MA14 - Aritmética Unidade 3. Divisão nos Inteiros (Divisibilidade)

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1 MA14 - Aritmética Unidade 3 Divisão nos Inteiros (Divisibilidade) Abramo Hefez PROFMAT - SBM

2 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 3 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 2/16

3 Divisibilidade - Definições Dados dois números inteiros quaisquer, é possível somá-los, subtraí-los e multiplicá-los. Entretanto, nem sempre é possível dividir um pelo outro, por exemplo: em Z não é possível dividir 3 por 2, mas é possível dividir 4 por 2. Só existe a Aritmética nos inteiros porque a divisão nem sempre é possível. Diremos que um inteiro a divide um inteiro b, escrevendo a b, quando existir c Z tal que b = c a. Neste caso, diremos também que a é um divisor ou um fator de b ou, ainda, que b é um múltiplo de a. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 3/16

4 Exemplos 2 0, pois 0 é múltiplo de 2: 1 6, pois 6 é múltiplo de 1: 6 = 6 1; 0 = 0 ( 2); 1 6, pois 6 é múltiplo de 1: 6 = 6 ( 1); 2 6, pois 6 é múltiplo de 2: 6 = 3 2; 3 6, pois 6 é múltiplo de 3: 6 = ( 2) ( 3); i! divide o produto de i números naturais consecutivos. Parece difícil de mostrar a última afirmação, mas escrevendo os inteiros consecutivos convenientemente, ou seja, n, n 1,..., n (i 1), para algum natural n, o resultado segue, imediatamente, da seguinte igualdade ( ) n n (n 1) (n i + 1) = i!, i o que mostra o desejado. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 4/16

5 Exercício - Aplicação do último exemplo 6 divide todo número da forma n(n + 1)(2n + 1), onde n N. Solução De fato, se n = 1 temos que n(n + 1)(2n + 1) = 6 e 6 6. Se n > 1, então n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)(n n 1) = n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n 1). Como cada uma das parcelas n(n + 1)(n + 2) e n(n + 1)(n 1) é o produto de três naturais consecutivos, elas são múltiplas de 3! = 6. Portanto, sendo o número n(n + 1)(2n + 1) soma de dois múltiplos de 6, ele é também múltiplo de 6. Este fato não é surpreendente, pois sabemos que n(n + 1)(2n + 1) 6 = n 2. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 5/16

6 Definições A negação da sentença a b é representada pelo símbolo: a b, significando que não existe nenhum número inteiro c tal que b = c a. Por exemplo, 3 4 e 2 5. Suponha que a b, onde a 0, e seja c Z tal que b = c a. O número inteiro c, univocamente determinado, é chamado de quociente de b por a e denotado por c = b a. Por exemplo, 0 1 = 0, 0 2 = 0, 6 1 = 6, 6 1 = 6, 6 2 = 3, 6 3 = 2. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 6/16

7 Proposição (Propriedades da divisibilidade) Sejam a, b, c Z. Tem-se que i) 1 a, a a e a 0. ii) 0 a a = 0. iii) a divide b se, e somente se, a divide b. iv) se a b e b c, então a c (Propriedade transitiva). Demonstração i) Isso decorre das igualdades a = a 1, a = 1 a e 0 = 0 a. Deixamos as demonstrações dos itens (ii) e (iii) como exercício. iv) a b e b c implica que existem f, g Z, tais que b = f a e c = g b. Substituindo o valor de b da primeira equação na outra, obtemos o que nos mostra que a c. c = g b = g (f a) = (g f ) a, Os itens (i) e (ii) da proposição acima nos dizem que todo número inteiro a é divisível por ±1 e por ±a. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 7/16

8 Propriedades da divisibilidade - Continuação Listaremos a seguir outras propriedades da divisibilidade, cujas provas são semelhantes às feitas acima. Proposição Sejam a, b, c, d Z. Tem-se que i) a b e c d = a c b d; ii) a b = a c b c; iii) a (b ± c) e a b = a c; iv) a b e a c = a (xb + yc), para todos x, y Z. v) Seja b 0. Tem-se que a b = a b. É conveniente entender bem o significado das propriedades acima, pois elas serão utilizadas a todo momento. É também conveniente adquirir a habilidade em demonstrar tais propriedades, pois as demonstrações contêm argumentos usados com frequência. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 8/16

9 Resultados importantes Existem três propriedades da divisibilidade que são utilizadas com frequência ao longo do Curso. A primeira é dada a seguir. Proposição Sejam a, b Z e n N. Temos que a b divide a n b n. Demonstração Vamos provar isso por indução sobre n. A afirmação é obviamente verdadeira para n = 1, pois a b divide a 1 b 1 = a b. Suponhamos, agora, que (a b) (a n b n ). Escrevamos a n+1 b n+1 = aa n ba n + ba n bb n = (a b)a n + b(a n b n ). Como (a b) (a b) e, por hipótese, (a b) (a n b n ), decorre da igualdade acima e da Propriedade (iv) que (a b) (a n+1 b n+1 ). Estabelecendo assim o resultado para todo n N. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 9/16

10 Na verdade poder-se-ia provar o resultado mais forte: a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ). PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 10/16

11 Resultados importantes - Continuação Seguem as outras duas propriedades. Proposição Sejam a, b Z e n N {0}. Temos que a + b divide a 2n+1 + b 2n+1. Proposição Sejam a, b Z e n N. Temos que a + b divide a 2n b 2n. Novamente, as provas se fazem por indução sobre n, nos mesmos moldes da prova da primeira propriedade. Deixamos os detalhes por sua conta. Mãos à obra. Depois confira as suas soluções na Seção 1 do Capítulo 3 do livro texto. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 11/16

12 Exercícios a) Mostre que 5 ( ) Solução Da propriedade (a b) (a n b n ), temos, para todo n N, que (13 8) (13 n 8 n ). Portanto, 5 = 13 8 divide PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 12/16

13 Exercícios - Continuação b) Mostre que 13 ( ). Solução Note que = Como 35 é ímpar, da propriedade (a + b) (a 2n+1 + b 2n+1 ), temos que divide Portanto, 13 divide PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 13/16

14 Exercícios - Continuação c) Mostre que 9 e 41 dividem Solução Temos que = = (25) 2 6 (16) 2 6. Da propriedade obtemos que (a + b) (a 2n b 2n ), (5 + 4) ( ) e ( ) ( (5 2 ) 2 6 (4 2 ) 2 6). Portanto, 9 e 41 dividem PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 14/16

15 Exercícios - Continuação d) Mostre que 14 ( 3 4n n+1), para todo n N {0}. Solução Temos, para todo n N {0}, que 3 4n n+1 = ( 3 2) 2n n+1 = 9 2n n+1. Pela propriedade (a + b) (a 2m+1 + b 2m+1 ), temos que 14 = divide ( 3 4n n+1), para todo n N {0}. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 15/16

16 Exercícios - Continuação e) Mostre que 5 e 13 dividem 9 2n 2 4n, para todo n N. Solução Temos, para todo n N, que Pelas propriedades 9 2n 2 4n = 9 2n ( 2 2) 2n = 9 2n 4 2n. (a b) (a 2m b 2m ) e (a + b) (a 2m b 2m ), temos que 5 = 9 4 e 13 = dividem 9 2n 2 4n, para todo n N. Os exercícios (d) e (e) poderiam ser resolvidos utilizando indução. Tente fazê-lo. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Divisão nos Inteiros slide 16/16