Elementos de Aritmética e Álgebra

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1 Matemática Elementos de Aritmética e Álgebra Material didático para o ensino da disciplina Elementos de Aritmética e Álgebra do curso de Licenciatura em Matemática do Campus Blumenau da UFSC preparado e digitado por Felipe Vieira

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3 Sumário Introdução iii 1. Estrutura do livro iii 2. Pré-requisitos iii 3. Um pouco de história iv 3.1. A evolução do estudo dos números vi 1. Números naturais Axiomas de Peano Operações em N Adição Multiplicação Subtração Sistema de numeração em outras bases Adição Multiplicação Subtração Tabela de tabuada em outras bases Exercícios Números inteiros Construção de Z a partir de N Operações em Z Adição Multiplicação Subtração Relação de ordem Princípio da boa ordem (PBO) em N Princípio do menor inteiro (PMI) em Z Exercícios Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética Algoritmo da divisão Múltiplos e divisores Critérios de divisibilidade Números primos Teorema fundamental da aritmética Máximo divisor comum Mínimo múltiplo comum Números relativamente primos Equações diofantinas i

4 ii Elementos de Aritmética e Álgebra 10. Congruências Exercícios Números racionais Construção de Q a partir de Z Operações em Q Adição Multiplicação Subtração Divisão Relação de ordem Representação decimal Operações Exercícios Números reais Existência de números que não são racionais Potenciação Radiciação Progressões aritméticas Progressões geométricas Equações polinomiais Inequações polinomiais Exercícios Referências Bibliográficas Índice Remissivo

5 Introdução Este material foi inspirado nas notas de aula da disciplina Elementos de Aritmética e Álgebra, que consta na primeira fase do curso Licenciatura em Matemática da UFSC - Campus Blumenau. 1. Estrutura do livro O conteúdo deste livro, assim como alguns exemplos e exercícios foram retirados dos livros que constam na bibliografia. A ordem de conteúdos segue a construção dos conjuntos mais simples aos mais complicados. Iniciamos com os números naturais e suas operações de adição e multiplicação, estudaremos algumas propriedades dessas e também discutiremos as operações com números escritos em outras bases. Depois passamos aos números inteiros, inspirados na vontade de subtrair números. Após discutir algumas propriedades dessa nova operação, descobriremos que além de operar, há maneiras de relacionar elementos através de relações de ordem. Na sequência analisa-se a divisibilidade e a multiplicidade nesses conjuntos: critérios de divisibilidade, fatoração, números primos, o algoritmo de Euclides, mdc e mmc. Por fim estudaremos algumas equações simples, as equações diofantinas. Posteriormente estuda-se o conjunto dos números racionais, norteado pela vontade de dividir. Após analisar suas propriedades, veremos como escrever frações como números decimais e vice-versa. Por fim, segue-se para o conjunto dos números reais, pois descobriremos que existem números que não podem ser escritos como fração. Com isso estudaremos o conceito de raíz de um número, assim como resolveremos equações gerais e inequações polinomiais. 2. Pré-requisitos Não há pré-requisitos para a leitura deste livro, todo conteúdo necessário para lê-lo está aqui contido. iii

6 iv Elementos de Aritmética e Álgebra 3. Um pouco de história Como indicar a quantidade de alunos presentes em nossa sala hoje? Como saber se há mais pedras aqui ou lá? Até o desenvolvimento do sistema de numeração posicional, a matemática pouco se desenvolveu. E a todo momento utiliza-se os números: horas, questões financeiras, comparações... Os primeiros indícios matemáticos são de mais de 40 mil anos atrás. Atualmente o mais antigo aceito instrumento matemático é o Osso de Lebombo, encontrado na Suazilândia e datado entre 43 e 44 mil anos atrás, é uma ferramenta que possui 29 entalhes marcando supostamente o calendário lunar. Figura 1. Osso de Lebombo Outro importante instrumento é a tíbia de lobo, conhecida como Wolf bone. Datada de aproximadamente 30 mil a.c. e encontrada na antiga Tchecoslováquia, possui 57 cortes transversais divididos em blocos de cinco. Figura 2. Tíbia de lobo

7 Introdução v Muito tempo depois finalmente utilizou-se símbolos especiais para se representar os números, principalmente no norte da China, norte da Índia 1, Egito e Mesopotâmia 2. Uma das possíveis motivações surge da bem conhecida história do pastor de ovelhas: Pela manhã, ao liberar as ovelhas para as pastagens, um pastor coletava uma pedra para cada ovelha que possuía. Se ao recolher as ovelhas sobravam pedras, então faltavam ovelhas. Esta história representa uma simples comparação de conjuntos, o conjunto de pedras corresponde ao conjunto de ovelhas. Isso indica que a muito tempo já se sabia que para realizar a contagem, pode-se utilizar a mesma representação para uma mesma quantidade de pedras, ovelhas, pessoas, ou de qualquer coisa que se queira representar ou contar. O problema é que conforme se evolui, é necessário contar quantidades maiores: população, fortunas, produção.... Portanto se teve que encontrar maneiras de expressar quantidades de maneira sistemática que pode ser facilmente estendida. Para isso, criou-se formas de repetir a contagem: se 1 homem corresponde à 10 ovelhas então 2 homens correspondem à 20 ovelhas. Assim há dois símbolos: um para cada item a ser contado, e outro para cada grupo de itens contados. Há alguns outros importantes modelos que utilizaram tais ideias: 1) Egípcios: (3 mil a.c.) - base dez, sistema aditivo. Possuíam símbolos especiais para 1, 10, 100, 1000, 10000, mas não para o zero. 2) Babilônios: (3 mil a.c. - Iraque) - base dez para números menores que 60, base 60 para maiores que 60. Não havia símbolo para o zero, mas deixavam um espaço vazio para representá-lo. Sabiam multiplicar grandes números. 3) Gregos: (600 a.c.) - base dez, sistema aditivo. Utilizavam 27 letras e acentos e conseguiam representar até o número dez mil com 4 letras e acentos. 4) Chineses e japoneses: (300 a.c.) - sistema aditivo e multiplicativo. Possuíam 18 símbolos, sendo um deles o zero. 5) Romanos: (1 d.c.) - base dez e sistema aditivo. Representavam números com as letras I, V, X, L, C, D, M e posteriormente implantaram a subtração 3. 6) Maias: (400 d.c.) - base 20, cujos símbolos eram pontos e traços. 1 Local onde surgiram os atuais algarismos. 2 Atual Iraque. 3 Não se pode colocar o mesmo símbolo mais de três vezes seguidas. Barra horizontal em cima de um símbolo representa multiplicação por mil.

8 vi Elementos de Aritmética e Álgebra Figura 3. Sistema de numeração Maia Os novos símbolos surgiram na Índia em 250 a.c., parecia ser de base 10 mas não havia o zero nem a notação posicional. Estes últimos surgiram entre 400 e 700 d.c. São conhecidos como arábicos pois foram estes que os difundiram por volta de 800 d.c. Na verdade quem os descreveu foi o persa al-kowarizmi 4, que atribuiu o sistema aos indianos. A padronização final dos símbolos foi resultado da invenção da imprensa em torno de 1500 d.c A evolução do estudo dos números À medida que as civilizações se desenvolveram quis-se algo mais: problemas surgiram, soluções foram procuradas. Dois dos famosos achados contém muitos dos tais problemas e soluções: o papiro de Rhind e o papiro de Moscou. Figura 4. Papiro de Rhind 4A palavra algarismo deriva deste nome, assim como álgebra.

9 Introdução vii Na Grécia começou-se a estudar as propriedades dos números, multiplicidade, divisores, números primos, como pode-se conferir na obra Elementos de Euclides [8] (300 a.c.) 5. A partir do século XIX começou-se a estudar estruturas algébricas, ou seja, conjuntos com elementos equipados com operações que satisfazem certas condições: anéis, grupos, semigrupos. E finalmente desde 1950 se tem interesse nos números por conta do crescente uso da criptografia, principalmente por motivos militares e de transferência de dados sigilosos através da internet. 5 Muito de seu conteúdo deve-se à escola Pitagórica (500 a.c.).

10 CAPíTULO 1 Números naturais 1. Axiomas de Peano A formulação axiomática do conjunto dos números naturais foi dada por Giuseppe Peano em 1889, época em que já se conhecia o conceito de zero, número natural e sucessor. A estrutura elaborada por Peano teve como princípio o fato de que os números naturais podem ser ordenados de forma que cada elemento tem um sucessor, a partir do zero. Assim, 5 axiomas formam a base da estrutura dos números naturais. Axioma 1: Zero é um número natural. Axioma 2: Se a é um número natural então a tem um único sucessor que também é um número natural. Axioma 3: Zero não é sucessor de nenhum número natural. Axioma 4: Se dois números naturais têm sucessores iguais, então eles próprios são iguais. Axioma 5: Se uma coleção S de números naturais contém o zero e também o sucessor de todo elemento de S, então S é o conjunto de todos os naturais. Para representar o conjunto dos número naturais utiliza-se o símbolo N e para representar o zero, o símbolo 0. O sucessor de um número natural a é representado por a +. Pode-se reescrever os axiomas numa forma simbólica mais compacta. Axioma 1: 0 N. Axioma 2: a N! a + N. Axioma 3: ( a N)a + 0. Axioma 4: a + = b + a = b. Axioma 5: (0 S) ( a S a + S) S = N. 1

11 2 Elementos de Aritmética e Álgebra O quinto axioma não é necessário na construção dos número naturais, porém oferece uma importante ferramenta de demonstração, conhecida como Princípio de indução. Após a invenção da imprensa e a uniformização dos algarismos definiu-se que 1 N = {0, 1, 2, 3... }, N = {1, 2, 3... }. 2. Operações em N Dado um certo conjunto C considere seu produto cartesiano C C = {(x, y) : x, y C}. Em N duas operações são definidas: adição e multiplicação Adição A definição da operação de adição, representada por +, é a seguinte: + : N N N (a, b) a + b, onde { a + 0 = a = 0 + a a + b + = (a + b) + = a + + b. Os termos a e b são ditos somandos ou parcelas, e o resultado da operação é chamada de soma. Assim, utilizando o conceito de sucessor, consegue-se somar quaisquer dois números naturais (embora isso possa demandar batante trabalho!) Exemplo 1.1: = = (3 + 1) + = ( ) + = [(3 + 0) + ] + = (3 + ) + = 4 + = 5. Portanto a soma do par (3, 2) em N é 5. No cotidiano utiliza-se maneiras mais rápidas de somar números, e isso vem da maneira visualmente fácil na qual escrevese os números: na base dez. Nesta base, a representação do número é a mesma que a quantidade que o próprio número representa. Exemplo 1.2: 524 = = = Algun autores não consideram 0 um número natural. Isso se deve ao uso desse conjunto nas diversas subáreas matemáticas.

12 Números naturais 3 Também é importante notar que utilizando apenas dez algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} consegue-se escrever qualquer número, não importa de qual tamanho. Não é necessário considerar outros símbolos como um algarismo. De maneira geral, se abcd representa um número de quatro algarismos a, b, c, d, então: abcd = a b c d 10 0 = (abcd) 10. Tal representação é chamada representação polinomial do número em questão na base 10. Exemplo 1.3: = = ( ) 10. Assim, para realizar a adição de forma compacta e rápida, pode-se utilizar essa representação. Exemplo 1.4: = = = (3 + 2) (1 + 6) 10 0 = = 357. Vamos repetir o processo para realizamos a adição abaixo = ( ) + ( ) = = ( ).

13 4 Elementos de Aritmética e Álgebra Note que há um problema em , pois 11 não é um algarismo permitido na base 10. Portanto devemos desconstruir essa parcela: ( ) = = (10 + 1) = = = 916. Note que esta desconstrução é o vai um que se utiliza na forma reduzida de fazer a adição Existem 5 propriedades básicas que a adição satisfaz no conjunto dos números naturais. Sejam a, b e c números naturais: A1) Associatividade da adição: a + (b + c) = a + b + c = (a + b) + c. A2) Comutatividade da adição: a + b = b + a. A3) Existência de elemento neutro da adição: a + 0 = 0 + a = a. A4) Lei do cancelamento da adição: a + b = a + c b = c b + a = c + a b = c. A5) Lei do anulamento: a + b = 0 a = b = 0. É interessante perceber que mesmo sem conhecer as propriedades acima, ao se fazer um simples cálculo mental, utiliza-se essas propriedades com o intuito de facilitar a adição de grandes números. Exemplo 1.5: = ( ) + ( ) por (A1) = por (A2) = por (A1) = ( ) + ( ) + (5 + 2) = = 1137.

14 Números naturais Multiplicação A multiplicação é representada por e associa cada par (a, b) de números naturais ao número natural a b: : N N N (a, b) a b, onde a 0 = 0 = 0 a a b + = a b + a a + b = a b + b. Os números multiplicados são chamados de fatores e o resultado denomina-se produto. Exemplo 1.6: 2 3 = = = = = = = 6. Também podemos realizar a multiplicação através da representação polinomial dos fatores, exemplificado abaixo (aplicaremos a mesma desconstrução utilizada na equação (2.1)) = ( ) ( ) = = = = = = Novamente a desconstrução é o vai um. Compactadamente tem-se o seguinte Na multiplicação valem as seguintes 4 propriedades básicas. Sejam a, b e c números naturais: M1) Associatividade da multiplicação: a (b c) = abc = (a b) c.

15 6 Elementos de Aritmética e Álgebra M2) Comutatividade da multiplicação: a b = b a. M3) Existência de elemento neutro da multiplicação: a 1 = 1 a = a. D) Distributividade: (a + b) c = a c + b c a (b + c) = a b + a c. As propriedades acima nos permitem operar números de várias maneiras. Exemplo 1.7: (7 + 2) 4 = = = 36, (7 + 2) 4 = 9 4 = 36. Definição 1.1: Dado um número inteiro a, o fatorial de a, denotado a!, é o produto de todos números positivos menores ou iguais a a. Por definição, 0! = 1. Exemplo 1.8: Segue que 7! = = Subtração No conjunto dos números naturais não é possível subtrair quaisquer dois números, afinal, o resultado pode não estar em N. Assim apenas consideramos a subtração a b quando o número a é maior que o número b. Exemplo 1.9: Vamos calcular : = ( ) ( ) = (5 1) (3 2) (9 8) 10 0 = = 411.

16 Agora vejamos o exemplo : Números naturais = ( ) ( ) = (4 7) (8 2) 10 0 = (4 7) = ( ). Note que se teria um algarismo negativo multiplicando Para que isso não ocorra, toma-se emprestada uma parcela de ( ) = (4 7) = ( ) = = 76. O processo de tomar uma parcela emprestada é exatamente o que se faz na conta compacta abaixo, ao não se poder diretamente fazer a subtração 4 7. No Capítulo 2, Seção 2.3, em que estaudaremos o conjunto dos números inteiros, analisaremos a subtração em maiores detalhes. 3. Sistema de numeração em outras bases Por analogia à base 10, ao se escrever números na base 5 utiliza-se apenas 5 algarismos: {0, 1, 2, 3, 4}, e tais algarismos estarão multiplicando potências de 5. Exemplo 1.10: Para escrever 87 na base 5, note que a maior potência de 5 que é menor que 87 é 5 2 = 25 e ainda tal potência cabe três vezes em 87. Assim 87 = Precisa-se descobrir como escrever 12 na base 5. Obviamente a potência 5 2 é maior que 12, e portanto a próxima potência de 5 que é menor que 12 é 5 1. De fato, pode-se adicionar duas parcelas de tal potência e obter 12 = Analogamente ao feito acima, o número 2 é igual a duas vezes a potência 5 0, ou seja 2 = Reunindo as três equações acima, obtém-se 87 =

17 8 Elementos de Aritmética e Álgebra Conclui-se então que o número 87 é igual à 322 na base 5, ou seja 87 = (322) 5. Exemplo 1.11: Para representar 131 na base 5, note que a maior potência de 5 que é menor que 131 é 5 3 = 125 que cabe uma vez em 131. Assim 131 = Note que 5 2 é maior que 6, consequentemente a potência 5 1 é a maior que é menor do que 6. Portanto 6 = Já que obtém-se Logo 1 = 1 5 0, 131 = = = (1011) = (1011) 5. É importante mencionar que devemos utilizar todas potências da base dada, nem que estejam multiplicadas por zero. Exemplo 1.12: Escreva 20 na base 5. Portanto: Logo 20 = = = (40) 5. Exemplo 1.13: Para representar 75 na base 5, veja que 75 = Logo escreve-se Daí 75 = = (300) 5.

18 Números naturais 9 O mesmo procedimento se aplica à qualquer base: fixada base 1 < b N, todo número natural a tem uma representação polinomial única na forma a = a r.b r + a r 1.b r a 1.b 1 + a 0.b 0, e esta representação também poderá ser apresentada na forma a = (a r a r 1... a 1 a 0 ) b. A tática é sempre a mesma da aplicada nos exemplos acima. Exemplo 1.14: Note que 87 = = Logo = = = = (10020) 3. A representação polinomial acima permite de maneira ainda mais simples aplicar o processo contrário, ou seja, dado um número em uma certa base, pode-se facilmente descobrir qual a quantidade que ele representa. Exemplo 1.15: Segue que Logo (12) 3 = = = = 5. (12) 3 = 5. Exemplo 1.16: Tem-se (1111) 7 = = = = 400. Logo (1111) 7 = 400.

19 10 Elementos de Aritmética e Álgebra Assim como é possível fazer a ida e a volta na mesma conta. Exemplo 1.17: Vamos transformar (114) 5 para a base 7. (114) 5 = = = = 34 = = Logo (114) 5 = (46) 7. Exemplo 1.18: Escreva (423) 7 na base 2. (423) 7 = = = = 213 = = Logo (423) 7 = ( ) 2. Ao se trabalhar com bases maiores que dez, um problema surge: não há uma unicidade a respeito do significado do número (12) 13, pois ele pode representar o número com algarismos 1 e 2, ou o número com um algarismo único 12, já que na base 13 tem-se os algarismos sendo todos números entre 0 e 12. Para evitar tal problema, se renomeia todos algarismos maiores ou iguais a dez: 0, 1,..., 9, 10 = a, 11 = b, 12 = c, 13 = d.... Exemplo 1.19: Descubra que quantidade é representada por (13b) 13. (13b) 13 = 1 (13) (13) 1 + b (13) 0 = = = 219. Logo (13b) 13 = 219.

20 Exemplo 1.20: Escreva 55 e 60 na base 5. Números naturais = = (210) 5, 60 = = (220) 5. Notavelmente a diferença é de uma unidade da parcela que representa a multiplicação por 5. Exemplo 1.21: Um outro método para se determinar a representação polinomial dos números é através da divisão sucessiva. Para escrever 59 na base 3, comece dividindo 59 por 3, e depois sucessivamente faça a divisão de cada quociente também por 3, até que o quociente seja zero para obter Aí basta tomar os restos de trás para frente 59 = (2012) 3. O motivo desta tática funcionar pode ser descoberto ao se desconstruir as contas feitas acima. 59 = = ( ) = [( ) 3 + 1] = ( ) = = (2012) 3. É fácil notar que os restos são os algarismos procurados. Exemplo 1.22: Escreva 341 na base Logo 341 = (525) 8. Exemplo 1.23: Represente 1717 na base 11.

21 12 Elementos de Aritmética e Álgebra Daí = (1321) De fato 1717 = 1 (11) (11) (11) (11) 0. Os computadores trabalham em código binário (sistema sim ou não), ou seja, base 2. Utilizam apenas 0 s e 1 s. Veremos agora que a operação de números é análoga em qualquer base Adição Considere a adição entre (134) 5 e (11) 5. (134) 5 + (11) 5 = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = (5 5 0 ) = = = = = (200) 5. Soma-se separadamente cada algarismo que multiplica o mesmo expoente do número 5. Ao somar-se 4 e 1, que acompanham 5 0, obtém-se um número que não é um algarismo da base 5. Para resolver este problema transforma-se este número em um algarismo que agora acompanha 5 1. O mesmo posteriormente aconteceu com 5 1, que foi resolvido transformando a potência em 5 2. Notoriamente, esta soma pode ser compactada no seguinte molde. Exemplo 1.24: Para somar (235) 6 e (452) 6 utiliza-se a mesma tática.

22 Números naturais 13 Exemplo 1.25: A soma de (243) 5 e (431) 5 segue. Portanto, independentemente da base, a adição segue o mesmo princípio que utilizamos para somar números na base Multiplicação Vejamos como funciona a multiplicação. (531) 7 (13) 7 = ( ) ( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = = (7 + 0) = = = (10533) 7. A multiplicação acima pode ser feita de forma curta.

23 14 Elementos de Aritmética e Álgebra Exemplo 1.26: Multiplique (710) 9 e (88) 9. Exemplo 1.27: Multiplique (710) 9 e (100) 9. Note que (88) 9 + (1) 9 = (100) 9. Assim é de se esperar que (70180) 9 + (710) 9 = (71000) 9. Logo a forma compacta da multiplicação em qualquer base funciona de modo análogo ao que já se conhece, na base Subtração A ideia é sempre manter algarismos permitidos multiplicando expoentes da base em questão, podendo assim tomar-se emprestado ou emprestar na medida que for necessário. Vejamos abaixo. (235) 8 (173) 8 = ( ) ( ) = (2 1) (3 7) (5 3) 8 0 = (3 7) = (3 7) = = (42) 8.

24 Números naturais 15 Note que (3 7) é negativo e portanto não é um algarismo permitido. Assim se toma emprestado 8 unidades da potência seguinte, 8 2. A subtração acima também funciona de forma compacta analogamente à subtração da base 10. Exemplo 1.28: Abaixo subtrai-se (101) 2 de (1010) 2. Ou seja, (1010) 2 = 10 é o dobro de (101) 2 = 5. Exemplo 1.29: Segue a subtração (713) 9 (247) 9. Exemplo 1.30: Some, multiplique e subtraia os números (c74) 13 e (999) 13 onde a = 10, b = 11, c = 12.

25 16 Elementos de Aritmética e Álgebra 3.4. Tabela de tabuada em outras bases Na base 10 a tabela de tabuada 2 é aquela em que se lista todas possíveis multiplicações entre os algarismos (de 0 a 9). Pode-se fazer o mesmo para qualquer base, inclusive montando tábuas de tabuada da soma além da multiplicação. Lembrando que as respostas também devem apresentar apenas algarismos permitidos na respectiva base, abaixo seguem 3 exemplos. Adição na base 5: Multiplicação na base 5: 2 Também conhecida como tábua de tabuada.

26 Números naturais Multiplicação na base 7: Exercícios Exercício 1.1: Pesquise sobre: a) Papiro de Rhind. b) Papiro de Moscou. c) Elementos de Euclides. d) Números romanos. e) O persa al-khwarizmi. f) Wolf bone ou Wolf tibia. g) Osso de Lebombo. h) Osso de Ishango. Exercício 1.2: Pesquise e faça o que se pede: a) Defina números figurados e dê exemplos.

27 18 Elementos de Aritmética e Álgebra b) Defina números perfeitos e dê exemplos. c) Defina números amigos e dê exemplos. Exercício 1.3: Qual conjunto é criado ao se considerar apenas os Axiomas de Peano 2, 3 e 4? E apenas 1, 2 e 4? E 1, 3 e 4? Exercício 1.4: Dê a representação polinomial dos números: a) 320 c) 9997 b) d) Exercício 1.5: Resolva: a) ( )14 b) (21( ) + 2) + 21( ( )) c) 3(21( ) + 2) + 21 d) ( (34( )) + 8) + 2 e) 1 + ((2 + 3)4 + 5(6 + 7)8)9 f) g) h) ( )390 i) Exercício 1.6: Dados a, b N defina uma nova operação a b = a + 2b. Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Vale a Lei do Cancelamento? E a Lei do Anulamento?

28 Exercício 1.7: Dados a, b N defina uma nova operação Números naturais 19 a b = ab + 2. Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Vale a Lei do Cancelamento? E a Lei do Anulamento? Exercício 1.8: Dados a, b N defina uma nova operação a b = (1 + a)b. Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Vale a Lei do Cancelamento? E a Lei do Anulamento? Exercício 1.9: Quais são as 5 propriedades satisfeitas pela adição em N? Exercício 1.10: Quais são as 4 propriedades satisfeitas pela multiplicação em N? Exercício 1.11: Calcule 10!, 17! e 9!. Exercício 1.12: Encontre todos os números naturais iguais à soma dos fatoriais dos seus algarismos. Exercício 1.13: Como funciona a subtração em N? Exercício 1.14: O que significa a b em N? Exercício 1.15: Qual número é maior: ou ? Exercício 1.16: Como você definiria a divisão em N? Seria possível dividir qualquer número natural por qualquer outro número natural? Há exceções?

29 20 Elementos de Aritmética e Álgebra Exercício 1.17: Construa as tabelas de tabuada da adição e da multiplicação da base 6. Exercício 1.18: Construa as tabelas de tabuada da adição e da multiplicação da base 8. Exercício 1.19: Construa as tabelas de tabuada da adição e da multiplicação da base 12 (onde 10 = a e 11 = b). Exercício 1.20: Escreva: a) 25 na base 2 c) 3546 na base 2 e) 25 na base 3 g) 59 na base 4 i) 2345 na base 4 k) 59 na base 5 m) 25 na base 5 o) na base 5 q) 39 na base 7 s) (342786) 9 na base 8 b) 25 na base 12 d) 345 na base 12 f) 1234 na base 12 h) 2342 na base 12 j) na base 12 l) (935) 15 na base 10 n) 132 na base 12 p) 87 na base 12 r) (322) 5 na base 10 t) (322) 5 na base 3. Exercício 1.21: Calcule:

30 Números naturais 21 a) (123) 4 + (321) 4 c) (166) 7 + (3611) 7 e) (16) 9 + (47456) 9 g) (8888) 9 (77777) 9 i) (242) 5 (74) 9 k) (454) 7 (5246) 7 m) (273564) 8 (15677) 8 o) (12121) 3 (2121) 3 b) (1011) 2 (1000) 2 d) (143) 9 (5255) 9 f) (2222) 3 + (1111) 3 h) (3210) 4 + (123) 4 j) (78247) 9 (1284) 9 l) (878) 9 (545) 9 n) (500) 6 (253) 6 p) (3082) 9 (283) 9. Exercício 1.22: Considerando 10 = a, 11 = b e 12 = c, calcule: a) (168) 13 + (361a) 13 c) (123c) 13 + (ba72) 13 e) (ba7) 13 + (323b) 13 g) (108) 13 (9129) 13 i) (242a) 13 (999) 13 k) (1344) 13 (24c) 13 m) (cba0) 13 (979) 13 b) (cb3a) 13 (a3bc) 13 d) (4123) 11 (aaa) 11 f) (33ba) 13 + (94c) 13 h) (bb1) 12 + (234a) 12 j) (aaa) 13 (bbb) 13 l) (11111) 11 (a21a) 11 n) (ababa) 12 (bb9b) 12. Exercício 1.23: Sabendo que (630n) 7 (x27) 9 = (4x46) 8, encontre o valor de n.

31

32 CAPíTULO 2 Números inteiros 1. Construção de Z a partir de N No conjunto dos números naturais somente se pode subtrair um número menor de um maior. Porém o anseio de subtrair qualquer par de números nos leva a expandir o conjunto dos números naturais. Ao conjunto N acrescenta-se todas diferenças b a com b menor que a, formando um novo conjunto. Assim, 0 1, 1 2, 2 3,... será representado pelo inteiro 1. Analogamente 0 2, 1 3, 2 4,... será representado pelo inteiro 2. E assim sucessivamente para definir o número a, com a N, que representará o número 0 a. Denota-se Z = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... }. A letra Z foi introduzida pelo matemática alemão Edmund Landau, por conta da palavra alemã Zahl, que significa número. Geometricamente tem-se Note também que N Z. Define-se alguns outros importantes subconjuntos de Z. Inteiros não nulos: Z = { 2, 1, 0, 1, 2, 3... }. Inteiros não negativos: Z + = {0, 1, 2, 3... }. Inteiros positivos: Z + = {1, 2, 3... }. Inteiros não positivos: Z = {0, 1, 2, 3... }. 23

33 24 Elementos de Aritmética e Álgebra Inteiros negativos: Z = { 1, 2, 3... }. 2. Operações em Z Todas operações definidas em N serão estendidas para Z Adição Definida como + : Z Z Z (a, b) a + b. Chama-se a e b de parcelas e a + b é a soma. Sejam a, b, c números inteiros. Então valem as seguintes afirmações. A1) Propriedade associativa da adição: a + (b + c) = a + b + c = (a + b) + c. A2) Propriedade comutativa da adição: a + b = b + a. A3) Propriedade do elemento neutro da adição: a + 0 = 0 + a = a. A4) Propriedade do cancelamento da adição: a + b = a + c b = c. A6) Propriedade do elemento oposto: Existe único a tal que a + ( a) = 0 = ( a) + a. Em Z não vale a lei do anulamento (A5), já que a + b = 0 não necessariamente implica a = b = 0, pois dois opostos somados resulta em zero (A6). É importante frisar que o símbolo, utilizado aqui para simbolizar o oposto de um número, também é utilizado para indicar a operação de subtração, que veremos adiante. Observação 2.1: Note que (A6) não garante apenas a existência, mas também a unicidade do oposto. Assim dado a Z, se para algum b Z sabe-se que a + b = 0, então a unicidade em (A6) garante que b = a.

34 Números inteiros Multiplicação Continua sendo representada por. : Z Z Z (a, b) a b. Os números a e b são os fatores, e a b é o produto. Sejam a, b, c números inteiros. Então valem as seguintes propriedades. M1) Propriedade associativa da multiplicação: a (b c) = (a b) c. M2) Propriedade comutativa da multiplicação: a b = b a. M3) Propriedade do elemento neutro da multiplicação: a 1 = 1 a = a. M4) Propriedade do cancelamento da multiplicação: Se c 0 então a c = b c a = b. D) Propriedade distributiva: (a + b) c = a c + b c a (b + c) = a b + a c. As propriedades acima implicam algumas proposições importantes. A proposição abaixo nos diz que qualquer número inteiro multiplicado por 0, resulta em 0. Proposição 2.1: Seja a Z, então a 0 = 0 a = 0. Demonstração: Seja a Z: 0 + a 0 = a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0. Daí, pela propriedade do cancelamento da adição (A4): 0 + a 0 = a 0 + a 0 0 = a 0. Proposição 2.2: Seja a Z, então ( 1) a = a. Demonstração: Seja a Z. Note que a + ( 1) a = 1 a + ( 1) a = [1 + ( 1)] a = 0 a = 0. Já que a é o único oposto de a, segue que a = ( 1) a.

35 26 Elementos de Aritmética e Álgebra Ou seja, um número multiplicado por 1 resulta em seu oposto. Proposição 2.3: Sejam a, b Z. Se a b = 0 então a = 0 ou b = 0. Demonstração: Se a = 0 o problema estaria resolvido. Então supõe-se que a 0 e deve-se provar que b = 0. Note que a b = 0 = a 0 e então, pela lei do cancelamento (M4) e já que a 0, segue que b = 0. A partir de agora, denotaremos a b simplesmente por ab Subtração Dados a, b pertencentes a Z define-se a diferença a b como a b = a + ( b). Assim a subtração em Z é uma função : Z Z Z (a, b) a + ( b). Não é associativa, nem comutativa e não há elemento neutro. propriedades que envolvem a subtração. Vejamos algumas Proposição 2.4: Sejam a, b Z, então (a b) + b = a. Demonstração: (a b) + b = [a + ( b)] + b A1 = a + [( b) + b] A6 = a + 0 A3 = a. Exemplo 2.1: (7 9) + 9 = 7 e ( 3 1) + 1 = 3. Proposição 2.5: Sejam a, b Z, então (a + b) = ( a) + ( b) = a b. Demonstração: Note que a + b + [( a) + ( b)] A1,A2 = [a + ( a)] + [b + ( b)] A6 = A3 = 0. Logo já que o oposto é único que por definição é igual a a b. (a + b) = ( a) + ( b),

36 Números inteiros 27 Exemplo 2.2: (5 + 1) = 5 1 = 6 e ( ) = ( 3) 12 = 3 12 = 9. Proposição 2.6: Sejam a, b Z, então (ab) = ( a)b = a( b). Demonstração: Utilizando propriedades e proposições anteriores: ( a)b P rop.2.2 = [( 1)a]b M1 = ( 1)(ab) P rop.2.2 = (ab). A segunda igualdade pode ser demonstrada de forma análoga. Exemplo 2.3: (7 9) = ( 7) 9 = 7 ( 9) = 63. A próxima proposição nos garante que o oposto do oposto de um número, é o próprio número. Proposição 2.7: Seja a Z, então ( a) = a. Demonstração: Pela propriedade (A6) tem-se que a + a = 0. Portanto a é o oposto de a, ou seja, a = ( a). Observação 2.2: Dado a Z, nem sempre a significa um número negativo. se a é um número positivo então a é de fato negativo; se a é negativo então seu oposto a representa um número positivo; Proposição 2.8: Sejam a, b Z, então ( a)( b) = ab.

37 28 Elementos de Aritmética e Álgebra Demonstração: ( a)( b) P rop.2.6 = [a( b)] P rop.2.6 = [ (ab)] P rop.2.7 = ab. Exemplo 2.4: Segue que e ( 7)( 15) = 7 15 = 105 ( 3)(21) = 3( 21) = 63. Proposição 2.9: Sejam a, b Z, então (a b) = b a. Demonstração: Note que (a b) + (b a) A1 = a + [( b) + b] + ( a) A6 = a + ( a) A6 = 0. Como o oposto é único, segue que b a = (a b). Exemplo 2.5: (23 11) = = 12 e ( 3 1) = 1 ( 3) = = 4. Proposição 2.10: Sejam a, b, c Z, então a(b c) = ab ac. Demonstração: a(b c) = a[b + ( c)] D = ab + a( c) P rop.2.6 = ab + ( ac) = ab ac. Exemplo 2.6: Note que e 3(2 19) = = 6 57 = 51 4( 3 1) = 4( 3) 4 1 = 12 4 = Relação de ordem Definição 2.1: Dados a, b inteiros diz-se que a é menor ou igual a b quando b a pertence a Z +.

38 Números inteiros 29 Simbolicamente a b b a Z +. É equivalente à b a ou b é maior ou igual a a, ou a b c Z + : a + c = b, pois basta escolher c = b a. A relação satisfaz quatro importantes propriedades. Proposição 2.11: Sejam a, b, c Z. 1) Reflexiva: a a. 2) Antissimétrica: a b, b a a = b. 3) Transitiva: a b, b c a c. 4) Total: a b ou b a. Demonstração: 1) Note que a a = 0 Z +. Logo a a. 2) Segue: a b b a Z +, b a a b Z +. Ou seja, b a = a b = 0 e portanto a = b. 3) Segue: a b b a Z +, b c c b Z +. Daí, c a = (c b) + (b a) Z + e portanto a c. 4) Sejam a, b Z + e note que b a Z + ou b a Z. No primeiro caso a b e no segundo b a. Consequentemente a relação em Z é dita relação de ordem total em Z. Qualquer relação num dado conjunto que satisfaça os 4 itens acima é dita relação de ordem total. Vejamos mais algumas propriedades que envolvem a relação de ordem. Proposição 2.12: Seja a Z. 0 a a 0. Demonstração: 0 a a Z + P rop.2.7 ( a) Z + 0 ( a) Z + a 0.

39 30 Elementos de Aritmética e Álgebra Proposição 2.13: Seja a Z. a 0 0 a. Demonstração: a 0 0 a Z + a 0 Z + 0 a. Proposição 2.14: Sejam a, b, c Z. 1) a b a + c b + c. 2) a b, 0 c ac bc. 3) a b, c 0 bc ac. Demonstração: 1) Note que a b b a Z + b + c c a Z + b + c (a + c) Z + a + c b + c. 2) Segue: a b b a Z + c(b a) Z + bc ac Z +. Ou seja, ac bc. 3) Muito parecida à demonstração acima: a b b a Z + c(b a) Z c(b a) Z + ac bc Z +. Ou seja, bc ac. Exemplo 2.7: , ( 7) 0 + ( 7) Exemplo 2.8: 4 1 ( 4) , Exemplo 2.9: ( 15) 4 ( 15) , 5 2 2( 9) ( 5)( 9)

40 Números inteiros 31 Proposição 2.15: Sejam a, b Z. a b b a. Demonstração: a b P rop.2.14(1) a b b b a b 0 P rop.2.14(1) a b a 0 a A2,A3 b a. Exemplo 2.10: , Proposição 2.16: Sejam a, b Z. 1) 0 a, 0 b 0 ab. 2) a 0, 0 b ab 0. 3) a 0, b 0 0 ab. Demonstração: 1) Segue da Proposição 2.14, item 2). 2) Segue da Proposição 2.14, item 3). 3) Segue da Proposição 2.14, item 3). Exemplo 2.11: Vejamos um exemplo de uso para cada item acima: 0 11, , 0 8, 4 0 8( 4) , 9 0, ( 9)( 11) Proposição 2.17: Sejam a, b, c, d Z. Se a b, c d então a + c b + d. Demonstração: a b b a Z +, c d d c Z +. Daí, (b + d) (a + c) = (b a) + (d c) Z + e portanto a + c b + d.

41 32 Elementos de Aritmética e Álgebra Exemplo 2.12: 4 7, , 10 1, Além da relação menor ou igual, pode-se definir a relação menor. Definição 2.2: Dados a, b inteiros diz-se que a é menor que b quando b a pertence a Z +. Simbolicamente a < b b a Z +, ou ainda a < b c Z + : b = a + c. É importante mencionar que todas proposições acima mencionadas continuam valendo ao se trocar por <. Proposição 2.18: (Tricotomia) Dado a Z somente uma das opções abaixo ocorre. 1) a < 0, 2) a = 0, 3) 0 < a. A proposição acima pode ser demonstrada utilizando-se argumentos de lógica Princípio da boa ordem (PBO) em N Definição 2.3: Diz-se que a é o menor elemento de um subconjunto não vazio S de N quando a S e para todo b S vale a b. Teorema 2.1: Todo subconjunto não vazio de números naturais possui um menor elemento. Exemplo 2.13: A = {2, 3, 4... } menor elemento: 2, A = {8, 12, 16, } menor elemento: 8, A = { números pares } menor elemento: 0.

42 Números inteiros 33 As duas proposições seguintes são consequências do PBO. Para demonstrar o primeiro deles utiliza-se um método chamado demonstração por absurdo, que funciona baseado na lógica. Quando se tem uma sentença verdadeira, tudo que se concluir a partir dela será também verdadeiro. Portanto, qualquer sentença que implica em uma mentira deve ser falsa. É assim que este método de demonstração funciona: suponha algo que desconfia ser falso, e conclua uma mentira óbvia. Assim a suposição inicial é de fato falsa. Proposição 2.19: Se a N e 0 a 1 então a = 0 ou a = 1. Demonstração: Por absurdo, suponha que existe número natural b entre 0 e 1 que seja diferente desses. Defina o conjunto S = {c N : 0 < c < 1}, que é não vazio já que b S, e note que S N. Pelo PBO existe m S tal que m c para todo c S. Por estar em S segue que 0 < m < 1. Multiplicando esta desigualdade por m obtém-se 0 < m 2 < m que juntamente com a desigualdade inicial implica 0 < m 2 < m < 1. Portanto m 2 está em S e é menor que m. Absurdo! Logo não pode existir número natural estritamente entre 0 e 1. Proposição 2.20: Se a, b N então existe um menor n N tal que b < na. Demonstração: Defina o conjunto S = {n N : b < na}. Note que S pois b + 1 S e que S N. Pelo PBO existe um menor m S que satisfaz a proposição. Exemplo 2.14: Dados 4 e 22, o número 6 é o menor natural tal que 22 < Princípio do menor inteiro (PMI) em Z Considere duas importantes definições.

43 34 Elementos de Aritmética e Álgebra Definição 2.4: (Conjunto limitado inferiormente); Seja A um subconjunto de números inteiros. Diz-se que A é limitado inferiormente quando existe inteiro m tal que m a para todo a A. Note que m não precisa estar em A. Exemplo 2.15: O conjunto A = { 3, 2, 1... } é limitado inferiormente por qualquer inteiro menor ou igual a 3. Exemplo 2.16: O conjunto A = { números pares } em Z não é limitado inferiormente. Definição 2.5: (Elemento mínimo) Seja m um elemento pertencente ao conjunto A. Diz-se que m é o elemento mínimo de A quando m a para todo a A. O elemento mínimo deve estar no conjunto em questão. Este é denotado por Agora o PMI. m = min(a). Teorema 2.2: Se A é um subconjunto não nulo de Z e A é limitado inferiormente então A possui um mínimo. Ou seja, se um subconjunto de números inteiros é limitado inferiormente, então pode-se encontrar um elemento de A que é o menor entre todos os elementos de A. 4. Exercícios Exercício 2.1: Por qual motivo criamos o conjunto dos números inteiros, Z? Exercício 2.2: Quais os elementos de Z +? E de Z? Exercício 2.3: Em Z, qual propriedade adicional a soma satisfaz? Exercício 2.4: O termo a, para a Z, é sempre negativo? Explique e exemplifique.

44 Números inteiros 35 Exercício 2.5: Resolva: a) 93 ( ) b) c) 9 (8 (7 (6 (5 (4 (3 (2 1))))))) d) (78(93 18( ))) e) (22 34) 234( ) 13 f) ( (38 122)) g) ( ) h) ( )( 138) + 393( ) i) Exercício 2.6: Dados a, b Z defina uma nova operação a b = a b + 4. Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Possui Elemento Oposto? Vale a Lei do Cancelamento? Exercício 2.7: Dados a, b Z defina uma nova operação a b = b + a 1. Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Possui Elemento Oposto? Vale a Lei do Cancelamento? Exercício 2.8: Dados a, b Z defina uma nova operação a b = 3 + b a. Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Possui Elemento Oposto? Vale a Lei do Cancelamento? Exercício 2.9: Dados a, b Z defina uma nova operação a b = a 3b.

45 36 Elementos de Aritmética e Álgebra Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Possui Elemento Oposto? Vale a Lei do Cancelamento? Exercício 2.10: Demonstre que para todo inteiro a, tem-se ( 1)a = a. Exercício 2.11: Liste o máximo de propriedades que a subtração não satisfaz. Exercício 2.12: Demonstre que para todo inteiro a, tem-se ( a) = a. Exercício 2.13: A soma de dois inteiros positivos é 10. Qual o valor máximo e o valor mínimo da soma dos seus quadrados? Exercício 2.14: Geometricamente falando, dados a, b Z, o que significa b a? Exercício 2.15: Qual o significado do princípio da boa ordem (PBO)? Exercício 2.16: Encontre aplicações práticas (não necessariamente úteis) do PBO. Exercício 2.17: Quais itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos? a) (123) 4 (221) 3 c) (3166) 8 (3611) 7 e) (16) 9 (444) 5 g) (8888) 9 < (77777) 9 i) (242) 5 (74) 9 k) (454) 7 = (2244) 5 b) (22) 3 (111) 2 d) (224) 9 < (5255) 7 f) (12121) 3 (1111) 4 h) (2102) 4 (312) 6 j) (276455) 8 (15677) 9 l) (12212) 3 (1231) 4.

46 Números inteiros 37 Exercício 2.18: Quais são as 4 propriedades que a relação satisfaz em Z? Exercício 2.19: Dados a, b Z defina a seguinte relação: a@b a + b é positivo ou 0. Essa relação é reflexiva? Antissimétrica? Transitiva? Exercício 2.20: Dados a, b Z defina a seguinte relação: a@b a + b = 2. Essa relação é reflexiva? Antissimétrica? Transitiva?

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48 CAPíTULO 3 Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética Este assunto é abordado nos livros VII, VIII, IX dos Elementos de Euclides (300 a.c.) 1. Algoritmo da divisão é o dividendo, 12 o divisor, 15 o quociente e 2 o resto. O resto deve sempre ser menor que o divisor. Sempre pode-se tirar a prova real: = Teorema 3.1: (Algoritmo da divisão em N) Sejam a, b N com b 0. Então existe único par de números naturais q, r com 0 r < b tais que a = bq + r. Exemplo 3.1: Dados a = 7 e b = 4, segue que 7 = Note que de fato 3 < 4. Exemplo 3.2: Para a = 5 e b = 13, segue que 5 = Note que 5 <

49 40 Elementos de Aritmética e Álgebra Analise a divisão abaixo O que se faz é utilizar o algoritmo da divisão duas vezes. Agora para o 44 Juntando as duas equações obtém-se 11 = = = = = = Teorema 3.2: (Algoritmo da divisão em Z) Sejam a, b Z com b 0. existe único par de números inteiros q, r com 0 r < b tais que a = bq + r. Então Assim o resto é sempre um número não negativo, independentemente de se estar no conjunto dos números naturais ou dos números inteiros. Exemplo 3.3: Para a = 55 e b = 4, segue que: Temos 1 < = 4 ( 14) + 1. Exemplo 3.4: Dados a = 67 e b = 5, temos: e 2 < = ( 5) ( 13) + 2. Observação 3.1: Considere o divisor b = 2. Então só há dois possíveis restos: 0 ou 1. Assim para qualquer a inteiro tem-se apenas duas possibilidades. (1) a = 2q + 0 pares, a = 2q + 1 ímpares.

50 Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 41 Observação 3.2: Para o divisor b = 3 tem-se 3 possíveis restos e, portanto, seguem as três possibilidades para um inteiro a: (2) a = 3q + 0, a = 3q + 1, a = 3q + 2. Com isso podemos separar o conjunto Z em três partes disjuntas. (3) resto 0: {... 6, 3, 0, 3...}, resto 1: {... 5, 2, 1, 4...}, resto 2: {... 4, 1, 2, 5...}. Observação 3.3: Generalizando para um divisor b 0 qualquer, todo inteiro a pode ser expresso de uma das b formas a seguir. (4) a = bq + 0, a = bq + 1,. a = bq + (b 1). Exemplo 3.5: Determine todos os números naturais que na divisão euclidiana por 7 têm o quociente igual ao dobro do resto. Seja n o tal número procurado. Assim onde q = 2r e 0 r < 7. Então n = 7q + r, n = 7 2r + r, que implica n = 15r. Como 0 r < 7 conclui-se que n {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90}. Exemplo 3.6: Quais números naturais de dois algarismos, quando divididos pela soma de seus algarismos, resulta quociente 4 e resto zero? Seja n o número de dois dígitos procurado. 0 b 9) e, portanto a hipótese implica que: 10a + b = (a + b)4, Assim n = 10a + b (1 a 9 e

51 42 Elementos de Aritmética e Álgebra e daí 2a = b. Com isso tem-se apenas a {1, 2, 3, 4} (para que b seja apenas um dígito) e então n {12, 24, 36, 48}. 2. Múltiplos e divisores Definição 3.1: (Divisibilidade em N) Sejam a, b números naturais. Diz-se que a é divisor de b quando existe um número natural n tal que b = an. Definição 3.2: (Divisibilidade em Z) Sejam a, b números inteiros. Diz-se que a é divisor de b quando existe um número inteiro n tal que b = an. Note que nos dois casos, n também é um divisor de b. Exemplo 3.7: O número 48 é divisor de 144 pois 144 = Exemplo 3.8: Em Z o número 15 é divisor de 90 pois 90 = ( 15) ( 6). Notação: a b (traço vertical). Pelos exemplos acima, e ( 15) 90. Caso contrário 3 8. Simbolicamente tem-se ( a, b Z)(a b n Z : b = an). São equivalentes as seguintes sentenças. a é divisor de b. a divide b. b é divisível por a. b é múltiplo de a. Vamos analisar o que acontece se a ou b é igual a zero: 1) Se a 0 e b = 0: Já que 0 = an vale para n = 0, segue que a 0, a Z. 2) Se a = 0 e b 0: A equação b = 0 n nunca ocorre. Portanto 0 b, b Z. 3) Se a = 0 e b = 0: Note que 0 = 0 n é sempre verdade n Z. Consequentemente vale 0 0.

52 Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética 43 Portanto o zero divide apenas o zero. Assim, ao utilizarmos a expressão a b, estará implícito que não ocorre simultaneamente que a = 0 e b 0. Observação 3.4: O fato de n no item 3) acima poder assumir qualquer valor, nos impossibilita de definir o número 0 0. Sejam a, b, c Z. Vejamos algumas propriedades a respeito da divisibilidade. Proposição 3.1: Para todo número inteiro a tem-se que a divide a. Demonstração: De fato a = a 1. Proposição 3.2: Sejam a, b, c Z. Se a divide b e b divide c então a divide c. Demonstração: A hipótese a b significa, por definição, que existe número inteiro n tal que b = an, assim como b c implica a existência de um número inteiro m tal que c = bm. Daí obtém-se c = anm que é a definição de a c. Exemplo 3.9: Pela proposição acima, ( 4) 8 e 8 24 implicam que Proposição 3.3: Sejam a, b, c Z. a = b. Se a divide b e b divide a então a = b ou Demonstração: Novamente por definição a hipótese a b implica b = an para algum número inteiro n. Assim como b a implica a = bm para algum inteiro m. Então a = anm, que pela lei do cancelamento (M4) implica 1 = nm. No conjunto dos números inteiros tem-se portanto que ou n = m = 1 ou n = m = 1. Logo a = b ou a = b. Proposição 3.4: Sejam a, b Z. Se a divide b então a divide bc para qualquer número inteiro c. Demonstração: De a b segue que existe número inteiro n tal que b = an e portanto bc = anc. Daí obtém-se a bc.