )( + ) a + a + b + b (a+ b) + + b a + b a+ b 6 a + b a + b b 7 a + b a + 7 a b a k k +. Temos duas possibilidades é V (verdadeira) ou F (falsa). Primeiro caso () é verdadeira () e () são verdadeiras. Mas se () é verdadeira () é falsa. Temos um absurdo, logo não é verdadeira como o suposto. Segundo caso () é falsa () e () não são ambas verdadeiras.. A afirmativa é verdadeira (F).. A afirmativa é falsa (V).. e são ambas falas (V).. e não são ambas falsas (V). Temos então F, V, F, V e V sem conflitos lógicos.. Naturalmente, Como temos mais aniversariantes em fevereiro o dia procurado deve estar em fevereiro; digamos no dia n de fevereiro: 7 + n + + n + + n n + + n + + n + + n n (temos que minimizar n). 6. ƒ + k + t g + R Usando o método dos coeficientes a determinar, temos: ƒ g(a + B) + R + k + t ( + ) (A + B) + + k + t A + B A B + A + B + + k + t A + (B A) (B A ) + B A B A B A B k (B A ) k ( ) k t B t t k t ( ) 8 Se n 0 I [, 0] n n + 7 n + n + n n + n n n 0 n e n é mínimo para 0 n 00 Se n 0 I [, 0] n n + 7 n + n + + n 0 + n + + n + + n n + 80 mínimo para (função crescente) n 00 n 0 I n n + 7 n + + n + n + n + + n n n + 8 mínimo para n n 00 n 0 I n n n + n + n + n + + n n + mínimo para n n 0 É mínimo em 0 fevereiro e de fevereiro.. P() + a + b + c d () + d () + Encontrando as raízes de d () e d (), temos: + + ou ou EQUAÇÕES POLINOMIAIS I aula As três raízes são, e. Assim, P() + a + b + c. Se é raiz, ao substituirmos no polinômio, temos: P() 0 P(). + a. + b. + c 0 + a + b + c 0 a + b + c COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA. f + 9 g + f g. q q S + p ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 9

10 A soma das raízes são: ( ) ( ) + S + S + ( S) S O produto das raízes:... (. ). (. ) ( 9).P P Logo q S+ P q + Para q e Resolvendo. P() Seja α e β raízes, tais que P() ( α) ( β) Por Girard: α+α+β+β α+β α. α. β. β 9 ( αβ ) 9 αβ ou αβ Logo α α α α α + 0 α α β Se αβ, P() não terá raízes reais para haver relação de superioridade. Logo, maior raiz é.. + Pela soma das raízes, temos: a+ b a+ b Pelo produto das raízes, temos: ( ) a.b ab a+ b a b ab ( b). b b a b + b 0 b a b b Logo a ou a ( ). + 0 Pelas relações de Girard, temos: + + ( ) ( ). Assim a nossa equação será: ( + ) + (. ) Calculando Δ, temos: Δ b ac Δ.. 6 As raízes são compleas.. O produto das raízes será: ( q).. q Substituindo temos: 8p + q 0 q 8pq + q q 0 q 8pq 0 q 0 (I) q(q 8p) 0 ou q 8p (II) Por Girard temos: b ( 8p) + + q a + q 8p Se q 0 temos 8p p Se q 0 temos + q q 0 (absurdo). Assim p. COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. I) 7 + p 0 a a + a Por Girard temos b + + a a+ a+ 0 a 0 ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA

11 + ( 7) + + a. a + a( a) + a( a) 7 a a 6a 7 7a 7 a ± II)... Se a temos: () 7() + p 0 p 6 Se a temos: ( ) 7( ) + p 0 p 6 Ou p 6 ou p 6. + p + q Por Girard temos: + + p 0+ p p Substituindo: ( p) + p( p) + q( p) p + p pq pq 0. + (n ) + n + 0. (n + ) Assim temos.. n+ n. + + p + q + 0. Sejam α, α, α e α as raízes. α +α Logo: α. α Por Girard: α α α α α α Também: α + α + α + α α + α P α α + α α + α α + α α + α α + α α α α + α α + α (α + α ) + α (α + α ) α α + α α + (α + α )(α + α ) + + ( )( ) q α α α + α α α + α α α + α α α α α (α + α ) + α α (α + α ) ()( ) + ()( ) q Daí, pq.. + p + q ( )( )( ) Por Girard Logo: a b+ c b bc+ ac+ b E + + a b ac abc b(b + c) + ac ba + ac a(b + c) E abc abc abc a E abc Por Girard temos: + + a+ b+ c a+ a a abc 6 E a () abc n + m ou 0 Logo, n n 6( ) n 8 m.. m ( 6).( ).0 m a + b + c 0 r.. c q r r.r.rq c q rq c r ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA

12 Substituindo temos: r + ar + br+ c 0 r + ar + br r 0 ar + br 0. b b b r c c a c b 0 a a a k k 8.. k.. k 0. + k + 0 a a.. a. a Substituindo temos: + k + 0 e se casaram e tiveram um filho e uma filha. se casou com e tiveram um filho 6 e uma filha 7. Já se casou com 6 e tiveram um filho 8. Pegue,, 7, 8. é pai de 7; é mãe de 8; 7 é filha de ; 8 é filho de ; é irmão de ; é irmã de ; 8 é primo de 7; 7 é prima de 8; 8 é sobrinho de ; 7 é sobrinha de ; é tia de 7; é tio de 8. E todos têm como antepassado comum. Dessa forma sabemos que com parentes é possível. Nos resta provar que com é impossível. Para tal suponha que com seja possível. Sem perda de generalidade digamos: pai de ; é filho de ; nos resta é filha de (afinal tem que ter filha). Mas de forma, ninguém é tio de ninguém. Logo com é impossível. EQUAÇÕES POLINOMIAIS II aula COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA k k k 8. Suponha que Carlos mentiu, então todos os outros disseram a verdade. Logo foi o Carlos, pois Mário disse. Mas Pedro disse que Mário não tinha razão. Absurdo. Logo, Carlos disse a verdade, então foi Pedro Z i Z + i Z? Por Girard temos: 7 Z+ Z + Z 7 + i+ i+ Z Z Z Z ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA

13 . + p + q + r 0 cujas raízes são,, e. Seja + +. Por Girard: P p P. Também: q ( + + ) + ( ) + + ( + + ) + q + r r Logo, p + 8pq ( ) r 6r p + 8pq 6r Daí 6 r r. Se Z é raiz, Z também é, e Z.Z ( ) Z.Z.Z Z.Z ( ). Z.Z Z. r + ( ) ( ) r Z. + + α β γ β γ + α γ + α β α β γ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) γ β+γβ+ γ α+αγ+ β α+αβ β α+αβ γ+βγ+αγ αβγ ( α+β+γ ) +γβ+αγ+αβ ( β+α+γ ) + ( αβ+βγ+αγ) αβγ Como α, β e γ são raízes de 0 Por Girard: α+β+γ 0 αβ + αγ + αβ αβγ A epressão vale: ( 0) Somando os coeficientes temos: + 0. Logo é raiz. Por Briot-Ruffini temos: (+ ) 0 Logo as raízes são: e COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS k + 0 D() { ± ; ± ; ± } β D() { ± ; ± } ` β ± ; ± ; ± ; ±. D() {±; ±} r {±; ±} Substituindo temos: + () + m () 0 m ( ) + ( ) + m ( ) 0 m + ( + ) + m ( + ) 0 m ( ) + ( ) + m ( ) 0 m m+ m + m + m 0 0. Pelo gráfico f(0) termo independente e Logo, y+ y + y + + y.y.y (..) yy + yy + y y (+ + ) Assim temos y y y 0. f() + a + b + c a c + + a c f(0) c a c b + + b ( + ) + 0 ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA

14 Multiplicando os dois membros por. b.. b b Assim a + b +c + 6. P Se: k k? A soma das raízes é: b + + a ( ) k k k +.. O produto das raízes é: d I).. a. II) Substituindo a raiz na própria equação, temos: ( ) ( ) + k( ) k + 0 k 8 8. I) Se Z é raiz do polinômio, Z também é raiz. i; i II) Se a + a Assim: + b b também é raiz. Como: i i Logo, as raízes são: (i, i, +,, 6) 9. Da equação 6 + 0, temos: ( ) ( ) 0 ( )( ) 0. Como o produto é zero, então: 0 ou 0 ± As raízes da equação 6 + 0, são,,, assim a solução S ; ; ] ;0[, ]0; ]; [, então S ] ; 0 [ ] ; [ 0. + em que, e são raízes de: Temos: ( ) 0( ) + 8( ) ( )( 0 + 8) ( )( ). Logo, as raízes são, e. A maior vale.. Ana tem vestido e sapatos da mesma cor. Júlia nem vestido nem sapatos brancos. Márcia sapatos azuis. Se Júlia não tem sapatos brancos e Márcia está com os azuis, então Júlia está com os pretos. Sendo assim restam os sapatos brancos para Ana; também o vestido dela é branco. Temos, por enquanto o seguinte diagrama:. Vestido Sapatos Ana brancos brancos Júlia pretos Márcia azuis (Retificação de gabarito) Curso Universidade Renata Medicina UERJ Fernanda Moda UFRJ Márcia Química UFF Fernanda não cursou medicina, nem Química, logo cursou Moda. Restando medicina a Renata. Fernanda não fez na UFF, nem na UERJ, logo fez na UFRJ. Restando UFF a Márcia. (Retificação de gabarito) -609 Rev.: Julyta ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA