MA14 - Aritmética Unidade 5 Resumo. Máximo Divisor Comum

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1 MA14 - Aritmética Unidade 5 Resumo Máximo Divisor Comum Abramo Hefez PROFMAT - SBM Julho 2013

2 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 5 - Seção 5.1 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 2/19

3 Divisor Comum Sejam a e b dois inteiros, distintos ou não. Um número inteiro d será dito um divisor comum de a e b se d a e d b. Por exemplo, os números ±1, ±2, ±3 e ±6 são os divisores comuns de 12 e 18. A definição a seguir foi essencialmente dada por Euclides nos Elementos e se constitui em um dos pilares da sua aritmética. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 3/19

4 Definição: Máximo Divisor Comum Um número inteiro d 0 é um máximo divisor comum (mdc) de dois inteiros a e b se possuir as seguintes propriedades: i) d é um divisor comum de a e de b, e ii) d é divisível por todo divisor comum de a e b. Exemplo O máximo divisor comum de 12 e 18 é 6. A condição (ii) acima pode ser reenunciada como segue: ii ) Se c é um divisor comum de a e b, então c d. Em particular, se d e d são dois mdc de um mesmo par de números, então d d e d d, o que, juntamente com as condições d 0 e d 0 implicam d = d. Ou seja, quando existe, o mdc de dois números é único. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 4/19

5 Veremos mais adiante que sempre existe o mdc de dois números inteiros a e b e o denotaremos por (a, b). Como o mdc de a e b não depende da ordem em que a e b são tomados, temos que (a, b) = (b, a). Em alguns casos particulares, é facil verificar a existência do mdc. Por exemplo, se a é um número inteiro tem-se claramente que (0, a) = a, (1, a) = 1 e (a, a) = a. Mais geralmente, para todo b Z, temos que a b (a, b) = a. (1) Observação Sejam a, b Z. Tem-se que (a, b) = 0 a = b = 0. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 5/19

6 A demonstração da existência do mdc de qualquer par de números inteiros, não ambos nulos, é bem mais sutil. Se d > 0 é um mdc de a e b não nulos e c é um divisor comum desses números, então c divide d e, consequentemente, c divide d. Portanto, c c d. Isto mostra que, efetivamente, quando existe, o máximo divisor comum de dois números, não ambos nulos, é o maior dentre todos os divisores comuns desses números. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 6/19

7 Poderíamos, como se faz usualmente no Ensino Fundamental, definir o máximo divisor comum de dois números a e b, não ambos nulos, como o maior elemento do conjunto de todos os divisores comuns desses números, o que de imediato garantiria a sua existência. De qualquer modo, seria necessário provar a propriedade (ii) da definição de mdc, pois é ela que possibilita provar os resultados subsequentes, e não o fato do mdc ser o maior dos divisores comuns. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 7/19

8 Observe que dados a, b Z, se existir o mdc (a, b) de a e b, então (a, b) = ( a, b) = (a, b) = ( a, b). Assim, para efeito do cálculo do mdc de dois números, podemos supô-los não negativos. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 8/19

9 Resultado fundamental para o Algoritmo de Euclides Para provar a existência do máximo divisor comum de dois inteiros não negativos, Euclides utiliza, essencialmente, o resultado abaixo. Lema Sejam a, b, n Z. Se existe (a, b na), então (a, b) existe e (a, b) = (a, b na). O Lema é efetivo para calcular mdc, conforme veremos nos exemplos a seguir, e será fundamental para estabelecermos o algoritmo de Euclides, que permitirá, com muita eficiência, calcular o mdc de dois números naturais quaisquer. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 9/19

10 Exercício Vamos determinar o máximo divisor comum de e 90, usando o Lema. Solução (90, ) = (90, ) = (90, ) = (90, 6 525) = (90, ) = (90, ) = (90, 225) = (90, ) = (90, ) = (90, 45) = (45, 90) = 45. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 10/19

11 Exemplo 1 Dados a Z com a 1 e m N, temos que ( a m 1 a 1, a 1 ) = (a 1, m). Solução A igualdade acima é trivialmente verificada se m = 1. Suponhamos que m 2. Chamando de d o primeiro membro da igualdade, temos que Como d = (a m 1 + a m a + 1, a 1) = ( (a m 1 1) + (a m 2 1) + + (a 1) + m, a 1 ). a 1 (a m 1 1) + (a m 2 1) + + (a 1), segue-se, para algum n N, que (a m 1 1) + (a m 2 1) + + (a 1) = n(a 1). Portanto, pelo Lema anterior tem-se que d = (n(a 1) + m, a 1) = (a 1, n(a 1) + m) = (a 1, m). PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 11/19

12 Exemplo 2 Determinemos os valores de a Z e n N para os quais a + 1 divide a 2n + 1. Solução Note inicialmente que a + 1 a 2n + 1 (a + 1, a 2n + 1) = a + 1. Como a 2n + 1 = (a 2n 1) + 2, e a + 1 a 2n 1, segue-se do Lema anterior, para todo n, que (a + 1, a 2n + 1) = (a + 1, (a 2n 1) + 2) = (a + 1, 2). Portanto, a + 1 a 2n + 1, para algum n N, se, e somente se, a + 1 = (a + 1, 2), o que ocorre se, e somente se, a = 0, a = 1, a = 2 ou a = 3 e n qualquer. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 12/19

13 Exemplo 3 Vamos, neste exemplo, determinar os valores de a Z e n N para os quais a + 1 divide a 2n+1 1. Solução Note que (a + 1, a 2n+1 1) = (a + 1, a(a 2n 1) + a 1) = (a + 1, a 1). Portanto, a + 1 a 2n+1 1, para algum n N, se, e somente se, a+1 = (a+1, a 2n+1 1) = (a+1, a 1) = (a+1, 2) = (a+1, 2) o que ocorre se, e somente se, a = 0, a = 1, a = 2 ou a = 3 e n qualquer. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 13/19

14 Algoritmo de Euclides Prova construtiva da existência do mdc dada por Euclides. Dados a, b N, podemos supor a b. Se a = 1 ou a = b, ou ainda a b, já vimos que (a, b) = a. Suponhamos, então, que 1 < a < b e que a b. Logo, pela divisão euclidiana, podemos escrever b = aq 1 + r 1, com 0 < r 1 < a. Temos duas possibilidades: a) r 1 a, e, em tal caso, por (1) e pelo Lema, r 1 = (a, r 1 ) = (a, b q 1 a) = (a, b), e termina o algoritmo, ou b) r 1 a, e, em tal caso, podemos efetuar a divisão de a por r 1, obtendo a = r 1 q 2 + r 2, com 0 < r 2 < r 1. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 14/19

15 Novamente, temos duas possibilidades: a ) r 2 r 1, e, em tal caso, novamente, por (1) e pelo Lema de Euclides, r 2 = (r 1, r 2 ) = (r 1, a q 2 r 1 ) = (r 1, a) = (b q 1 a, a) = (b, a) = (a, b), e paramos, pois termina o algoritmo, ou b ) r 2 r 1, e, em tal caso, podemos efetuar a divisão de r 1 por r 2, obtendo r 1 = r 2 q 3 + r 3, com 0 < r 3 < r 2. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 15/19

16 Este procedimento não pode continuar indefinidamente, pois teríamos uma sequência de números naturais a > r 1 > r 2 >, que não possui menor elemento, o que não é possível pela Propriedade da Boa Ordenação. Logo, para algum n, temos que r n r n 1, o que implica que (a, b) = r n. O algoritmo acima pode ser sintetizado e realizado na prática, como mostramos a seguir. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 16/19

17 Inicialmente, efetuamos a divisão b = aq 1 + r 1 e colocamos os números envolvidos no diagrama ao lado. b r 1 q 1 a Continuamos efetuando a divisão a = r 1 q 2 + r 2 e colocamos os números envolvidos no diagrama ao lado. q 1 q 2 b a r 1 r 1 r 2 Prosseguindo, enquanto for possível (até que para algum n 2 r n r n 1 ), teremos q 1 q 2 q 3 q n 1 q n q n+1 b a r 1 r 2 r n 2 r n 1 r n = (a, b) r 1 r 2 r 3 r 4 r n PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 17/19

18 Exemplo 4 Calculemos o mdc de 372 e 162: Observe que, no exemplo acima, o Algoritmo de Euclides nos fornece: 6 = = = = Donde se segue que 6 = = 18 1 ( ) = = 3 ( ) 48 = = ( ) = Temos, então, que (372, 162) = 6 = ( 10) 372. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 18/19

19 Note que conseguimos, através do uso do Algoritmo de Euclides de trás para frente, escrever 6 = (372, 162) como múltiplo de 162 mais um múltiplo de 372. O Algoritmo de Euclides nos fornece, portanto, um meio prático de escrever o mdc de dois números como soma de dois múltiplos dos números em questão. Esta é uma propriedade geral do mdc que redemonstraremos com todo rigor na próxima seção. Quando utilizarmos o Algoritmo de Euclides para expressar (a, b) na forma ma + nb, com m, n Z, nos referiremos a ele como Algoritmo de Euclides Estendido. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 19/19