Sistemas de Coordenadas em uma Reta

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1 Capítulo 1 Sistemas de Coordenadas em uma Reta 1.1 AS COORDENADAS DE UM PONTO Seja uma reta. Escolha um ponto O sobre a reta e chame esse ponto de origem. Agora escolha uma direção ao longo de ; digamos, a direção da esquerda para a direita no diagrama. Para todo ponto P à direita da origem O, faça a coordenada de P como a distância entre O e P. (É evidente que, para especificar uma distância, é necessário primeiramente estabelecer uma unidade de distância arbitrariamente escolhida designando-se o número 1 para a distância entre dois pontos escolhidos.) No diagrama a distância OA é arbitrada como 1, de modo que a coordenada de A é 1. O ponto B está duas unidades distante de O; portanto, B tem coordenada 2. Todo número real positivo r é a coordenada de um único ponto de à direita da origem O; a saber, daquele ponto à direita de O cuja distância a O é r. Para todo ponto Q sobre à esquerda da origem O, designamos um número real negativo como sua coordenada; o número QO, o negativo da distância entre Q e O. Por exemplo, no diagrama

2 14 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO o ponto U é considerado como uma distância de uma unidade da origem O; portanto, a coordenada de U é 1. O ponto W tem coordenada 1 2, o que significa que a distância WO é 1 2. Obviamente, todo número real negativo é a coordenada de um único ponto de à esquerda da origem. Para a origem O é designado o número 0 como sua coordenada. Essa correspondência de números reais com os pontos da reta é chamada de sistema de coordenadas sobre. 3 5/ / O Escolher uma origem diferente, uma direção diferente ao longo da reta ou uma unidade diferente de distância resultaria em um sistema de coordenadas diferente. 1.2 VALOR ABSOLUTO Para qualquer número real b define-se o valor absoluto b como a magnitude de b; ou seja, o b o \ G b se b º 0 [b se b \ 0 Em outras palavras, se b é um número positivo ou zero, seu valor absoluto b é o próprio b. Mas se b é negativo, seu valor absoluto b é o número positivo correspondente b. Exemplos K 5K 5 o 3 o \ 3 \ 2 2 K 1 o 0 o \ 0 o [2 o \ 2 [ K 1 \ 3 3 Propriedades do Valor Absoluto Observe que qualquer número r e seu oposto r têm o mesmo valor absoluto, o r o \ o [r o (1.1) Um importante caso especial de (1.1) resulta escolhendo-se r = u v e lembrando que (u v) = v u, o u [ v o \ o v [ u o (1.2) Se a = b, então a e b são o mesmo número ou a e b são opostos um do outro, o a o \ o b o implica a \^b (1.3) Além disso, como a é a ou a, e ( a) 2 = a 2, o a o2\a2 (1.4) Substituindo a em (1.4) por ab resulta o ab o2\(ab)2\a2b2\oao2obo2\(o a oobo)2 de onde, sendo o valor absoluto não negativo, o ab o \ o a oob o (1.5) Valor Absoluto e Distância Considere um sistema de coordenadas sobre uma reta e sejam A 1 pontos de com coordenadas a 1 e a 2. Então, o a 1 [ a 2 o \ A 1 A 2 \ distância entre A 1 (1.6)

3 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE COORDENADAS EM UMA RETA 15 Exemplos o a 1 [ a 2 o \ o 2 [ 5 o \ o [3 o \ 3 \ A 1 A 2 o a 1 [ a 2 o \ o 4 [ ([3) o \ o 4 ] 3 o \ o 7 o \ 7 \ A 1 A 2 Um caso especial de (1.6) é muito importante. Se a for a coordenada de A, então o a o \ distância de A à origem (1.7) Observe que, para qualquer número positivo c, o u o ¹ c é equivalente a [c ¹ u ¹ c (1.8) Exemplo u 3 se, e somente se, 3 u 3. Analogamente, o u o \ c é equivalente a [c \ u \ c (1.9) Exemplo Para conseguir uma forma mais simples para a condição x 3 < 5, substitua u por x 3 em (1.9), obtendo 5 < x 3 < 5. Somando 3, temos 2 < x < 8. De um ponto de vista geométrico, observe que x 3 < 5 é equivalente a dizer que a distância entre o ponto A que tem a coordenada x e o ponto que tem a coordenada 3 é menor que 5. Segue imediatamente da definição de valor absoluto que, para quaisquer dois números a e b, (De fato, a = a ou a = a.) Somando as desigualdades, obtemos e assim, de (1.8), com u = a + b e c = a + b, [o a o ¹ a ¹ o a o e [o b o ¹ b ¹ o b o ([o a o ) ] ([o b o ) ¹ a ] b ¹ o a o ] o b o [( o a o ] o b o ) ¹ a ] b ¹ o a o ] o b o A desigualdade (1.10) é conhecida como a desigualdade triangular. Em (1.10) o sinal < é usado se, e somente se, a e b tiverem sinais opostos. Exemplo 3 + ( 2) = 1 = 1, mas = = 5. o a ] b o ¹ o a o ] o b o (1.10)

4 16 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Problemas Resolvidos 1.1 Lembrando que Ju sempre denota a raiz quadrada não negativa de u, (a) calcule J32 ; (b) calcule J([3)2 ; (c) Mostre que Jx2\oxo.. (d) Por que a fórmula Jx2\x não é sempre verdadeira? (a) J32\J9 \ 3. (b) J([3)2\J9 \ 3. (c) De acordo com (1.4), x 2 = x 2 ; logo, uma vez que x 0, Jx2 = x. (d) Pelo item (c), Jx2 = x, mas x = x é falso quando x < 0. Por exemplo, J([3)2\J9 \ 3 D [ Resolva x + 3 5; ou seja, encontre todos os valores de x para os quais a relação dada vale. De (1.8), x se, e somente se, 5 x Subtraindo 3, 8 x Resolva 3x + 2 < 1. De (1.9), 3x + 2 < 1 é equivalente a 1 < 3x + 2 < 1. Subtraindo 2, obtemos a relação equivalente 3 < 3x< 1. Isso é equivalente, ao dividir por 3, a 1 < x < Resolva 5 3x < 2. De acordo com (1.9), 2 < 5 3x < 2. Subtraindo 5, 7 < 3x< 3. Dividindo por 3, 7 3 > x > 1. REVISÃO DE ÁLGEBRA Multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo inverte a desigualdade: se a < b e c < 0, então ac > bc. Para perceber isso, observe que a < b implica em b a > 0. Logo, (b a) c <0, já que o produto de um número positivo por um número negativo é negativo. Assim, bc ac < 0, ou bc < ac. 1.5 Resolva x ] 4 x [ 3 \ 2 (1) Não podemos simplesmente multiplicar ambos os lados por x 3, pois não sabemos se x 3 é positivo ou negativo. Caso 1: x 3 > 0. Multiplicando (1) por essa quantidade positiva mantém a desigualdade: x ] 4 \ 2x [ 6 4 \ x [ 6 [subtraindo x] 10 \ x [adicionando 6] Portanto, se x > 3, (1) vale se, e somente se, x > 10. Caso 2: x 3 < 0. Multiplicando (1) por essa quantidade negativa inverte a desigualdade: x ] 4 [ 2x [ 6 4 [ x [ 6 [subtraindo x] 10 [ x [adicionando 6] Portanto, se x < 3, (1) vale se, e somente se, x < 10. Mas x < 3 implica que x < 10. Logo, quando x < 3, (1) é verdadeira. Dos casos 1 e 2, (1) vale para x > 10 e para x < 3.

5 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE COORDENADAS EM UMA RETA Resolva (x 2)(x + 3) > 0. Um produto é positivo se, e somente se, ambos os fatores possuem o mesmo sinal. Caso 1: x 2 > 0 e x + 3 > 0. Então, x > 2 e x> 3. Mas essas são equivalentes a x > 2 apenas, uma vez que x > 2 implica em x > 3. Caso 2: x 2 < 0 e x + 3 < 0. Então, x < 2 e x < 3, que são equivalentes a x < 3, já que x < 3 implica em x < 2. Portanto, (x 2)(x + 3) > 0 vale quando x > 2 ou x < Resolva 3x 2 1. Vamos resolver a negação da relação dada, 3x 2 < 1. De acordo com (1.9), [1 \ 3x [ 2 \ 1 1 \ 3x \ 3 [somando 2] 1 \ x \ 1 [dividindo por 3] 3 Logo, a solução de 3x 2 1 é x 1 3 ou x Resolva (x 3)(x 1)(x + 2) > 0. Os pontos cruciais são x = 3, x = 1 e x = 2, onde o produto é zero. Quando x > 3, os três fatores são positivos e o produto é positivo. Quando passamos da direita para a esquerda, através de x = 3, o fator (x 3) muda de positivo para negativo, e assim o produto será negativo entre 1 e 3. Quando passamos da direita para a esquerda através de x = 1, o fator (x 1) muda de positivo para negativo, e assim o produto muda novamente de negativo para positivo ao longo do intervalo de x = 2 a x = 1. Finalmente, quando passamos da direita para a esquerda através de x = 2, o fator (x + 2) muda de positivo para negativo, e assim o produto fica negativo para todo x < 2. Portanto, a solução consiste de todos os x tais que x > 3 ou 2 < x < 1. Problemas Complementares 1.9 (a) Para que tipo de número u, u = u? (b) Quais valores de x que 3 x é igual a x 3? (c) Para quais valores de x que 3 x é igual a 3 x? 1.10 (a) Resolva 2x + 3 = 4. (b) Resolva 5x 7 = 1. (c) CG Resolva o item (a) fazendo o gráfico de y 1 = 2x + 3 e y 2 = 4. O mesmo para o item (b) Resolva: (g) 1.12 Calcule: (g) (a) o x [ 1 o \ 1 (b) o 3x ] 5 o ¹ 4 (c) o x ] 4 o [ 2 (d) o 2x [ 5 o º 3 (e) o x2[10 o ¹ 6 (f ) K x 2 ] 3K \ 1 CG Cheque suas respostas aos itens (a)-(f) graficamente. (a) x x ] 5 \ 1 (b) x [ 7 K x ] 3 [ 2 (c) 1 2K x [ \ 4 (d) K 1 ] 3 x K [ 2 (e) 1\ 3 [ 2x \ 5 (f ) 3¹ 2x ] 1 \ 4 CG Cheque suas respostas aos itens (a)-(f) graficamente.

6 18 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 1.13 Resolva: (a) x(x ] 2) [ 0 (b) (x [ 1)(x ] 4) \ 0 (c) x2[6x ] 5 [ 0 (d) x2]7x [ 8 \ 0 (e) x2 \ 3x ] 4 (f ) x(x [ 1)(x ] 1) [ 0 (g) (2x ] 1)(x [ 3)(x ] 7) \ 0 (h) CG Confira suas respostas aos itens (a)-(g) graficamente. [Sugestões: No item (c), fatore; no item (f), use o método do Problema 1.8.] K ak o a o 1.14 Mostre que se b 0, então \. [Sugestão: Use (1.5)] b o b o 1.15 Prove que: (a) a 2 = a 2 (b) a 3 = a 3 (c) Generalize os resultados dos itens (a) e (b) Resolva: (a) 2x 3 = x + 2 (b) 7x 5 = 3x + 4 (c) 2x 1 = x + 7 (d) CG Confira suas respostas aos itens (a)-(c) graficamente Resolva: (a) 2x 3 < x + 2 [Sugestão: Considere os três casos x 3 2, 2 x < 1 2, x < 2.] (b) 3x 2 x 1 (c) CG Cheque suas soluções para os itens (a) e (b) graficamente (a) Prove: a b a b. [Sugestão: Use a desigualdade triangular para provar que a a b + b e b a b + a.] (b) Prove: a b a + b 1.19 Determine se Ja4\a2 vale para todos os números reais a É verdade que Ja2 \ Jb2 sempre implica em a < b? 1.21 Sejam O, I, A, B, C, D pontos sobre uma reta, com coordenadas respectivas 0, 1, 4, 1, 2 3 e 3. 1 Desenhe um diagrama mostrando esses pontos e determine: IA, AI, OC, BC, IB, + BD, ID, IB + BC, IC Sejam A e B pontos com coordenadas a e b. Determine b se: (a) a = 7, B está à direita de A, e b a = 3; (b) a = 1, B está à esquerda de A, e b a = 4; (c) a = 2, b < 0, e b a = Prove: (a) a < b é equivalente a a + c < b + c. ÁLGEBRA a < b significa que b a é positivo. A soma e o produto de dois números positivos são positivos, o produto de dois números negativos é positivo e o produto de um número positivo com um negativo é negativo. a (b) Se 0 < c, então a < b é equivalente a ac < bc e a. c \ b c 1.24 Demonstre (1.6). [Sugestão: Considere três casos: (a) A 1 sobre o eixo positivo x ou na origem; (b) A 1 no eixo x negativo ou na origem; (c) A 1 em lados opostos em relação à origem.]