Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1"

Transcrição

1 Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 05 Aplicações da Álgebra Equações e Inequações Parte Conteúdo 5. Aplicações em Álgebra Parte Polinômios Equações de Terceiro Grau Teorema de Bolzano Teorema das Raízes Racionais Transformações Derivada e Integral Memorize para a prova Exercícios de Fixação Gabarito Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos... 5 Bibliografia

2 5. Aplicações em Álgebra Parte Chegamos a nossa aula 5 (na verdade, aula 6, se considerarmos a aula 0). Ufa! Espero que você esteja gostando do curso. Estamos procurando explicar tudo detalhadamente, para não deixar dúvidas. Contudo, se ainda assim, as dúvidas persistirem, você pode postar suas dúvidas no fórum do curso, sem traumas. Risos. Bom, a aula de hoje é uma continuação da aula passada. Veremos mais um pouco de teoria e mais exercícios sobre equações, que, como foi dito anteriormente, acabam fazendo parte da maioria das questões de Raciocínio Lógico Polinômios Equações de Terceiro Grau Uma equação de terceiro grau é representada da seguinte maneira: ax 3 + bx + cx + d = 0; a,b ; c e d R, com a 0. Exemplo: 4x 3 + x + 3x + 5 = 0; a = 4, b =, c = 3 e d = 5. Relações de Girard para a equação de terceiro grau: Considere que as raízes da equação são: r 1, r e r 3. b a = (r 1 + r + r 3 ) menos a soma das raízes c a = r 1.r + r 1.r 3 + r.r 3 d a = r 1.r.r 3 menos o produto das raízes Exemplo: Se r 1, r e r 3 são as raízes da equação x 3 7x + 6x 8 = 0, determine o valor de r r r 1 3 Equação de terceiro grau: x 3 7x + 6x 8 = 0 a = b = 7 c = 6 d = 8

3 Das relações de Girard, temos: b 7 a = = (r1 + r + r 3 ) 7 = r 1 + r + r 3 (I) c a = r 1.r + r 1.r 3 + r.r 3 6 = 3 = r 1.r + r 1.r 3 + r.r 3 (II) d a = r 1.r.r 3 8 = 4 = r1.r.r 3 4 = r 1.r.r 3 (III) Vai, pode perguntar. Sei que você está com a pulga atrás da orelha. Você deve estar pensando: Tudo bem professor, as relações de Girard são muito bonitas, etc, etc. Mas, o que essas relações têm a ver com este exemplo? Você verá. Ou melhor, como diria a minha avó, quem viver verá. Se desenvolvermos o valor a ser calculado comum dos denominadores r 1, r e r 3 é r 1.r.r 3. Portanto, teremos: , o mínimo múltiplo r r r r. r3 1 r1. r3 1 r1. r r. r3 + r1. r3 + r1. r + + = = r r r r r. r r r. r r r. r r. r. r Repare que o numerador da expressão acima corresponde a c a (II) e o denominador corresponde a d a (III), que são relações de Girard para uma equação de terceiro. Viu a utilidade das relações de Girard?. Substituindo estes valores na expressão: r. r3 + r1. r3 + r1. r 3 = r. r. r

4 Memorize para a prova: Relações de Girard para a equação de terceiro grau: Considere que as raízes da equação são: r 1, r e r 3. b a = (r 1 + r + r 3 ) menos a soma das raízes c a = r 1.r + r 1.r 3 + r.r 3 d a = r 1.r.r 3 menos o produto das raízes Teorema de Bolzano Matemática sem teorema não é matemática. Risos. Então, vamos aprender o Teorema de Bolzano. Considere f(x) = 0 uma equação polinomial com coeficientes reais e seja ]a; b[ um intervalo aberto, ou seja, um intervalo de números entre a e b, excluindo a e b. A representação ]...[ é justamente para dizer o intervalo é aberto. De acordo com o Teorema de Bolzano: 1) Se f(a) e f(b) têm o mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais ou não existem raízes reais no intervalo aberto ]a; b[. ) Se f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais no intervalo aberto ]a; b[. Não entendeu. Veja os gráficos abaixo: f(a) f(b) f(x) a b Repare que f(a) > (b) > 0, ou seja, f(a) e f(b) têm o mesmo sinal. Profs. Alexandre Lima e Junior 4

5 Agora, conte o número de raízes de f(x) no intervalo aberto ]a; b[, isto é, conte as vezes que f(x) = 0, entre a e b. Contou? É isso mesmo: Duas raízes. Um número par de raízes, conforme previsto no teorema. f(a) f(x) b a f(b) Repare que f(a) > (b) < 0, ou (a) e f(b) têm sinais contrários. Agora, conte o nú o de raízes x) no intervalo aberto ]a; b[, isto é, conte as vezes que = 0, entre Contou? É isso mesmo: Três raíz previsto no teorema. m número ímpar de raízes, conforme Exemplo: Quantas raízes reais a equação x 3 apresentar no intervalo ]0; 1[? + x x + 5 = 0 pode Primeiramente observe que a equação possui grau 3. Portanto, o número de raízes possíveis é 3. Vamos calcular, agora, f(0) e f(1): f(x) = x 3 + x x + 5 f(0) = = 5 f(1) = = = 7 Como f(0) e f(1) são positivos (possuem o mesmo sinal), então, pelo Teorema de Bolzano, o número de raízes reais possíveis entre 0 e 1 é par ou é zero. Portanto, f(x) pode ter duas raízes (tendo em vista que o número máximo de raízes é 3) ou nenhuma raiz no intervalo ]0; 1[. 5

6 Exemplo: Quantas raízes reais a equação x 3 x x + 5 = 0 pode apresentar no intervalo ]-; 1[? Primeiramente observe que a equação possui grau 3. Portanto, o número de raízes possíveis é 3. Vamos calcular, agora, f(-) e f(1): f(x) = x 3 x x + 5 f(-) = (-) 3.() + 5 = = = 13 f(1) = = = 3 Como f(-) é negativo e f(1) é positivo (possuem sinais contrários), então, pelo Teorema de Bolzano, o número de raízes reais possíveis entre 0 e 1 é ímpar. Portanto, f(x) pode ter três raízes ou uma raiz (tendo em vista que o número máximo de raízes é 3) no intervalo ] ; 1[. Exemplo: Determine t de modo que a equação x 5 x 4 + 3x 3 5x + x + (t 3) = 0, de modo que a equação tenha, pelo menos, uma raiz real entre 0 e. Pelo Teorema de Bolzano, se f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais no intervalo ]a; b[. Portanto, no caso concreto do exemplo, f(0) e f() devem ter sinais contrários para que f(x) tenha um número ímpar de raízes no intervalo ]0; [. f(x) = x 5 x 4 + 3x 3 5x + x + (t 3) f(0) = (t 3) = t 3 f() = (t 3) f() = (t 3) f() = t 3 f() = 3 + t = t + 3 Bom, agora sabemos que f(0) e f() devem ter sinais contrários. Para que isso aconteça, podemos utilizar a multiplicação. Não entendeu? Quando multiplicamos dois números com sinais contrários o resultado é sempre menor que zero, certo? Veja: 5 x (-4) = -0 (-3) x =

7 Portanto, para resolver a questão, podemos adotar exatamente esta propriedade: para que f(0) e f() tenham sinais contrários, a multiplicação de f(0) por f() deve ser menor que zero. f(0).f() < 0 (t 3).(t + 3) < 0 t 3 (*) < 0 t 9 < 0 (*) Lembre que: a b = (a + b).(a b) Vamos achar as raízes de t 9: t 9 = 0 t = 9 t = ± 9 t = ± 3 Como a equação é t 9 = 0 e o valor de a (valor do termo de t ) é maior que zero, a função é uma parábola com a concavidade voltada para cima, conforme vimos na aula passada. Vamos relembrar: y y = f(x) = ax + bx + c, a > 0 x 1 e x são as raízes da equação x < x < x 1 y < 0 x < x ou x > x 1 y > 0 x = x 1 ou x = x y = x Portanto, t 9 será menor que zero para - 3 < t < 3. Boa questão para cair em prova, não? Memorize para a prova: Função Polinomial: f(x) = a 0 + a 1.x + a.x + a 3.x a n-1.x n-1 + a n.x n Onde: a 0, a 1, a, a 3,...,a n-1, a n são os coeficientes do polinômio; e a 0, a 1.x, a.x, a 3.x 3,...,a n-1.x n-1, a n.x n são os termos do polinômio. De acordo com o Teorema de Bolzano: 1) Se f(a) e f(b) têm o mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais ou não existem raízes reais no intervalo ]a; b[. ) Se f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais no intervalo ]a; b[. 7

8 Teorema das Raízes Racionais Considere uma equação polinomial do tipo: P(x) = a n.x n + a n-1.x n-1 + a n-.x n- + + a.x + a 1.x + a 0 = 0 Onde, a n é diferente de zero e os coeficientes a i são números inteiros. Pelo teorema das raízes racionais, se esta equação admite uma raiz racional p q, com p e q primos entre si, então p é divisor de a 0 e q é divisor de a n. Além disso, se P(x) = 0 admite uma raiz inteira r = 1 r, então r é divisor de a 0. Relembrando: Dois números são primos entre si quando não possuem fatores primos em comum. Exemplo: 18 = x 3 5 = 5 Como 18 e 5 não possuem fatores primos em comum, são chamados primos entre si. Repare que 18 e 5 não são números primos (números que são divididos apenas por eles mesmos e por 1), mas são primos entre si. Exemplo: Quais são as raízes racionais da equação f(x) = x 6 5x 5 + 4x 4 5x 3 10x + 30x 1 = 0? Repare que as possíveis raízes racionais da equação acima devem ter a forma p p q. De acordo com o teorema das raízes racionais, q entre si, então p é divisor de a 0 e q é divisor de a n., com p e q primos Portanto, p deve ser divisor de -1 (a 0 ) e q deve ser divisor de (a n ). Deste modo: p pode ser: -1, 1, -,, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -1 e 1. q pode ser: 1 e 8

9 Assim, as raízes racionais possíveis estarão dentro do seguinte conjunto: q p Fazendo a verificação (calculando o valor de f(x) para cada um dos elementos encontrados na tabela), percebe-se que as raízes racionais seriam: Raiz 1 = 1 Raiz = 1 = (p = e q = 1) (p = 1 e q =) Vejamos: f(x) = x 6 5x 5 + 4x 4 5x 3 10x + 30x 1 f() = f() = f() = f() = f( ) = f( ) = f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) =

10 f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) = 0 Exemplo: Quais são as raízes inteiras da equação f(x) = x 3 + 3x 3x 9 = 0? De acordo com o teorema das raízes racionais, se f(x) = 0 admite uma raiz inteira r = 1 r, então r é divisor de a0. a 0 = 9 a n = a 3 = 1 Deste modo: p pode ser: 1, 1, 3, 3, 9 e 9. q pode ser: 1 Assim, as raízes racionais possíveis estarão dentro do seguinte conjunto: q p Fazendo a verificação (calculando o valor de f(x) para cada um dos elementos encontrados na tabela), percebe-se que a raiz inteira possível seria -3 (p = -3 e q = 1). Vejamos: f(-3) = (-3) (-3) f(-3) = f(-3) = f(-3) =

11 Há uma última observação importante em relação ao teorema das raízes racionais: Se a equação f(x) = 0, com coeficientes inteiros e coeficiente dominante unitário (a n = 1), admite uma raiz racional p q, então essa raiz é necessariamente inteira, pois q = 1 (q deve ser divisor de a n ). Exemplo: Qualquer raiz racional da equação x x 3 7x + 4x 8 = 0 é necessariamente inteira, pois a 4 = 1. Esta raiz inteira estará no conjunto dos divisores de a 0 = -8, ou seja, poderá ser: -1, 1, -,, -4, 4, -8 e 8. Memorize para a prova: Função Polinomial: f(x) = a 0 + a 1.x + a.x + a 3.x a n-1.x n-1 + a n.x n Onde: a 0, a 1, a, a 3,...,a n-1, a n são os coeficientes do polinômio; e a 0, a 1.x, a.x, a 3.x 3,...,a n-1.x n-1, a n.x n são os termos do polinômio. Pelo teorema das raízes racionais, se esta equação admite uma raiz racional p q, com p e q primos entre si, então p é divisor de a 0 e q é divisor de a n. Se f(x) = 0 admite uma raiz inteira r = 1 r, então r é divisor de a0. Se a equação f(x) = 0, com coeficientes inteiros e coeficiente dominante unitário (a n = 1), admite uma raiz racional p q, então essa raiz é necessariamente inteira, pois q = Transformações Transformação de uma equação do tipo P(x) = 0 corresponde a toda operação com a qual se obtém uma nova equação transformada Q(y) = 0 cujas raízes estejam relacionadas com as raízes da equação inicial ou equação primitiva por meio da seguinte relação: y = f(x). Não entendeu? Então, vamos aos nossos infalíveis exemplos numéricos. 11

12 Exemplo: (TTN-1997-Esaf) A soma de todas as raízes da equação x 4-5x = 0 é igual a a) 0 b) 16 c) 9 d) 49 e) 5 Suponha que: y = x y = x 4. Substituindo na equação, teríamos: P(x) = x 4-5x = 0 Q(y) = y 5y = 0 (equação transformada) Neste exemplo, as raízes de Q(y) = 0 são iguais aos quadrados das raízes de P(x) = 0, tendo em vista que y = x. Vamos resolver a equação transformada: y 5y = 0 a = 1 b = -5 c = 144 ± = = b± b 4ac ( 5) ( 5) ± y= a.1 5± 49 5± 7 y= = y 1 = (5 + 7)/ = 16 y = (5 7)/ = 9 Como: y = x x 1 = y 1 = 16 x 1 = 16 x 1 = ±(16) 1/ x 1 = 4 ou x 1 = - 4 x = y = 9 x = 9 x = ±(9) 1/ x = 3 ou x = - 3 Soma das raízes da equação = 4 + (-4) (-3) = 0 GABARITO: A Memorize para a prova: Transformação de uma equação do tipo P(x) = 0 (equação primitiva). Q(y) = 0 (equação transformada), tal que y = f(x) 1

13 Derivada e Integral Agora o professor ficou realmente maluco! Ensinar derivada e integral em curso de Raciocínio Lógico! Isto é coisa de engenheiro, matemático, e carreiras afins! Estou plenamente de acordo, ou, como diria John Lennon, I coudn t agree more. Contudo, como diria a minha: Você está correto. Errado é quem te dá razão. Risos. Ou seja, a Esaf, por exemplo, cobrou derivada na última prova de Auditor-Fiscal, em uma questão de função contínua. Portanto, pode cair sim. Então, vamos lá! Suponha que: F(X) = a.x n + b.x n-1 + c.x n w.x + z Se eu fosse fazer a derivada desta expressão (F (x)), eu teria: F (X) = a.n.x n-1 + b.(n-1).x n- + c.(n-).x n w + 0, Ou seja, para derivar esta expressão, eu passo o expoente das variáveis x dos termos para baixo, multiplicando o coeficiente do termo, e subtraio o expoente em uma unidade. Repare: a.x n derivada a.n.x n-1 b.x n-1 > derivada b.(n-1).x n- (...) w.x derivada => w.1.x 1-1 = w.x 0 = w.1 = w z = z derivada 0 (como é uma constante, a derivada é zero) Para calcular a integral, é o inverso, ou seja, suponha que eu tenha F (X) = a.n x n-1 + b.(n-1)x n- + c.(n-)x n w + 0 Se eu fosse fazer a integral desta expressão, teria: F(X) = ax n + bx n-1 + cx n wx + z Ou seja, para integrar esta expressão, somo o expoente das variáveis x dos termos em uma unidade e retiro este valor obtido do coeficiente, que multiplica as variáveis x, por meio de uma divisão: a.n x n-1 integral a.x n (somei 1 ao coeficiente de x e dividi a constante a.n por n ) 13

14 b.(n-1)x n- integral b.x n-1 (somei 1 ao coeficiente de x e dividi a constante b.(n-1) por (n-1) ) (...) w = w.x 0 integral w.x (somei 1 ao coeficiente de x e dividi a constante w por 1 ) 0 integral z = constante (é um valor constante) Exemplo: f(x) = 3.x 3 + x 5.x + 6 Derivada: f (x) = 3.3.x x x = 9.x +.x 5 Exemplo: f(x) = 1.x x 4.x + 6 Integral: F(x) = ( 1 4 ).x3+1 + ( 6 3 ).x+1 ( 4 ).x1+1 + ( 6 1 ).x0+1 + constante F(x) = 3.x 4 +.x 3.x + 6.x + constante Memorize para a prova: F(X) = a.x n + b.x n-1 + c.x n w.x + z Derivada: F (X) = a.n.x n-1 + b.(n-1).x n- + c.(n-).x n w + 0, F (X) = a.n x n-1 + b.(n-1)x n- + c.(n-)x n w + 0 Integral: F(X) = a.x n + b.x n-1 + c.x n w.x + z 14

15 5.7. Memorize para a prova Equação de Terceiro Grau ax 3 + bx + cx + d = 0; a,b ; c e d R, com a 0. Relações de Girard para a equação de terceiro grau: Considere que as raízes da equação são: r 1, r e r 3. b a = (r 1 + r + r 3 ) menos a soma das raízes c a = r 1.r + r 1.r 3 + r.r 3 d a = r 1.r.r 3 menos o produto das raízes Teorema de Bolzano: Função Polinomial: f(x) = a 0 + a 1.x + a.x + a 3.x a n-1.x n-1 + a n.x n Onde: a 0, a 1, a, a 3,...,a n-1, a n são os coeficientes do polinômio; e a 0, a 1.x, a.x, a 3.x 3,...,a n-1.x n-1, a n.x n são os termos do polinômio. 1) Se f(a) e f(b) têm o mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais ou não existem raízes reais no intervalo ]a; b[. ) Se f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais no intervalo ]a; b[. Teorema das raízes racionais: Considere uma equação polinomial do tipo: P(x) = a n.x n + a n-1.x n-1 + a n-.x n- + + a.x + a 1.x + a 0 = 0 Onde, a n é diferente de zero e os coeficientes a i são números inteiros. Pelo teorema das raízes racionais, se esta equação admite uma raiz racional p q, com p e q primos entre si, então p é divisor de a 0 e q é divisor de a n. Além disso, se P(x) = 0 admite uma raiz inteira r = 1 r, então r é divisor de a

16 Se a equação f(x) = 0, com coeficientes inteiros e coeficiente dominante unitário (a n = 1), admite uma raiz racional p q, então essa raiz é necessariamente inteira, pois q = 1. Transformação Considere uma equação do tipo P(x) = 0 (equação primitiva). Q(y) = 0 (equação transformada), tal que y = f(x) F(X) = a.x n + b.x n-1 + c.x n w.x + z Derivada: F (X) = a.n.x n-1 + b.(n-1).x n- + c.(n-).x n w + 0, F (X) = a.n x n-1 + b.(n-1)x n- + c.(n-)x n w + 0 Integral: F(X) = a.x n + b.x n-1 + c.x n w.x + z 16

17 5.8. Exercícios de Fixação 1.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP- 010-FCC) Na equação x 3 + 3x + x 1 = 0, substituindo-se x por z 1 obtém-se uma equação em z sem o termo quadrático, o que facilita sua resolução. A partir disso, podem-se obter também as soluções da equação original, uma das quais é (A) (B) 1 (C) (D) 3 (E) 3.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP- 010-FCC) Considere uma função polinomial real f que tem zeros para x = 1, x = 3 e x = 4, unicamente, e tal que f(0) = 6. Nessas condições, f é dada por (A) f(x) = x 3 4x + 19 x 6 (B) f(x) = x 3 + 4x 19 x + 6 (C) f(x) = x 4 8x + 13x 6 (D) f(x) = 1 x3 + 4x 19 x + 6 (E) f(x) = 1 x3 4x + 19 x 6 3.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração- Maranhão-009-FCC) Se a divisão do polinômio P(x) = ax3 + bx + 4 pelo polinômio T(x) = x é exata, então b é igual a (A) (+a) (B) (1+a) (C) (a 1) (D) (a a) (E) (1 a) 17

18 4.(Professor de Matemática-Secretaria Municipal de Educação-SP- 009-FCC) A figura mostra parte do gráfico da função polinomial f(x) = ax 3 + bx + cx + d, com a, b, c, d reais. Nas condições dadas, b é igual a (A) 4. (B). (C) 0. (D). (E) 4. 5.(Professor de Matemática-Secretaria Municipal de Educação- Teresina-009-FCC) Admitindo-se x 0, quando multiplicamos x 5, x + 1 x e x + 3 x, o produto será um polinômio de grau (A). (B) 3. (C) 6. (D) 7. (E)

19 6.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) A função polinomial f(x) = x 3 + ax + 17x 6 encontra o eixo das abscissas em 3 pontos, sendo dois deles (b,0) e ( 1 b, 0). Nessas condições, o valor de a é (A) 11 (B) 9 (C) 8 (D) 6 (E) 8 7.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) O conjunto solução da desigualdade x 5 < é formado por valores reais de x tais que (A) x < 3 (B) x > 3 (C) x < 7 (D) x < 3 ou x > 7 (E) 3 < x <

20 8.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) O gráfico representa uma função do tipo f(x) = ax + bx + c. A soma dos coeficientes a e b da equação da função é igual a (A) 4 3 (B) 4 3 (C) 8 3 (D) 4 (E) (Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) Dada a função de equação f(x) = x x 4x 3 + (A) 1 < x ou x > 3 (B) x < 3 ou 1 < x < (C) 3 < x < 1 ou x (D) x < 1 ou x < 3 (E) x ou 1 < x 3, o conjunto dos valores de x, reais, para os quais f(x) $ 0 é 0

21 10.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 3 Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) Dada a função f(x) = x 1 e 6 f(g(x)) = x 5 (A) 1, o resultado de g(1) é igual a (B) 1 (C) (D) 7 (E) 4 11.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) Se f(3x + ) = x 1, então f(x) é igual a 1 (A) (B) x 5 3 (C) x 3 3 (D) x + 3 (E) 3x + 1.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE- 005-FCC) Dadas as equações E1 : 4 3x = 3 5x E : x 1 3 = 0 o produto de suas raízes reais é igual a (A) 7 16 (B) 7 8 (C) 1 (D) 1 (E)

22 13.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE- 005-FCC) Se r(x) é o resto da divisão do polinômio (x 0 + 3x 17 x x 1) por (x 1), então r() vale: (A) 3 (B) 0 (C) 1 (D) (E) 3 14.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE- 005-FCC) A raiz da equação. x-3 + x = 6 é um número a, tal que (A) 0<a<1 (B) 1<a< (C) <a<3 (D) 3<a<4 (E) 4<a<5 15.(Professor de Matemática-Sesi/SP-004-FCC) No conjunto dos x+ b a x números reais a inequação 0 x < 4}. Os valores de a e b são, respectivamente, (A) 3 e 4 (B) 3 e 4 (C) 3 e 4 (D) 3 e 4 (E) 3 e 3 tem por conjunto solução {x R / 3 16.(PUC-RS) Dado o polinômio p(x) = x n + x n x + 1, onde n é ímpar, o valor de p(-1) é: (A) - (B) -1 (C) 0 (D) 1 (E) 17.(PUC-MG) O polinômio p(x) = x 3 5x + px +, é divisível por x +. O valor de p é: (A) -15 (B) -13 (C) -8 (D) 8 (E) 13

23 18.(PUC-MG) Na função f(x) = x 3 3x 3x +, f(a) = f(b) = f(-1). O valor de a + b é: (A) 0,5 (B) 1,0 (C) 1,5 (D),5 (E) 3,0 19.(UF-RS) Se o polinômio p(x) possui três raízes distintas a, b e c, o produto p(x).p(x) terá como raízes: (A) a, b, c (B) a, - a, b, - b, c, -c (C) a, b, c (D) a, b, c (E) ab, ac, bc 0.(Cefet-PR) Sejam a, b e c raízes da equação x 3 3x + 9x = 0. Então o valor de é igual a: a b c (A) 69 4 (B) 48 3 (C) 86 3 (D) 35 4 (E)

24 5.9. Gabarito 1. B. E 3. B 4. E 5. C 6. A 7. E 8. B 9. D 10. A 11. B 1. C 13. E 14. C 15. C 16. C 17. B 18. D 19. C 0. A 4

25 5.10. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos 1.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP- 010-FCC) Na equação x 3 + 3x + x 1 = 0, substituindo-se x por z 1 obtém-se uma equação em z sem o termo quadrático, o que facilita sua resolução. A partir disso, podem-se obter também as soluções da equação original, uma das quais é (A) (B) 1 (C) (D) 3 (E) 3 Resolução Bom, a questão já está nos indicando que caminho devemos seguir, ou seja, devemos substituir a incógnita x da equação por z 1 (transformação): x 3 + 3x + x 1 = 0 (z 1) (z 1) + (z 1) 1 = 0 Vamos calcular separadamente: (z 1) = (z 1).(z 1) = z.(z 1) 1.(z 1) (z 1) = z.z + z.(-1) 1.z 1.(-1) (z 1) = z z z + 1 = z z + 1 Só estou fazendo as contas detalhadamente para que você possa treinar, mas, na verdade, já estudamos que: (a b) = a ab + b. Portanto: (z 1) = z.z = z z + 1 Para calcular (z 1) 3 basta fazer (z 1).(z 1): (z 1) 3 = (z 1).(z 1) = (z z + 1).(z 1) (z 1) 3 = z.(z 1) z.(z 1) + 1.(z 1) (z 1) 3 = z.z + z.( 1) z.z z.( 1) + 1.z + 1.( 1) (z 1) 3 = z 3 z z + z + z 1 (z 1) 3 = z 3 3z + 3z 1 Logo, temos: (z 1) = z z + 1 (z 1) 3 = z 3 3z + 3z 1 Substituindo tudo na equação abaixo: x 3 + 3x + x 1 = 0 (z 1) (z 1) + (z 1) 1 = 0 z 3 3z + 3z ( z z + 1) + z 1 1 = 0 z 3 3z + 3z 1 + 3z +3.(-z) z = 0 5

26 z 3 3z + 3z 1 + 3z 6z z = 0 z 3 3z + 3z + 3z 6z + z = 0 z 3 z = 0 Repare que todos os termos da equação possuem z. Portanto, podemos colocar o z em evidência: z 3 z = 0 z.(z ) = 0 Repare que, se temos A.B = 0, ou A = 0 ou B = 0 ou ambos são iguais a zero. Portanto, na equação z.(z ) = 0, temos as seguintes opções: z = 0 ou z = 0 z = z = ± (repare que igual a ). ± elevado ao quadrado é Cuidado, pois achamos as raízes da equação transformada para z e a questão pergunta as raízes para equação com a variável x. Contudo, sabemos que a transformação foi x = z 1. Portanto, as raízes da equação x 3 + 3x + x 1 serão: z = 0 Como x = z 1 Como x = 0 1 x = 1 z = Como x = z 1 Como x = 1 x = 1 Como x = z 1 Como x = 1 x = z = GABARITO: B 1.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP- 010-FCC) Considere uma função polinomial real f que tem zeros para x = 1, x = 3 e x = 4, unicamente, e tal que f(0) = 6. Nessas condições, f é dada por (A) f(x) = x 3 4x + 19 x 6 (B) f(x) = x 3 + 4x 19 x + 6 (C) f(x) = x 4 8x + 13x 6 (D) f(x) = 1 x3 + 4x 19 x + 6 (E) f(x) = 1 x3 4x + 19 x 6 6

27 Resolução Vamos verificar as informações da questão: Considere uma função polinomial real f que tem zeros para x = 1, x = 3 e x = 4, unicamente. Portanto, como vimos na teoria da matéria, se a função polinomial possui zeros, significa que estes zeros são as raízes dessa função. Além disso, a quantidade de zeros identifica o grau da função polinomial. No caso da questão, há três zeros para a função (x = 1, x = 3 e x = 4). Logo, esta é uma função de grau 3 (terceiro grau). Com isso, podemos representar a função da seguinte maneira: f(x) = ax 3 + bx + cx + d A questão ainda fornece outra informação, que nos permite achar a variável d. Veja: f(0) = 6. Substituindo x = 0 na equação, teremos: f(x) = ax 3 + bx + cx + d f(0) = a b.0 + c.0 + d = 6 f(0) = d = - 6 d = 6 Até o momento, temos a seguinte função: f(x) = ax 3 + bx + cx 6 Para achar os demais termos, temos que substituir os valores das raízes na função polinomial. Vejamos: x = 1 é raiz da função polinomial f(1) = 0 f(1) = a b.1 + c.1 6 = 0 a + b + c = 6 (I) x = 3 é raiz da função polinomial f(3) = 0 f(3) = a b.3 + c.3 6 = 0 7a + 9b + 3c = 6 (II) x = 4 é raiz da função polinomial f(4) = 0 f(4) = a b.4 + c.4 6 = 0 64a + 16b + 4c = 6 (III) Portanto, temos um sistema de três equações e três incógnitas: a + b + c = 6 (I) 7a + 9b + 3c = 6 (II) 64a + 16b + 4c = 6 (III) Se multiplicarmos toda a equação (I) por 3, temos: 3a + 3b + 3c = 3.6 3a + 3b + 3c = 18 (IV) 7

28 Fazendo (II) (IV): 3a + 3b + 3c = 18 (IV) 7a + 9b + 3c = 6 (II) 7a + 9b + 3c 3a 3b 3c = a 3a + 9b 3b + 3c 3c = 1 4a + 6b = 1 (dividindo todos os termos por 6) 4a + b = (V) Na equação (III), os dois primeiros termos à esquerda da equação são divisíveis por 16. Portanto, podemos colocar o 16 em evidência: 64a + 16b + 4c = 6 (III) 4.16a + 16b + 4c = 6 16.(4a + b) + 4c = 6 (VI) Como achamos, em (V), que 4a + b =, podemos substituir (V) em (VI): 4a + b = (V) 16.(4a + b) + 4c = 6 (VI) 16.( ) + 4c = c = 6 4c = c = 38 c = 38 4 c = 19 Substituindo c em (I): a + b + c = 6 (I) a + b + 19 = a + b = 6 - a + b = = 7 a + b = (VII) Agora, para achar a e b, podemos utilizar as equações (V) e (VII): 4a + b = (V) (VII) a + b = 7 Fazendo (V) (VII): 4a + b a b = ( 4a a = ) 8

29 a = a = 3a = 3 a = 1 Com esses valores de a, c e d é possível verificar que a única alternativa possível é a alternativa e. (E) f(x) = 1 x3 4x + 19 x 6 Contudo, somente para conferir, vamos calcular o valor de b. Substituindo o valor encontrado de a em (V): 4a + b = (V) b = + b = b = b = 4 Portanto, finalmente, chegamos ao resultado: a = 1 ; b = 4; c = 19 e d = 6 f(x) = 1 x3 4x + 19 x 6 GABARITO: E 3.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração- Maranhão-009-FCC) Se a divisão do polinômio P(x) = ax 3 + bx + 4 pelo polinômio T(x) = x é exata, então b é igual a (A) (+a) (B) (1+a) (C) (a 1) (D) (a a) (E) (1 a) Resolução Se a divisão de um polinômio P(x) por T(x) = x é exata, significa que é raiz de P(x), ou seja, P() = 0. Portanto, se x =, P() = 0 P(x) = ax 3 + bx + 4 P() = a. 3 + b. + 4 = 0 8a + b + 4 = 0 b = 4 8a (dividindo todos os termos por ) 9

30 b = 4a Repare que os dois termos à direita da equação são divisíveis por. Portanto, podemos colocar o em evidência. Vejamos: b = 4a b = ( ).1 + ( ).a b =.(1 + a) GABARITO: B 4.(Professor de Matemática-Secretaria Municipal de Educação-SP- 009-FCC) A figura mostra parte do gráfico da função polinomial f(x) = ax 3 + bx + cx + d, com a, b, c, d reais. Nas condições dadas, b é igual a (A) 4. (B). (C) 0. (D). (E) 4. Resolução De acordo com a questão: f(x) = ax 3 + bx + cx + d Verificando o gráfico, percebe-se que, quando x = 0 f(x = 0) = Portanto, substituindo x = 0 na função polinomial: f(x) = ax 3 + bx + cx + d f(0) = a b.0 + c.0 + d = d = 30

31 A função, até o momento é: f(x) = ax 3 + bx + cx + Além disso, conseguimos, a partir do gráfico, verificar que há duas raízes para a função polinomial. Repare que, quando x = - 1, f(x = -1) = 0 e quando x = 1, f(x = 1) = 0. Portanto, substituindo estes valores na função polinomial: f(x) = ax 3 + bx + cx + d f(-1) = a.(-1) 3 + b.(-1) + (-1).0 + = 0 a + b c + = 0 (I) f(1) = a b = 0 a + b + c + = 0 (II) Se fizermos (I) + (II): a + b c + = 0 (I) a + b + c + = 0 (II) a + b c + + a + b + c + = 0 a +a + b + b c + c + + = 0 b + 4 = 0 b = 4 b = 4 b = GABARITO: B 5.(Professor de Matemática-Secretaria Municipal de Educação- Teresina-009-FCC) Admitindo-se x 0, quando multiplicamos x 5, x + 1 x e x + 3 x, o produto será um polinômio de grau (A). (B) 3. (C) 6. (D) 7. (E) 8. Resolução Vamos por partes. Se multiplicarmos x 5 por x + 1 x, teremos: x 5.(x + 1 x ) = x5.x + x 5. 1 x = x5+1 + x 5.x -1 = x 6 + x 5-1 = x 6 + x

32 1 1 Lembrando que: x = = x 1 = x x 3 Agora, se multiplicarmos x 6 + x 4 por 1 + x + 3 x : (x 6 + x 4 ). (1 + x + 3 x ) = x6.(1 + x + 3 x ) + x4.(1 + x = x x 6. x + x6. 3 x + x4.1 + x 4. x + x4. 3 x x ) = Não é preciso continuar a conta, pois já é possível verificar que o maior grau do polinômio resultante da multiplicação é 6 (referente ao termo x 6 ). Contudo, para fins didáticos, vamos achar o resultado: Lembrando que: t 1 1 = t = x x x t = x 6 + x 6..x -1 + x 6. 3.x -3 + x 4 + x 4..x -1 + x 4. 3.x -3 = = x 6 +.x x x 4 +.x x 4-3 = = x 6 + x 5 + 3x 3 + x 4 + x 3 + 3x = = x 6 + x 5 + x 4 + 5x 3 + 3x polinômio de grau 6. GABARITO: C 6.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) A função polinomial f(x) = x 3 + ax + 17x 6 encontra o eixo das abscissas em 3 pontos, sendo dois deles (b,0) e ( 1 b, 0). Nessas condições, o valor de a é (A) 11 (B) 9 (C) 8 (D) 6 (E) 8 Resolução Ainda veremos funções, mas, para começar a nos acostumar com idéia, o eixo das abscissas corresponde ao eixo dos x e o eixo da das ordenadas corresponde ao eixo dos y. Quando a função cruza o eixo das abscissas, y = 0. Por outro lado, quando a função cruza o eixo das ordenadas, x = 0. Além disso, um par ordenado possui a seguinte representação: (a, b), onde a corresponde ao valor de x e b corresponde ao valor de y = f(x). 3

33 Repare no gráfico do exercício 4: Quando a função cruza o eixo das abscissas (eixo dos x), em x = - 1 e x = 1, y = f(x) = 0. São as raízes da equação. Se fôssemos representar estes pontos como pares ordenados, teríamos: (-1, 0) e (1, 0). (-1, 0): x = -1 e y = 0; e (1, 0): x = 1 e y = 0. Por outro lado, quando a função cruza o eixo das ordenadas (eixo dos y), em y =, x = 0. Se representássemos este ponto com par ordenado, teríamos: (0, ): x = 0 e y =. Portanto, voltando a nossa questão, se a função polinomial é de grau 3, ela possuirá três raízes. Duas das raízes foram informadas, tendo em vista que a função encontra o eixo das abscissas (eixo dos x) em (b,0) e ( 1 b, 0). Ou seja, para x = b, y = 0 e para x = 1 b, y = 0. Relembrando a aula anterior, podemos representar a função polinomial com um produto de x - r i, onde r i são as raízes da função, multiplicado pelo valor do primeiro termo, da seguinte forma: P(x) = a n.x n + a n-1.x n-1 + a n-.x n- + + a 1.x + a 0 = 0 Essa equação polinomial pode ser representada por: P(x) = a n.(x r 1 ).(x r ).(x r 3 )...(x r n ) Onde r 1, r,..., r n são as raízes da equação. 33

34 Como a função possui três raízes e conhecemos duas, vou representar as raízes da equação como: x 1 = b; x = 1 b e x 3 = c f(x) = x 3 + ax + 17x 6, ou seja, o valor do termo x 3 é igual a (a n ). Portanto, podemos representar a função polinomial como:.(x b).(x 1 b ).(x c) = x3 + ax + 17x 6 1 Multiplicando os dois primeiros termos (x b).(x b ): 1 1.[x.(x b ) b.(x b )].(x c) = x3 + ax + 17x [x.x + x.( b ) b.x b.( b )].(x c) = x3 + ax + 17x 6 1.[x b x b.x + 1].(x c) = x3 + ax + 17x 6 1.[x ( b + b).x + 1].(x c) = x3 + ax + 17x 6 1.[x.(x c) ( b + b).x.(x c) + 1.(x c)] = x3 + ax + 17x [x.x x.c ( b + b).x.x + ( b + b).x.c + 1.x 1.c] = x3 +ax +17x [x 3 c.x ( b + b).x + ( b + b).c.x + x c] = x3 + ax + 17x x 3.[c + ( b + b)]x +.[1 + ( b + b).c]x c = x3 + ax + 17x 6 Igualando os termos das equações: x 3 = x 3 (ok).[c + ( 1 b + b)] = a (I).[1 + ( 1 b + b).c] = 17 (II) c = 6 6 c = c = 3 (III) 34

35 Substituindo c = 3 em (II):.[1 + ( 1 b + b).c] = 17.[1 + ( 1 b.1 +.( 1 b + b).3] = 17 + b).3 = ( 1 b + b) = 17 6.( 1 b 6.( 1 b + b) = 17 + b) = 15 (dividindo os dois lados da igualdade por 3).( 1 b + b) = 5 ( 1 b + b) = 5 (IV) Substituindo c = 3 e ( 1 b + b) = 5 em (I):.[c + ( 1 b + b)] = a (I).(3 + 5 ) = a a =.( a =.( a =.( 11 ) a = 11 GABARITO: A ) ) 35

36 7.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) O conjunto solução da desigualdade x 5 < é formado por valores reais de x tais que (A) x < 3 (B) x > 3 (C) x < 7 (D) x < 3 ou x > 7 (E) 3 < x < 7 Resolução E aí? Você ainda se lembra do módulo ou valor absoluto de um número? Vamos lá! Não pode podemos esquecer os conceitos principais! Relembrando: O módulo ou valor absoluto de um número é a distância deste número ao 0. Se x 0, então x = x Se x < 0, então x = - x Exemplos: x = 4 4 = 4 x = = -(-4) = 4 Voltando à questão, temos a seguinte inequação: x 5 < Portanto, temos duas hipóteses: I) x 5 0 Nessa hipótese: x 5 = x 5 Substituindo na equação: x 5 < x < + 5 x < 7 x < 7 I) x 5 < 0 Nessa hipótese: x 5 = -(x 5) = -x + 5 Substituindo na equação: -x + 5 < -x < 5 -x < -3 Lembre que quando multiplicamos uma inequação por (-1), o sinal da inequação inverte. 36

37 Portanto, multiplicando -x < -3 por -1: (-1).(-x) > (-1).(-3) x > 3 x > 3 Portanto, a solução da x 5 < é x > 3 e x < 7 ou: 3 < x < 7 GABARITO: E 8.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) O gráfico representa uma função do tipo f(x) = ax + bx + c. A soma dos coeficientes a e b da equação da função é igual a (A) 4 3 (B) 4 3 (C) 8 3 (D) 4 (E)

38 Resolução Bom, do gráfico acima conseguimos tirar as seguintes informações: Para y = 0, temos que x 1 = -1 e x = 3 (são as raízes da equação). Para x = 0 temos que y = 4 Portanto, substituindo na função y = f(x) = ax + bx + c, teríamos: f(x = 0) = 4 a.0 + b.0 + c = 4 c = 4 Podemos resolver, a partir daqui, da seguinte maneira: lembra das relações de Girard? Não. Então, vamos relembrar: Relações de Girard: b a = (x 1 + x ) menos a soma das raízes c a = x 1.x produto das raízes Portanto, como temos as duas raízes da equação do segundo grau (x 1 = -1 e x = 3). Qual seria o produto das raízes? x 1.x = (-1).3 = -3 c E este produto é igual a a c a = x 1.x 4 = 3 4= 3a a= 4 a 3. Como já sabemos que c = 4, fica fácil calcular o a: Além disso, a soma das raízes é: x 1 + x = = E esta soma é igual a b a. Como já conhecemos o a, fica fácil calcular o b: b a = (x 1 + x ) A questão pede a soma de a com b: a + b = + = GABARITO: B b 3 4.( ) 8 = b. = b= b=

39 9.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) Dada a função de equação f(x) = x x 4x 3 + (A) 1 < x ou x > 3 (B) x < 3 ou 1 < x < (C) 3 < x < 1 ou x (D) x < 1 ou x < 3 (E) x ou 1 < x 3 Resolução, o conjunto dos valores de x, reais, para os quais f(x) 0 é Repare que a função f(x) é uma fração, ou seja, ela será maior que zero quando o numerador e o denominador forem maiores que zero; ou quando o numerador e o denominador forem menores que zero. Além disso, será igual a zero quando o numerador for igual o zero. Não entendeu? Vamos ver exemplos numéricos. 0 4 = 0 (quando o numerador é zero, o resultado da divisão é zero). + 4 = (quando o numerador é o denominador forem positivos, o resultado da divisão é positivo). 4 =+ 1 4 (quando o numerador é o denominador forem negativos, o resultado da divisão é positivo). Agora, para sabermos quando as funções são maiores ou menores que zero, temos que achar as suas raízes. Vejamos: I) Raiz de x : x = 0 x = Portanto, esta função de primeiro grau será maior que zero para x >, igual a zero para x = e menor que zero para x <. 39

40 Veja o gráfico: y y = f(x) = x - b x II) Raízes de x + 4x 3 = 0: Fórmula de Bhaskara: ax + bx + c = 0 4 b± b ac x= a x + 4x 3 = 0 a = -1 b = 4 c = -3 b± b 4ac 4± 4 4.( 1).( 3) x= = a.( 1) 4± ± ± 4 4± x= = = = Podemos dividir o númerador e o denominador por : ± 1 x = 1 Portanto, as raízes possíveis são: x 1 = = = x = = = Além disso, como a é menor que zero (a = -1) a parábola tem concavidade para baixo. 40

41 y y = f(x) = -x + 4x + -3, a < 0 1 < x < 3 y > 0 x < 1 ou x > 3 y < 0 x = 1 ou x = 3 y = x Finalmente, para que f(x) = seguintes possibilidades: x 4 3 x + x seja maior o igual a zero, temos as I) Numerador igual a zero: x = 0 x = II) Numerador e denominador maiores que zero: x > 0 x > -x + 4x + -3 > 0 1 < x < 3 Como a condição é que os dois (numerador e denominador) sejam maiores que zero ao mesmo tempo, temos que < x < 3. Veja: 1 3 Portanto, ambos são maiores que zero para < x < 3. III) Numerador e denominador menores que zero: x < 0 x < -x + 4x + -3 < 0 x < 1 ou x > 3 -x + 4x + -3 > 0 x > 0 Como a condição é que os dois (numerador e denominador) sejam menores que zero ao mesmo tempo, temos que x < 1. Veja: x < 0 -x + 4x + -3 < x + 4x + -3 < 0 Portanto, ambos são menores que zero para x <

42 Juntando todas as soluções possíveis, teríamos: x = < x < 3 x < 1 Ou, escrevendo de outra forma: x < 1 ou x < 3 GABARITO: D 10.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 3 Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) Dada a função f(x) = x 1 e 6 f(g(x)) = x 5 (A) 1, o resultado de g(1) é igual a (B) 1 (C) (D) 7 (E) 4 Resolução Mais uma questão de função composta. Vejamos: 3 f(x) = x 1 Para acharmos f(g(x)) temos que substituir o x, na função f(x), por g(x): f(g(x)) = 3 g( x) 1 (I) Além disso, a questão da informou que: 6 f(g(x)) = x 5 (II) Portanto, (I) deve ser igual a (II) e, deste modo, poderemos achar g(x): 3 6 = g( x) 1 x 5 4

43 Se multiplicarmos em cruz: [g(x) 1].6 = 3.(x 5) g(x) = 3x + 3.(-5) 6.g(x) 6 = 3x 15 (como todos os termos da igualdade são divisíveis por 3, dividirei tudo por 3).g(x) = x 5.g(x) = x 5 +.g(x) = x 3 g(x) = x 3 Como a questão pede g(1), basta substituir x por 1 na equação acima: 1 3 g(1) = = = 1 GABARITO: A 11.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) Se f(3x + ) = x 1, então f(x) é igual a 1 (A) (B) x 5 3 (C) x 3 3 (D) x + 3 (E) 3x + Resolução Nesta questão, só temos o valor já simplificado de f(3x + ) = x 1. Lembra se questão anterior? Nós tínhamos f(x) e, para calcular f(g(x)), substituímos x por g(x). Agora, não temos o termo em g(x), que, no nosso caso, seria igual a 3x +, mas podemos chegar nele. Como? Veja: Vamos partir de f(3x + ) = x 1. Repare que o nosso g(x) é 3x +. Portanto, um primeiro passo seria multiplicarmos tudo por 3, pois, deste modo, chegaríamos ao termo 3x. 43

44 Contudo, para não alterar o resultado, temos que multiplicar e dividir os termos por 3 Vejamos: g(x) = 3x + f(g(x)) = x 1 3 3x 1.3 3x 3 f ( g( x)) = ( x ). = = Agora precisamos obter o termo + de g(x). Para obtermos +, temos que somar 5 ao -3. Para não alterar o valor da igualdade, devemos somar e subtrair 5 no numerador. Vejamos: 3x (3x+ ) 5 f ( g( x)) = = 3 3 Portanto, chegamos a nossa função f(3x + ) e, por conseqüência, f(x) será: f(3x + ) = (3x+ ) 5 3 Substituindo y = 3x + por x: f(x) = x 5 3 GABARITO: B 1.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE- 005-FCC) Dadas as equações E1: 4 3x = 3 5x E: x 1 3 = 0 o produto de suas raízes reais é igual a (A) 7 16 (B) 7 8 (C) 1 (D) 1 (E)

45 Resolução Novamente, uma questão com equações em módulo. Vamos achar as raízes da equação E1? E1: 4 3x = 3 5x Hipótese 1: Se 4 3x > 0, então 4 3x = 4 3x Neste caso, teríamos: 4 3x = 3 5x 3x + 5x = 3 4 x = 1 1 x = Hipótese : Se 4 3x < 0, então 4 3x = (4 3x) = 4 + 3x Neste caso, teríamos: 4 + 3x = 3 5x 3x + 5x = x = 7 7 x = 8 Vamos achar as raízes da equação E? E : x 1 3 = 0 Hipótese 1: Se x 1 > 0, então x 1 = x 1 Neste caso, teríamos: x 1 3 = 0 x 4 = 0 x = 4 4 x = x = x = ± Hipótese : Se x 1 < 0, então x 1 = (x 1) = x + 1 Neste caso, teríamos: x = 0 x = 0 x = x = x = 1 x = ± 1 Esta equação não possui raízes reais, visto que não há um número real x que seja uma raiz quadrada de um número negativo. Esta equação teria raízes complexas, que será assunto de aula posterior. 45

46 Portanto, o produto das raízes reais das equações seria: ( ) 1 7 ( ) 7 7 ( ) = = = = Repare que, no numerador, há um número par de sinais negativos, fato que torna o numerado positivo. GABARITO: B 13.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE- 005-FCC) Se r(x) é o resto da divisão do polinômio (x 0 + 3x 17 x x 1) por (x 1), então r() vale: (A) 3 (B) 0 (C) 1 (D) (E) 3 Resolução Bom, primeiramente, temos que lembrar que: (x 1) = (x + 1).(x 1) Lembra? a b = (a + b).(a b). É, sou chato mesmo. Vou repetir até você guardar. Risos. No caso, a = x e b = 1. Também temos que lembrar que: I) O grau de r(x) é menor que o grau de g(x). II) O resto da divisão de um polinômio f por x a é igual ao valor numérico de f em para x = a. Portanto, o como o divisor do polinômio é de grau (x 1), o resto r(x) deve ser de grau 1. Se considerarmos que o resto r(x) = ax + b, temos: I) Se r (x) é o resto da divisão do polinômio f(x) = (x 0 + 3x 17 x x 1) por (x + 1), então r(-1) = f( 1), pois o resto da divisão de um polinômio f por x a é igual ao valor numérico de f em para x = a. r( 1) = a.( 1) + b = f( 1) = ( 1) ( 1) 17 ( 1) ( 1) 1 a + b = ( 1) a + b = 3 (I) 46

47 Repare que: ( 1) elevado a um número par é igual a 1. Exemplo: ( 1) 0 = 1 ( 1) elevado a um número ímpar é igual a 1. Exemplo: ( 1) 1 = 1 II) Se r (x) é o resto da divisão do polinômio f(x) = (x 0 + 3x 17 x x 1) por (x 1), então r(1) = f(1), pois o resto da divisão de um polinômio f por x a é igual ao valor numérico de f em para x = a. r(1) = a.1 + b = f(1) = a + b = a + b = 1 (II) a + b = 3 (I) a + b = 1 (II) Fazendo (I) + (II), temos: a + b + a + b = b = b = 1 Substituindo o valor de b em (II): a + b = 1 a 1 = 1 a = a = Portanto, o resto r(x) = ax + b será: r(x) = x 1 Como a questão pede o r(): r() =. 1 r() = 4 1 r() = 3 GABARITO: E 14.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE- 005-FCC) A raiz da equação. x-3 + x = 6 é um número a, tal que (A) 0<a<1 (B) 1<a< (C) <a<3 (D) 3<a<4 (E) 4<a<5 47

48 Resolução A questão forneceu a seguinte equação:. x-3 + x = 6 Vamos simplificá-la um pouco:. x-3 + x = 6. + = 6. + = 6 + = 6 x x x x x x x x x x x = 6 = 6 = Se multiplicarmos em cruz: 5. x = x = 4 x = 4 5 x = 4,8 Como = 4 e 3 = 8, para que x seja igual a 4,8, que é menor 8 e maior que 4, x deve ser um número entre e 3. Portanto, <x<3. GABARITO: C 15.(Professor de Matemática-Sesi/SP-004-FCC) No conjunto dos x+ b a x números reais a inequação 0 x < 4}. Os valores de a e b são, respectivamente, (A) 3 e 4 (B) 3 e 4 (C) 3 e 4 (D) 3 e 4 (E) 3 e 3 Resolução tem por conjunto solução {x R / 3 x+ b a x Para que a inequação 0 hipóteses: seja maior ou igual a zero, temos as seguintes I) Para que a inequação seja igual a zero, o numerador deve ser igual a zero, ou seja: x + b = 0 x = b II) Para que a inequação seja igual a zero, o numerador e o denominador devem ser maiores que zero. x + b > 0 x > b 48

49 a x > 0 - x > - a (multiplicando ambos os lados por 1, o sinal da desigualdade inverte) x < a Uma outra opção de resolução seria passar o x para o lado direito da desigualdade. Vejamos: a x > 0 a > x x < a (se a é maior que x, então x é menor que a). III) Para que a inequação seja igual a zero, o numerador e o denominador devem ser menores que zero. x + b < 0 x < b a x < 0 - x < - a (multiplicando ambos os lados por 1, o desigualdade inverte) x > a sinal da Uma outra opção de resolução seria passar o x para o lado direito da desigualdade. Vejamos: a x < 0 a < x x > a (se a é menor que x, então x é maior que a). Ou seja, temos as seguintes soluções: x = b (I) x > b (II) x < a (III) x < b (IV) x > a (V) A questão já informa que o conjunto solução da equação é: {x R/ 3 x<4} Portanto, pela solução x deve ser maior ou igual a 3. Com isso, pode-se deduzir, como em (I) x = -b e em (II) x > - b, que x deve ser maior ou igual a b. Logo: x - 3 x - b então b = 3. Além disso, pela solução x deve ser menor que 4. Com isso, pode-se deduzir, como em (III) x < a, que x deve ser menor que a. Logo: x < 4 x < a então a = 4. GABARITO: C 49

50 16.(PUC-RS) Dado o polinômio p(x) = x n + x n x + 1, onde n é ímpar, o valor de p(-1) é: (A) - (B) -1 (C) 0 (D) 1 (E) Resolução Sabe-se que: ( 1) elevado a um número par é igual a 1. Exemplo: ( 1) 0 = 1 ( 1) elevado a um número ímpar é igual a 1. Exemplo: ( 1) 1 = 1 Em relação à questão: p(x) = x n + x n x + 1, onde n é ímpar Repare que: I) Se n = 1 p(x) = x + 1 p(-1) = = 0 II) Se n = 3 p(x) = x 3 + x + x + 1 p(-1) = (-1) 3 + (-1) + (-1) + 1 = = 0 III) Se n = 4 p(x) = x 5 + x 4 + x 3 + x + x + 1 p(-1) = (-1) 5 + (-1) 4 + (-1) 3 + (-1) + (-1) + 1 = = 0 Portanto, para n ímpar, p(x) = 0. GABARITO: C 17.(PUC-MG) O polinômio p(x) = x 3 5x + px +, é divisível por x +. O valor de p é: (A) -15 (B) -13 (C) -8 (D) 8 (E)

51 Resolução Vamos relembrar: O resto da divisão de um polinômio f(x) por x a é igual ao valor numérico de f em para x = a. Portanto, se f(x) é divisível por x a, o resto é zero e f(a) = 0. Se o polinômio p(x) = x 3 5x + px +, é divisível por x +, então: p(-) = 0. P(-) = (-) 3 5.(-) + p.(-) + = p + = p + = 0 6 p = 0 p = 6 6 p = p = 13 GABARITO: B 18.(PUC-MG) Na função f(x) = x 3 3x 3x +, f(a) = f(b) = f(-1). O valor de a + b é: (A) 0,5 (B) 1,0 (C) 1,5 (D),5 (E) 3,0 Resolução Como f(a) = f(b) = f(-1), vamos calcular, inicialmente, o valor de f(-1): f(x) = x 3 3x 3x + f(-1) =.(-1) 3 3.(-1) 3.(-1) + f(-1) =.(-1) f(-1) = f(-1) = 0 Portanto, se f(-1) é igual a zero, -1 é raiz de f(x). Como f(a) = f(b) = f(-1), então a e b também são raízes de f(x). A questão pede a + b. Olha as nossas relações de Girard novamente! f(x) = x 3 3x 3x + f(x) = ax 3 + bx + cx + d 51

52 a = b = -3 c = -3 d = As raízes da equação são: r 1 = -1 r = a r 3 = b Das relações de Girard, temos: b 3 a = = (r1 + r + r 3 ) 3 = r 1 + r + r 3 3 = a + b a + b = a + b = + 1. = = a + b =,5 Viu! Não podemos esquecer as relações de Girard. GABARITO: D 19.(UF-RS) Se o polinômio p(x) possui três raízes distintas a, b e c, o produto p(x).p(x) terá como raízes: (A) a, b, c (B) a, - a, b, - b, c, -c (C) a, b, c (D) a, b, c (E) ab, ac, bc Resolução Se o polinômio p(x) possui raízes a, b e c, podemos representá-lo da seguinte maneira: p(x) = a 3.x 3 + a.x + a 1.x + a 0 (é de grau 3, pois possui três raízes). P(x) = a 3.(x r 1 ).(x r ).(x r 3 ) = a 3.(x a).(x b).(x c) Onde r 1, r,..., r n são as raízes da equação. Se fizermos a multiplicação de p(x) por ele mesmo, teremos: p(x).p(x) = a 3.(x a).(x b).(x c). a 3.(x a).(x b).(x c) p(x).p(x) = a 3.a 3.(x a).(x a).(x b).(x b).(x c).(x c) p(x).p(x) = a 3.(x a).(x b).(x c) 5

53 Para acharmos as raízes de p(x).p(x), devemos igualar o polinômio a zero: p(x).p(x) = a 3.(x a).(x b).(x c) = 0 Repare que para a expressão acima seja igual, temos: x a = 0 x = a x b = 0 x = b x c = 0 x = c Portanto, as raízes de p(x).p(x) também são a, b e c. GABARITO: C 0.(Cefet-PR) Sejam a, b e c raízes da equação x 3 3x + 9x = 0. Então o valor de é igual a: a b c (A) 69 4 (B) 48 3 (C) 86 3 (D) 35 4 (E) 59 4 Resolução E aí? O que você acha que vou utilizar nesta questão? É. São elas novamente: as equações de Girard. f(x) = x 3 3x + 9x = 0 p(x) = a 3.x 3 + a.x + a 1.x + a 0 Raízes: a, b, c Relações de Girard: a a a a = = 3 = (a + b + c) 3 = a + b + c (I) 1 9 = = 9 = ab + bc + ac (II)

54 a a 0 3 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados = = = a.b.c = a.b.c (III) 1 A questão pede para calcular o valor de a b c Vamos igualar os denominadores. O m.m.c de a, b e c é a. b.c b. c 1 a. c 1 a. b + + = = a b c a b. c b a. c c a. b = b. c + a. c + a. b a. b. c Bom, da relação (III), temos que a.b.c =. Portanto, a.b.c = (a.b.c) = = 4 Até agora, temos: b. c + a. c + a. b + + = a b c 4 Mas como iremos achar b.c + a.c + a.b? Não temos este valor claramente. Aqui, temos que fazer uma mágica. Vejamos! Da relação (II), temos: ab + bc + ac = 9 Se elevarmos ao quadrado os dois lados da equação, não alteramos a igualdade: (ab + bc + ac) = 9 (ab + bc + ac).(ab + bc + ac) = 81 ab.(ab + bc + ac) + bc.(ab + bc + ac) + ac.(ab + bc + ac) = 81 ab.ab + ab.bc + ab.ac + bc.ab + bc.bc + bc.ac + ac.ab + ac.bc + ac.ac = 81 a.b + ab.bc + ab.ac + ab.bc + b.c + ac.bc + ab.ac + ac.bc + a.c = 81 a.b + b.c + a.c +.ab.bc +.ab.ac +.ac.bc = 81 a.b + b.c + a.c +.(ab.bc + ab.ac + ac.bc) = 81 a.b + b.c + a.c = 81.(ab.bc + ab.ac + ac.bc) 54

Aula Inaugural Curso Alcance 2017

Aula Inaugural Curso Alcance 2017 Aula Inaugural Curso Alcance 2017 Revisão de Matemática Básica Professores: Me Carlos Eurico Galvão Rosa e Me. Márcia Mikuska Universidade Federal do Paraná Campus Jandaia do Sul cegalvao@ufpr.br 06 de

Leia mais

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS BANCO DE EXERCÍCIOS - HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº GABARITO COMENTADO ) A função será y,5x +, onde y (preço a ser pago) está em função de x (número de quilômetros

Leia mais

parciais primeira parte

parciais primeira parte MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Técnicas de integração frações parciais primeira parte Objetivo Aprender a técnica de integração conhecida como frações parciais. Introdução A técnica que você aprenderá agora lhe

Leia mais

Unidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos

Unidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos Unidade I MATEMÁTICA Prof. Celso Ribeiro Campos Números reais Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, são aceitas sem a necessidade de definição. São elas: a) Conjunto. b) Elemento. c)

Leia mais

Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma:

Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma: EQUAÇÕES POLINOMIAIS. EQUAÇÃO POLINOMIAL OU ALGÉBRICA Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma: p(x) = a n x n + a n x n +a n x n +... + a x + a 0 = 0 onde

Leia mais

Definição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n

Definição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n POLINÔMIO I 1. DEFINIÇÃO Polinômios de uma variável são expressões que podem ser escritas como soma finita de monômios do tipo : a t k k onde k, a podem ser números reais ou números complexos. Exemplos:

Leia mais

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Iremos agora desenvolver um método para resolver integrais de funções racionais,

Leia mais

Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x

Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x EQUAÇÃO POLINOMIAL Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x C a incógnita e a n, a n 1,..., a

Leia mais

4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais

4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais 4 de outubro de 2015 Iremos agora desenvolver técnicas para resolver integrais de funções racionais, conhecido como método de integração por

Leia mais

GABARITO. 01) a) c) VERDADEIRA P (x) nunca terá grau zero, pelo fato de possuir um termo independente de valor ( 2).

GABARITO. 01) a) c) VERDADEIRA P (x) nunca terá grau zero, pelo fato de possuir um termo independente de valor ( 2). 01) a) P (1) = 1 + 7 1 17 1 P (1) = 1 + 7 17 P (1) = 11 P (1) é sempre igual a soma dos coeficientes de P (x) b) P (0) = 0 + 7 0 17 0 P (0) = 0 + 0 0 P (0) = P (0) é sempre igual ao termo independente

Leia mais

E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos

E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 8

Matemática E Extensivo V. 8 Matemática E Extensivo V. 8 Resolva Aula 9 9.) D x + x 7x 6 = x = é raiz. Aula.) x + px + = Se + i é raiz, então i também é. 5 7 6 Soma = b a = p p = + i + i p = p = Q(x) = x + 5x + Resolvendo Q(x) =,

Leia mais

MATEMÁTICA BÁSICA SUMÁRIO

MATEMÁTICA BÁSICA SUMÁRIO MATEMÁTICA BÁSICA SUMÁRIO 1 Operações com frações 2 Divisão de frações 3 Operações com números relativos 4 Resolução de equações do 1º grau (1º tipo) 5 Resolução de equações do 1º grau (2º tipo) 6 Resolução

Leia mais

EQUAÇÕES POLINOMIAIS

EQUAÇÕES POLINOMIAIS EQUAÇÕES POLINOMIAIS Prof. Patricia Caldana Denominamos equações polinomiais ou algébricas, as equações da forma: P(x)=0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as

Leia mais

Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais

Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais 1. Verifique, recorrendo ao algoritmo da divisão, que: 6 4 0x 54x + 3x + é divisível por x 1.. De um modo geral, que relação

Leia mais

Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental

Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes Nono Ano do Ensino Funcamental Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio

Leia mais

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior  1 Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 07 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. Conteúdo 7. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares...2 7.1. Matrizes...2

Leia mais

MATEMÁTICA. Polinômios. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1

MATEMÁTICA. Polinômios. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1 MATEMÁTICA Polinômios Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1 Monômio, o que isso Professor Dêner? Monômios Denominamos monômio ou termo algébrico quaisquer expressões algébricas representadas por

Leia mais

A = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A.

A = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A. Capítulo 1 Números Reais 1.1 Conjuntos Numéricos Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos

Leia mais

DIVISÃO DE POLINÔMIOS

DIVISÃO DE POLINÔMIOS DIVISÃO DE POLINÔMIOS Prof. Patricia Caldana A divisão de polinômios estrutura-se em um algoritmo, podemos enuncia-lo como sendo: A divisão de um polinômio D(x) por um polinômio não nulo E(x), de modo

Leia mais

Matemática 1 INTRODUÇÃO 1 TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS 3 TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS 2 TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS. Exercício Resolvido 2

Matemática 1 INTRODUÇÃO 1 TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS 3 TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS 2 TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS. Exercício Resolvido 2 Matemática Frente II CAPÍTULO 22 EQUAÇÕES POLINOMIAIS 1 INTRODUÇÃO Nos capítulos anteriores, durante o estudo de polinômios, já estudamos alguns teoremas que nos ajudam a encontrar as raízes de polinômios.

Leia mais

Técnicas de. Integração

Técnicas de. Integração Técnicas de Capítulo 7 Integração TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 7.4 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Nessa seção, vamos aprender como integrar funções racionais reduzindo-as a uma soma de

Leia mais

Matemática A - 10 o Ano

Matemática A - 10 o Ano Matemática A - 10 o Ano Resolução da Ficha de Trabalho Álgebra - Divisão Inteira de Polinómios Grupo I 1. Considerando os polinómios p e b no enunciado temos que o termo de maior grau de p b é a nx n b

Leia mais

Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão)

Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão) R é ordenado: Se a, b, c R i) a < b se e somente se b a > 0 (a diferença do maior com o menor será positiva) ii) se a > 0 e b > 0 então a + b > 0 (a soma de dois números positivos é positiva) iii) se a

Leia mais

1 Funções quadráticas para ajudar nas contas

1 Funções quadráticas para ajudar nas contas Funções quadráticas e polinômios Carlos Shine No que segue na parte teórica, f(x) = ax 2 +bx+c, a 0, a,b,c R. Seja também = b 2 4ac o discriminante de f. 1 Funções quadráticas para ajudar nas contas (Equação

Leia mais

25 = 5 para calcular a raiz quadrada de 25, devemos encontrar um número que

25 = 5 para calcular a raiz quadrada de 25, devemos encontrar um número que RADICIAÇÃO Provavelmente até o 8 ano, você aluno só viu o conteúdo de radiciação envolvendo A RAIZ QUADRA Para relembrar: = para calcular a raiz quadrada de, devemos encontrar um número que elevado a seja,

Leia mais

POLINÔMIOS. Nível Básico

POLINÔMIOS. Nível Básico POLINÔMIOS Nível Básico. (Eear 07) Considere P(x) x bx cx, tal que P() e P() 6. Assim, os valores de b e c são, respectivamente, a) e b) e c) e d) e. (Epcar (Afa) 05) Considere o polinômio a) x 0 não é

Leia mais

Capítulo 1: Fração e Potenciação

Capítulo 1: Fração e Potenciação 1 Capítulo 1: Fração e Potenciação 1.1. Fração Fração é uma forma de expressar uma quantidade sobre o todo. De início, dividimos o todo em n partes iguais e, em seguida, reunimos um número m dessas partes.

Leia mais

REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA

REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA AULA 2 Frações Profe. Kátia FRAÇÕES Uma fração é a representação de uma ou mais partes de algo que foi dividido em partes iguais. Partes de um inteiro. Todo objeto original

Leia mais

Os números reais. Capítulo O conjunto I

Os números reais. Capítulo O conjunto I Capítulo 4 Os números reais De todos os conjuntos numéricos que estudamos agora, a transição de um para outro sempre era construída de forma elementar A passagem do conjunto dos números racionais aos reais

Leia mais

Aula 22 O teste da derivada segunda para extremos relativos.

Aula 22 O teste da derivada segunda para extremos relativos. O teste da derivada segunda para extremos relativos. MÓDULO 2 - AULA 22 Aula 22 O teste da derivada segunda para extremos relativos. Objetivo: Utilizar a derivada segunda para determinar pontos de máximo

Leia mais

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior  1 Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 02 Expoentes e Radicais. Conteúdo 3. Introdução Parte 3... 2 3.1. Expoentes ou Potências... 7 3.1.1. Propriedades dos Expoentes... 8 3.1.2. Notação

Leia mais

Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense

Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 1 Universidade Portucalense Conceitos Algébricos Propriedades das operações de números reais Considerem-se três números reais quaisquer, a, b e c. 1. A adição de

Leia mais

REVISÃO DE ÁLGEBRA. Apareceu historicamente em processos de contagem. Obs.: dependendo da conveniência, o zero pode pertencer aos naturais.

REVISÃO DE ÁLGEBRA. Apareceu historicamente em processos de contagem. Obs.: dependendo da conveniência, o zero pode pertencer aos naturais. REVISÃO DE ÁLGEBRA 1ª. AULA CONJUNTOS BÁSICOS: Conjuntos dos números naturais: * + Apareceu historicamente em processos de contagem. Obs.: dependendo da conveniência, o zero pode pertencer aos naturais.

Leia mais

IGUALDADES EM IR IDENTIDADES NOTÁVEIS

IGUALDADES EM IR IDENTIDADES NOTÁVEIS IGUALDADES EM IR Uma relação muito importante definida em IR (conjunto dos números reais) é a relação de igualdade. Na igualdade A = B, A é o primeiro membro e B é o segundo membro. As igualdades entre

Leia mais

Integração por frações parciais - Parte 1

Integração por frações parciais - Parte 1 Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Integração por frações parciais - Parte Neste pequeno texto vamos desenvolver algumas ideias para integrar funções racionais, isto é, funções

Leia mais

RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR

RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 11 ÁLGEBRA LINEAR I - POLINÔMIOS POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 1 Definição Seja C o conjunto dos números complexos ( números da forma a + bi, onde a e b são números reais e i

Leia mais

2. Expressões Algébricas, Equações e Inequações

2. Expressões Algébricas, Equações e Inequações Capítulo 2 2. Expressões Algébricas, Equações e Inequações Como exposto no tópico 1.3, uma expressão algébrica é uma a expressão matemática na qual se faz uso de letras, números e operações aritméticas.

Leia mais

Inequação do Segundo Grau

Inequação do Segundo Grau CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Inequação do Segundo Grau Iva Emanuelly Pereira Lima - Engenharia Civil Na aula de hoje... Introdução e Exemplos de Inequação do Segundo Grau; Solucionando

Leia mais

Equações exponenciais

Equações exponenciais A UA UL LA Equações exponenciais Introdução Vamos apresentar, nesta aula, equações onde a incógnita aparece no expoente. São as equações exponenciais. Resolver uma equação é encontrar os valores da incógnita

Leia mais

Equações de 2º grau. Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: IR e

Equações de 2º grau. Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: IR e Equações de 2º grau Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0; a, b, c IR e Exemplo: x 2-5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e

Leia mais

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Teorema do Resto. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Teorema do Resto. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Teorema do Resto 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Teorema do Resto 1 Exercícios Introdutórios

Leia mais

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Divisão de Funções Polinomiais. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Divisão de Funções Polinomiais. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Divisão de Funções Polinomiais 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Divisão de Funções Polinomiais

Leia mais

Erivaldo. Polinômios

Erivaldo. Polinômios Erivaldo Polinômios Polinômio ou Função Polinomial Definição: P(x) = a o + a 1.x + a 2.x 2 + a 3.x 3 +... + a n.x n a o, a 1, a 2, a 3,..., a n : Números complexos Exemplos: 1) f(x) = x 2 + 3x 7 2) P(x)

Leia mais

Polinômios. 02) Se. (x 1), então. f(x) (x 2) (x 1) 5ax 2b, com a e b reais, é divisível por a b 1. 04) As raízes da equação

Polinômios. 02) Se. (x 1), então. f(x) (x 2) (x 1) 5ax 2b, com a e b reais, é divisível por a b 1. 04) As raízes da equação Polinômios 1. (Ufsc 015) Em relação à(s) proposição(ões) abaixo, é CORRETO afirmar ue: 01) Se o gráfico abaixo representa a função polinomial f, definida em por f(x) ax bx cx d, com a, b e c coeficientes

Leia mais

Podemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um

Podemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um FRAÇÕES Podemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um inteiro, mas se comermos um pedaço, qual seria

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I (CDI-I) PROVA I 20/03/2013. O desenvolvimento de todos os cálculos deve estar presente na prova.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I (CDI-I) PROVA I 20/03/2013. O desenvolvimento de todos os cálculos deve estar presente na prova. Universidade do Estado de Santa Catarina Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Departamento de Matemática Antônio João Fidélis CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I (CDI-I) PROVA I 0/03/013 É proibido o uso

Leia mais

a é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente.

a é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente. Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0; a, b, c Exemplo: x 2-5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 6x 2 - x - 1 = 0 é

Leia mais

Matemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, =

Matemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, = Erivaldo UDESC Matemática Básica Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0,353535... = 35 99 2) 2,1343434... = 2134 21 99 0 Decimal (Indo-Arábico): 2107 = 2.10 3 + 1.10 2 + 0.10 1 + 7.10 0 Número de

Leia mais

1 0 para todo x, multiplicando-se os dois membros por. 2x 1 0 x 1 2. b a x. ba 2. e b 2 c

1 0 para todo x, multiplicando-se os dois membros por. 2x 1 0 x 1 2. b a x. ba 2. e b 2 c CAPÍTULO 1 Exercícios 1..n) Como x 0 para todo x, o sinal de x(x ) é o mesmo que o de x; logo, x(x ) 0 para x 0; x(x ) 0 para x 0; x(x ) 0 para x 0.. n) Como x 1 1 0 para todo x, multiplicando-se os dois

Leia mais

Relações de Girard - Parte II

Relações de Girard - Parte II Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível 2 Prof. Marcelo Mendes Aula 19 Relações de Girard - Parte II Vamos continuar vendo mais exemplos das Relações de Girard. Veremos também um resultado

Leia mais

Índice. AULA 6 Integrais trigonométricas 3. AULA 7 Substituição trigonométrica 6. AULA 8 Frações parciais 8. AULA 9 Área entre curvas 11

Índice. AULA 6 Integrais trigonométricas 3. AULA 7 Substituição trigonométrica 6. AULA 8 Frações parciais 8. AULA 9 Área entre curvas 11 www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume ) Índice AULA 6 Integrais trigonométricas 3 AULA 7 Substituição trigonométrica 6 AULA 8 Frações parciais 8 AULA 9 Área entre curvas AULA Volumes 3 www.matematicaemexercicios.com

Leia mais

Conjunto dos Números Complexos

Conjunto dos Números Complexos Conjunto dos Unidade Imaginária Seja a equação: x + 0 Como sabemos, no domínio dos números reais, esta equação não possui solução, criou-se então um número cujo quadrado é. Esse número, representado pela

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Função Exponencial. Inequações Exponenciais. Primeiro Ano - Médio

Material Teórico - Módulo de Função Exponencial. Inequações Exponenciais. Primeiro Ano - Médio Material Teórico - Módulo de Função Exponencial Inequações Exponenciais Primeiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Generalidades sobre inequações Recordemos

Leia mais

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Dispositivo de Briot-Ruffini. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Dispositivo de Briot-Ruffini. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Dispositivo de Briot-Ruffini 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Dispositivo de Briot-Ruffini

Leia mais

TEORIA CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 812EE 1 INTRODUÇÃO

TEORIA CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 812EE 1 INTRODUÇÃO CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE 1 TEORIA 1 INTRODUÇÃO Os assuntos tratados a seguir são de importância fundamental não somente na Matemática, mas também na Física, Química, Geografia, Estatística

Leia mais

Sistemas de equações do 1 grau com duas incógnitas Explicação e Exercícios

Sistemas de equações do 1 grau com duas incógnitas Explicação e Exercícios Sistemas de equações do 1 grau com duas incógnitas Explicação e Exercícios Introdução Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1º a duas incógnitas.

Leia mais

Matemática Régis Cortes EQUAÇÕES DE GRAUS

Matemática Régis Cortes EQUAÇÕES DE GRAUS EQUAÇÕES DE 1 0 E 2 0 GRAUS 1 EQUAÇÃO DO 1º GRAU As equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma ax+b=0,em que a e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a

Leia mais

Capítulo 1. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas.

Capítulo 1. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas. Capítulo 1 Funções Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento em A associa um único elemento em B. A notação usual para uma função f

Leia mais

4 ÁLGEBRA ELEMENTAR. 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações.

4 ÁLGEBRA ELEMENTAR. 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações. 4 ÁLGEBRA ELEMENTAR 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações. 4.1.1 - Introdução: As expressões algébricas que equacionam os problemas conduzem logicamente à sua solução são denominados polinômios

Leia mais

Método de Newton para polinômios

Método de Newton para polinômios Método de Newton para polinômios Alan Costa de Souza 26 de Agosto de 2017 Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de 2017 1 / 31 Seja f(x) uma função polinomial de grau n. A princípio.

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 8

Matemática E Extensivo V. 8 Matemática E Etensivo V. 8 Eercícios ) 5 Sejam r, r e r 3 as raizes da equação 3 + 3 7 =. Logo r + r + r 3 = b a = ( ) = 5 ) Sejam r, r, r 3 e r as raizes da equação 3 5 3 + 8 = Logo r. r. r = c a = 3

Leia mais

Matemática A Intensivo V. 1

Matemática A Intensivo V. 1 Matemática A Intensivo V Eercícios ) V F F F F V V V ) D a) Verdadeiro Zero é elemento do conjunto {,,, 3, } b) Falso Nesse caso temos {a} como subconjunto de {a, b}, logo a relação correta seria a} {a,

Leia mais

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 02 EQUAÇÕES Pense no seguinte problema: Uma mulher de 25 anos é casada com um homem 5 anos mais velho que ela. Qual é a soma das idades

Leia mais

POLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma:

POLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma: POLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma: n P(x) a a x a x... a x, onde 0 1 n Atenção! o P(0) a 0 o P(1) a a a... a 0 1 n a 0,a 1,a,...,a n :coeficientes

Leia mais

Polinômios (B) 4 (C) 2 (D) 1 3 (E). 2

Polinômios (B) 4 (C) 2 (D) 1 3 (E). 2 Polinômios. (ITA 2005) No desenvolvimento de (ax 2 2bx + c + ) 5 obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e são raízes de p(x), então a soma a + b + c é igual a (A) 2 (B) 4 (C) 2 (D)

Leia mais

Álgebra. Polinômios.

Álgebra. Polinômios. Polinômios 1) Diga qual é o grau dos polinômios a seguir: a) p(x) = x³ + x - 1 b) p(x) = x c) p(x) = x 7 - x² + 1 d) p(x) = 4 ) Discuta o grau dos polinômios em função de k R: a) p(x) = (k + 1)x² + x +

Leia mais

Fundamentos Tecnológicos

Fundamentos Tecnológicos Fundamentos Tecnológicos Equações Algébricas e Equação de 1º Grau Início da aula 06 Equações Algébricas Expressões Algébricas - Definição Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat - Polinômios

Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat - Polinômios Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios. (Espcex (Aman) 05) O polinômio (x) x x deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r( ) é a) 0. b) 4. c) 0. d) 4. e) 0. 5 f(x) x x x, uando dividido

Leia mais

TEORIA 6: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 2º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA

TEORIA 6: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 2º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA TEORIA 6: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 2º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA Nome: Turma: Data / / Prof: Walnice Brandão Machado Equações de 2º grau Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 7

Matemática E Extensivo V. 7 Matemática E Etensivo V. 7 Eercícios ) B ) A P() = ³ + a² + b é divisivel por. Pelo teorema do resto, = é raiz de P(). P() = ³ + a. ² + b a + b = Da mesma maneira, P() é divisível por. Pelo teorema do

Leia mais

A Ideia de Continuidade. Quando dizemos que um processo funciona de forma contínua, estamos dizendo que ele ocorre sem interrupção.

A Ideia de Continuidade. Quando dizemos que um processo funciona de forma contínua, estamos dizendo que ele ocorre sem interrupção. Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível 2 Prof. Marcelo Mendes Aula 5 A Ideia de Continuidade Quando dizemos que um processo funciona de forma contínua, estamos dizendo que ele ocorre sem

Leia mais

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior  1 Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 03 Fatoração. Conteúdo 4. Introdução Parte 4... 4.. Fatoração... 4... Números Primos e Números Compostos... 4... Fatoração em Números Primos... 3

Leia mais

ENSINO FUNDAMENTAL II. Sistemas de equações do 1 grau a duas variáveis

ENSINO FUNDAMENTAL II. Sistemas de equações do 1 grau a duas variáveis ENSINO FUNDAMENTAL II ALUNO (A): Nº PROFESSOR(A):Rosylanne Gomes/ Marcelo Vale e Marcelo Bentes DISCIPLINA: matemática SÉRIE: 7 ano TURMA: TURNO: DATA: / / 2016 Sistemas de equações do 1 grau a duas variáveis

Leia mais

Sistemas de equações do 1 grau a duas variáveis

Sistemas de equações do 1 grau a duas variáveis Sistemas de equações do 1 grau a duas variáveis Introdução Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1º a duas variáveis. Nesse caso, diz-se que as equações

Leia mais

Formação Continuada Nova Eja. Matemática Nova Eja- Módulo 1 1 Bimestre/ 2014 PLANO DE AÇÃO 4

Formação Continuada Nova Eja. Matemática Nova Eja- Módulo 1 1 Bimestre/ 2014 PLANO DE AÇÃO 4 Formação Continuada Nova Eja Matemática Nova Eja- Módulo 1 1 Bimestre/ 2014 PLANO DE AÇÃO 4 Equações do 2 Grau Nome: Walter Campos Tutor: Josemeri Araújo Silva Regional: Noroeste Fluminense S u m á r i

Leia mais

Disciplina: Nivelamento - Matemática. Aula: 08. Prof.: Wilson Francisco Julio. Duração: 20:11

Disciplina: Nivelamento - Matemática. Aula: 08. Prof.: Wilson Francisco Julio. Duração: 20:11 Disciplina: Nivelamento - Matemática Aula: 08 Prof.: Wilson Francisco Julio Duração: 20:11 Olá! Seja bem-vindo a mais uma aula de Nivelamento em Matemática! Hoje, vamos falar de multiplicação e divisão

Leia mais

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB PROFESSOR: GUILHERME NEVES. Módulo de um número real... 2 Equações modulares... 5

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB PROFESSOR: GUILHERME NEVES. Módulo de um número real... 2 Equações modulares... 5 Aula 6 Parte 3 Módulo de um número real... Equações modulares... 5 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1 Módulo de um número real Olá, pessoal! Tudo bem com vocês? Nesta terceira parte da

Leia mais

MATERIAL DE APOIO Integrais

MATERIAL DE APOIO Integrais MATERIAL DE APOIO Integrais Éliton Fontana Fábio César Menslin Júnior 1 Definições 1.1 Integral indefinida Uma integral é dita indefinida quando não se conhece os limites de integração, ou seja, o intervalo

Leia mais

PROFICIÊNCIA EM MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos, Potenciação e Radiciação

PROFICIÊNCIA EM MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos, Potenciação e Radiciação PROFICIÊNCIA EM MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos, Potenciação e Radiciação Professor Alexandre M. M. P. Ferreira Sumário Definição dos conjuntos numéricos... 3 Operações com números relativos: adição, subtração,

Leia mais

DISCIPLINA: Matemática III PROFESSORA: Juliana Schivani ALUNO(a): Data: / /.

DISCIPLINA: Matemática III PROFESSORA: Juliana Schivani ALUNO(a): Data: / /. DISCIPLINA: Matemática III PROFESSORA: Juliana Schivani ALUNO(a): Data: / /. 1. (Ufjf-pism 017) Qual é o polinômio que ao ser multiplicado por g(x) 3 x 2x 5x 4 tem como resultado o polinômio 6 5 4 h(x)

Leia mais

Polinómios. Integração de Funções Racionais

Polinómios. Integração de Funções Racionais Polinómios. Integração de Funções Racionais Escola Superior de Tecnologia e de Gestão, Instituto Politécnico de Bragança. Mário Abrantes 2016 1 / 17 Índice de Matérias 1. Polinómios Denição Factorização

Leia mais

LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE:

LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE: Matemática Aplicada - https://ranildolopes.wordpress.com/ - Prof. Ranildo Lopes - FACET 1 Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA APES PROF. RANILDO

Leia mais

Inequação do Segundo Grau

Inequação do Segundo Grau CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2 Inequação do Segundo Grau Vitor Bruno Santos Pereira - Engenharia Civil Na aula de hoje... Introdução e Exemplos de Inequação do Segundo Grau; Solucionando

Leia mais

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Quantidade de Raízes e Consequências. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Quantidade de Raízes e Consequências. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Quantidade de Raízes e Consequências 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Quantidade de Raízes

Leia mais

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS Cálculo Volume Dois - 40 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS Quando uma função racional da forma N()/D() for tal que o grau do polinômio do numerador for maior do que o do denominador, podemos obter sua integral

Leia mais

f(x) ax b definida para todo número real x, onde a e b são números reais. Sabendo que f(4) 2,

f(x) ax b definida para todo número real x, onde a e b são números reais. Sabendo que f(4) 2, Ensino Aluno (: Nº: Turma: ª série Bimestre: º Disciplina: Espanhol Atividade Complementar Funções Compostas e Inversas Professor (: Cleber Costa Data: / /. (Eear 07) Sabe-se que a função invertível. Assim,

Leia mais

Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se

Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios

Leia mais

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 06 Licenciatura em Matemática Osasco ou x > 3

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 06 Licenciatura em Matemática Osasco ou x > 3 1. Inequações Uma inequação é uma expressão algébrica dada por uma desigualdade. Por exemplo: 3x 5 < 1 ou 2x+1 2 > 5x 7 3 ou x 1 2 + 2 > 3 Resolver a inequação significa encontrar os intervalos de números

Leia mais

REVISÃO DOS CONTEÚDOS

REVISÃO DOS CONTEÚDOS REVISÃO DOS CONTEÚDOS As quatro operações fundamentais As operações fundamentais da matemática são quatro: Adição (+), Subtração (-), Multiplicação (* ou x ou.) e Divisão (: ou / ou ). Em linguagem comum,

Leia mais

Matemática I Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo em Refrigeração e Climatização. y = ax² + bx + c

Matemática I Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo em Refrigeração e Climatização. y = ax² + bx + c 47 6. Função Quadrática É todo função que pode ser escrita na forma: f: R R y = ax² + bx + c Em que a, b e c são constantes reais e a 0, caso contrário a função seria afim. Já estudamos um tipo de função

Leia mais

Aula demonstrativa Apresentação... 2 Relação das Questões Comentadas... 8 Gabaritos... 11

Aula demonstrativa Apresentação... 2 Relação das Questões Comentadas... 8 Gabaritos... 11 Aula demonstrativa Apresentação... Relação das Questões Comentadas... 8 Gabaritos... 11 1 Apresentação Olá pessoal! Saiu o edital para o TJ-SP. A banca organizadora é a VUNESP e esta é a aula demonstrativa

Leia mais

0, a parábola tem concavidade voltada para BAIXO.

0, a parábola tem concavidade voltada para BAIXO. FUNÇÕES QUADRÁTICAS. DEFINIÇÃO É uma função da forma f x ax bx c, com a,b,c e a 0. OBSERVAÇÃO a é dito coeficiente líder da função quadrática Exemplo: fx 4x 5x 8. GRÁFICO O gráfico de uma função quadrática

Leia mais

Observe na imagem a seguir, a trajetória realizada por uma bola no momento em que um jogador a chutou em direção ao gol.

Observe na imagem a seguir, a trajetória realizada por uma bola no momento em que um jogador a chutou em direção ao gol. FUNÇÃO QUADRÁTICA CONTEÚDOS Função quadrática Raízes da função quadrática Gráfico de função Ponto de máximo e de mínimo de uma função AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Observe na imagem a seguir, a trajetória

Leia mais

CURSO PRF 2017 MATEMÁTICA

CURSO PRF 2017 MATEMÁTICA AULA 001 1 MATEMÁTICA PROFESSOR AULA 001 MATEMÁTICA DAVIDSON VICTOR 2 AULA 01 - CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS É o primeiro e o mais básico de todos os conjuntos numéricos. Pertencem

Leia mais

FICHA DE TRABALHO N.º 4 MATEMÁTICA A - 10.º ANO POLINÓMIOS

FICHA DE TRABALHO N.º 4 MATEMÁTICA A - 10.º ANO POLINÓMIOS FICHA DE TRABALHO N.º 4 MATEMÁTICA A - 10.º ANO POLINÓMIOS Conhece a Matemática e dominarás o Mundo. Galileu Galilei GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Na figura está representado um paralelepípedo ABCDEFGH.

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, veremos que o sinal da derivada segunda de uma função dá informações

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, veremos que o sinal da derivada segunda de uma função dá informações CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA SEGUNDA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, veremos que o sinal da derivada segunda de uma função dá informações sobre a concavidade do gráfico desta função.

Leia mais

MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO. Educação para Jovens e Adultos

MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO. Educação para Jovens e Adultos ENSINO MÉDIO Educação para Jovens e Adultos ENSINO MÉDIO Educação Para Jovens e Adultos ÍNDICE FUNÇÃO DO 1º GRAU 05 FUNÇÃO QUADRÁTICA 13 INEGUAÇÕES (1º E 2º GRAU) 22 FUNÇÃO EXPONENCIAL 25 INEGUAÇÕES EXPONENCIAIS

Leia mais

Método da substituição

Método da substituição Prof. Neto Sistemas de equações do 1 grau a duas variáveis ESTUDE A PARTE TEÓRICA E RESOLVA OS EXERCÍCIOS DO FINAL DA FOLHA NO CADERNO. Introdução Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir

Leia mais