Matemática Discreta. Fundamentos e Conceitos da Teoria dos Números. Universidade do Estado de Mato Grosso. 4 de setembro de 2017

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1 Matemática Discreta Fundamentos e Conceitos da Teoria dos Números Professora Dr. a Donizete Ritter Universidade do Estado de Mato Grosso 4 de setembro de 2017 Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

2 Sumário 1 Fundamentos Definições Teorema Prova 2 Teoria dos Números O algoritmo da divisão Div e Mod Máximo Divisor Comum (MDC) Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Congruência Aritmética Modular 3 Lógica de predicados: Quantificadores Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

3 Fundamentos Sumário 1 Fundamentos Definições Teorema Prova 2 Teoria dos Números O algoritmo da divisão Div e Mod Máximo Divisor Comum (MDC) Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Congruência Aritmética Modular 3 Lógica de predicados: Quantificadores Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

4 Fundamentos Definições Definição, teorema e prova Definição: especificam com precisão os conceitos em que estamos interessados; Teoremas: Afirmam exatamente o que é verdadeiro sobre estes conceitos; Provas: demonstram, de maneira irrefutável, a verdade dessas asserções. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

5 Fundamentos Definições Definições: Definição 1 (Par): Um inteiro é chamado par se é divisível por 2. Mas o que é inteiro e divisível? Vamos supor definido o conjunto dos números inteiros: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Definição 2 (Divisível): Sejam a e b inteiros. Dizemos que a é divisível por b se existe um inteiro c tal que b c = a. Dizemos também que b divide a, ou que b é um fator de a, ou que b é um divisor de a. A notação correspondente é b a. Se b não divide a, escrevemos b a. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

6 Fundamentos Definições Definições Exemplo: Vejamos: 12 é divisível por 4? Ou seja, se a = 12 e b = 4, existe um inteiro c tal que 4 c = 12? Obviamente, esse inteiro existe e é c = 3. Nestas condições, dizemos também que 4 divide 12 ou, equivalentemente, que 4 é um fator de 12, ou ainda, que 4 é um divisor de 12. Expressa-se No entanto, 12 não é divisível por 5, por exemplo, porque não há inteiro x para o qual 5 x = 12, assim, Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

7 Fundamentos Definições Exercício sobre divisibilidade: Exercício 1 Determine quais das asserções seguintes são verdadeiras e quais são falsas; utilize a definição 2 para explicar suas respostas Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

8 Fundamentos Definições Definições: Agora podemos usar a definição 1: O número 12 é par porque 2 12, ou seja, 2 6 = 12. O número 13 não é par porque 2 13, ou seja, não existe inteiro c, tal que 2 c = 13. Definição 3 (Ímpar): Um inteiro a é chamado ímpar desde que haja um inteiro x tal que a = 2 x + 1. Assim 13 é ímpar porque temos x = 6 e 13 = Note que a definição de ímpar não afirma que um inteiro é ímpar desde que não seja par. Isso, naturalmente, é verdade, conforme provaremos mais adiante. Todo inteiro é ímpar ou par, mas não ambos é um fato que podemos provar. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

9 Fundamentos Definições Definições: Definição 4 (Primo): Um inteiro p é primo se p > 1 e se os únicos divisores positivos de p são 1 e p. 13 é primo pois satisfaz as duas condições: 13 > 1 e os únicos divisores de 13 são 1 e não é primo pois não satisfaz a segunda condição, uma vez que seus divisores são: 1, 2, 3, 4, 6 e não é primo pois não satisfaz a primeira condição: 1 1! Se n > 1 não é primo, dizemos que n é composto. Definição 5 (Composto): Um inteiro a é chamado composto se existe um inteiro b tal que 1 < b < a e b a. O número 1 não é composto! Ele é chamado unidade. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

10 Fundamentos Definições Exercício sobre números primos: Exercício 2 Nenhum dos números seguintes é primo. Explique por que eles não satisfazem a definição 4. Quais desses números são compostos? π Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

11 Sumário 1 Fundamentos Definições Teorema Prova 2 Teoria dos Números O algoritmo da divisão Div e Mod Máximo Divisor Comum (MDC) Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Congruência Aritmética Modular 3 Lógica de predicados: Quantificadores Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

12 O algoritmo da divisão O algoritmo da divisão Teorema 1: Dados dois inteiros a e b, b > 0, existe um único par de inteiros q e r tais que: a = q b + r, com 0 r < b (r = 0 b a) (q é chamado de quociente e r de resto da divisão de a por b). Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

13 O algoritmo da divisão O algoritmo da divisão Exemplo 1: Sejam a = 23 e b = 10. Então o quociente é q = 2 e o resto é r = 3, porque 23 = e 0 3 < 10 Exemplo 2: Sejam a = 37 e b = 5. Então o quociente é q = 8 e o resto é r = 3, porque 37 = ( 8) e 0 3 < 5 Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

14 O algoritmo da divisão O algoritmo da divisão Exercício 3: Para os pares de inteiros a, b a seguir, determine inteiros q e r tais que a = q b + r e 0 r < b : 1 a = 100, b = 3; 2 a = 100, b = 3; 3 a = 99, b = 3; 4 a = 99, b = 3; 5 a = 0, b = 3; 6 a = 59, b = 6; 7 a = 71, b = 5; 8 a = 48, b = 7; 9 a = 67, b = 13; Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

15 Div e Mod Div e Mod Definição de Div e Mod: Sejam a, b Z, com b > 0, pelo teorema 1, existe um único par de inteiros q e r tais que a = q b + r e 0 r < b. Definimos as operações div e mod como: a div b = q e a mod b = r Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

16 Div e Mod Div e Mod Exemplo: Os cálculos a seguir ilustram as operações div e mod: 11 div 3 = 3 e 11 mod 3 = 2 23 div 10 = 2 e 23 mod 10 = 3 37 div 5 = 8 e 37 mod 5 = 3 Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

17 Div e Mod Div e Mod Exercício 4: Para os pares de inteiros a, b a seguir, determine a div b e a mod b: 1 a = 80, b = 3; 2 a = 80, b = 3; 3 a = 81, b = 3; 4 a = 81, b = 3; 5 a = 33, b = 2; 6 a = 63, b = 6; 7 a = 47, b = 5; 8 a = 48, b = 6; 9 a = 60, b = 11; Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

18 Div e Mod Teorema Fundamental da Aritmética Números Primos Já vimos que um número inteiro n (n > 1) possuindo somente dois divisores positivos n e 1 é chamado primo. Se n > 1 não é primo dizemos que n é composto. Teorema 2: Todo inteiro maior do que 1 pode ser representado de maneira única (a menos da ordem) como um produto de fatores primos. Teorema 3: (Euclides) A sequência dos números primos é infinita. Teorema 4: Se n não é primo, então n possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a n Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

19 Div e Mod Crivo de Eratóstenes Método para encontrar números primos usando o Teorema 4: Crivo de Eratóstenes Exercício 6: Encontrar os números primos menores do que 100. Atividade extra-classe: Fazer um programa que encontre os números primos menores ou iguais a um n dado. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

20 Máximo Divisor Comum (MDC) Máximo Divisor Comum (MDC) Definição de Divisor Comum: Sejam a, b Z, dizemos que um inteiro d é um divisor comum de a e b se d a e d b. Por exemplo, os divisores comuns de 30 e 24 são -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 e 6. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

21 Máximo Divisor Comum (MDC) Máximo Divisor Comum (MDC) Definição de Máximo Divisor Comum: Sejam a, b Z, dizemos que um inteiro d é o máximo divisor comum de a e b se: 1 d é um divisor comum de a e b, e 2 se e é um divisor comum de a e b, então e d. Em outras palavras, o máximo divisor comum de dois inteiros a e b (a ou b diferente de zero), é o maior inteiro que divide a e b. O Máximo Divisor comum de a e b é denotado por mdc(a, b). Por exemplo, o máximo divisor comum de 30 e 24 é 6. Escrevemos mdc(30, 24) = 6. Também mdc( 30, 24) = 6. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

22 Máximo Divisor Comum (MDC) Cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC) Proposição 1: Sejam a e b inteiros positivos, e c = a mod b. Então: mdc(a, b) = mdc(b, c). Em outras palavras, para inteiros positivos a e b, temos:. mdc(a, b) = mdc(b, a mod b) Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

23 Máximo Divisor Comum (MDC) Cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC) O Algoritmo de Euclides para o Máximo Divisor Comum Entrada: Inteiros positivos a e b. Saída: mdc(a, b). Seja c = a mod b Se c = 0, retornamos a resposta b e paramos. Em caso contrário (c 0), calculamos mdc(b, c) e consideramos isto como resposta. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

24 Máximo Divisor Comum (MDC) Cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC) O Algoritmo de Euclides para o Máximo Divisor Comum Exemplo: Calcular o mdc(689, 234) usando o Algoritmo de Euclides. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

25 Máximo Divisor Comum (MDC) Cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC) O Algoritmo de Euclides para o Máximo Divisor Comum Exercício 5: Encontrar, usando o Algoritmo de Euclides, o máximo divisor comum dos seguintes pares de números a e b. 1 mdc(542, 234) 2 mdc(9652, 252) 3 mdc(24573, 1387) 4 mdc(4276, 1234) 5 mdc(48762, 176) 6 mdc(42516, 97421) 7 mdc(8374, 24517) 8 mdc(35262, 12753) Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

26 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Mínimo Múltiplo Comum (MMC) O Mínimo Múltiplo Comum de dois inteiros positivos a e b é o menor inteiro positivo que é divisível por a e b. O mínimo múltiplo comum de a e b é denotado por mmc[a, b]. Por exemplo, o mínimo múltiplo comum de 30 e 24 é 120. Escrevemos mmc[30, 24] = 120. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

27 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Exercício 7: Encontrar, usando técnicas já conhecidas, o mínimo múltiplo comum dos seguintes pares de números a e b. 1 mmc(44, 32) 2 mmc(234, 12) 3 mmc(35, 24) 4 mmc(142, 742) 5 mmc(17, 141) 6 mmc(42, 52) 7 mmc(501, 2141) 8 mmc(144, 64) Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

28 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) O teorema a seguir nos ajudará a calcular o Mínimo Múltiplo Comum Teorema 5: Para a e b inteiros positivos temos, mmc[a, b] mdc(a, b) = a b. Exemplo: Calcular, usando o Teorema 5, o mmc(689, 234). Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

29 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Exercício 8: Encontrar o mínimo múltiplo comum, usando o Teorema 5, dos seguintes pares de números a e b. 1 mmc(542, 234) 2 mmc(9652, 252) 3 mmc(24573, 1387) 4 mmc(4276, 1234) 5 mmc(48762, 176) 6 mmc(42516, 97421) 7 mmc(8374, 24517) 8 mmc(35262, 12753) Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

30 Congruência Congruência Definição de Congruência: Se a e b são inteiros dizemos que a é congruente a b módulo m (m > 0) se m (a b). Denotamos isto por a b(mod m). Se m (a b) dizemos que a é incongruente a b módulo m e denotamos a b(mod m). Exemplo: 11 3(mod 2) pois 2 (11 3). Como 5 6 e 6 = temos que 17 11(mod 5). Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

31 Congruência Congruência Proposição 2: Se a e b são inteiros, temos a b(mod m) se, e somente se, existir um inteiro k tal que a = b + k m. Proposição 3: Se a, b, m e d são inteiros, (m > 0), as seguintes sentenças são verdadeiras: 1 a a(mod m) 2 Se a b(mod m), então b a(mod m) 3 Se a b(mod m) e b d(mod m), então a d(mod m) Proposição 4: Se a, b, m Z, com m > 0. Então, a b(mod m) a mod m = b mod m Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

32 Congruência Congruência Teorema 6: Se a, b, m e c são inteiros tais que a b(mod m), então: 1 a + c b + c(mod m) 2 a c b c(mod m) 3 a c b c(mod m) Teorema 7: Se a, b, m e d são inteiros tais que a b(mod m) e c d(mod m), então: 1 a + c b + d(mod m) 2 a c b d(mod m) 3 a c b d(mod m) Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

33 Congruência Congruência Exercício 9: Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras (mod 24) (mod 10) (mod 19) (mod 18) (mod 120) (mod 5) (mod 5) 8 4 4(mod 5) (mod 10) Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

34 Aritmética Modular Aritmética Modular Um novo contexto para operações básicas: A aritmética é o estudo das operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão. o contexto geral para o estudo destas operações são os sistemas numéricos como os inteiros Z ou os racionais Q por exemplo. Agora iremos introduzir um novo contexto para os símbolos +,, e, onde seus significados são diferentes do contexto tradicional. A diferença é tão significativa que adotamos símbolos alternativos para essas operações. Usamos os símbolos,, e Ø. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

35 Aritmética Modular Aritmética Modular Definição do conjunto Z n Em lugar de fazermos aritmética sobre inteiros ou racionais, o novo conjunto em que vamos trabalhar é denotado por Z n, onde n é um inteiro positivo. Define-se o conjunto Z n como: Z n = 0, 1, 2,..., n 1 ou seja, Z n contém todos os números naturais de 0 a n 1, inclusive. Chamamos este sistema de números inteiros mod n. Para distinguir,, e Ø de seus primos sem círculo, vamos nos referir a essas operações como adição mod n, subtração mod n, multiplicação mod n e divisão mod n. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

36 Aritmética Modular Aritmética Modular Definição de Adição e Multiplicação Modulares Sejam n um inteiro positivo e a, b Z n. Definimos: a b = (a + b) mod n a b = (a b) mod n Seja n um inteiro positivo e sejam a, b Z n. Então, existe um e um só x Z n tal que a = b x. Definição de Subtração Modular Sejam n um inteiro positivo e a, b Z n. Definimos a b como o único valor x Z n tal que a = b x. Proposição 5: Seja n um inteiro positivo e sejam a, b Z n. Então, a b = (a b) mod n. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

37 Aritmética Modular Aritmética Modular Exemplo: Seja n = 10. Temos o seguinte: 5 5 = = = = = = 7 Exercício 10: Calcule o seguinte no contexto de Z 10 : 3 3 = 6 6 = 7 3 = 9 8 = 3 3 = 4 4 = 7 3 = 5 2 = 6 6 = 4 6 = 4 1 = 5 8 = 8 5 = 9 3 = Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

38 Aritmética Modular Aritmética Modular Definição de Inverso Modular Para podermos definir a divisão em Z n, começamos definindo inversos: Sejam n um inteiro positivo e a Z n. O inverso de a é um elemento b Z n tal que a b = 1. Um elemento de Z n que tenha um inverso é chamado invertível. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

39 Aritmética Modular Aritmética Modular Definição de Inverso Modular: Investiguemos os inversos em Z 10. Eis uma tabela de multiplicação para Z Tabela: Multiplicação em Z 10 Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

40 Aritmética Modular Aritmética Modular Definição de Inverso Modular Cabem aqui diversos comentários: O elemento 0 não tem inverso (o que não é de surpreender). Os elementos 2, 4, 5, 6 e 8 não têm inversos. Os elementos 1, 3, 7 e 9 são invertíveis (têm inversos). Além disso, têm apenas um inverso cada um. Note que os elementos de Z 10 que têm inverso são precisamente os inteiros em Z 10 que são relativamente primos com 10. O inverso de 3 é 7 e o inverso de 7 é 3; 1 e 9 são seus próprios inversos. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

41 Aritmética Modular Aritmética Modular Definição de Inverso Modular Proposição 6: Sejam n um inteiro positivo e a Z n. Se a tem um inverso em Z n, então tem apenas um inverso. No contexto de Z n, a 1 é o inverso de a. Não é (e nunca devemos escrever) 1 a. Por exemplo, no contexto de Z 10, temos 3 1 = 7 Note que 3 e 7 são inversos um do outro em Z 10. Temos o seguinte: Proposição 7: Sejam n um inteiro positivo e a Z n. Suponhamos que a seja invertível. Se b = a 1, então b é invertível e a = b 1. Em outras palavras, (a 1 ) 1 = a. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

42 Aritmética Modular Aritmética Modular Definição de Divisão Modular Seja n um inteiro positivo e seja b um elemento invertível de Z n. Seja a Z n arbitrário. Então, aøb se define como a b 1. Exemplo: Em Z 10, calcule 2Ø7. Note que 7 1 = 3; assim 2Ø7 = 2 3 = 6 Teorema 8: Elementos invertíveis de Z n Seja n um inteiro positivo e seja a Z n. Então a é invertível se e somente se a e n são relativamente primos. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

43 Aritmética Modular Aritmética Modular Exercício 11: Construa a tabela de multiplicação e encontre os elementos invertíveis em Z Tabela: Multiplicação em Z 9 Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

44 Aritmética Modular Aritmética Modular Exercício 11: Construa a tabela de multiplicação e encontre os elementos invertíveis em Z Tabela: Multiplicação em Z 9 Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

45 Lógica de predicados: Quantificadores Sumário 1 Fundamentos Definições Teorema Prova 2 Teoria dos Números O algoritmo da divisão Div e Mod Máximo Divisor Comum (MDC) Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Congruência Aritmética Modular 3 Lógica de predicados: Quantificadores Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

46 Lógica de predicados: Quantificadores Lógica de predicados: Quantificadores Definição de Predicados Considere as afirmações: P(x) : x > 3 Q(x, y) : x = y + 3 R(x, y, z) : x + y z é par Estas afirmações não podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas enquanto os valores para as variáveis não forem especificadas. Mas, P(2) é falso Q(6, 3) é verdadeiro R(2, 2, 3) é falso Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

47 Lógica de predicados: Quantificadores Lógica de predicados: Quantificadores Definição de Predicados Um predicado ou função proposicional é uma afirmação envolvendo variáveis tal que qualquer substituição de cada variável por um ponto do seu domínio, torna a afirmação uma proposição. Quantificadores: Uma alternativa a atribuir valores específicos às variáveis de um predicado é utilizar quantificadores que também transformam os predicados em proposições. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

48 Lógica de predicados: Quantificadores Lógica de predicados: Quantificadores Quantificador Universal x P(x) Para todo o x P(x) Qualquer que seja x P(x) Para todos os valores de x pertencentes ao universo do discurso, a proposição P(x) é verdadeira. x A, afirmações sobre x x Z, x é impar ou x é par. O universo poderá (e deverá) ser especificado quando há ambiguidades. Exemplo: x R, x 2 0 é uma proposição verdadeira. x C, x 2 0 é uma proposição falsa. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

49 Lógica de predicados: Quantificadores Lógica de predicados: Quantificadores Quantificador Existencial x P(x) Existe um x tal que P(x) Existe pelo nenos um x tal que P(x) Para algum x pertencente ao universo do discurso a proposição P(x) é verdadeira. x A, afirmações sobre x x N, x é primo e par. Da mesma maneira o universo poderá ser especificado: x R, 2x = 1 é uma proposição verdadeira. x N, 2x = 1 é uma proposição falsa. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

50 Lógica de predicados: Quantificadores Lógica de predicados: Quantificadores Exercício 12: Escreva as sentenças seguintes utilizando a notação de quantificador (isto é, use os símbolos e/ou ). Discuta se cada sentença é verdadeira ou falsa. 1 Todo inteiro é primo. 2 Há um inteiro que não é primo nem composto. 3 Existe um inteiro cujo quadrado é 2. 4 Todos os inteiros são divisíveis por 5. 5 Algum inteiro é divisível por 7. 6 O quadrado de qualquer inteiro é não negativo. 7 Para todo inteiro x, existe um inteiro y tal que x y = 1. 8 Existem dois inteiros x e y tais que x/y = Existe um inteiro que, quando multiplicado por qualquer inteiro, sempre dá o resultado zero. 10 Qualquer que seja o inteiro que escolhamos, existe sempre outro inteiro maior do que ele. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

51 Lógica de predicados: Quantificadores Lógica de predicados: Quantificadores Combinação de quantificadores e x, y, afirmações sobre x e y. y, x, afirmações sobre x e y. não são mutuamente equivalentes. Exemplo: Considere as seguintes afirmações sobre inteiros: Para todo x, existe um y, tal que x + y = 0. Existe um y, tal que para todo x, temos x + y = 0. Em símbolos, essas afirmações se escrevem: x, y, x + y = 0. (verdadeiro!) y, x, x + y = 0. (falso!) Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

52 Lógica de predicados: Quantificadores Lógica de predicados: Quantificadores Exercício 13: Assinale como verdadeira ou falsa cada uma das sentenças seguintes sobre inteiros. (não é preciso provar suas afirmações) 1 x, y, x + y = 0. 2 x, y, x + y = 0. 3 x, y, x + y = 0. 4 x, y, x + y = 0. 5 x, y, x y = 0. 6 x, y, x y = 0. 7 x, y, x y = 0. 8 x, y, x y = 0. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

53 Lógica de predicados: Quantificadores Lógica de predicados: Quantificadores Negação do Quantificador Universal x P(x) Para ser verdadeiro, P(x) tem que ser verdadeiro para todos os valores de x. Para ser falso basta que arranjemos um exemplo para o qual P(x) é falso. Logo, ( x P(x)) x( P(x)) Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

54 Lógica de predicados: Quantificadores Lógica de predicados: Quantificadores Negação do Quantificador Existencial x P(x) Para ser verdadeiro, basta que encontremos um exemplo de x para o qual P(x) é verdadeiro. Para ser falso teremos que mostrar que não há nenhum exemplo de um valor de x para o qual P(x) seja verdadeiro. Em outras palavras, para ser falso, P(x) tem que ser falso para todos os valores de x. Logo, ( x P(x)) x( P(x)) Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

55 Lógica de predicados: Quantificadores Lógica de predicados: Quantificadores Exercício 14: Para cada uma das sentenças seguintes, escreva a negação correspondente. 1 x Z, x é ímpar. 2 x Z, x < 0. 3 x Z, x = x x N, x > x N, x + x = 2x. 6 x Z, y Z, x > y. 7 x Z, y Z, x = y. 8 x Z, y Z, x + y = 0. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

56 Lógica de predicados: Quantificadores Lógica de predicados: Quantificadores Exercício 15: Sendo R o conjunto dos números reais, determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições. 1 ( x R), ( x = x). 2 ( x R), (x 2 = x). 3 ( x R), ( x = 0). 4 ( x R), (x + 2 = x). 5 ( x R), (x + 1 > x). 6 ( x R), (x 2 = x). Exercício 16: Dar a negação das proposições do Exercício 15. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57

57 Lógica de predicados: Quantificadores Lógica de predicados: Quantificadores Exercício 17: Sendo A = 1, 2, 3, 4, 5, determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições. 1 ( x A), (x + 3 = 10). 2 ( x A), (x + 3 < 10). 3 ( x A), (x + 3 < 5). 4 ( x A), (x + 3 7). 5 ( x A), (3 x > 72). 6 ( x A), (x 2 + 2x = 15). Exercício 18: Dar a negação das proposições do Exercício 17. Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4 de setembro de / 57