MA14 - Aritmética Unidade 1 Resumo. Divisibilidade

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1 MA14 - Aritmética Unidade 1 Resumo Divisibilidade Abramo Hefez PROFMAT - SBM Julho 2013

2 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 3 - Seção 3.1 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 2/1

3 Introdução O nosso objeto de estudo neste curso é o conjunto dos números inteiros: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}, munido com as suas operações de adição e multiplicação, tendo as seguintes propriedades, para quaisquer a, b, c Z: Comutativa: a + b = b + a e a b = b a. Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a b) c = a (b c). Existência de elementos neutros: a + 0 = a e a 1 = a. Existência de simétrico: Para cada a existe b(= a), tal que a + b = 0. Distributiva: a (b + c) = a b + a c. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 3/1

4 Introdução - Continuação Reveja, no Capítulo 1 do livro texto, as propriedades da adição e da multiplicação, a ordenação dos inteiros, os Princípios da Boa ordenação e Indução Matemática. Em Z há um subconjunto que se destaca, o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3,...}. Alguns autores consideram 0 N. O fato de considerarmos que 0 N é apenas uma escolha. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 4/1

5 Divisibilidade - Definições Dados dois números inteiros quaisquer, é possível somá-los, subtraí-los e multiplicá-los. Entretanto, nem sempre é possível dividir um pelo outro, por exemplo: em Z não é possível dividir 3 por 2, mas é possível dividir 4 por 2. Só existe a Aritmética nos inteiros porque a divisão nem sempre é possível. Diremos que um inteiro a divide um inteiro b, escrevendo a b, quando existir c Z tal que b = c a. Neste caso, diremos também que a é um divisor ou um fator de b ou, ainda, que b é um múltiplo de a. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 5/1

6 Exemplos 2 0, pois 0 é múltiplo de 2: 1 6, pois 6 é múltiplo de 1: 6 = 6 1; 0 = 0 ( 2); 1 6, pois 6 é múltiplo de 1: 6 = 6 ( 1); 2 6, pois 6 é múltiplo de 2: 6 = 3 2; 3 6, pois 6 é múltiplo de 3: 6 = ( 2) ( 3); i! divide o produto de i números naturais consecutivos. Parece difícil de mostrar a última afirmação, mas escrevendo os inteiros consecutivos convenientemente, ou seja, n, n 1,..., n (i 1), para algum natural n, o resultado segue, imediatamente, da seguinte igualdade ( ) n n (n 1) (n i + 1) = i!, i o que mostra o desejado. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 6/1

7 Exercício - Aplicação do último exemplo 6 divide todo número da forma n(n + 1)(2n + 1), onde n N. Solução De fato, se n = 1 temos que n(n + 1)(2n + 1) = 6 e 6 6. Se n > 1, então n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)(n n 1) = n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n 1). Como cada uma das parcelas n(n + 1)(n + 2) e n(n + 1)(n 1) é o produto de três naturais consecutivos, elas são múltiplas de 3! = 6. Portanto, sendo o número n(n + 1)(2n + 1) soma de dois múltiplos de 6, ele é também múltiplo de 6. Este fato não é surpreendente, pois sabemos que n(n + 1)(2n + 1) 6 = n 2. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 7/1

8 Definições A negação da sentença a b é representada pelo símbolo: a b, significando que não existe nenhum número inteiro c tal que b = c a. Por exemplo, 3 4 e 2 5. Suponha que a b, onde a 0, e seja c Z tal que b = c a. O número inteiro c, univocamente determinado, é chamado de quociente de b por a e denotado por c = b a. Por exemplo, 0 1 = 0, 0 2 = 0, 6 1 = 6, 6 1 = 6, 6 2 = 3, 6 3 = 2. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 8/1

9 Proposição (Propriedades da divisibilidade) Sejam a, b, c Z. Tem-se que i) 1 a, a a e a 0. ii) 0 a a = 0. iii) a divide b se, e somente se, a divide b. iv) se a b e b c, então a c (Propriedade transitiva). Demonstração i) Isso decorre das igualdades a = a 1, a = 1 a e 0 = 0 a. Deixamos as demonstrações dos itens (ii) e (iii) como exercício. iv) a b e b c implica que existem f, g Z, tais que b = f a e c = g b. Substituindo o valor de b da primeira equação na outra, obtemos o que nos mostra que a c. c = g b = g (f a) = (g f ) a, Os itens (i) e (ii) da proposição acima nos dizem que todo número inteiro a é divisível por ±1 e por ±a. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 9/1

10 Propriedades da divisibilidade - Continuação Listaremos a seguir outras propriedades da divisibilidade, cujas provas são semelhantes às feitas acima. Proposição Sejam a, b, c, d Z. Tem-se que i) a b e c d = a c b d; ii) a b = a c b c; iii) a (b ± c) e a b = a c; iv) a b e a c = a (xb + yc), para todos x, y Z. v) Seja b 0. Tem-se que a b = a b. É conveniente entender bem o significado das propriedades acima, pois elas serão utilizadas a todo momento. É também conveniente adquirir a habilidade em demonstrar tais propriedades, pois as demonstrações contêm argumentos usados com frequência. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 10/1

11 Resultados importantes Existem três propriedades da divisibilidade que são utilizadas com frequência ao longo do Curso. A primeira é dada a seguir. Proposição Sejam a, b Z e n N. Temos que a b divide a n b n. Demonstração Vamos provar isso por indução sobre n. A afirmação é obviamente verdadeira para n = 1, pois a b divide a 1 b 1 = a b. Suponhamos, agora, que (a b) (a n b n ). Escrevamos a n+1 b n+1 = aa n ba n + ba n bb n = (a b)a n + b(a n b n ). Como (a b) (a b) e, por hipótese, (a b) (a n b n ), decorre da igualdade acima e da Propriedade (iv) que (a b) (a n+1 b n+1 ). Estabelecendo assim o resultado para todo n N. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 11/1

12 Na verdade poder-se-ia provar o resultado mais forte: a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ). PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 12/1

13 Resultados importantes - Continuação Seguem as outras duas propriedades. Proposição Sejam a, b Z e n N {0}. Temos que a + b divide a 2n+1 + b 2n+1. Proposição Sejam a, b Z e n N. Temos que a + b divide a 2n b 2n. Novamente, as provas se fazem por indução sobre n, nos mesmos moldes da prova da primeira propriedade. Deixamos os detalhes por sua conta. Mãos à obra. Depois confira as suas soluções na Seção 1 do Capítulo 3 do livro texto. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 13/1

14 Exercícios a) Mostre que 5 ( ) Solução Da propriedade (a b) (a n b n ), temos, para todo n N, que (13 8) (13 n 8 n ). Portanto, 5 = 13 8 divide PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 14/1

15 Exercícios - Continuação b) Mostre que 13 ( ). Solução Note que = Como 35 é ímpar, da propriedade (a + b) (a 2n+1 + b 2n+1 ), temos que divide Portanto, 13 divide PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 15/1

16 Exercícios - Continuação c) Mostre que 9 e 41 dividem Solução Temos que = = (25) 2 6 (16) 2 6. Da propriedade obtemos que (a + b) (a 2n b 2n ), (5 + 4) ( ) e ( ) ( (5 2 ) 2 6 (4 2 ) 2 6). Portanto, 9 e 41 dividem PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 16/1

17 Exercícios - Continuação d) Mostre que 14 ( 3 4n n+1), para todo n N {0}. Solução Temos, para todo n N {0}, que 3 4n n+1 = ( 3 2) 2n n+1 = 9 2n n+1. Pela propriedade (a + b) (a 2m+1 + b 2m+1 ), temos que 14 = divide ( 3 4n n+1), para todo n N {0}. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 17/1

18 Exercícios - Continuação e) Mostre que 5 e 13 dividem 9 2n 2 4n, para todo n N. Solução Temos, para todo n N, que Pelas propriedades 9 2n 2 4n = 9 2n ( 2 2) 2n = 9 2n 4 2n. (a b) (a 2m b 2m ) e (a + b) (a 2m b 2m ), temos que 5 = 9 4 e 13 = dividem 9 2n 2 4n, para todo n N. Os exercícios (d) e (e) poderiam ser resolvidos utilizando indução. Tente fazê-lo. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 18/1

19 MA14 - Aritmética Unidade 2 Resumo Divisão Euclidiana Abramo Hefez PROFMAT - SBM

20 Aviso Este material é apenas um resumo de parte da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 3 - Seção 3.2 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Estes resumos contaram com a colaboração de Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 2/21

21 Divisão Euclidiana Mesmo quando um número inteiro a, não nulo, não divide um número inteiro b, vale o seguinte fato: É sempre possível efetuar a divisão de b por a, com resto pequeno. Este resultado, de cuja justificativa geométrica daremos uma ideia quando a é natural, foi utilizado por Euclides (Século 3 a.c), nos seus Elementos, no âmbito dos números naturais, sem enunciá-lo explicitamente. Essa propriedade não só é um importante instrumento na obra de Euclides, como também é um resultado central da teoria elementar dos números. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 3/21

22 De fato, suponhamos que a Z e consideremos a decomposição de Z em união de intervalos disjuntos: Z =... [ 2a, a) [ a, 0) [0, a) [a, 2a)... Fica claro que qualquer número inteiro b pertence a um e somente um desses intervalos, digamos b [qa, qa + a). Portanto, b = qa + r, onde q e r são univocamente determinados, com 0 r < a. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 4/21

23 Agora enunciamos o resultado geral: Teorema (Divisão Euclidiana) Sejam a e b dois números inteiros com a 0. Existem dois únicos números inteiros q e r tais que b = a q + r, com 0 r < a. Nas condições do teorema, os números a e b são o divisor e o dividendo, enquanto q e r são chamados, respectivamente, de quociente e de resto da divisão de b por a. Note que o resto da divisão de b por a é zero se, e somente se, a divide b. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 5/21

24 Exemplos Como 19 = , o quociente e o resto da divisão de 19 por 5 são q = 3 e r = 4. Como 19 = 5 ( 4) + 1 o quociente e o resto da divisão de 19 por 5 são q = 4 e r = 1. Como 32 = ( 5) ( 6) + 2 o quociente e o resto da divisão de 32 por 5 são q = 6 e r = 2. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 6/21

25 Exemplos - Continuação Mostrar que o resto da divisão de 10 n por 9 é sempre 1, qualquer que seja o número natural n. Solução Como mostrar um tal resultado? Alguns experimentos ajudam a entender melhor o problema: 10 1 = 10 = , 10 2 = 100 = , 10 3 = 1000 = Agora já entendemos melhor a questão e o resultado nos parece tão óbvio que até podemos dizer que 10 n = 9 } 1.{{.. 11} +1, n vezes donde, por ser 0 1 < 9, podemos afirmar que o resto da divisão por 9 é sempre 1. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 7/21

26 Muito bem, alguém poderia ponderar: Pronto, já mostramos! Mas, atenção! Mostrar em matemática é sinônimo de provar! E aí, como provar tal resultado? Via de regra, quando temos uma asserção que envolve todos os números naturais maiores do que um dado natural, a tendência é tentar indução, a menos que tenhamos uma ideia melhor! PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 8/21

27 A nossa asserção se traduz matematicamente do seguinte modo: P(n): Existe q Z tal que 10 n = 9q + 1. Já verificamos acima que P(1) é verdade. Para mostrar que P(n) = P(n + 1), suponhamos que P(n) seja verdade, ou seja que existe q Z tal que 10 n = 9q + 1. Multiplicando por 10 ambos os lados dessa última igualdade, temos que 10 n+1 = 10(9q + 1) = 9 10q + 10 = 9(10q + 1) + 1, o que mostra que existe q = 10q + 1 tal que 10 n+1 = 9q + 1, provando que P(n + 1) é verdade. Pelo Princípio de Indução Matemática, P(n) é verdade n N. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 9/21

28 Outra Solução Com o que temos em mãos, poderíamos ter dado uma demonstração alternativa da nossa propriedade. De fato, lembrando da propriedade temos que ou seja, 9 10 n 1. (a b) (a n b n ), (10 1) (10 n 1 n ), Assim, 10 n 1 = 9q, logo 10 n = 9q + 1. Como 0 1 < 9, pela unicidade na divisão euclidiana, tem-se que o resto da divisão de 10 n por 9 é sempre 1. Recomendação: Antes de começar a resolver um problema, convém ler o enunciado com cuidado e tentar ver como o que se pede se relaciona com o que já conhecemos, isto pode poupar tempo e energia preciosos. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 10/21

29 Exemplos - Continuação O resto da divisão de 7 4n 2 4n + 93 por 45 é sempre 3, para todo n N. Solução Note que 7 4n 2 4n + 93 = 49 2n 4 2n Temos que 45 = 49 4 divide 49 2n 4 2n, para todo n N, logo 7 4n 2 4n = 45q, para algum q Z. Por outro lado, como 93 = , 7 4n 2 4n + 93 = 45q = 45(q + 2) + 3, com 0 3 < 45. Da unicidade do resto na divisão euclidiana, segue que 3 é o resto da divisão de 7 4n 2 4n + 93 por 45, para todo n N. Tente, como exercício, mostrar essa propriedade por indução. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 11/21

30 Parte inteira do racional a b, com b > 0 Sejam a, b Z com b > 0. Escrevamos a divisão euclidiana de a por b: a = bq + r, com 0 r < b. Vamos dar uma interpretação para o quociente q dessa divisão. Como temos que Então, dividindo por b, bq bq + r < bq + b = b(q + 1), }{{} a bq a < b(q + 1). q a b < q + 1. Portanto, q é o maior inteiro menor ou igual ao racional a b e é chamado de parte inteira do número racional a b, sendo denotado por [ ] a b. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 12/21

31 Exemplos de parte inteira Aproveitando alguns cálculos feitos anteriormente, temos [ 19 5 [ 19 5 ] [ = ] [ 5 = ] = 3. ] [ ] = 5 ( 4)+1 5 = [ ] = 4. Note que 4 < 3, 8 = 19 5 < 3. [ ] [ ] 32 5 ( 7) + 3 = = 5 5 [ ] = 7. 5 Se a Z e α Q, com 0 α < 1, então [a + α] = a. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 13/21

32 Aplicação Quantos múltiplos de 9 há entre 238 e 1247? Entendemos que se algum dos números 238 ou 1247 for múltiplo de 9, ele deve ser contado. Solução Às vezes, um problema se torna mais claro, quando generalizado. Dados 0 < a < c, vamos contar quantos múltiplos de a existem entre 1 e c. Pela divisão euclidiana, temos que c = aq + r, com 0 r < a. Portanto, podemos escrever a lista dos múltiplos de a entre 1 e c como segue: a, 2a,..., (q 1)a, qa. Agora ficou fácil contar esses números: o seu número é q = [ c a ]. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 14/21

33 Continuação Agora, dados 0 < a < b < c, se quisermos contar quantos são os múltiplos de a entre b e c, procedemos como segue: De [ ] c a, que é o número de múltiplos de a entre 1 e c, devemos subtrair [ ] b 1 a, que é o número de múltiplos de a anteriores a b. Assim, o número de múltiplos de a entre b e c é [ c ] [ ] b 1. a a Portanto, a resposta para o nosso problema é: [ ] [ ] = PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 15/21

34 Par ou ímpar? Desde os tempos de Pitágoras, os números inteiros são classificados em pares e ímpares. Essa classificação pode ser justificada pela divisão euclidiana. Dado um número inteiro n Z qualquer, temos duas possibilidades: i) n é par: o resto da divisão de n por 2 é 0, isto é, existe q N tal que n = 2q; ou ii) n é ímpar: o resto da divisão de n por 2 é 1, ou seja, existe q N tal que n = 2q + 1. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 16/21

35 Generalização: divisão por m 3 Mais geralmente, fixado um número natural m 2, pode-se sempre escrever um número qualquer n, de modo único, na forma n = mk + r, onde k, r Z e 0 r < m. Por exemplo, todo número inteiro n pode ser escrito em uma, e somente uma, das seguintes formas: 3k, 3k + 1, ou 3k + 2. Ou ainda, todo número inteiro n pode ser escrito em uma, e somente uma, das seguintes formas: 4k, 4k + 1, 4k + 2, ou 4k + 3. Este último fato, permite mostrar o resultado a seguir. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 17/21

36 Exercício Nenhum quadrado de um número inteiro é da forma 4k + 3. Solução De fato, seja a Z. Se a = 4k, então a 2 = 16k 2 = 4k, onde k = 4k 2. Se a = 4k + 1, então a 2 = 16k 2 + 8k + 1 = 4k + 1, onde k = 4k 2 + 2k. Se a = 4k + 2, então a 2 = 16k k + 4 = 4k, onde k = 4k 2 + 4k + 1. Se a = 4k + 3, então a 2 = 16k k + 9 = 4k + 1, onde k = 4k 2 + 6k + 2. Vamos aplicar este resultado para mostrar algo interessante. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 18/21

37 Exercício Nenhum número da forma a = (n algarismos iguais a 1, com n > 1) é um quadrado. Solução De fato, podemos escrever a = b = 4(25 b + 2) + 3, onde b = (n 2 algarismos iguais a 1). Logo, a é da forma 4k + 3 e, portanto, não pode ser um quadrado. Com esta técnica pode-se mostrar que nenhum número da forma é soma de dois quadrados. Deixamos isto como exercício. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 19/21

38 Exercício a) Quais são os números que, quando divididos por 7, deixam resto igual à metade do quociente? Solução Seja a o número com a propriedade descrita acima. Pela divisão euclidiana de a por 7 temos que existem inteiros q e r, tais que a = 7q + r, com 0 r < 7. Como 0 r = q 2 6, então q é par, com 0 q 12. Os valores possíveis de q, r e a estão na seguinte tabela: q r a = 7q + r PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 20/21

39 Exercício b) (ENC: 2011) Seja N um número natural. Mostre que a divisão de N 2 por 6 nunca deixa resto 2. Solução Pela divisão euclidiana de N por 6, existem inteiros q e r tais que N = 6q + r, com 0 r 5. Portanto, N 2 = 36q qr + r 2 = 6(6q 2 + 2qr) + r 2. Assim, o resto que N 2 deixa na divisão por 6 é o mesmo resto de r 2. Analisaremos os valores de r 2, na seguinte tabela: r r = = = Logo, os restos possíveis são 0, 1, 3 e 4. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 21/21

40 MA14 - Aritmética Resumo 3 Sistemas de Numeração Abramo Hefez PROFMAT - SBM

41 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 4 - Seção 4.1 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Estes resumos contaram com a colaboração de Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 2/21

42 Sistemas de Numeração Sabemos que existem infinitos números naturais. Os primeiros tantos possuem até nomes. Por exemplo: um, dois, três,..., cem, cento e um um trilhão, um trilhão e um... PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 3/21

43 É impossível dar um nome para cada um dos números naturais, mas é possível de modo engenhoso dotar cada um deles de uma representação com um pequeno número de símbolos, por meio dos chamados sistemas de numeração. O sistema universalmente utilizado pelas pessoas comuns para representar os números inteiros é o sistema decimal posicional. Podemos nos restringir à representação dos números naturais, pois todo número inteiro negativo é representado por um número natural precedido pelo sinal e zero tem seu próprio símbolo que é 0. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 4/21

44 Sistema decimal No sistema decimal, todo número natural é representado por uma sequência formada pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, acrescidos do símbolo 0 (zero), que representa a ausência de algarismo. Por serem dez os algarismos, o sistema é chamado decimal. O sistema é também chamado posicional, pois cada algarismo, além do seu valor intrínseco, possui um peso que lhe é atribuído em função da posição que ele ocupa no número. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 5/21

45 Peso do algarismo Esse peso, sempre uma potência de dez, varia do seguinte modo: o algarismo da extrema direita tem peso 1; o seguinte, sempre da direita para a esquerda, tem peso dez; o seguinte tem peso cem; o seguinte tem peso mil, etc. Portanto, os números de um a nove são representados pelos algarismos de 1 a 9, correspondentes. O número dez é representado por 10, o número cem por 100, o número mil por Por exemplo, o número 12019, na base 10, é a representação de = PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 6/21

46 Ordem de um algarismo/classe de uma terna de ordens Cada algarismo de um número possui uma ordem contada da direita para a esquerda. Assim, no número 12019, o primeiro 1 que aparece (não se esqueça, sempre da direita para a esquerda) é de segunda ordem, enquanto que o último é de quinta ordem. O 9 é de primeira ordem, enquanto que o 2 é de quarta ordem. Cada terna de ordens, também contadas da direita para a esquerda, forma uma classe. As classes são, às vezes, separadas umas das outras por meio de um ponto. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 7/21

47 Classes e ordens Damos a seguir os nomes das primeiras classes e ordens: Classe das Unidades unidades dezenas centenas 1 a ordem 2 a ordem 3 a ordem Classe do Milhar unidades de milhar dezenas de milhar centenas de milhar 4 a ordem 5 a ordem 6 a ordem Classe do Milhão unidades de milhão dezenas de milhão centenas de milhão 7 a ordem 8 a ordem 9 a ordem PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 8/21

48 Expansão na base b Os sistemas de numeração posicionais baseiam-se no resultado a seguir, que é uma aplicação da divisão euclidiana. Teorema Dados números inteiros a e b, com a > 0 e b > 1, existem números inteiros n 0 e 0 r 0, r 1,..., r n < b, r n 0, univocamente determinados, tais que a = r 0 + r 1 b + r 2 b r n b n. A representação dada no teorema acima é chamada de expansão relativa à base b. Quando b = 10, essa expansão é chamada expansão decimal. Quando b = 2, ela toma o nome de expansão binária. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 9/21

49 Demonstração Aplicamos sucessivamente a divisão euclidiana, permitindo determinar a expansão de a na base b, como segue: a = bq 0 + r 0, 0 r 0 < b, q 0 = bq 1 + r 1, 0 r 1 < b, q 1 = bq 2 + r 2, 0 r 2 < b, e assim por diante. Como a > q 0 > q 1 >, deveremos, em um certo ponto, ter q n 1 < b e, portanto, de q n 1 = bq n + r n, decorre que q n = 0, o que implica 0 = q n = q n+1 = q n+2 =, e, portanto, 0 = r n+1 = r n+2 =. Temos, então, que a = r 0 + r 1 b + + r n b n. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 10/21

50 Exemplo 1 Vamos determinar a expansão na base b = 2 do número = 2 (26) }{{} q 0 + }{{} 1 26 = 2 (13) }{{} + }{{} 0 q 1 13 = 2 }{{} 6 + }{{} 1 q 2 6 = 2 }{{} 3 + }{{} 0 ; q 3 r 3 3 = 2 }{{} 1 + }{{} 1 ; q 4 r 4 1 = 2 }{{} 0 + }{{} 1 ; q 5 r 5 r 0 ; r 1 ; r 2 ; Logo, 53 = PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 11/21

51 Exemplo 2 Vamos determinar a expansão de a = 113 na base b = = 3 (37) }{{} q 0 + }{{} 2 37 = 3 (12) + }{{}}{{} 1 ; q 1 r 1 12 = 3 }{{} 4 + }{{} 0 ; q 2 r 2 4 = 3 }{{} 1 + }{{} 1 ; q 3 r 3 1 = 3 }{{} 0 + }{{} 1. q 4 r 4 r 0 ; Logo, 113 = PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 12/21

52 A expansão numa dada base b nos fornece um método para representar os números naturais. Para tanto, escolha um conjunto S de b símbolos S = { s 0, s 1,..., s b 1 }, com s 0 = 0, para representar os números de 0 a b 1. Um número natural a na base b se escreve na forma x n x n 1... x 1 x 0, com x 0,..., x n S, e n variando, dependendo de a, representando o número x 0 + x 1 b + + x n b n. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 13/21

53 No sistema decimal, isto é, de base b = 10, usa-se S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Se a base b é tal que b 10, utilizam-se os símbolos 0, 1,..., b 1. Se a base b é tal que b > 10, costuma-se usar os símbolos de 0 a 9, acrescentando novos símbolos para 10,..., b 1. No sistema de base b = 2, temos que S = { 0, 1}, e todo número natural é representado por uma sequência de 0 e 1. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 14/21

54 Representação na base 2 O número 10 na base 2 representa o número 2 (na base 10). Quando estivermos lidando com números em bases diferentes num mesmo contexto, utilizaremos símbolos como [a] b significando que a é a representação de um número na base b. Portanto, [10] 2 = [ ] 10 = [2] 10 ; [11] 2 = [ ] 10 = [3] 10 ; [100] 2 = [ ] 10 = [4] 10 ; [101] 2 = [ ] 10 = [5] 10 ; [110] 2 = [ ] = [6] 10 ; [111] 2 = [ ] 10 = [7] 10 ; [1011] 2 = [ ] 10 = [11] 10. O sistema na base 2 é utilizado nos computadores. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 15/21

55 Exemplo 3 a) Representar na base 2 o número cuja representação na base 10 é 53. Segue do Exemplo 1 que 53 = , então [53] 10 = [110101] 2. b) Representar na base 3 o número cuja representação na base 10 é 113. Segue do Exemplo 2 que 113 = , então [113] 10 = [11012] 3. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 16/21

56 Exemplo 4 Representar na base 5 o número cuja representação na base 10 é 723. Por divisão euclidiana sucessiva, Portanto, 723 = , 144 = , 28 = , 5 = , 1 = = , e, consequentemente, 723 na base 5 se representa por PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 17/21

57 Exemplo 5 a) Representar na base b = 11 o número cuja representação na base 10 é Usaremos S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α}, onde α é o símbolo para 10 = b 1. Aplicando sucessivamente o algoritmo euclidiano, temos 3909 = Logo, 3909 é representado na base 11 por 2α34. b) Quais os números na base 10 representados na base b = 11 por 10, 100, 11 e 12? representação na base 11 número decimal b = b = b + 1 b 2 = 11 2 = b = = b = = 13 PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 18/21

58 Critérios de divisibilidade por 5 e por 10 Seja a = r n r 1 r 0 um número representado no sistema decimal. Uma condição necessária e suficiente para que a seja divisível por 5 (respectivamente por 10) é que r 0 seja 0 ou 5 (respectivamente 0). Demonstração Sendo a = 10 (r n r 1 ) + r 0, temos que a é divisível por 5 se, e somente se, r 0 é divisível por 5, e, portanto, r 0 = 0 ou r 0 = 5. Por outro lado, a é divisível por 10 se, e somente se, r 0 é divisível por 10, o que somente ocorre quando r 0 = 0. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 19/21

59 Critérios de divisibilidade por 3 e por 9 Seja a = r n r 1 r 0 um número representado no sistema decimal. Uma condição necessária e suficiente para que a seja divisível por 3 (respectivamente por 9) é que r n + + r 1 + r 0 seja divisível por 3 (respectivamente por 9). Demonstração Temos que a (r n + +r 1 +r 0 ) = r n 10 n + +r 1 10+r 0 (r n + +r 1 +r 0 ) = r n (10 n 1) + + r 1 (10 1). Sabemos que o termo à direita nas igualdades acima é divisível por 9 (Exemplo na Unidade 2), logo, para algum número q, temos que a = (r n + + r 1 + r 0 ) + 9q, de onde segue o resultado. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 20/21

60 Exercício Verifique que 9 não divide e 3 divide Solução Aplicaremos, sucessivamente, os critérios de divisibilidade por 9 e por 3. Temos que = 57 e = 12. É claro que 9 12 e Portanto, 9 12 se, e somente se, 9 57 se, e somente se, e e 3 12 se, e somente se, 3 57 se, e somente se, PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeração slide 21/21

61 MA14 - Aritmética Unidade 4 Resumo O Jogo de Nim Abramo Hefez PROFMAT - SBM

62 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 4 - Seção 4.2 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Estes resumos contaram com a colaboração de Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Resumo - Jogo de Nim slide 2/13

63 Introdução O Jogo de Nim faz parte de uma teoria, relativamente jovem, chamada Teoria de Jogos. Vários jogos podem ser reduzidos a esse, conforme veremos mais adiante em um exemplo. O jogo de Nim consiste de N palitos separados em três grupos com números distintos de elementos e colocados em cima de uma mesa, no qual dois jogadores se alternam retirando, cada um na sua vez, um número não nulo qualquer de palitos de apenas um dos grupos, podendo retirar inclusive todos os palitos do grupo escolhido. Ganha o jogo quem primeiro não deixar nenhum palito sobre a mesa. Cada estado do jogo pode ser representado por uma terna de números, representando o número de palitos em cada grupo, ordenados previamente como Grupo 1, Grupo 2 e Grupo 3, começando com uma configuração inicial (n 1, n 2, n 3 ), onde n 1 + n 2 + n 3 = N. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Resumo - Jogo de Nim slide 3/13

64 Tomemos como exemplo a configuração inicial (3, 5, 7) e que os jogadores sejam João (J) e Maria (M) e vejamos um exemplo de uma partida: (3, 5, 7) J (2, 5, 7) M (2, 5, 0) J (2, 2, 0). Neste ponto já dá para perceber que Maria não tem mais saída, pois se ela retirar dois palitos de um grupo, João tira os dois palitos que sobraram no outro grupo e ganha o jogo. Se Maria tira um palito de um grupo, João tira um palito do outro grupo e assim Maria fica também sem saída. Portanto, João ganhou a partida. A primeira jogada do João, bem como as seguintes, não foram jogadas aleatórias, ele seguiu uma estratégia vencedora que explicaremos a seguir. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Resumo - Jogo de Nim slide 4/13

65 Voltemos à situação inicial da partida entre João e Maria em que N = 15, n 1 = 3, n 2 = 5 e n 3 = 7. Neste caso particular, vamos estabelecer uma estratégia de tal modo que, quem iniciar a partida fazendo uma boa abertura e seguindo as regras que estabeleceremos, sempre vencerá. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Resumo - Jogo de Nim slide 5/13

66 Para isto, a cada jogada, escreve-se o número de palitos de cada grupo na base 2, colocando-os um em cada linha, de modo que os algarismos das unidades se correspondam. Por exemplo, no início da partida tem-se Grupo 1 11 Grupo Grupo Somando os três números acima como se fosse na base 10, obtemos o número 223, que chamaremos, a cada etapa, de chave do jogo. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Resumo - Jogo de Nim slide 6/13

67 O primeiro jogador poderá, então, com uma jogada, tornar todos os algarismos da chave pares. Por exemplo, poderá retirar um palito do grupo três, obtendo Grupo 1 11 Grupo Grupo PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Resumo - Jogo de Nim slide 7/13

68 Agora, qualquer jogada que o segundo jogador efetuar transformará a chave 222 numa chave com, pelo menos, um algarismo ímpar (você pode verificar isto com a análise de todas as possibilidades). Agora, mediante uma jogada conveniente, o primeiro jogador poderá recolocar o jogo na situação em que todos os algarismos sejam pares. Uma situação em que todos os algarismos da chave são pares será chamada de posição segura, enquanto que, quando pelo menos um dos algarismos da chave é ímpar, será uma posição insegura. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Resumo - Jogo de Nim slide 8/13

69 Pode-se mostrar, de modo bem elementar, que qualquer que seja a configuração inicial do jogo, se um jogador encontra na sua vez uma posição segura, qualquer que seja a jogada que faça, só poderá chegar a uma posição insegura. Mostra-se também que, de uma posição insegura, pode-se, com uma jogada conveniente, sempre retornar a uma posição segura. Finalmente, observando que quem chegar primeiro em 000 ganha o jogo e que esta é uma posição segura, ganhará o jogo quem sempre, após a sua vez de jogar, se mantiver em posições seguras. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Resumo - Jogo de Nim slide 9/13

70 Em geral, nem sempre a configuração inicial do jogo será favorável ao primeiro jogador. Por exemplo, o jogo com a configuração inicial (3, 5, 6), nos dá a seguinte chave: Grupo Grupo Grupo Esta chave já coloca o primeiro jogador em desvantagem, pois qualquer jogada que fizer, o deixará em posição insegura. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Resumo - Jogo de Nim slide 10/13

71 Esta versão, bem como a sua estratégia, podem ser generalizadas sem dificuldade para um número arbitrário de grupos com um número arbitrário de palitos em cada grupo. Vamos a seguir discutir um problema emprestado do livro de Terence Tao (Resolvendo Problemas Matemáticos, Coleção Professor de Matemática, SBM). PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Resumo - Jogo de Nim slide 11/13

72 Um jogo consiste de um tablete de chocolate dividido em 6 10 quadradinhos separados por sulcos e jogado por dois jogadores. Cada jogador, na sua vez, quebra a barra de chocolate numa horizontal ou numa vertical ao longo de todo um sulco e come uma das partes. O jogo prossegue até que um dos jogadores é obrigado a comer o último quadradinho que restar e perde o jogo. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Resumo - Jogo de Nim slide 12/13

73 Vejamos como podemos reduzir este jogo a um jogo de Nim e aproveitar a estratégia já estudada. Cada sulco na horizontal é representado por um palito. Portanto, os 5 sulcos na horizontal são representados por 5 palitos e formam um dos dois grupos de um jogo de Nim. O outro grupo é formado por 9 palitos representando os 9 sulcos na vertical. Cada jogador, ao retirar um pedaço da barra de chocolate, está na realidade retirando um certo número de sulcos na horizontal ou na vertical, o que corresponde a retirar o mesmo número de palitos de um dos grupos. Ganha o jogo quem tirar o último palito, pois quando esse jogador retirar o último palito, o que sobrou da barra de chocolate é um pedaço sem sulcos, ou seja, um último quadradinho de chocolate que o outro jogador terá que comer, perdendo a partida. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 4 - Resumo - Jogo de Nim slide 13/13

74 MA14 - Aritmética Unidade 5 Resumo Máximo Divisor Comum Abramo Hefez PROFMAT - SBM Julho 2013

75 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 5 - Seção 5.1 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 2/19

76 Divisor Comum Sejam a e b dois inteiros, distintos ou não. Um número inteiro d será dito um divisor comum de a e b se d a e d b. Por exemplo, os números ±1, ±2, ±3 e ±6 são os divisores comuns de 12 e 18. A definição a seguir foi essencialmente dada por Euclides nos Elementos e se constitui em um dos pilares da sua aritmética. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 3/19

77 Definição: Máximo Divisor Comum Um número inteiro d 0 é um máximo divisor comum (mdc) de dois inteiros a e b se possuir as seguintes propriedades: i) d é um divisor comum de a e de b, e ii) d é divisível por todo divisor comum de a e b. Exemplo O máximo divisor comum de 12 e 18 é 6. A condição (ii) acima pode ser reenunciada como segue: ii ) Se c é um divisor comum de a e b, então c d. Em particular, se d e d são dois mdc de um mesmo par de números, então d d e d d, o que, juntamente com as condições d 0 e d 0 implicam d = d. Ou seja, quando existe, o mdc de dois números é único. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 4/19

78 Veremos mais adiante que sempre existe o mdc de dois números inteiros a e b e o denotaremos por (a, b). Como o mdc de a e b não depende da ordem em que a e b são tomados, temos que (a, b) = (b, a). Em alguns casos particulares, é facil verificar a existência do mdc. Por exemplo, se a é um número inteiro tem-se claramente que (0, a) = a, (1, a) = 1 e (a, a) = a. Mais geralmente, para todo b Z, temos que a b (a, b) = a. (1) Observação Sejam a, b Z. Tem-se que (a, b) = 0 a = b = 0. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 5/19

79 A demonstração da existência do mdc de qualquer par de números inteiros, não ambos nulos, é bem mais sutil. Se d > 0 é um mdc de a e b não nulos e c é um divisor comum desses números, então c divide d e, consequentemente, c divide d. Portanto, c c d. Isto mostra que, efetivamente, quando existe, o máximo divisor comum de dois números, não ambos nulos, é o maior dentre todos os divisores comuns desses números. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 6/19

80 Poderíamos, como se faz usualmente no Ensino Fundamental, definir o máximo divisor comum de dois números a e b, não ambos nulos, como o maior elemento do conjunto de todos os divisores comuns desses números, o que de imediato garantiria a sua existência. De qualquer modo, seria necessário provar a propriedade (ii) da definição de mdc, pois é ela que possibilita provar os resultados subsequentes, e não o fato do mdc ser o maior dos divisores comuns. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 7/19

81 Observe que dados a, b Z, se existir o mdc (a, b) de a e b, então (a, b) = ( a, b) = (a, b) = ( a, b). Assim, para efeito do cálculo do mdc de dois números, podemos supô-los não negativos. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 8/19

82 Resultado fundamental para o Algoritmo de Euclides Para provar a existência do máximo divisor comum de dois inteiros não negativos, Euclides utiliza, essencialmente, o resultado abaixo. Lema Sejam a, b, n Z. Se existe (a, b na), então (a, b) existe e (a, b) = (a, b na). O Lema é efetivo para calcular mdc, conforme veremos nos exemplos a seguir, e será fundamental para estabelecermos o algoritmo de Euclides, que permitirá, com muita eficiência, calcular o mdc de dois números naturais quaisquer. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 9/19

83 Exercício Vamos determinar o máximo divisor comum de e 90, usando o Lema. Solução (90, ) = (90, ) = (90, ) = (90, 6 525) = (90, ) = (90, ) = (90, 225) = (90, ) = (90, ) = (90, 45) = (45, 90) = 45. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 10/19

84 Exemplo 1 Dados a Z com a 1 e m N, temos que ( a m 1 a 1, a 1 ) = (a 1, m). Solução A igualdade acima é trivialmente verificada se m = 1. Suponhamos que m 2. Chamando de d o primeiro membro da igualdade, temos que Como d = (a m 1 + a m a + 1, a 1) = ( (a m 1 1) + (a m 2 1) + + (a 1) + m, a 1 ). a 1 (a m 1 1) + (a m 2 1) + + (a 1), segue-se, para algum n N, que (a m 1 1) + (a m 2 1) + + (a 1) = n(a 1). Portanto, pelo Lema anterior tem-se que d = (n(a 1) + m, a 1) = (a 1, n(a 1) + m) = (a 1, m). PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 11/19

85 Exemplo 2 Determinemos os valores de a Z e n N para os quais a + 1 divide a 2n + 1. Solução Note inicialmente que a + 1 a 2n + 1 (a + 1, a 2n + 1) = a + 1. Como a 2n + 1 = (a 2n 1) + 2, e a + 1 a 2n 1, segue-se do Lema anterior, para todo n, que (a + 1, a 2n + 1) = (a + 1, (a 2n 1) + 2) = (a + 1, 2). Portanto, a + 1 a 2n + 1, para algum n N, se, e somente se, a + 1 = (a + 1, 2), o que ocorre se, e somente se, a = 0, a = 1, a = 2 ou a = 3 e n qualquer. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 12/19

86 Exemplo 3 Vamos, neste exemplo, determinar os valores de a Z e n N para os quais a + 1 divide a 2n+1 1. Solução Note que (a + 1, a 2n+1 1) = (a + 1, a(a 2n 1) + a 1) = (a + 1, a 1). Portanto, a + 1 a 2n+1 1, para algum n N, se, e somente se, a+1 = (a+1, a 2n+1 1) = (a+1, a 1) = (a+1, 2) = (a+1, 2) o que ocorre se, e somente se, a = 0, a = 1, a = 2 ou a = 3 e n qualquer. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 13/19

87 Algoritmo de Euclides Prova construtiva da existência do mdc dada por Euclides. Dados a, b N, podemos supor a b. Se a = 1 ou a = b, ou ainda a b, já vimos que (a, b) = a. Suponhamos, então, que 1 < a < b e que a b. Logo, pela divisão euclidiana, podemos escrever b = aq 1 + r 1, com 0 < r 1 < a. Temos duas possibilidades: a) r 1 a, e, em tal caso, por (1) e pelo Lema, r 1 = (a, r 1 ) = (a, b q 1 a) = (a, b), e termina o algoritmo, ou b) r 1 a, e, em tal caso, podemos efetuar a divisão de a por r 1, obtendo a = r 1 q 2 + r 2, com 0 < r 2 < r 1. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 14/19

88 Novamente, temos duas possibilidades: a ) r 2 r 1, e, em tal caso, novamente, por (1) e pelo Lema de Euclides, r 2 = (r 1, r 2 ) = (r 1, a q 2 r 1 ) = (r 1, a) = (b q 1 a, a) = (b, a) = (a, b), e paramos, pois termina o algoritmo, ou b ) r 2 r 1, e, em tal caso, podemos efetuar a divisão de r 1 por r 2, obtendo r 1 = r 2 q 3 + r 3, com 0 < r 3 < r 2. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 15/19

89 Este procedimento não pode continuar indefinidamente, pois teríamos uma sequência de números naturais a > r 1 > r 2 >, que não possui menor elemento, o que não é possível pela Propriedade da Boa Ordenação. Logo, para algum n, temos que r n r n 1, o que implica que (a, b) = r n. O algoritmo acima pode ser sintetizado e realizado na prática, como mostramos a seguir. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 16/19

90 Inicialmente, efetuamos a divisão b = aq 1 + r 1 e colocamos os números envolvidos no diagrama ao lado. b r 1 q 1 a Continuamos efetuando a divisão a = r 1 q 2 + r 2 e colocamos os números envolvidos no diagrama ao lado. q 1 q 2 b a r 1 r 1 r 2 Prosseguindo, enquanto for possível (até que para algum n 2 r n r n 1 ), teremos q 1 q 2 q 3 q n 1 q n q n+1 b a r 1 r 2 r n 2 r n 1 r n = (a, b) r 1 r 2 r 3 r 4 r n PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 17/19

91 Exemplo 4 Calculemos o mdc de 372 e 162: Observe que, no exemplo acima, o Algoritmo de Euclides nos fornece: 6 = = = = Donde se segue que 6 = = 18 1 ( ) = = 3 ( ) 48 = = ( ) = Temos, então, que (372, 162) = 6 = ( 10) 372. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 18/19

92 Note que conseguimos, através do uso do Algoritmo de Euclides de trás para frente, escrever 6 = (372, 162) como múltiplo de 162 mais um múltiplo de 372. O Algoritmo de Euclides nos fornece, portanto, um meio prático de escrever o mdc de dois números como soma de dois múltiplos dos números em questão. Esta é uma propriedade geral do mdc que redemonstraremos com todo rigor na próxima seção. Quando utilizarmos o Algoritmo de Euclides para expressar (a, b) na forma ma + nb, com m, n Z, nos referiremos a ele como Algoritmo de Euclides Estendido. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 5 - Resumo - Máximo Divisor Comum slide 19/19

93 MA14 - Aritmética Unidade 6 Resumo Propriedades do mdc Abramo Hefez PROFMAT - SBM Julho 2013

94 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 5 - Seção 5.2, Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Resumo - Propriedades do mdc slide 2/9

95 Sejam a, b Z. O conjunto a seguir desempenhará papel importante I (a, b) = {xa + yb; x, y Z}. Note que se a e b não são simultaneamente nulos, então I (a, b) N. De fato, temos que a 2 + b 2 = a a + b b I (a, b) N. A importância do conjunto I (a, b) pode ser medida pelo resultado a seguir. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Resumo - Propriedades do mdc slide 3/9

96 Teorema Sejam a, b Z não ambos nulos. Se d = min I (a, b) N, então i) d é o mdc de a e b; e ii) I (a, b) = dz (= {xd; x Z}). Esse teorema nos dá uma outra demonstração da existência do mdc de dois números. Note que essa demonstração, ao contrário da prova de Euclides, não é construtiva, no sentido de que não nos fornece um meio prático para achar o mdc dos dois números. O teorema admite vários corolários. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Resumo - Propriedades do mdc slide 4/9

97 Corolários 1. Quaisquer que sejam a, b Z, não ambos nulos, e n N, (na, nb) = n(a, b). 2. Dados a, b Z, não ambos nulos, tem-se que ( ) a (a, b), b = 1. (a, b) Dois números inteiros a e b serão ditos primos entre si, ou coprimos, se (a, b) = 1; ou seja, se o único divisor comum positivo de ambos é Dois números inteiros a e b são primos entre si se, e somente se, existem números inteiros m e n tais que ma + nb = 1. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Resumo - Propriedades do mdc slide 5/9

98 Um Teorema Fundamental A propriedade acima estabelece uma relação crucial entre as estruturas aditiva e multiplicativa dos números naturais, o que permite provar o importante resultado a seguir. Teorema Sejam a, b e c números inteiros. a b c e (a, b) = 1 = a c. Corolário Dados a, b, c Z, com b e c não ambos nulos, temos que b a e c a bc (b, c) a. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Resumo - Propriedades do mdc slide 6/9

99 Generalização do conceito de mdc Um número natural d será dito mdc de dados números inteiros a 1,..., a n, não todos nulos, se possuir as seguintes propriedades: i) d é um divisor comum de a 1,..., a n. ii) Se c é um divisor comum de a 1,..., a n, então c d. O mdc, quando existe, é certamente único e será representado por (a 1,..., a n ). Dados números inteiros a 1,..., a n, não todos nulos, existe o seu mdc e pode ser calculado recursivamente através da fórmula: (a 1,..., a n ) = (a 1,..., (a n 1, a n )). PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Resumo - Propriedades do mdc slide 7/9

100 Exemplos (72, 138, 252) = (72, (138, 252)) = (72, 6) = (15, 72, 180) = (15, (72, 180)) = (15, 36) = e PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Resumo - Propriedades do mdc slide 8/9

101 Os inteiros a 1,..., a n serão ditos primos entre si, ou coprimos, quando (a 1,..., a n ) = 1. Exemplo (5, 12, 18) = (5, (12, 18)) = (5, 6) = 1. (143, 175, 245) = (143, (175, 245)) = (143, 35) = e PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Resumo - Propriedades do mdc slide 9/9

102 MA14 - Aritmética Unidade 7 Resumo Mínimo Múltiplo Comum Abramo Hefez PROFMAT - SBM Julho 2013

103 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 5 - Seção 5.4 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 7 - Resumo - Mínimo Múltiplo Comum slide 2/9

104 Mínimo Múltiplo Comum Um número inteiro é um múltiplo comum de dois números inteiros dados se ele é simultaneamente múltiplo de ambos os números. Exemplo Os números ab e 0 são sempre múltiplos comuns de a e b. Um número inteiro m 0 é um mínimo múltiplo comum (mmc) dos números inteiros a e b, quando vale: (i) m é um múltiplo comum de a e b, e (ii) se c é um múltiplo comum de a e b, então m c. Exemplo 12 é um múltiplo comum de 2 e 3, mas não é um mmc destes números. O número 6 é um mmc de 2 e 3. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 7 - Resumo - Mínimo Múltiplo Comum slide 3/9

105 Se m e m são dois mínimos múltiplos comuns de a e b, então, do item (ii) da definição acima, temos que m m e m m. Como m e m são números inteiros não negativos, temos que m = m, o que mostra que o mínimo múltiplo comum, se existe, é único. Por outro lado, se m é o mmc de a e b e c é um múltiplo comum de a e b, então m c. Portanto, se c é positivo, temos que m c, mostrando que m é o menor dos múltiplos comuns positivos de a e b. O mínimo múltiplo comum de a e b, se existe, é denotado por [a, b]. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 7 - Resumo - Mínimo Múltiplo Comum slide 4/9

106 Caso exista [a, b] é fácil mostrar que [ a, b] = [a, b] = [ a, b] = [a, b]. Assim, para efeito do cálculo do mmc de dois números, podemos sempre supô-los não negativos. É também fácil verificar que [a, b] = 0 a = 0 ou b = 0. De fato, se [a, b] = 0, então 0 divide ab, que é múltiplo de a e b, logo ab = 0 e, portanto a = 0 ou b = 0. Reciprocamente, se a = 0 ou b = 0, então 0 é o único múltiplo comum de a e b, logo [a, b] = 0. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 7 - Resumo - Mínimo Múltiplo Comum slide 5/9

107 Relação entre o mdc, o mmc e o produto de dois inteiros Proposição Dados dois números inteiros a e b, temos que [a, b] existe e [a, b](a, b) = ab. Em virtude da proposição acima, o mínimo múltiplo comum de dois inteiros, ambos não nulos, pode ser encontrado por meio do Algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc, pois basta dividir o módulo do produto dos dois números pelo seu mdc. Corolário Se a e b são números inteiros primos entre si, então [a, b] = ab. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 7 - Resumo - Mínimo Múltiplo Comum slide 6/9