MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08

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1 MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08 Neste curso, consideraremos o conjunto dos números naturais como sendo o conjunto N = {0, 1, 2, 3,... }, denotando por N o conjunto N \ {0}. Como a divisão de um número natural por outro nem sempre é possível, expressa-se esta possibilidade através da relação de divisibilidade. Quando não existir uma relação de divisibilidade entre dois números, veremos que, ainda assim, será possível efetuar uma divisão com resto pequeno, chamada de divisão euclidiana. O fato de sempre ser possível efetuar tal divisão é responsável por inúmeras propriedades dos naturais que exploraremos nesta e nas próximas unidades. Uma observação importante sobre este curso: trabalharemos exclusivamente com a aritmética dos números naturais, pois de certa forma isto simplificará algumas provas, sem perder nenhum fato relevante da teoria. Portanto, só consideraremos diferenças a b quando a b.

2 2 MA 14 Unidade 1 Divisibilidade Dados dois números naturais a e b com a 0, diremos que a divide b, escrevendo a b, quando existir c N tal que b = a c. Neste caso, diremos também que a é um divisor ou um fator de b ou, ainda, que b é um múltiplo de a. Observe que a notação a b não representa nenhuma operação em N, nem representa uma fração. Trata-se de uma sentença que diz ser verdade que existe c tal que b = ac. A negação dessa sentença é representada por a b, sigificando que não existe nenhum número natural c tal que b = ac. Exemplo , 2 0; 1 6, 2 6, 3 6, 6 6; 1 3, 3 3; 3 4; 2 5. Suponha que a b e seja c N tal que b = ac. O número natural c é chamado de quociente de b por a e denotado por c = b a. Por exemplo, 0 1 = 0, 0 2 = 0, 6 1 = 6, 6 2 = 3, 6 3 = 2, 6 6 = 1. Estabeleceremos a seguir algumas propriedades da divisibilidade. Proposição 1. Sejam a, b N e c N. Tem-se que i) 1 c, a a e a 0. ii) se a b e b c, então a c. Demonstração (i) Isto decorre das igualdades c = 1 c, a = a 1 e a 0 = 0. (ii) a b e b c implica que existem f, g N, tais que b = a f e c = b g. Substituindo o valor de b da primeira equação na outra, obtemos o que nos mostra que a c. c = b g = (a f) g = a (f g),

3 Divisibilidade 3 O item (i) da proposição acima nos diz que todo número natural é divisível por 1 e, se não nulo, por si mesmo. Proposição 2. Se a, b, c, d N, com a 0 e c 0, então a b e c d = a c b d. Demonstração Se a b e c d, então f, g N, b = a f e d = c g. Portanto, b d = (a c)(f g), logo, a c b d. Em particular, se a b, então a c b c, para todo c N. Proposição 3. Sejam a, b, c N, com a 0, tais que a (b + c). Então a b a c. Demonstração Como a (b + c), existe f N tal que b + c = f a. Agora, se a b, temos que existe g N tal que b = a g. Juntando as duas igualdades acima, temos a g + c = f a = a f, donde segue-se que a f > a g, e, consequentemente, f > g. Portanto, da igualdade acima, obtemos c = a f a g = a (f g), o que implica que a c, já que f g N. A prova da outra implicação é totalmente análoga. A proposição a seguir tem uma demonstração muito semelhante à da proposição anterior e será deixada como exercício.

4 4 MA 14 Unidade 1 Proposição 4. Sejam a, b, c N, com a 0 e b c, tais que a (b c). Então a b a c. Proposição 5. Se a, b, c N, com a 0, e x, y N são tais que a b e a c, então a (xb + yc); e se xb yc, então a (xb yc). Demonstração e c = ag. Logo, a b e a c implicam que existem f, g N tais que b = af xb ± yc = x(af) ± y(ag) = a(xf ± yg), o que prova o resultado, pois, nas condições dadas, xf ± yg N. Proposição 6. Dados a, b N, temos que a b = a b. Demonstração De fato, se a b, existe c N tal que b = ac. Como c 1, segue-se que a ac = b. Em particular, se a 1, então a 1 e, portanto, a = 1. Claramente, a recíproca da Proposição 6 não é válida, pois, por exemplo, 3 2; e, no entanto, 2 não divide 3. Note que a relação de divisibilidade em N é uma relação de ordem, pois i) é reflexiva: a N, a a. (Proposição 1(i)), ii) é transitiva: se a b e b c, então a c. (Proposição 1(ii)), iii) é antissimétrica: se a b e b a, então a = b. (Segue-se da Proposição 6). As proposições a seguir serão de grande utilidade. Proposição 7. Sejam a, b, n N, com a > b > 0. Temos que a b divide a n b n.

5 Divisibilidade 5 Demonstração Vamos provar isto por indução sobre n. É óbvio que a afirmação é verdade para n = 0, pois a b divide a 0 b 0 = 0. Suponhamos, agora, que a b a n b n. Escrevamos a n+1 b n+1 = aa n ba n + ba n bb n = (a b)a n + b(a n b n ). Como a b a b e, por hipótese, a b a n b n, decorre da igualdade acima e da Proposição 5 que a b a n+1 b n+1. Estabelecendo o resultado para todo n N. Proposição 8. Sejam a, b, n N, com a + b 0. Temos que a + b divide a 2n+1 + b 2n+1. Demonstração Vamos provar isto também por indução sobre n. A afirmação é, obviamente, verdade para n = 0, pois a+b divide a 1 +b 1 = a + b. Suponhamos, agora, que a + b a 2n+1 + b 2n+1. Escrevamos a 2(n+1)+1 + b 2(n+1)+1 = a 2 a 2n+1 b 2 a 2n+1 + b 2 a 2n+1 + b 2 b 2n+1 = (a 2 b 2 )a 2n+1 + b 2 (a 2n+1 + b 2n+1 ). Como a + b a 2 b 2 e, por hipótese, a + b a 2n+1 + b 2n+1, decorre das igualdades acima e da Proposição 5 que a+b a 2(n+1)+1 +b 2(n+1)+1. Estabelecendo, assim, o resultado para todo n N. Proposição 9. Sejam a, b, n N, com a b > 0. Temos que a + b divide a 2n b 2n. Demonstração Novamente usaremos indução sobre n. A afirmação é verdade para n = 0, pois a + b divide a 0 b 0 = 0. Suponhamos, agora, que a + b a 2n b 2n. Escrevamos a 2(n+1) b 2(n+1) = a 2 a 2n b 2 a 2n + b 2 a 2n b 2 b 2n =

6 6 MA 14 Unidade 1 (a 2 b 2 )a 2n + b 2 (a 2n b 2n ). Como a + b a 2 b 2 e, por hipótese, a + b a 2n b 2n, decorre das igualdades acima e da Proposição 5 que a + b a 2(n+1) + b 2(n+1). Estabelecendo, desse modo, o resultado para todo n N. Problemas 1. Sejam a, c N e b N. Mostre que ac bc a b. 2. (ENC-98) 1 A soma de todos os múltiplos de 6 que se escrevem (no sistema decimal) com dois algarismos é: (A) 612 (B) 648 (C) 756 (D) 810 (E) Com quanto zeros termina o número 100!? 4. a) Mostre que o produto de i números naturais consecutivos é divisível por i!. b) Mostre que 6 n(n + 1)(2n + 1), para todo n N. 5. Mostre, por indução matemática, que, para todo n N, a) 8 3 2n + 7 b) 9 10 n n c) 9 n4 n+1 (n + 1)4 n + 1 d) n+3 26n Mostre que Mostre que, para todo n, a) 9 10 n 1 b) 8 3 2n 1 c) n 2 4n d) 3 10 n 7 n e) n 2 4n f) 6 5 2n g) n n+2 h) n n+1 i) n n+1 8. Sejam a > b 0 números naturais. 1 Exame Nacional de Cursos, MEC/INEP.

7 Divisibilidade 7 a) Mostre que, para todo n N, n 2, a n b n a b = a n 1 + a n 2 b + + a b n 2 + b n 1. b) Mostre que, para todo n N, a 2n+1 + b 2n+1 a + b = a 2n a 2n 1 b + a b 2n 1 + b 2n. c) Mostre que, para todo n N, a 2n b 2n a + b = a 2n 1 a 2n 2 b + + a b 2n 2 b 2n Para quais valores de a N a) a 2 a 3 + 4? b) a + 3 a 3 3? c) a + 2 a 4 + 2? d) a + 2 a 4 + 2a 3 + a 2 + 1? 10. Mostre que, para todos a, m, n N, m > n = a 2n + 1 a 2m Mostre, para todo n N, que n 2 (n + 1) n Mostre, para todo a N, que a) 2 a 2 a b) 3 a 3 a c) 5 a 5 a d) 7 a 7 a 13. Mostre que existem infinitos valores de n em N para os quais 8n é divisível por 7 e por 11.

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