Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 14. Curso de Álgebra - Nível 2 Prof. Marcelo Mendes. Revisão - Parte II

Transcrição

1 Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível Prof. Marcelo Mendes Aula 4 Revisão - Parte II Continuando nossa breve revisão de temas já abordados, propomos mais problemas de equações e sistemas de equações. Problema. Se x R e 4y +4xy +x+6 = 0, determine: a) o conjunto de todos os valores de x para os quais y R; b) y em função dos valores de x encontrados no item anterior. Problema. Encontre todas as soluções reais da equação 4 3+x+ 4 4 x = 3. Problema 3. Determine o conjunto solução da equação Problema 4. Sejam x,y,z números reais tais que xy = y z x+ = z +. x +3 Prove que um desses números é a média aritmética dos outros dois. Problema 5. Prove que a equação a n +0 b n = c n+ tem infinitas soluções naturais a, b, c para todo inteiro positivo n. x x x +3 = 3,x R. Problema 6. (OBM) Mostre que a equação x y 3 = z 4 possui infinitas soluções inteiras com x > 0,y > 0,z > 0.

2 POT 0 - Álgebra - Nível - Aula 4 - Prof. Marcelo Mendes Problema 7. Determine o conjunto solução da equação x = x, onde a representa a parte inteira de a. x y = z Problema 8. Quantas soluções reais possui o sistema y z = x z x = y? Problema 9. (Banco IMO) Encontre todas as triplas de inteiros positivos x, y, z satisfazendo x + y + z = 4 5. Solução. Suponha, sem perda de generalidade, que x y z. Daí, 4 5 = x + y + z 3 x, ou seja, x 3. Também x < 4 5 x = 3. x. Assim, precisamos analisar os casos x = e i) x = : y + z = 4 5 = 3 0 y = 0z 3z 0 3y = 30z 30z = = z 0 3z 0 3z 0. Como 3y Z, segue que (3z 0) 00 (essa notação significa 3z 0 divide 00) e 3z 0 > 0. Assim, temos as possibilidades Mas z Z. Logo, restam 3z 0 =,,4,5,0,0,5,50,00. 3z 0 =,5,0,50 z = 4,5,0,0 y = 0,0,5,4, que geram as soluções (,4,0),(,5,0),(,0,5),(,0,4). ii) x = 3: y + z = = 7 5 y = 5z 7z 5 7y = 05z 05z 5+5 = = z 5 7z 5 7z 5.

3 POT 0 - Álgebra - Nível - Aula 4 - Prof. Marcelo Mendes Como 7y Z, segue que (7z 5) 5 e 7z 5 > 0. Assim, temos as possibilidades que não produzem solução inteira. 7z 5 =,3,5,5,45,75,5, 7z = 6,8,0,30,60,90,40, Assim, as únicas soluções são (,4,0),(,5,0),(,0,5),(,0,4). Comentário. Existe um problema muito parecido com esse, proposto no livro das Olimpíadas Brasileiras de Matemática - a à 8 a, que possui o seguinte enunciado: Mostre que o número de soluções x,y,z de inteiros positivos da equação é finito. x + y + z = 983 Tente resolvê-lo a partir das ideias do problema 9! Problema 0. Determine todas as soluções em números reais x, y, z, w do sistema de equações x + y + z = w x + + =. y z w Problema. (Romênia) Os números reais não-nulos x, y, z, t verificam as seguintes igualdades x + y + z = t + + =. x y z t x 3 + y 3 + z 3 = Determine o valor da soma x+y +z +t. Problema. Seja n um dado inteiro positivo. Quantas soluções existem em pares ordenados (x, y) de inteiros positivos para a equação xy x+y = n? Solução. Primeiro reescrevemos a equação como xy nx ny +n = n (x n)(y n) = n. 3

4 POT 0 - Álgebra - Nível - Aula 4 - Prof. Marcelo Mendes Portanto, a cada divisor positivo de n corresponde um valor de x n e uma solução. Os divisores negativos sempre geram x ou y não-positivo. Sendo n = p a pa... pa k k, temos n = p a p a... p a k k, que possui (a +)(a +)...(a k +) divisores positivos, que é a quantidade de soluções da equação inicial. Problema 3. Determine todos os pares ordenados (m, n) de números inteiros positivos que são soluções da equação 4 m + n =. Problema 4. Os três números distintos a, b, c verificam as igualdades a 3 +pa+q = 0 b 3 +pb+q = 0. c 3 +pc+q = 0 Prove que a+b+c = 0. Problema 5. (Czech and Slovak) Encontre todos os pares de inteiros a,b tais que a soma a+b seja uma raiz da equação x +ax+b = 0. 4

5 POT 0 - Álgebra - Nível - Aula 4 - Prof. Marcelo Mendes Dicas. Calcule o da equação com variável em y e resolva a inequação 0.. Eleve ao cubo a equação membro a membro. x Use a substituição = a. x 4. Combine os resultados das equações xy = 5. Comece procurando soluções em que a = b. 5. Repita a ideia do problema Observe que, se a equação possui solução, então x Z. y z x+ e xy = z Eleve as equações ao quadrado e lembre que raízes quadradas são não-negativas. 0. Passe z e para o lado direito da respectiva equação, equilibrando a quantidade de z termos em cada membro das equações.. Mesma dica do problema Tome como base as ideias da questão Subtraia as equações a. 5. Substitua a+b na equação, calcule e iguale-o a um quadrado perfeito. 5

6 POT 0 - Álgebra - Nível - Aula 4 - Prof. Marcelo Mendes Soluções e Respostas. a) (, ] [3,+ ); b) y = x± x x e Não há solução real. 4. xy = y z x+ xy = z x+ e xy = z + = xy. z + Daí, xy +x = xy x(y ) = 0. Como x 0, então y =. Portanto, z +y = z + = x x = z +y. 5. Entenda inicialmente que o problema não exige que se encontre todas as soluções, mas apenas (pode não parecer a palavra mais adequada, mas pode ser ela sim!) que existem infinitas soluções. Comecemos buscando soluções em que a = b. A equação se tornaria 03a n = c n+. Nesse caso, a = c = 03 é solução, porém ainda não as conseguimos em quantidade infinita. Mas isso, agora, é fácil. Escolha a = b = 03k n+ e c = 03k n. Variando k sobre N, geramos as infinitas soluções pedidas. 7. Suponha que a equação possua solução. O lado direito da equação é um número inteiro. Assim, x Z e, portanto, x = x, o que dá x =, que não é um número inteiro, absurdo. Ou seja, não há solução para a equação. 8. Naturalmente, vamos elevar ao quadrado as 3 equações envolvidas. Somando os resultados, obtemos x+y +z = 3. Por outro lado, a partir da primeira equação, obtemos z. Analogamente, x e y das demais equações, que geram x+y +z 3. Portanto, as igualdades devem ocorrer e a única solução é x = y = z =. 0. As soluções são x = y,y = z ou z = x

7 POT 0 - Álgebra - Nível - Aula 4 - Prof. Marcelo Mendes 3. 4 m + = (m 4)(n ) = 8. Assoluçõesinteiraspositivasvêmdem 4 =,,4,8 n e n = 8,4,,, respectivamente, ou seja, (m,n) = (5,0),(6,6),(8,4),(,3). 4. Subtraindo as primeiras equações membro a membro, temos (a b)(a +ab+b +q) = 0. Como a b, obtemos a +ab+b +q = 0. Analogamente, b +bc+c +q = 0. Combinando esses resultados (pela subtração), chegamos a (a c)(a +b+c) = 0. Mas a c. Portanto, a+b+c = Se a+b é raiz, então cujo discriminante é (a+b) +a(a+b)+b = 0 a +3ab+b +b = 0, = b 8b = (b 4) 6, que deve ser um quadrado perfeito, digamos k,k Z +, pois a Z, ou seja, (b 4) k = 6 (b 4+k)(b 4 k) = 6. Lembrando que soma e diferença dos mesmos números inteiros têm a mesma paridade e que b 4+k b 4 k pois assumimos, sem perda de generalidade, que k 0, temos as seguintes possibilidades: { b 4+k = 4, 8,, 4 b 4 k = 4,, 8, 4, que produzem as soluções (a,b) = ( 6,8),( 6,9),(0, ),(0,0). 7