Programa Combinatória Aritmética Racional MATEMÁTICA DISCRETA. Patrícia Ribeiro. Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/ / 52

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1 1 / 52 MATEMÁTICA DISCRETA Patrícia Ribeiro Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/2019

2 2 / 52 Programa 1 Combinatória 2 Aritmética Racional 3 Grafos

3 3 / 52 Capítulo 1 Combinatória

4 4 / 52 Princípio da Adição Se A e B são conjuntos finitos e disjuntos, então o número de maneiras distintas de escolher um elemento de A ou um elemento de B é igual a A B = A + B. Se A 1,A 2,...,A n são conjuntos finitos e disjuntos dois a dois, então o número de maneiras distintas de escolher um elemento de A 1 ou um elemento de A 2... ou de A n é igual a A 1 A 2... A n = A 1 + A A n.

5 4 / 52 Princípio da Adição Se A e B são conjuntos finitos e disjuntos, então o número de maneiras distintas de escolher um elemento de A ou um elemento de B é igual a A B = A + B. Se A 1,A 2,...,A n são conjuntos finitos e disjuntos dois a dois, então o número de maneiras distintas de escolher um elemento de A 1 ou um elemento de A 2... ou de A n é igual a A 1 A 2... A n = A 1 + A A n.

6 5 / 52 Princípio do Produto Sejam A e B conjuntos finitos. Suponhamos que se pretende realizar uma escolha múltipla de dois elementos que consiste na escolha de exatamente um elemento em cada um dos conjuntos. Admitindo que estas escolhas se combinam livremente (isto é, cada escolha múltipla corresponde a um elemento de A B e vice-versa), então o número total de diferentes escolhas múltiplas possíveis é igual a A B = A B.

7 6 / 52 Princípio do Produto Sejam A 1,A 2,...,A n conjuntos finitos. Suponhamos que se pretende realizar uma escolha múltipla de n elementos que consiste na escolha de exatamente um elemento em cada um dos conjuntos. Admitindo que estas escolhas se combinam livremente (isto é, cada escolha múltipla corresponde a um elemento de A 1... A n e vice-versa), então o número total de diferentes escolhas múltiplas possíveis é igual a A 1... A n = A 1... A n.

8 7 / 52 Arranjos completos Definição Seja A um conjunto com n elementos. Chamamos arranjo completo (ou com repetição) dos n elementos de A tomados k a k, a todo o elemento (a 1,a 2,...,a k ) do produto cartesiano A k. O número total de arranjos completos de n elementos tomados k a k representa-se por A n k. O número total de arranjos completos de n elementos tomados k a k é dado por A n k = nk.

9 7 / 52 Arranjos completos Definição Seja A um conjunto com n elementos. Chamamos arranjo completo (ou com repetição) dos n elementos de A tomados k a k, a todo o elemento (a 1,a 2,...,a k ) do produto cartesiano A k. O número total de arranjos completos de n elementos tomados k a k representa-se por A n k. O número total de arranjos completos de n elementos tomados k a k é dado por A n k = nk.

10 8 / 52 Arranjos simples Definição Chamamos arranjo simples (ou sem repetição ou simplesmente arranjo) dos n elementos de A tomados k a k, a todo o elemento (a 1,a 2,...,a k ) do produto cartesiano A k, em que a 1,a 2,...,a k são todos distintos entre si. O número total de arranjos de n elementos tomados k a k representa-se por A n k. O número total de arranjos simples de n elementos tomados k a k é dado por = n(n 1)(n 2)...(n k + 1). A n k

11 8 / 52 Arranjos simples Definição Chamamos arranjo simples (ou sem repetição ou simplesmente arranjo) dos n elementos de A tomados k a k, a todo o elemento (a 1,a 2,...,a k ) do produto cartesiano A k, em que a 1,a 2,...,a k são todos distintos entre si. O número total de arranjos de n elementos tomados k a k representa-se por A n k. O número total de arranjos simples de n elementos tomados k a k é dado por = n(n 1)(n 2)...(n k + 1). A n k

12 9 / 52 Permutações Definição Chamamos permutação dos n elementos de um conjunto A, a todo o arranjo simples dos n elementos de A tomados n a n. O número total de permutações de n elementos designa-se por P n e é igual a P n = A n n = n (n 1) = n!.

13 10 / 52 Permutações Proposição Dado 0 < k n, o número de arranjos simples de n elementos tomados k a k é dado por A n k = n! (n k)!.

14 11 / 52 Permutações com repetição Definição Seja A um conjunto com k elementos, A = {a 1,a 2,...,a k }. Chama-se permutação-n com repetição dos k elementos de A, em que a 1 se repete n 1 vezes, a 2 se repete n 2 vezes,..., a k se repete n k vezes e em que n 1 + n n k = n, a todo o n-uplo do produto cartesiano A n com n 1 componentes iguais a a 1, n 2 componentes iguais a a 2,..., n k componentes iguais a a k. O número total de permutações-n representa-se por P(n 1,n 2,...,n k ).

15 12 / 52 Permutações com repetição O número total de permutações-n com repetição dos k elementos de A, em que a 1 se repete n 1 vezes, a 2 se repete n 2 vezes,..., a k se repete n k vezes e em que n 1 + n n k = n, é igual a P(n 1,n 2,...,n k ) = n! n 1! n 2!... n k!.

16 13 / 52 Combinações Definição Seja A um conjunto com n elementos e k um inteiro, tal que 0 k n. Chama-se combinação sem repetição (ou simplesmente combinação) dos n elementos tomados k a k, a qualquer subconjunto de A com k elementos. O número total de combinações dos n elementos tomados k a k representa-se por ( n k) ou por C n k.

17 14 / 52 Combinações Proposição Para todo o n N tem-se que ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n = = 1, = = n e 0 n 1 n 1 ( ) n = 0,k > n. k

18 15 / 52 Combinações Proposição Para n,k N 0, tal que 0 k n, tem-se que ( ) ( ) n n =. k n k

19 16 / 52 Combinações Para n N e 0 k n temos que ( ) n k = ( n 1 k 1 1 se k = 0 ou k = n ) ( + n 1 ) se 0 < k < n k

20 17 / 52 Combinações Para n N e 0 k n temos que ( ) n n! = k k!(n k)!.

21 18 / 52 Combinações com repetição Definição Seja A um conjunto com n elementos e k > 0 um inteiro qualquer. Chama-se combinação com repetição dos n elementos tomados k a k a toda a amostra não ordenada de k elementos de A distintos ou não. Representa-se por Ck n o número total de combinações com repetição dos n elementos tomados k a k. Para n N e k > 0 qualquer, temos que ( ) k + n 1 Ck n = P(k,n 1) =, k

22 18 / 52 Combinações com repetição Definição Seja A um conjunto com n elementos e k > 0 um inteiro qualquer. Chama-se combinação com repetição dos n elementos tomados k a k a toda a amostra não ordenada de k elementos de A distintos ou não. Representa-se por Ck n o número total de combinações com repetição dos n elementos tomados k a k. Para n N e k > 0 qualquer, temos que ( ) k + n 1 Ck n = P(k,n 1) =, k

23 19 / 52 binomial Dados a,b R e n N qualquer, temos que ( ) n (a + b) n = a k b n k. k n k=0

24 20 / 52 Princípio da inclusão-exclusão Sejam A e B conjuntos finitos. Então, A B = A + B A B.

25 21 / 52 Princípio da inclusão-exclusão Seja X um conjunto e A 1,A 2,...,A n X não necessariamente distintos. Então, A 1... A n = n i=1 A i n 1 i<j n A i A j + n A i A j A k ( 1) n+1 A 1... A n. 1 i<j<k n

26 22 / 52 Princípio da inclusão-exclusão Corolário Seja X um conjunto e A 1,...,A n X não necessariamente distintos. Então, X \ (A 1... A n ) = X A 1... A n.

27 23 / 52 Princípio da distribuição Forma fraca: Sejam m,n N. Se m n + 1 objetos são distribuídos por n caixas, então uma das caixas terá, pelo menos, dois objetos. Forma forte: Sejam m,n,k N. Se m nk + 1 objetos são distribuídos por n caixas, então uma das caixas terá, pelo menos, k + 1 objetos.

28 24 / 52 Capítulo 2 Aritmética Racional

29 25 / 52 Axiomática dos Inteiros Sejam a e b inteiros. Designaremos por a + b a sua soma e a b (ou ab) a sua multiplicação. Admitem-se válidos os seguintes axiomas: I1. a + b e ab pertencem a Z; I2. a + b = b + a e ab = ba; I3. (a + b) + c = a + (b + c) e (ab)c = a(bc); I4. a + 0 = a e a 1 = a; I5. a(b + c) = ab + ac; I6. Para cada a Z existe um único inteiro representado por a, tal que a + ( a) = 0; I7. Se a 0 e ab = ac, então b = c.

30 26 / 52 Axiomática dos Inteiros Proposição São válidas as seguintes propriedades: 1 O elemento neutro da adição em Z é único; 2 Sendo a,b,c Z é válida a lei do corte para a adição, ou seja se a + b = a + c, então b = c; 3 Se a Z,a 0 = 0; 4 Sendo a,b Z é válida a lei do anumlamento do produto, ou seja ab = 0 sse a = 0 ou b = 0.

31 27 / 52 Axiomática dos Inteiros Definição A subtração de inteiros representa-se por a b e define-se como se segue: a b = a + ( b).

32 28 / 52 Axiomática dos Inteiros Suponha-se que existe uma relação de ordem nos inteiros representado pelo símbolo. Sejam a,b e c inteiros. Admitem-se válidos os seguintes axiomas: I8. a a; I9. Se a b e b a, então a = b; I10. a b e b c, então a c; I11. a b a + c b + c; I12. a b e 0 c, então ac bc. Observação De referir que se pode definir as relações,< e >: a b sse b a; a < b sse a b e a b; a > b sse b a e a b.

33 29 / 52 Axiomática dos Inteiros Definição Seja X um subconjunto de Z. Diz-se que l é um minorante de X se l x, x X. Se l X diz-se que l é mínimo de X. I13. (Princípio da boa ordenação de Z) Se X é um subconjunto não vazio de Z com um minorante, então X tem mínimo. Princípio da boa ordenação de N: Se X é um subconjunto não vazio de N ou N 0, então X tem mínimo.

34 Princípio de Indução Seja P(n) uma afirmação na variável n N que satisfaz as seguintes condições: i) Base de indução: P(1) é verdadeira; ii) Passo de indução: para qualquer k N se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira. Então P(n) é verdadeira para todo o n N. 30 / 52

35 Princípio de Indução (1 a variante) Seja a N e P(n) uma afirmação na variável n N com n a que satisfaz as seguintes condições: i) Base de indução: P(a) é verdadeira; ii) Passo de indução: para qualquer k a se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira. Então P(n) é verdadeira para todo o n a. 31 / 52

36 Princípio de Indução completa Sejam a,r N e P(n) uma afirmação na variável n N com n a que satisfaz as seguintes condições: i) Base de indução: P(a), P(a + 1),..., P(a + r) são verdadeiras; ii) Passo de indução: para qualquer k a + r se P(a),P(a + 1),...,P(a + r),...,p(k) são verdadeiras, então P(k + 1) é verdadeira. Então P(n) é verdadeira para todo o n a. 32 / 52

37 33 / 52 Divisão Inteira Dados a,b Z, existem inteiros q e r, tais que a = bq + r, 0 r < b, onde q e r têm respetivamente o nome de quociente e resto da divisão de a por b. Além disso, q e r são únicos.

38 34 / 52 Representação de números em diferentes bases Seja b 2 um inteiro. Dado a N, se utilizarmos repetidamente o teorema anterior concluímos que a = bq 0 + r 0 q 0 = bq 1 + r 1. q n 2 = bq n 1 + r n 1 q n 1 = bq n + r n. Se eliminarmos por retrosubstituição os quocientes q i conseguimos representar a da seguinte maneira: que usualmente se representa por a = r n b n + r n 1 b n r 1 b + r 0, a = (r n r n 1...r 1 r 0 ) b.

39 35 / 52 Divisibilidade Definição Dados inteiros a e b, diz-se que a é divisor de b se b = aq para algum q Z. Denota-se por a b. Quando a não divide b utiliza-se a notação a b.

40 Divisibilidade Proposição Sejam a,b,c,d Z. Então: 1 ±a a, e 1 a; 2 a b sse ( a) b sse a ( b); 3 se c 0, então a b sse ac bc; 4 se a b, então a bc; 5 se ab c, então a c e b c; 6 se a b e b c, então a c; 7 se a b e c d, então ac bd; 8 se a b e a c, então a (bx + cy), para quaisquer x,y Z; 9 se a b e b a, então a = ±b; 10 se a 1, então a = ±1; 11 se a,b N e a b, então a b; 12 o número de divisores de um inteiro não nulo é finito. 36 / 52

41 37 / 52 Máximo divisor comum Um inteiro d é um divisor comum dos inteiros a e b se d a e d b. Definição Sejam a,b inteiros não ambos nulos. Ao maior dos divisores comuns de a e b dá-se o nome de máximo divisor comum de a e b. Representa-se por mdc(a,b).

42 38 / 52 Máximo divisor comum Lema (Algoritmo de Euclides) Se a = bq + r, então mdc(a,b) = mdc(b,r).

43 Máximo divisor comum Sejam a e b inteiros não ambos nulos e d = mdc(a,b). Então, existem inteiros x e y, tais que d = ax + by. 39 / 52

44 Máximo divisor comum Sejam a e b inteiros não ambos nulos. Então d = mdc(a,b) sse i) d > 0; ii) d a e d b; iii) se c a e c b, então c b. 40 / 52

45 41 / 52 Números primos entre si Definição Sejam a,b Z. Diz-se que a e b são primos entre si (ou primos relativos) se mdc(a, b) = 1. Proposição Dois inteiros a e b são primos entre si sse existem inteiros x e y, tais que 1 = ax + by.

46 42 / 52 Números primos entre si Proposição Sejam a, b, c Z. Se mdc(a, b) = 1, a c e b c, então ab c. Proposição (Lema de Euclides) Sejam a,b,c Z. Se a bc e mdc(a,b) = 1, então a c.

47 43 / 52 Menor múltiplo comum Definição Sejam a e b inteiros não nulos. Ao menor dos múltiplos comuns de a e b dá-se o nome de menor múltiplo comum de a e b. Representa-se por mmc(a,b).

48 Menor múltiplo comum Sejam a e b inteiros não ambos nulos. Então m = mmc(a,b) sse: 1 m > 0; 2 a m e b m; 3 sendo c 0, se a c e b c, então m c. 44 / 52

49 45 / 52 Relação entre mdc e mmc Se a e b são inteiros não nulos, então mmc(a,b) = ab mdc(a,b).

50 46 / 52 Equação linear diofantina a 2 incógnitas Sejam a,b,c Z,a,b 0 e d = mdc(a,b). 1 a equação ax + by = c tem soluções inteiras sse d c; 2 suponhamos que d c. Então, se (x 0,y 0 ) é uma solução inteira da equação ax + by = c, qualquer outro par (x,y) é solução sse for da forma x = x 0 + b d t y = y 0 a d t, t Z.

51 47 / 52 Números primos Definição Um número natural maior do que 1 diz-se primo se não tem outros divisores positivos além dele próprio e do 1. Um número que não é primo diz-se composto.

52 48 / 52 Números primos Qualquer número natural maior do que 1 é produto de números primos, isto é pode ser decomposto em fatores primos.

53 49 / 52 Trial division Corolário Seja n > 1 um número natural. Se n não é primo, então existe um primo p, tal que p n e p n.

54 50 / 52 Números primos Existe um número infinito de primos.

55 51 / 52 Decomposição em fatores primos Sejam a e b números inteiros e p um número primo. Se p divide ab, então p divide a ou p divide b. Corolário Se p é um número primo e x 1,x 2,...,x n são inteiros, tais que p x 1 x 2... x n, então p x i, para algum i = 1,2,...,n.

56 Decomposição em fatores primos ( fundamental da aritmética) A decomposição em fatores primos de um número maior do que 1 é única, a menos da ordem dos fatores. 52 / 52