Estruturas Discretas INF 1631

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1 Estruturas Discretas INF 1631 Thibaut Vidal Departamento de Informática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rua Marquês de São Vicente, Gávea, Rio de Janeiro - RJ, , Brazil vidalt@inf.puc-rio.br March 7, 2016 > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 1/15

2 Conteúdo 1 Conceitos Básicos Teorema Lema e Corolário Axiomas e Definições 2 Quantificadores 3 Exercícios > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 1/15

3 Conceitos Básicos O primeiro passo para a resolução de um problema é defini-lo correta e precisamente. A definição do problema envolve as seguintes questões: Qual o objeto (ou quais os objetos) em análise? Quais são as características desse objeto (ou desses objetos)? O que se deseja provar? > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 2/15

4 Teorema O objeto básico de uma demonstração e a proposição que desejamos demonstrar. Essa proposição recebe o nome de teorema. Um teorema e dividido em duas partes: Hipótese: Apresenta as informações conhecidas sobre o teorema. Essas informações são tomadas como verdadeiras a fim de se tentar obter uma demostração. Tese: E a parte do teorema que desejamos validar, a partir da hipótese, utilizando uma sequencia de argumentos formais. Hipótese Tese > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 3/15

5 Lema e Corolário Em algumas circunstancias os teoremas recebem nomes especiais. Quando um teorema é utilizado como parte da demonstração de um outro teorema, em geral mais complexo, ele recebe o nome de Lema Quando um teorema é uma consequência imediata de outro, ele recebe o nome de Corolário. Por exemplo: Teorema A soma dos ângulos internos de um triangulo é 180 graus. Corolário Cada angulo de um triangulo equilátero vale 60 graus. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 4/15

6 Uma proposição pode ser falsa ou verdadeira. Caso seja encontrada uma prova, ela se tornara um teorema. Exemplos: Para n 1, n 2 + n + 5 é um número primo. Tudo numero múltiplo de 6 e múltiplo de 3 Existem infinitas de triplas de naturais (x, y, z) tais que x 2 + y 2 = z 2 > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 5/15

7 Uma proposição pode ser falsa ou verdadeira. Caso seja encontrada uma prova, ela se tornara um teorema. Exemplos: A série n i=1 1/i diverge Existem infinitos números primos O algoritmo Heapsort realiza no máximo 5n log n comparações para ordenar uma lista de n números > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 6/15

8 Definições Definição é a enumeração das propriedades que um determinado objeto (matemático ou não) deve obrigatoriamente ter (ou deixar de ter) para pertencer a uma determinada classe de objetos. Definição Um inteiro p é primo se e somente se for divisível por exatamente quatro números: 1, 1, p e p. Definição O módulo r de um número real r é r, se r 0, ou r, se r < 0. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 7/15

9 Definições Evidententemente, toda definição é correta. Não há necessidade (ou maneira) de prová-la. Há casos, contudo, em que uma mesma entidade recebe duas diferentes definições. Quando isso ocorre, é necessário provar que as definições se equivalem. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 8/15

10 Axioma Um axioma é uma afirmação básica aceita por todos acerca de um algo. Axiomas são normalmente informações óbvias, baseadas no senso comum: Axioma Todo número inteiro tem um único sucessor. Axioma Entre dois pontos distintos no plano existe uma única reta. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 9/15

11 Quantificadores O quantificador todo é representado por, e muitas vezes utilizamos o termo qualquer que seja em seu lugar O quantificador existe é denotado por Frequentemente, torna-se necessário encontrar a negação de uma asserção. Nesse momento é fundamental compreender perfeitamente o significado dos quantificadores. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 10/15

12 Quantificadores Frequentemente, torna-se necessário encontrar a negação de uma asserção. Nesse momento é fundamental compreender perfeitamente o significado dos quantificadores: Todo número cuja soma dos dígitos (na base 10) é um múltiplo 3 é divisível por 3. Existe um número que não é divisível por 3 cuja soma dos dígitos (na base 10) é um múltiplo de 3. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 11/15

13 Quantificadores Frequentemente, torna-se necessário encontrar a negação de uma asserção. Nesse momento é fundamental compreender perfeitamente o significado dos quantificadores: Toda tripla de números inteiros x, y e z é tal que x 2 + y 2 z 2. Existe uma tripla de números inteiros x, y e z tal que x 2 + y 2 = z 2. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 12/15

14 Exercícios Exercício 1 - Seja I um intervalo, e f : I R uma função contínua. Reescreva as seguintes propostas utilizando quantificadores: a - A função f é constante b - A função f não é constante c - A função f atinge o valor zero > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 13/15

15 Exercícios Exercício 2 - Seja f : R R uma função. Negue as seguintes propostas: a - x R, f (x) 0. b - M > 0, A > 0, x A, f (x) > M. > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 14/15

16 Exercícios Exercício 3 - Determine se cada proposta é verdadeira ou falsa a - x R, y R, z R, z xy = 0 b - y R, x R, z R, z xy = 0 c - y R, z R, x R, z xy = 0 d - a R, ɛ > 0, a < ɛ e - ɛ > 0, a R, a < ɛ > Conceitos Básicos Quantificadores Exercícios 15/15