XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 2 (7ª. e 8ª. séries) GABARITO

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1 XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL (ª e ª séries) GABARITO GABARITO NÍVEL ) E ) E ) B ) D ) E ) E ) C ) D ) B ) D ) E ) C ) C ) A ) B ) D ) A ) C ) B ) Anulada ) B 0) E ) A 0) B ) Anulada Cada questão da Primeira Fase vale ponto (Total de pontos no Nível = pontos) Deve ser atribuído ponto para todos os alunos nas questões anuladas Aguarde a publicação da Nota de Corte de promoção à Segunda Fase no site: ) (E) No resultado da multiplicação de 0 por 00 algarismos, o dígito aparece vezes e o dígito aparece 00 = 00 vezes Portanto a soma dos algarismos desse número é + 00 = + 00 = 0 a ) (E) A soma a+ b é se a = 0 e b =, ou seja, = 0, incompatível com o desenho A soma é b a se b = =, também incompatível E a soma é se a ou a = =, ambos incompatíveis a Os casos em que a soma é são: b = < ou a = ou a = =, todos incompatíveis Como todas as quatro primeiras alternativas são falsas, a alternativa E) é a verdadeira a De fato, a soma é nos casos: b = < ou a b = > ou a > ou a = >, dos quais a possibilidade a = e b = dá a fração a 0, b = ) (E) Como o triângulo ABC é eqüilátero, o ângulo interno  mede 0 o Se DG é paralelo a AB, então o ângulo entre DG e AC é 0 o ou 0 o 0 o = 0 o Sendo x o maior ângulo entre esses dois segmentos, x = 0 o ) (D) Sejam H, M e C as quantidades de homens, mulheres e crianças, respectivamente Temos H/M = / e M/C = Logo, H/C = H/M M/C = / Logo, a razão entre o número de adultos e crianças é (H + M)/C = H/C + M/C = + / = 0/ ) (B) Os estudantes que resolveram todos os problemas corretamente correspondem a 00% % % = 0% do total Logo, o número total de estudantes é (00/00) = 0 ) (E) Como N é o quadrado de um quadrado perfeito, N é uma quarta potência e, como possui o fator =, N deve ser divisível por = Logo N é da forma k, em que k é inteiro positivo Portanto, N/ = 0k e o menor valor possível para N/ é 0

2 ) (C) A área do jardim é a, onde a é o lado do quadrado Pelo Teorema de Pitágoras, AB = a + (a) = a Daí, a = 00, que é a área do jardim Observação: também é possível resolver o problema sem usar o Teorema de Pitágoras, formando o quadrado de lado AB e observando que sua área é equivalente à de quadrados menores ) (C) Tem-se a = k(b + c), b = k(c + a) e c = k(a + b) Logo, (a + b + c) = k(a + b + c) Há dois casos: (i) a + b + c 0; neste caso, k = ½ (e a igualdade ocorre se e só se a = b = c 0); (ii) a + b + c = 0 Neste caso, tem-se a/(b + c) = b/(c + a) = c/(a + b) = Portanto, k pode assumir os valores ½ ou ) (A) Um polígono convexo inscrito no círculo fica determinado quando seus vértices são escolhidos Cada um dos pontos pode ou não ser escolhido como vértice, dando um total de = 0 escolhas Mas para determinar um polígono precisamos escolher ou mais vértices Logo, do número acima devemos excluir os casos em que são escolhidos 0 pontos ( caso), ponto ( casos) ou pontos ( / = casos) Portanto, o número de polígonos é 0 = 0 0) (E) A soma dos números de m a n é (m + n)(n m + )/ Ou seja, devemos ter (m + n)(m n + )/ = 00, cuja decomposição em fatores primos é Da igualdade (m + n)(n m +) = (e observando que m + n > n m + ), podemos ter os seguintes casos: a) m + n =, n m + = (que resulta em m = 0 e n = 0) b) m + n =, n m + = (que resulta em m = e n = ) c) m + n =, n m + = (que resulta em m = e n = ) d) m + n =, n m + = (que resulta em m = e n = 0) e) m + n = 00, n m + = (que resulta em m = 00 e n = 00) Portanto, 00 pode ser escrito de modos como soma de dois ou mais números inteiros e consecutivos ) (B) Ambas as equações tem como raiz As outras raízes são /00 e 00, cujo produto é ) (D) a(b + c) b (a + c) = c(a b), que é máximo quando c é máximo (ou seja, igual a 0) e b a é máximo (ou seja, b = 0 e a = ) Portanto, o produto máximo é 0 (0 ) = 0 )(C) Como 00 = x < 000, temos 00 = x < 000 e 00 = x < 000 Os números x e x podem ter ambos algarismos ou ambos algarismos Para que ambos tenham algarismos, deve-se ter x < 000, ou seja, x <,; há números nestas condições Para que ambos tenham algarismos, deve-se ter x = 000, ou seja, x =,; há números nestas condições Logo, há números satisfazendo as condições do problema )(C) Os triângulos isósceles junto à base têm área igual a do quadrado Os dois junto aos vértices superiores tem área igual a ¼ da área do quadrado Finalmente, o central no topo tem área igual à metade da área do quadrado Logo, a área total é + + ½ + ½ = ) (A) Note que ( + x)( x + x + ) = x( x + )( x + )( x + ) = ( x + x)( x + x + ) Seja + y x x x = Então + ( y + ) = ( y + ) = y + = y = 0 y

3 ) (D) Sendo x, y e z as áreas das partes brancas, a área pedida é: ( x) + ( y z) ( x y) ( z) = + = cm ) (B) Se o primeiro acidente é sofrido no ano N +, Jean gasta 00(N + ) + 00 com a seguradora A e 00(N + ) + 00 com a seguradora B Para que A seja mais favorável, devemos ter 00(N + ) +00 < 00(N + ) + 00 ou seja N >, Logo, Jean deve ficar pelo menos anos sem sofrer acidentes ) (A) A face estará, no início, voltada para Leste e, a seguir, voltada para baixo Quando o estiver para baixo, estará a Oeste Quando o estiver para baixo, continua a Oeste Quando o estiver para baixo (face oposta ao ), o permanece a Oeste e assim termina após os movimentos ) (B) A) Falsa (há do lado direito e 0 do esquerdo) B) Verdadeira (há do lado direito e do esquerdo) C) Falsa (há ) D) Falsa (há do lado direito e do esquerdo) E) Falsa (há ) 0) (B) A soma dos outros lados tem que ser maior que Logo, o perímetro deve ser maior que =,, o que mostra que o menor perímetro inteiro possível é ) (E) Para medir o ângulo entre os ponteiros, basta obter as posições dos dois ponteiros Fazendo isso para cada um dos horários, lembrando que o ângulo entre dois números consecutivos do relógio é 0º: 0h0: o ponteiro maior está sobre o e o menor está exatamente na metade entre o e o Logo o ângulo entre eles será, 0º = 0º 0 0h0: o ponteiro maior está sobre o e o menor está / de hora depois do Logo o ângulo é + 0º = 0º

4 0 0h0: o ponteiro maior está sobre o e o menor está / de hora antes do Logo o ângulo é + 0º = 0º 0 0h0: o ponte iro maior está sobre o 0 e o menor está / de hora antes do Logo o ângulo é + 0º = º 0 0h: o ponteiro maior está sobre o e o menor está / de hora antes do 0 Logo o ângulo é + 0º =,º 0 ) (D) Sendo d o mdc destes números, temos que d = = 0 Como 0 é primo, 0 não divide e divide todos os números, é o mdc procurado ) (B) Sejam B e C os pontos de batida da bola em PQ e QR, respectivamente, e A o ponto onde a bola está inicialmente Como os ângulos das trajetórias de batida com a mesa são iguais, deveremos ter os triângulos APB, CQB e CRS semelhantes Seja BP = x Assim: AP CQ CQ AP CR / x = = CQ =, = = = x x = BP BQ x x x BP RS x

5 Outra Solução: P V R Q R S T P U Como o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, ao refletirmos o retângulo inicial em relação ao lado PQ e em seguida refletindo em relação ao lado QR, obtemos um segmento TUV, de acordo com a figura acima Logo, pela semelhança dos triângulos TPU e TS V, temos TP PU PU = = PU = TS S V + ) (Anulada) Os únicos números com essa propriedade são: 0,,, 0,, e 0 A diferença entre o maior e o menor é 0, que é múltiplo de e, além disso, = 0 (há duas alternativas corretas) ) (Anulada) Os primeiros termos dessa seqüência são:,,,,,,,,,,, de onde vemos que ela tem período a partir do º termo Assim, a = a = a = a = a =, a = a =, a =, a = e a = A soma tem valor = (não há alternativa correta) S