Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1
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- Maria do Mar Cortês Peixoto
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1 Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 05 Aplicações da Álgebra Equações e Inequações Parte Conteúdo 5. Aplicações em Álgebra Parte Polinômios Equações de Terceiro Grau Teorema de Bolzano Teorema das Raízes Racionais Transformações Derivada e Integral Memorize para a prova Exercícios de Fixação Gabarito Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos... 5 Bibliografia
2 5. Aplicações em Álgebra Parte Chegamos a nossa aula 5 (na verdade, aula 6, se considerarmos a aula 0). Ufa! Espero que você esteja gostando do curso. Estamos procurando explicar tudo detalhadamente, para não deixar dúvidas. Contudo, se ainda assim, as dúvidas persistirem, você pode postar suas dúvidas no fórum do curso, sem traumas. Risos. Bom, a aula de hoje é uma continuação da aula passada. Veremos mais um pouco de teoria e mais exercícios sobre equações, que, como foi dito anteriormente, acabam fazendo parte da maioria das questões de Raciocínio Lógico Polinômios Equações de Terceiro Grau Uma equação de terceiro grau é representada da seguinte maneira: ax 3 + bx + cx + d = 0; a,b ; c e d R, com a 0. Exemplo: 4x 3 + x + 3x + 5 = 0; a = 4, b =, c = 3 e d = 5. Relações de Girard para a equação de terceiro grau: Considere que as raízes da equação são: r 1, r e r 3. b a = (r 1 + r + r 3 ) menos a soma das raízes c a = r 1.r + r 1.r 3 + r.r 3 d a = r 1.r.r 3 menos o produto das raízes Exemplo: Se r 1, r e r 3 são as raízes da equação x 3 7x + 6x 8 = 0, determine o valor de r r r 1 3 Equação de terceiro grau: x 3 7x + 6x 8 = 0 a = b = 7 c = 6 d = 8
3 Das relações de Girard, temos: b 7 a = = (r1 + r + r 3 ) 7 = r 1 + r + r 3 (I) c a = r 1.r + r 1.r 3 + r.r 3 6 = 3 = r 1.r + r 1.r 3 + r.r 3 (II) d a = r 1.r.r 3 8 = 4 = r1.r.r 3 4 = r 1.r.r 3 (III) Vai, pode perguntar. Sei que você está com a pulga atrás da orelha. Você deve estar pensando: Tudo bem professor, as relações de Girard são muito bonitas, etc, etc. Mas, o que essas relações têm a ver com este exemplo? Você verá. Ou melhor, como diria a minha avó, quem viver verá. Se desenvolvermos o valor a ser calculado comum dos denominadores r 1, r e r 3 é r 1.r.r 3. Portanto, teremos: , o mínimo múltiplo r r r r. r3 1 r1. r3 1 r1. r r. r3 + r1. r3 + r1. r + + = = r r r r r. r r r. r r r. r r. r. r Repare que o numerador da expressão acima corresponde a c a (II) e o denominador corresponde a d a (III), que são relações de Girard para uma equação de terceiro. Viu a utilidade das relações de Girard?. Substituindo estes valores na expressão: r. r3 + r1. r3 + r1. r 3 = r. r. r
4 Memorize para a prova: Relações de Girard para a equação de terceiro grau: Considere que as raízes da equação são: r 1, r e r 3. b a = (r 1 + r + r 3 ) menos a soma das raízes c a = r 1.r + r 1.r 3 + r.r 3 d a = r 1.r.r 3 menos o produto das raízes Teorema de Bolzano Matemática sem teorema não é matemática. Risos. Então, vamos aprender o Teorema de Bolzano. Considere f(x) = 0 uma equação polinomial com coeficientes reais e seja ]a; b[ um intervalo aberto, ou seja, um intervalo de números entre a e b, excluindo a e b. A representação ]...[ é justamente para dizer o intervalo é aberto. De acordo com o Teorema de Bolzano: 1) Se f(a) e f(b) têm o mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais ou não existem raízes reais no intervalo aberto ]a; b[. ) Se f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais no intervalo aberto ]a; b[. Não entendeu. Veja os gráficos abaixo: f(a) f(b) f(x) a b Repare que f(a) > (b) > 0, ou seja, f(a) e f(b) têm o mesmo sinal. Profs. Alexandre Lima e Junior 4
5 Agora, conte o número de raízes de f(x) no intervalo aberto ]a; b[, isto é, conte as vezes que f(x) = 0, entre a e b. Contou? É isso mesmo: Duas raízes. Um número par de raízes, conforme previsto no teorema. f(a) f(x) b a f(b) Repare que f(a) > (b) < 0, ou (a) e f(b) têm sinais contrários. Agora, conte o nú o de raízes x) no intervalo aberto ]a; b[, isto é, conte as vezes que = 0, entre Contou? É isso mesmo: Três raíz previsto no teorema. m número ímpar de raízes, conforme Exemplo: Quantas raízes reais a equação x 3 apresentar no intervalo ]0; 1[? + x x + 5 = 0 pode Primeiramente observe que a equação possui grau 3. Portanto, o número de raízes possíveis é 3. Vamos calcular, agora, f(0) e f(1): f(x) = x 3 + x x + 5 f(0) = = 5 f(1) = = = 7 Como f(0) e f(1) são positivos (possuem o mesmo sinal), então, pelo Teorema de Bolzano, o número de raízes reais possíveis entre 0 e 1 é par ou é zero. Portanto, f(x) pode ter duas raízes (tendo em vista que o número máximo de raízes é 3) ou nenhuma raiz no intervalo ]0; 1[. 5
6 Exemplo: Quantas raízes reais a equação x 3 x x + 5 = 0 pode apresentar no intervalo ]-; 1[? Primeiramente observe que a equação possui grau 3. Portanto, o número de raízes possíveis é 3. Vamos calcular, agora, f(-) e f(1): f(x) = x 3 x x + 5 f(-) = (-) 3.() + 5 = = = 13 f(1) = = = 3 Como f(-) é negativo e f(1) é positivo (possuem sinais contrários), então, pelo Teorema de Bolzano, o número de raízes reais possíveis entre 0 e 1 é ímpar. Portanto, f(x) pode ter três raízes ou uma raiz (tendo em vista que o número máximo de raízes é 3) no intervalo ] ; 1[. Exemplo: Determine t de modo que a equação x 5 x 4 + 3x 3 5x + x + (t 3) = 0, de modo que a equação tenha, pelo menos, uma raiz real entre 0 e. Pelo Teorema de Bolzano, se f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais no intervalo ]a; b[. Portanto, no caso concreto do exemplo, f(0) e f() devem ter sinais contrários para que f(x) tenha um número ímpar de raízes no intervalo ]0; [. f(x) = x 5 x 4 + 3x 3 5x + x + (t 3) f(0) = (t 3) = t 3 f() = (t 3) f() = (t 3) f() = t 3 f() = 3 + t = t + 3 Bom, agora sabemos que f(0) e f() devem ter sinais contrários. Para que isso aconteça, podemos utilizar a multiplicação. Não entendeu? Quando multiplicamos dois números com sinais contrários o resultado é sempre menor que zero, certo? Veja: 5 x (-4) = -0 (-3) x =
7 Portanto, para resolver a questão, podemos adotar exatamente esta propriedade: para que f(0) e f() tenham sinais contrários, a multiplicação de f(0) por f() deve ser menor que zero. f(0).f() < 0 (t 3).(t + 3) < 0 t 3 (*) < 0 t 9 < 0 (*) Lembre que: a b = (a + b).(a b) Vamos achar as raízes de t 9: t 9 = 0 t = 9 t = ± 9 t = ± 3 Como a equação é t 9 = 0 e o valor de a (valor do termo de t ) é maior que zero, a função é uma parábola com a concavidade voltada para cima, conforme vimos na aula passada. Vamos relembrar: y y = f(x) = ax + bx + c, a > 0 x 1 e x são as raízes da equação x < x < x 1 y < 0 x < x ou x > x 1 y > 0 x = x 1 ou x = x y = x Portanto, t 9 será menor que zero para - 3 < t < 3. Boa questão para cair em prova, não? Memorize para a prova: Função Polinomial: f(x) = a 0 + a 1.x + a.x + a 3.x a n-1.x n-1 + a n.x n Onde: a 0, a 1, a, a 3,...,a n-1, a n são os coeficientes do polinômio; e a 0, a 1.x, a.x, a 3.x 3,...,a n-1.x n-1, a n.x n são os termos do polinômio. De acordo com o Teorema de Bolzano: 1) Se f(a) e f(b) têm o mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais ou não existem raízes reais no intervalo ]a; b[. ) Se f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais no intervalo ]a; b[. 7
8 Teorema das Raízes Racionais Considere uma equação polinomial do tipo: P(x) = a n.x n + a n-1.x n-1 + a n-.x n- + + a.x + a 1.x + a 0 = 0 Onde, a n é diferente de zero e os coeficientes a i são números inteiros. Pelo teorema das raízes racionais, se esta equação admite uma raiz racional p q, com p e q primos entre si, então p é divisor de a 0 e q é divisor de a n. Além disso, se P(x) = 0 admite uma raiz inteira r = 1 r, então r é divisor de a 0. Relembrando: Dois números são primos entre si quando não possuem fatores primos em comum. Exemplo: 18 = x 3 5 = 5 Como 18 e 5 não possuem fatores primos em comum, são chamados primos entre si. Repare que 18 e 5 não são números primos (números que são divididos apenas por eles mesmos e por 1), mas são primos entre si. Exemplo: Quais são as raízes racionais da equação f(x) = x 6 5x 5 + 4x 4 5x 3 10x + 30x 1 = 0? Repare que as possíveis raízes racionais da equação acima devem ter a forma p p q. De acordo com o teorema das raízes racionais, q entre si, então p é divisor de a 0 e q é divisor de a n., com p e q primos Portanto, p deve ser divisor de -1 (a 0 ) e q deve ser divisor de (a n ). Deste modo: p pode ser: -1, 1, -,, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -1 e 1. q pode ser: 1 e 8
9 Assim, as raízes racionais possíveis estarão dentro do seguinte conjunto: q p Fazendo a verificação (calculando o valor de f(x) para cada um dos elementos encontrados na tabela), percebe-se que as raízes racionais seriam: Raiz 1 = 1 Raiz = 1 = (p = e q = 1) (p = 1 e q =) Vejamos: f(x) = x 6 5x 5 + 4x 4 5x 3 10x + 30x 1 f() = f() = f() = f() = f( ) = f( ) = f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) =
10 f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) = f( 1 ) = 0 Exemplo: Quais são as raízes inteiras da equação f(x) = x 3 + 3x 3x 9 = 0? De acordo com o teorema das raízes racionais, se f(x) = 0 admite uma raiz inteira r = 1 r, então r é divisor de a0. a 0 = 9 a n = a 3 = 1 Deste modo: p pode ser: 1, 1, 3, 3, 9 e 9. q pode ser: 1 Assim, as raízes racionais possíveis estarão dentro do seguinte conjunto: q p Fazendo a verificação (calculando o valor de f(x) para cada um dos elementos encontrados na tabela), percebe-se que a raiz inteira possível seria -3 (p = -3 e q = 1). Vejamos: f(-3) = (-3) (-3) f(-3) = f(-3) = f(-3) =
11 Há uma última observação importante em relação ao teorema das raízes racionais: Se a equação f(x) = 0, com coeficientes inteiros e coeficiente dominante unitário (a n = 1), admite uma raiz racional p q, então essa raiz é necessariamente inteira, pois q = 1 (q deve ser divisor de a n ). Exemplo: Qualquer raiz racional da equação x x 3 7x + 4x 8 = 0 é necessariamente inteira, pois a 4 = 1. Esta raiz inteira estará no conjunto dos divisores de a 0 = -8, ou seja, poderá ser: -1, 1, -,, -4, 4, -8 e 8. Memorize para a prova: Função Polinomial: f(x) = a 0 + a 1.x + a.x + a 3.x a n-1.x n-1 + a n.x n Onde: a 0, a 1, a, a 3,...,a n-1, a n são os coeficientes do polinômio; e a 0, a 1.x, a.x, a 3.x 3,...,a n-1.x n-1, a n.x n são os termos do polinômio. Pelo teorema das raízes racionais, se esta equação admite uma raiz racional p q, com p e q primos entre si, então p é divisor de a 0 e q é divisor de a n. Se f(x) = 0 admite uma raiz inteira r = 1 r, então r é divisor de a0. Se a equação f(x) = 0, com coeficientes inteiros e coeficiente dominante unitário (a n = 1), admite uma raiz racional p q, então essa raiz é necessariamente inteira, pois q = Transformações Transformação de uma equação do tipo P(x) = 0 corresponde a toda operação com a qual se obtém uma nova equação transformada Q(y) = 0 cujas raízes estejam relacionadas com as raízes da equação inicial ou equação primitiva por meio da seguinte relação: y = f(x). Não entendeu? Então, vamos aos nossos infalíveis exemplos numéricos. 11
12 Exemplo: (TTN-1997-Esaf) A soma de todas as raízes da equação x 4-5x = 0 é igual a a) 0 b) 16 c) 9 d) 49 e) 5 Suponha que: y = x y = x 4. Substituindo na equação, teríamos: P(x) = x 4-5x = 0 Q(y) = y 5y = 0 (equação transformada) Neste exemplo, as raízes de Q(y) = 0 são iguais aos quadrados das raízes de P(x) = 0, tendo em vista que y = x. Vamos resolver a equação transformada: y 5y = 0 a = 1 b = -5 c = 144 ± = = b± b 4ac ( 5) ( 5) ± y= a.1 5± 49 5± 7 y= = y 1 = (5 + 7)/ = 16 y = (5 7)/ = 9 Como: y = x x 1 = y 1 = 16 x 1 = 16 x 1 = ±(16) 1/ x 1 = 4 ou x 1 = - 4 x = y = 9 x = 9 x = ±(9) 1/ x = 3 ou x = - 3 Soma das raízes da equação = 4 + (-4) (-3) = 0 GABARITO: A Memorize para a prova: Transformação de uma equação do tipo P(x) = 0 (equação primitiva). Q(y) = 0 (equação transformada), tal que y = f(x) 1
13 Derivada e Integral Agora o professor ficou realmente maluco! Ensinar derivada e integral em curso de Raciocínio Lógico! Isto é coisa de engenheiro, matemático, e carreiras afins! Estou plenamente de acordo, ou, como diria John Lennon, I coudn t agree more. Contudo, como diria a minha: Você está correto. Errado é quem te dá razão. Risos. Ou seja, a Esaf, por exemplo, cobrou derivada na última prova de Auditor-Fiscal, em uma questão de função contínua. Portanto, pode cair sim. Então, vamos lá! Suponha que: F(X) = a.x n + b.x n-1 + c.x n w.x + z Se eu fosse fazer a derivada desta expressão (F (x)), eu teria: F (X) = a.n.x n-1 + b.(n-1).x n- + c.(n-).x n w + 0, Ou seja, para derivar esta expressão, eu passo o expoente das variáveis x dos termos para baixo, multiplicando o coeficiente do termo, e subtraio o expoente em uma unidade. Repare: a.x n derivada a.n.x n-1 b.x n-1 > derivada b.(n-1).x n- (...) w.x derivada => w.1.x 1-1 = w.x 0 = w.1 = w z = z derivada 0 (como é uma constante, a derivada é zero) Para calcular a integral, é o inverso, ou seja, suponha que eu tenha F (X) = a.n x n-1 + b.(n-1)x n- + c.(n-)x n w + 0 Se eu fosse fazer a integral desta expressão, teria: F(X) = ax n + bx n-1 + cx n wx + z Ou seja, para integrar esta expressão, somo o expoente das variáveis x dos termos em uma unidade e retiro este valor obtido do coeficiente, que multiplica as variáveis x, por meio de uma divisão: a.n x n-1 integral a.x n (somei 1 ao coeficiente de x e dividi a constante a.n por n ) 13
14 b.(n-1)x n- integral b.x n-1 (somei 1 ao coeficiente de x e dividi a constante b.(n-1) por (n-1) ) (...) w = w.x 0 integral w.x (somei 1 ao coeficiente de x e dividi a constante w por 1 ) 0 integral z = constante (é um valor constante) Exemplo: f(x) = 3.x 3 + x 5.x + 6 Derivada: f (x) = 3.3.x x x = 9.x +.x 5 Exemplo: f(x) = 1.x x 4.x + 6 Integral: F(x) = ( 1 4 ).x3+1 + ( 6 3 ).x+1 ( 4 ).x1+1 + ( 6 1 ).x0+1 + constante F(x) = 3.x 4 +.x 3.x + 6.x + constante Memorize para a prova: F(X) = a.x n + b.x n-1 + c.x n w.x + z Derivada: F (X) = a.n.x n-1 + b.(n-1).x n- + c.(n-).x n w + 0, F (X) = a.n x n-1 + b.(n-1)x n- + c.(n-)x n w + 0 Integral: F(X) = a.x n + b.x n-1 + c.x n w.x + z 14
15 5.7. Memorize para a prova Equação de Terceiro Grau ax 3 + bx + cx + d = 0; a,b ; c e d R, com a 0. Relações de Girard para a equação de terceiro grau: Considere que as raízes da equação são: r 1, r e r 3. b a = (r 1 + r + r 3 ) menos a soma das raízes c a = r 1.r + r 1.r 3 + r.r 3 d a = r 1.r.r 3 menos o produto das raízes Teorema de Bolzano: Função Polinomial: f(x) = a 0 + a 1.x + a.x + a 3.x a n-1.x n-1 + a n.x n Onde: a 0, a 1, a, a 3,...,a n-1, a n são os coeficientes do polinômio; e a 0, a 1.x, a.x, a 3.x 3,...,a n-1.x n-1, a n.x n são os termos do polinômio. 1) Se f(a) e f(b) têm o mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais ou não existem raízes reais no intervalo ]a; b[. ) Se f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais no intervalo ]a; b[. Teorema das raízes racionais: Considere uma equação polinomial do tipo: P(x) = a n.x n + a n-1.x n-1 + a n-.x n- + + a.x + a 1.x + a 0 = 0 Onde, a n é diferente de zero e os coeficientes a i são números inteiros. Pelo teorema das raízes racionais, se esta equação admite uma raiz racional p q, com p e q primos entre si, então p é divisor de a 0 e q é divisor de a n. Além disso, se P(x) = 0 admite uma raiz inteira r = 1 r, então r é divisor de a
16 Se a equação f(x) = 0, com coeficientes inteiros e coeficiente dominante unitário (a n = 1), admite uma raiz racional p q, então essa raiz é necessariamente inteira, pois q = 1. Transformação Considere uma equação do tipo P(x) = 0 (equação primitiva). Q(y) = 0 (equação transformada), tal que y = f(x) F(X) = a.x n + b.x n-1 + c.x n w.x + z Derivada: F (X) = a.n.x n-1 + b.(n-1).x n- + c.(n-).x n w + 0, F (X) = a.n x n-1 + b.(n-1)x n- + c.(n-)x n w + 0 Integral: F(X) = a.x n + b.x n-1 + c.x n w.x + z 16
17 5.8. Exercícios de Fixação 1.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP- 010-FCC) Na equação x 3 + 3x + x 1 = 0, substituindo-se x por z 1 obtém-se uma equação em z sem o termo quadrático, o que facilita sua resolução. A partir disso, podem-se obter também as soluções da equação original, uma das quais é (A) (B) 1 (C) (D) 3 (E) 3.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP- 010-FCC) Considere uma função polinomial real f que tem zeros para x = 1, x = 3 e x = 4, unicamente, e tal que f(0) = 6. Nessas condições, f é dada por (A) f(x) = x 3 4x + 19 x 6 (B) f(x) = x 3 + 4x 19 x + 6 (C) f(x) = x 4 8x + 13x 6 (D) f(x) = 1 x3 + 4x 19 x + 6 (E) f(x) = 1 x3 4x + 19 x 6 3.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração- Maranhão-009-FCC) Se a divisão do polinômio P(x) = ax3 + bx + 4 pelo polinômio T(x) = x é exata, então b é igual a (A) (+a) (B) (1+a) (C) (a 1) (D) (a a) (E) (1 a) 17
18 4.(Professor de Matemática-Secretaria Municipal de Educação-SP- 009-FCC) A figura mostra parte do gráfico da função polinomial f(x) = ax 3 + bx + cx + d, com a, b, c, d reais. Nas condições dadas, b é igual a (A) 4. (B). (C) 0. (D). (E) 4. 5.(Professor de Matemática-Secretaria Municipal de Educação- Teresina-009-FCC) Admitindo-se x 0, quando multiplicamos x 5, x + 1 x e x + 3 x, o produto será um polinômio de grau (A). (B) 3. (C) 6. (D) 7. (E)
19 6.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) A função polinomial f(x) = x 3 + ax + 17x 6 encontra o eixo das abscissas em 3 pontos, sendo dois deles (b,0) e ( 1 b, 0). Nessas condições, o valor de a é (A) 11 (B) 9 (C) 8 (D) 6 (E) 8 7.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) O conjunto solução da desigualdade x 5 < é formado por valores reais de x tais que (A) x < 3 (B) x > 3 (C) x < 7 (D) x < 3 ou x > 7 (E) 3 < x <
20 8.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) O gráfico representa uma função do tipo f(x) = ax + bx + c. A soma dos coeficientes a e b da equação da função é igual a (A) 4 3 (B) 4 3 (C) 8 3 (D) 4 (E) (Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) Dada a função de equação f(x) = x x 4x 3 + (A) 1 < x ou x > 3 (B) x < 3 ou 1 < x < (C) 3 < x < 1 ou x (D) x < 1 ou x < 3 (E) x ou 1 < x 3, o conjunto dos valores de x, reais, para os quais f(x) $ 0 é 0
21 10.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 3 Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) Dada a função f(x) = x 1 e 6 f(g(x)) = x 5 (A) 1, o resultado de g(1) é igual a (B) 1 (C) (D) 7 (E) 4 11.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) Se f(3x + ) = x 1, então f(x) é igual a 1 (A) (B) x 5 3 (C) x 3 3 (D) x + 3 (E) 3x + 1.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE- 005-FCC) Dadas as equações E1 : 4 3x = 3 5x E : x 1 3 = 0 o produto de suas raízes reais é igual a (A) 7 16 (B) 7 8 (C) 1 (D) 1 (E)
22 13.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE- 005-FCC) Se r(x) é o resto da divisão do polinômio (x 0 + 3x 17 x x 1) por (x 1), então r() vale: (A) 3 (B) 0 (C) 1 (D) (E) 3 14.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE- 005-FCC) A raiz da equação. x-3 + x = 6 é um número a, tal que (A) 0<a<1 (B) 1<a< (C) <a<3 (D) 3<a<4 (E) 4<a<5 15.(Professor de Matemática-Sesi/SP-004-FCC) No conjunto dos x+ b a x números reais a inequação 0 x < 4}. Os valores de a e b são, respectivamente, (A) 3 e 4 (B) 3 e 4 (C) 3 e 4 (D) 3 e 4 (E) 3 e 3 tem por conjunto solução {x R / 3 16.(PUC-RS) Dado o polinômio p(x) = x n + x n x + 1, onde n é ímpar, o valor de p(-1) é: (A) - (B) -1 (C) 0 (D) 1 (E) 17.(PUC-MG) O polinômio p(x) = x 3 5x + px +, é divisível por x +. O valor de p é: (A) -15 (B) -13 (C) -8 (D) 8 (E) 13
23 18.(PUC-MG) Na função f(x) = x 3 3x 3x +, f(a) = f(b) = f(-1). O valor de a + b é: (A) 0,5 (B) 1,0 (C) 1,5 (D),5 (E) 3,0 19.(UF-RS) Se o polinômio p(x) possui três raízes distintas a, b e c, o produto p(x).p(x) terá como raízes: (A) a, b, c (B) a, - a, b, - b, c, -c (C) a, b, c (D) a, b, c (E) ab, ac, bc 0.(Cefet-PR) Sejam a, b e c raízes da equação x 3 3x + 9x = 0. Então o valor de é igual a: a b c (A) 69 4 (B) 48 3 (C) 86 3 (D) 35 4 (E)
24 5.9. Gabarito 1. B. E 3. B 4. E 5. C 6. A 7. E 8. B 9. D 10. A 11. B 1. C 13. E 14. C 15. C 16. C 17. B 18. D 19. C 0. A 4
25 5.10. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos 1.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP- 010-FCC) Na equação x 3 + 3x + x 1 = 0, substituindo-se x por z 1 obtém-se uma equação em z sem o termo quadrático, o que facilita sua resolução. A partir disso, podem-se obter também as soluções da equação original, uma das quais é (A) (B) 1 (C) (D) 3 (E) 3 Resolução Bom, a questão já está nos indicando que caminho devemos seguir, ou seja, devemos substituir a incógnita x da equação por z 1 (transformação): x 3 + 3x + x 1 = 0 (z 1) (z 1) + (z 1) 1 = 0 Vamos calcular separadamente: (z 1) = (z 1).(z 1) = z.(z 1) 1.(z 1) (z 1) = z.z + z.(-1) 1.z 1.(-1) (z 1) = z z z + 1 = z z + 1 Só estou fazendo as contas detalhadamente para que você possa treinar, mas, na verdade, já estudamos que: (a b) = a ab + b. Portanto: (z 1) = z.z = z z + 1 Para calcular (z 1) 3 basta fazer (z 1).(z 1): (z 1) 3 = (z 1).(z 1) = (z z + 1).(z 1) (z 1) 3 = z.(z 1) z.(z 1) + 1.(z 1) (z 1) 3 = z.z + z.( 1) z.z z.( 1) + 1.z + 1.( 1) (z 1) 3 = z 3 z z + z + z 1 (z 1) 3 = z 3 3z + 3z 1 Logo, temos: (z 1) = z z + 1 (z 1) 3 = z 3 3z + 3z 1 Substituindo tudo na equação abaixo: x 3 + 3x + x 1 = 0 (z 1) (z 1) + (z 1) 1 = 0 z 3 3z + 3z ( z z + 1) + z 1 1 = 0 z 3 3z + 3z 1 + 3z +3.(-z) z = 0 5
26 z 3 3z + 3z 1 + 3z 6z z = 0 z 3 3z + 3z + 3z 6z + z = 0 z 3 z = 0 Repare que todos os termos da equação possuem z. Portanto, podemos colocar o z em evidência: z 3 z = 0 z.(z ) = 0 Repare que, se temos A.B = 0, ou A = 0 ou B = 0 ou ambos são iguais a zero. Portanto, na equação z.(z ) = 0, temos as seguintes opções: z = 0 ou z = 0 z = z = ± (repare que igual a ). ± elevado ao quadrado é Cuidado, pois achamos as raízes da equação transformada para z e a questão pergunta as raízes para equação com a variável x. Contudo, sabemos que a transformação foi x = z 1. Portanto, as raízes da equação x 3 + 3x + x 1 serão: z = 0 Como x = z 1 Como x = 0 1 x = 1 z = Como x = z 1 Como x = 1 x = 1 Como x = z 1 Como x = 1 x = z = GABARITO: B 1.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP- 010-FCC) Considere uma função polinomial real f que tem zeros para x = 1, x = 3 e x = 4, unicamente, e tal que f(0) = 6. Nessas condições, f é dada por (A) f(x) = x 3 4x + 19 x 6 (B) f(x) = x 3 + 4x 19 x + 6 (C) f(x) = x 4 8x + 13x 6 (D) f(x) = 1 x3 + 4x 19 x + 6 (E) f(x) = 1 x3 4x + 19 x 6 6
27 Resolução Vamos verificar as informações da questão: Considere uma função polinomial real f que tem zeros para x = 1, x = 3 e x = 4, unicamente. Portanto, como vimos na teoria da matéria, se a função polinomial possui zeros, significa que estes zeros são as raízes dessa função. Além disso, a quantidade de zeros identifica o grau da função polinomial. No caso da questão, há três zeros para a função (x = 1, x = 3 e x = 4). Logo, esta é uma função de grau 3 (terceiro grau). Com isso, podemos representar a função da seguinte maneira: f(x) = ax 3 + bx + cx + d A questão ainda fornece outra informação, que nos permite achar a variável d. Veja: f(0) = 6. Substituindo x = 0 na equação, teremos: f(x) = ax 3 + bx + cx + d f(0) = a b.0 + c.0 + d = 6 f(0) = d = - 6 d = 6 Até o momento, temos a seguinte função: f(x) = ax 3 + bx + cx 6 Para achar os demais termos, temos que substituir os valores das raízes na função polinomial. Vejamos: x = 1 é raiz da função polinomial f(1) = 0 f(1) = a b.1 + c.1 6 = 0 a + b + c = 6 (I) x = 3 é raiz da função polinomial f(3) = 0 f(3) = a b.3 + c.3 6 = 0 7a + 9b + 3c = 6 (II) x = 4 é raiz da função polinomial f(4) = 0 f(4) = a b.4 + c.4 6 = 0 64a + 16b + 4c = 6 (III) Portanto, temos um sistema de três equações e três incógnitas: a + b + c = 6 (I) 7a + 9b + 3c = 6 (II) 64a + 16b + 4c = 6 (III) Se multiplicarmos toda a equação (I) por 3, temos: 3a + 3b + 3c = 3.6 3a + 3b + 3c = 18 (IV) 7
28 Fazendo (II) (IV): 3a + 3b + 3c = 18 (IV) 7a + 9b + 3c = 6 (II) 7a + 9b + 3c 3a 3b 3c = a 3a + 9b 3b + 3c 3c = 1 4a + 6b = 1 (dividindo todos os termos por 6) 4a + b = (V) Na equação (III), os dois primeiros termos à esquerda da equação são divisíveis por 16. Portanto, podemos colocar o 16 em evidência: 64a + 16b + 4c = 6 (III) 4.16a + 16b + 4c = 6 16.(4a + b) + 4c = 6 (VI) Como achamos, em (V), que 4a + b =, podemos substituir (V) em (VI): 4a + b = (V) 16.(4a + b) + 4c = 6 (VI) 16.( ) + 4c = c = 6 4c = c = 38 c = 38 4 c = 19 Substituindo c em (I): a + b + c = 6 (I) a + b + 19 = a + b = 6 - a + b = = 7 a + b = (VII) Agora, para achar a e b, podemos utilizar as equações (V) e (VII): 4a + b = (V) (VII) a + b = 7 Fazendo (V) (VII): 4a + b a b = ( 4a a = ) 8
29 a = a = 3a = 3 a = 1 Com esses valores de a, c e d é possível verificar que a única alternativa possível é a alternativa e. (E) f(x) = 1 x3 4x + 19 x 6 Contudo, somente para conferir, vamos calcular o valor de b. Substituindo o valor encontrado de a em (V): 4a + b = (V) b = + b = b = b = 4 Portanto, finalmente, chegamos ao resultado: a = 1 ; b = 4; c = 19 e d = 6 f(x) = 1 x3 4x + 19 x 6 GABARITO: E 3.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração- Maranhão-009-FCC) Se a divisão do polinômio P(x) = ax 3 + bx + 4 pelo polinômio T(x) = x é exata, então b é igual a (A) (+a) (B) (1+a) (C) (a 1) (D) (a a) (E) (1 a) Resolução Se a divisão de um polinômio P(x) por T(x) = x é exata, significa que é raiz de P(x), ou seja, P() = 0. Portanto, se x =, P() = 0 P(x) = ax 3 + bx + 4 P() = a. 3 + b. + 4 = 0 8a + b + 4 = 0 b = 4 8a (dividindo todos os termos por ) 9
30 b = 4a Repare que os dois termos à direita da equação são divisíveis por. Portanto, podemos colocar o em evidência. Vejamos: b = 4a b = ( ).1 + ( ).a b =.(1 + a) GABARITO: B 4.(Professor de Matemática-Secretaria Municipal de Educação-SP- 009-FCC) A figura mostra parte do gráfico da função polinomial f(x) = ax 3 + bx + cx + d, com a, b, c, d reais. Nas condições dadas, b é igual a (A) 4. (B). (C) 0. (D). (E) 4. Resolução De acordo com a questão: f(x) = ax 3 + bx + cx + d Verificando o gráfico, percebe-se que, quando x = 0 f(x = 0) = Portanto, substituindo x = 0 na função polinomial: f(x) = ax 3 + bx + cx + d f(0) = a b.0 + c.0 + d = d = 30
31 A função, até o momento é: f(x) = ax 3 + bx + cx + Além disso, conseguimos, a partir do gráfico, verificar que há duas raízes para a função polinomial. Repare que, quando x = - 1, f(x = -1) = 0 e quando x = 1, f(x = 1) = 0. Portanto, substituindo estes valores na função polinomial: f(x) = ax 3 + bx + cx + d f(-1) = a.(-1) 3 + b.(-1) + (-1).0 + = 0 a + b c + = 0 (I) f(1) = a b = 0 a + b + c + = 0 (II) Se fizermos (I) + (II): a + b c + = 0 (I) a + b + c + = 0 (II) a + b c + + a + b + c + = 0 a +a + b + b c + c + + = 0 b + 4 = 0 b = 4 b = 4 b = GABARITO: B 5.(Professor de Matemática-Secretaria Municipal de Educação- Teresina-009-FCC) Admitindo-se x 0, quando multiplicamos x 5, x + 1 x e x + 3 x, o produto será um polinômio de grau (A). (B) 3. (C) 6. (D) 7. (E) 8. Resolução Vamos por partes. Se multiplicarmos x 5 por x + 1 x, teremos: x 5.(x + 1 x ) = x5.x + x 5. 1 x = x5+1 + x 5.x -1 = x 6 + x 5-1 = x 6 + x
32 1 1 Lembrando que: x = = x 1 = x x 3 Agora, se multiplicarmos x 6 + x 4 por 1 + x + 3 x : (x 6 + x 4 ). (1 + x + 3 x ) = x6.(1 + x + 3 x ) + x4.(1 + x = x x 6. x + x6. 3 x + x4.1 + x 4. x + x4. 3 x x ) = Não é preciso continuar a conta, pois já é possível verificar que o maior grau do polinômio resultante da multiplicação é 6 (referente ao termo x 6 ). Contudo, para fins didáticos, vamos achar o resultado: Lembrando que: t 1 1 = t = x x x t = x 6 + x 6..x -1 + x 6. 3.x -3 + x 4 + x 4..x -1 + x 4. 3.x -3 = = x 6 +.x x x 4 +.x x 4-3 = = x 6 + x 5 + 3x 3 + x 4 + x 3 + 3x = = x 6 + x 5 + x 4 + 5x 3 + 3x polinômio de grau 6. GABARITO: C 6.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) A função polinomial f(x) = x 3 + ax + 17x 6 encontra o eixo das abscissas em 3 pontos, sendo dois deles (b,0) e ( 1 b, 0). Nessas condições, o valor de a é (A) 11 (B) 9 (C) 8 (D) 6 (E) 8 Resolução Ainda veremos funções, mas, para começar a nos acostumar com idéia, o eixo das abscissas corresponde ao eixo dos x e o eixo da das ordenadas corresponde ao eixo dos y. Quando a função cruza o eixo das abscissas, y = 0. Por outro lado, quando a função cruza o eixo das ordenadas, x = 0. Além disso, um par ordenado possui a seguinte representação: (a, b), onde a corresponde ao valor de x e b corresponde ao valor de y = f(x). 3
33 Repare no gráfico do exercício 4: Quando a função cruza o eixo das abscissas (eixo dos x), em x = - 1 e x = 1, y = f(x) = 0. São as raízes da equação. Se fôssemos representar estes pontos como pares ordenados, teríamos: (-1, 0) e (1, 0). (-1, 0): x = -1 e y = 0; e (1, 0): x = 1 e y = 0. Por outro lado, quando a função cruza o eixo das ordenadas (eixo dos y), em y =, x = 0. Se representássemos este ponto com par ordenado, teríamos: (0, ): x = 0 e y =. Portanto, voltando a nossa questão, se a função polinomial é de grau 3, ela possuirá três raízes. Duas das raízes foram informadas, tendo em vista que a função encontra o eixo das abscissas (eixo dos x) em (b,0) e ( 1 b, 0). Ou seja, para x = b, y = 0 e para x = 1 b, y = 0. Relembrando a aula anterior, podemos representar a função polinomial com um produto de x - r i, onde r i são as raízes da função, multiplicado pelo valor do primeiro termo, da seguinte forma: P(x) = a n.x n + a n-1.x n-1 + a n-.x n- + + a 1.x + a 0 = 0 Essa equação polinomial pode ser representada por: P(x) = a n.(x r 1 ).(x r ).(x r 3 )...(x r n ) Onde r 1, r,..., r n são as raízes da equação. 33
34 Como a função possui três raízes e conhecemos duas, vou representar as raízes da equação como: x 1 = b; x = 1 b e x 3 = c f(x) = x 3 + ax + 17x 6, ou seja, o valor do termo x 3 é igual a (a n ). Portanto, podemos representar a função polinomial como:.(x b).(x 1 b ).(x c) = x3 + ax + 17x 6 1 Multiplicando os dois primeiros termos (x b).(x b ): 1 1.[x.(x b ) b.(x b )].(x c) = x3 + ax + 17x [x.x + x.( b ) b.x b.( b )].(x c) = x3 + ax + 17x 6 1.[x b x b.x + 1].(x c) = x3 + ax + 17x 6 1.[x ( b + b).x + 1].(x c) = x3 + ax + 17x 6 1.[x.(x c) ( b + b).x.(x c) + 1.(x c)] = x3 + ax + 17x [x.x x.c ( b + b).x.x + ( b + b).x.c + 1.x 1.c] = x3 +ax +17x [x 3 c.x ( b + b).x + ( b + b).c.x + x c] = x3 + ax + 17x x 3.[c + ( b + b)]x +.[1 + ( b + b).c]x c = x3 + ax + 17x 6 Igualando os termos das equações: x 3 = x 3 (ok).[c + ( 1 b + b)] = a (I).[1 + ( 1 b + b).c] = 17 (II) c = 6 6 c = c = 3 (III) 34
35 Substituindo c = 3 em (II):.[1 + ( 1 b + b).c] = 17.[1 + ( 1 b.1 +.( 1 b + b).3] = 17 + b).3 = ( 1 b + b) = 17 6.( 1 b 6.( 1 b + b) = 17 + b) = 15 (dividindo os dois lados da igualdade por 3).( 1 b + b) = 5 ( 1 b + b) = 5 (IV) Substituindo c = 3 e ( 1 b + b) = 5 em (I):.[c + ( 1 b + b)] = a (I).(3 + 5 ) = a a =.( a =.( a =.( 11 ) a = 11 GABARITO: A ) ) 35
36 7.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) O conjunto solução da desigualdade x 5 < é formado por valores reais de x tais que (A) x < 3 (B) x > 3 (C) x < 7 (D) x < 3 ou x > 7 (E) 3 < x < 7 Resolução E aí? Você ainda se lembra do módulo ou valor absoluto de um número? Vamos lá! Não pode podemos esquecer os conceitos principais! Relembrando: O módulo ou valor absoluto de um número é a distância deste número ao 0. Se x 0, então x = x Se x < 0, então x = - x Exemplos: x = 4 4 = 4 x = = -(-4) = 4 Voltando à questão, temos a seguinte inequação: x 5 < Portanto, temos duas hipóteses: I) x 5 0 Nessa hipótese: x 5 = x 5 Substituindo na equação: x 5 < x < + 5 x < 7 x < 7 I) x 5 < 0 Nessa hipótese: x 5 = -(x 5) = -x + 5 Substituindo na equação: -x + 5 < -x < 5 -x < -3 Lembre que quando multiplicamos uma inequação por (-1), o sinal da inequação inverte. 36
37 Portanto, multiplicando -x < -3 por -1: (-1).(-x) > (-1).(-3) x > 3 x > 3 Portanto, a solução da x 5 < é x > 3 e x < 7 ou: 3 < x < 7 GABARITO: E 8.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) O gráfico representa uma função do tipo f(x) = ax + bx + c. A soma dos coeficientes a e b da equação da função é igual a (A) 4 3 (B) 4 3 (C) 8 3 (D) 4 (E)
38 Resolução Bom, do gráfico acima conseguimos tirar as seguintes informações: Para y = 0, temos que x 1 = -1 e x = 3 (são as raízes da equação). Para x = 0 temos que y = 4 Portanto, substituindo na função y = f(x) = ax + bx + c, teríamos: f(x = 0) = 4 a.0 + b.0 + c = 4 c = 4 Podemos resolver, a partir daqui, da seguinte maneira: lembra das relações de Girard? Não. Então, vamos relembrar: Relações de Girard: b a = (x 1 + x ) menos a soma das raízes c a = x 1.x produto das raízes Portanto, como temos as duas raízes da equação do segundo grau (x 1 = -1 e x = 3). Qual seria o produto das raízes? x 1.x = (-1).3 = -3 c E este produto é igual a a c a = x 1.x 4 = 3 4= 3a a= 4 a 3. Como já sabemos que c = 4, fica fácil calcular o a: Além disso, a soma das raízes é: x 1 + x = = E esta soma é igual a b a. Como já conhecemos o a, fica fácil calcular o b: b a = (x 1 + x ) A questão pede a soma de a com b: a + b = + = GABARITO: B b 3 4.( ) 8 = b. = b= b=
39 9.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) Dada a função de equação f(x) = x x 4x 3 + (A) 1 < x ou x > 3 (B) x < 3 ou 1 < x < (C) 3 < x < 1 ou x (D) x < 1 ou x < 3 (E) x ou 1 < x 3 Resolução, o conjunto dos valores de x, reais, para os quais f(x) 0 é Repare que a função f(x) é uma fração, ou seja, ela será maior que zero quando o numerador e o denominador forem maiores que zero; ou quando o numerador e o denominador forem menores que zero. Além disso, será igual a zero quando o numerador for igual o zero. Não entendeu? Vamos ver exemplos numéricos. 0 4 = 0 (quando o numerador é zero, o resultado da divisão é zero). + 4 = (quando o numerador é o denominador forem positivos, o resultado da divisão é positivo). 4 =+ 1 4 (quando o numerador é o denominador forem negativos, o resultado da divisão é positivo). Agora, para sabermos quando as funções são maiores ou menores que zero, temos que achar as suas raízes. Vejamos: I) Raiz de x : x = 0 x = Portanto, esta função de primeiro grau será maior que zero para x >, igual a zero para x = e menor que zero para x <. 39
40 Veja o gráfico: y y = f(x) = x - b x II) Raízes de x + 4x 3 = 0: Fórmula de Bhaskara: ax + bx + c = 0 4 b± b ac x= a x + 4x 3 = 0 a = -1 b = 4 c = -3 b± b 4ac 4± 4 4.( 1).( 3) x= = a.( 1) 4± ± ± 4 4± x= = = = Podemos dividir o númerador e o denominador por : ± 1 x = 1 Portanto, as raízes possíveis são: x 1 = = = x = = = Além disso, como a é menor que zero (a = -1) a parábola tem concavidade para baixo. 40
41 y y = f(x) = -x + 4x + -3, a < 0 1 < x < 3 y > 0 x < 1 ou x > 3 y < 0 x = 1 ou x = 3 y = x Finalmente, para que f(x) = seguintes possibilidades: x 4 3 x + x seja maior o igual a zero, temos as I) Numerador igual a zero: x = 0 x = II) Numerador e denominador maiores que zero: x > 0 x > -x + 4x + -3 > 0 1 < x < 3 Como a condição é que os dois (numerador e denominador) sejam maiores que zero ao mesmo tempo, temos que < x < 3. Veja: 1 3 Portanto, ambos são maiores que zero para < x < 3. III) Numerador e denominador menores que zero: x < 0 x < -x + 4x + -3 < 0 x < 1 ou x > 3 -x + 4x + -3 > 0 x > 0 Como a condição é que os dois (numerador e denominador) sejam menores que zero ao mesmo tempo, temos que x < 1. Veja: x < 0 -x + 4x + -3 < x + 4x + -3 < 0 Portanto, ambos são menores que zero para x <
42 Juntando todas as soluções possíveis, teríamos: x = < x < 3 x < 1 Ou, escrevendo de outra forma: x < 1 ou x < 3 GABARITO: D 10.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 3 Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) Dada a função f(x) = x 1 e 6 f(g(x)) = x 5 (A) 1, o resultado de g(1) é igual a (B) 1 (C) (D) 7 (E) 4 Resolução Mais uma questão de função composta. Vejamos: 3 f(x) = x 1 Para acharmos f(g(x)) temos que substituir o x, na função f(x), por g(x): f(g(x)) = 3 g( x) 1 (I) Além disso, a questão da informou que: 6 f(g(x)) = x 5 (II) Portanto, (I) deve ser igual a (II) e, deste modo, poderemos achar g(x): 3 6 = g( x) 1 x 5 4
43 Se multiplicarmos em cruz: [g(x) 1].6 = 3.(x 5) g(x) = 3x + 3.(-5) 6.g(x) 6 = 3x 15 (como todos os termos da igualdade são divisíveis por 3, dividirei tudo por 3).g(x) = x 5.g(x) = x 5 +.g(x) = x 3 g(x) = x 3 Como a questão pede g(1), basta substituir x por 1 na equação acima: 1 3 g(1) = = = 1 GABARITO: A 11.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-Maranhão-005-FCC) Se f(3x + ) = x 1, então f(x) é igual a 1 (A) (B) x 5 3 (C) x 3 3 (D) x + 3 (E) 3x + Resolução Nesta questão, só temos o valor já simplificado de f(3x + ) = x 1. Lembra se questão anterior? Nós tínhamos f(x) e, para calcular f(g(x)), substituímos x por g(x). Agora, não temos o termo em g(x), que, no nosso caso, seria igual a 3x +, mas podemos chegar nele. Como? Veja: Vamos partir de f(3x + ) = x 1. Repare que o nosso g(x) é 3x +. Portanto, um primeiro passo seria multiplicarmos tudo por 3, pois, deste modo, chegaríamos ao termo 3x. 43
44 Contudo, para não alterar o resultado, temos que multiplicar e dividir os termos por 3 Vejamos: g(x) = 3x + f(g(x)) = x 1 3 3x 1.3 3x 3 f ( g( x)) = ( x ). = = Agora precisamos obter o termo + de g(x). Para obtermos +, temos que somar 5 ao -3. Para não alterar o valor da igualdade, devemos somar e subtrair 5 no numerador. Vejamos: 3x (3x+ ) 5 f ( g( x)) = = 3 3 Portanto, chegamos a nossa função f(3x + ) e, por conseqüência, f(x) será: f(3x + ) = (3x+ ) 5 3 Substituindo y = 3x + por x: f(x) = x 5 3 GABARITO: B 1.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE- 005-FCC) Dadas as equações E1: 4 3x = 3 5x E: x 1 3 = 0 o produto de suas raízes reais é igual a (A) 7 16 (B) 7 8 (C) 1 (D) 1 (E)
45 Resolução Novamente, uma questão com equações em módulo. Vamos achar as raízes da equação E1? E1: 4 3x = 3 5x Hipótese 1: Se 4 3x > 0, então 4 3x = 4 3x Neste caso, teríamos: 4 3x = 3 5x 3x + 5x = 3 4 x = 1 1 x = Hipótese : Se 4 3x < 0, então 4 3x = (4 3x) = 4 + 3x Neste caso, teríamos: 4 + 3x = 3 5x 3x + 5x = x = 7 7 x = 8 Vamos achar as raízes da equação E? E : x 1 3 = 0 Hipótese 1: Se x 1 > 0, então x 1 = x 1 Neste caso, teríamos: x 1 3 = 0 x 4 = 0 x = 4 4 x = x = x = ± Hipótese : Se x 1 < 0, então x 1 = (x 1) = x + 1 Neste caso, teríamos: x = 0 x = 0 x = x = x = 1 x = ± 1 Esta equação não possui raízes reais, visto que não há um número real x que seja uma raiz quadrada de um número negativo. Esta equação teria raízes complexas, que será assunto de aula posterior. 45
46 Portanto, o produto das raízes reais das equações seria: ( ) 1 7 ( ) 7 7 ( ) = = = = Repare que, no numerador, há um número par de sinais negativos, fato que torna o numerado positivo. GABARITO: B 13.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE- 005-FCC) Se r(x) é o resto da divisão do polinômio (x 0 + 3x 17 x x 1) por (x 1), então r() vale: (A) 3 (B) 0 (C) 1 (D) (E) 3 Resolução Bom, primeiramente, temos que lembrar que: (x 1) = (x + 1).(x 1) Lembra? a b = (a + b).(a b). É, sou chato mesmo. Vou repetir até você guardar. Risos. No caso, a = x e b = 1. Também temos que lembrar que: I) O grau de r(x) é menor que o grau de g(x). II) O resto da divisão de um polinômio f por x a é igual ao valor numérico de f em para x = a. Portanto, o como o divisor do polinômio é de grau (x 1), o resto r(x) deve ser de grau 1. Se considerarmos que o resto r(x) = ax + b, temos: I) Se r (x) é o resto da divisão do polinômio f(x) = (x 0 + 3x 17 x x 1) por (x + 1), então r(-1) = f( 1), pois o resto da divisão de um polinômio f por x a é igual ao valor numérico de f em para x = a. r( 1) = a.( 1) + b = f( 1) = ( 1) ( 1) 17 ( 1) ( 1) 1 a + b = ( 1) a + b = 3 (I) 46
47 Repare que: ( 1) elevado a um número par é igual a 1. Exemplo: ( 1) 0 = 1 ( 1) elevado a um número ímpar é igual a 1. Exemplo: ( 1) 1 = 1 II) Se r (x) é o resto da divisão do polinômio f(x) = (x 0 + 3x 17 x x 1) por (x 1), então r(1) = f(1), pois o resto da divisão de um polinômio f por x a é igual ao valor numérico de f em para x = a. r(1) = a.1 + b = f(1) = a + b = a + b = 1 (II) a + b = 3 (I) a + b = 1 (II) Fazendo (I) + (II), temos: a + b + a + b = b = b = 1 Substituindo o valor de b em (II): a + b = 1 a 1 = 1 a = a = Portanto, o resto r(x) = ax + b será: r(x) = x 1 Como a questão pede o r(): r() =. 1 r() = 4 1 r() = 3 GABARITO: E 14.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE- 005-FCC) A raiz da equação. x-3 + x = 6 é um número a, tal que (A) 0<a<1 (B) 1<a< (C) <a<3 (D) 3<a<4 (E) 4<a<5 47
48 Resolução A questão forneceu a seguinte equação:. x-3 + x = 6 Vamos simplificá-la um pouco:. x-3 + x = 6. + = 6. + = 6 + = 6 x x x x x x x x x x x = 6 = 6 = Se multiplicarmos em cruz: 5. x = x = 4 x = 4 5 x = 4,8 Como = 4 e 3 = 8, para que x seja igual a 4,8, que é menor 8 e maior que 4, x deve ser um número entre e 3. Portanto, <x<3. GABARITO: C 15.(Professor de Matemática-Sesi/SP-004-FCC) No conjunto dos x+ b a x números reais a inequação 0 x < 4}. Os valores de a e b são, respectivamente, (A) 3 e 4 (B) 3 e 4 (C) 3 e 4 (D) 3 e 4 (E) 3 e 3 Resolução tem por conjunto solução {x R / 3 x+ b a x Para que a inequação 0 hipóteses: seja maior ou igual a zero, temos as seguintes I) Para que a inequação seja igual a zero, o numerador deve ser igual a zero, ou seja: x + b = 0 x = b II) Para que a inequação seja igual a zero, o numerador e o denominador devem ser maiores que zero. x + b > 0 x > b 48
49 a x > 0 - x > - a (multiplicando ambos os lados por 1, o sinal da desigualdade inverte) x < a Uma outra opção de resolução seria passar o x para o lado direito da desigualdade. Vejamos: a x > 0 a > x x < a (se a é maior que x, então x é menor que a). III) Para que a inequação seja igual a zero, o numerador e o denominador devem ser menores que zero. x + b < 0 x < b a x < 0 - x < - a (multiplicando ambos os lados por 1, o desigualdade inverte) x > a sinal da Uma outra opção de resolução seria passar o x para o lado direito da desigualdade. Vejamos: a x < 0 a < x x > a (se a é menor que x, então x é maior que a). Ou seja, temos as seguintes soluções: x = b (I) x > b (II) x < a (III) x < b (IV) x > a (V) A questão já informa que o conjunto solução da equação é: {x R/ 3 x<4} Portanto, pela solução x deve ser maior ou igual a 3. Com isso, pode-se deduzir, como em (I) x = -b e em (II) x > - b, que x deve ser maior ou igual a b. Logo: x - 3 x - b então b = 3. Além disso, pela solução x deve ser menor que 4. Com isso, pode-se deduzir, como em (III) x < a, que x deve ser menor que a. Logo: x < 4 x < a então a = 4. GABARITO: C 49
50 16.(PUC-RS) Dado o polinômio p(x) = x n + x n x + 1, onde n é ímpar, o valor de p(-1) é: (A) - (B) -1 (C) 0 (D) 1 (E) Resolução Sabe-se que: ( 1) elevado a um número par é igual a 1. Exemplo: ( 1) 0 = 1 ( 1) elevado a um número ímpar é igual a 1. Exemplo: ( 1) 1 = 1 Em relação à questão: p(x) = x n + x n x + 1, onde n é ímpar Repare que: I) Se n = 1 p(x) = x + 1 p(-1) = = 0 II) Se n = 3 p(x) = x 3 + x + x + 1 p(-1) = (-1) 3 + (-1) + (-1) + 1 = = 0 III) Se n = 4 p(x) = x 5 + x 4 + x 3 + x + x + 1 p(-1) = (-1) 5 + (-1) 4 + (-1) 3 + (-1) + (-1) + 1 = = 0 Portanto, para n ímpar, p(x) = 0. GABARITO: C 17.(PUC-MG) O polinômio p(x) = x 3 5x + px +, é divisível por x +. O valor de p é: (A) -15 (B) -13 (C) -8 (D) 8 (E)
51 Resolução Vamos relembrar: O resto da divisão de um polinômio f(x) por x a é igual ao valor numérico de f em para x = a. Portanto, se f(x) é divisível por x a, o resto é zero e f(a) = 0. Se o polinômio p(x) = x 3 5x + px +, é divisível por x +, então: p(-) = 0. P(-) = (-) 3 5.(-) + p.(-) + = p + = p + = 0 6 p = 0 p = 6 6 p = p = 13 GABARITO: B 18.(PUC-MG) Na função f(x) = x 3 3x 3x +, f(a) = f(b) = f(-1). O valor de a + b é: (A) 0,5 (B) 1,0 (C) 1,5 (D),5 (E) 3,0 Resolução Como f(a) = f(b) = f(-1), vamos calcular, inicialmente, o valor de f(-1): f(x) = x 3 3x 3x + f(-1) =.(-1) 3 3.(-1) 3.(-1) + f(-1) =.(-1) f(-1) = f(-1) = 0 Portanto, se f(-1) é igual a zero, -1 é raiz de f(x). Como f(a) = f(b) = f(-1), então a e b também são raízes de f(x). A questão pede a + b. Olha as nossas relações de Girard novamente! f(x) = x 3 3x 3x + f(x) = ax 3 + bx + cx + d 51
52 a = b = -3 c = -3 d = As raízes da equação são: r 1 = -1 r = a r 3 = b Das relações de Girard, temos: b 3 a = = (r1 + r + r 3 ) 3 = r 1 + r + r 3 3 = a + b a + b = a + b = + 1. = = a + b =,5 Viu! Não podemos esquecer as relações de Girard. GABARITO: D 19.(UF-RS) Se o polinômio p(x) possui três raízes distintas a, b e c, o produto p(x).p(x) terá como raízes: (A) a, b, c (B) a, - a, b, - b, c, -c (C) a, b, c (D) a, b, c (E) ab, ac, bc Resolução Se o polinômio p(x) possui raízes a, b e c, podemos representá-lo da seguinte maneira: p(x) = a 3.x 3 + a.x + a 1.x + a 0 (é de grau 3, pois possui três raízes). P(x) = a 3.(x r 1 ).(x r ).(x r 3 ) = a 3.(x a).(x b).(x c) Onde r 1, r,..., r n são as raízes da equação. Se fizermos a multiplicação de p(x) por ele mesmo, teremos: p(x).p(x) = a 3.(x a).(x b).(x c). a 3.(x a).(x b).(x c) p(x).p(x) = a 3.a 3.(x a).(x a).(x b).(x b).(x c).(x c) p(x).p(x) = a 3.(x a).(x b).(x c) 5
53 Para acharmos as raízes de p(x).p(x), devemos igualar o polinômio a zero: p(x).p(x) = a 3.(x a).(x b).(x c) = 0 Repare que para a expressão acima seja igual, temos: x a = 0 x = a x b = 0 x = b x c = 0 x = c Portanto, as raízes de p(x).p(x) também são a, b e c. GABARITO: C 0.(Cefet-PR) Sejam a, b e c raízes da equação x 3 3x + 9x = 0. Então o valor de é igual a: a b c (A) 69 4 (B) 48 3 (C) 86 3 (D) 35 4 (E) 59 4 Resolução E aí? O que você acha que vou utilizar nesta questão? É. São elas novamente: as equações de Girard. f(x) = x 3 3x + 9x = 0 p(x) = a 3.x 3 + a.x + a 1.x + a 0 Raízes: a, b, c Relações de Girard: a a a a = = 3 = (a + b + c) 3 = a + b + c (I) 1 9 = = 9 = ab + bc + ac (II)
54 a a 0 3 Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados = = = a.b.c = a.b.c (III) 1 A questão pede para calcular o valor de a b c Vamos igualar os denominadores. O m.m.c de a, b e c é a. b.c b. c 1 a. c 1 a. b + + = = a b c a b. c b a. c c a. b = b. c + a. c + a. b a. b. c Bom, da relação (III), temos que a.b.c =. Portanto, a.b.c = (a.b.c) = = 4 Até agora, temos: b. c + a. c + a. b + + = a b c 4 Mas como iremos achar b.c + a.c + a.b? Não temos este valor claramente. Aqui, temos que fazer uma mágica. Vejamos! Da relação (II), temos: ab + bc + ac = 9 Se elevarmos ao quadrado os dois lados da equação, não alteramos a igualdade: (ab + bc + ac) = 9 (ab + bc + ac).(ab + bc + ac) = 81 ab.(ab + bc + ac) + bc.(ab + bc + ac) + ac.(ab + bc + ac) = 81 ab.ab + ab.bc + ab.ac + bc.ab + bc.bc + bc.ac + ac.ab + ac.bc + ac.ac = 81 a.b + ab.bc + ab.ac + ab.bc + b.c + ac.bc + ab.ac + ac.bc + a.c = 81 a.b + b.c + a.c +.ab.bc +.ab.ac +.ac.bc = 81 a.b + b.c + a.c +.(ab.bc + ab.ac + ac.bc) = 81 a.b + b.c + a.c = 81.(ab.bc + ab.ac + ac.bc) 54
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