Aula 8 Variações da Eliminação de Gauss/Fatoração LU.

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1 Aula 8 Variações da Eliminação de Gauss/Fatoração LU. MS211 - Cálculo Numérico Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas

2 O método da eliminação de Gauss/Fatoração LU podem ser adaptados para certos tipos de matrizes que surgem em muitas situações práticas. Nesse casos, informações adicionais sobre a estrutura da matriz são consideradas de forma a reduzir o esforço computacional do método numérico. Na aula de hoje, veremos duas variações da eliminação de Gauss/fatoração LU.

3 Matriz Diagonalmente Estritamente Dominante Para algumas matrizes, o método da eliminação de Gauss pode ser aplicado sem a estratégia de pivoteamento parcial. Definição 1 Dizemos que A R n n é uma matriz diagonalmente dominante se a ii > j i a ij, i = 1,..., n.

4 Exemplo 2 Determine quais matrizes são diagonalmente estritamente dominante: [ 2 ] [ ] [ ] A = 1 2 1, B = e C =

5 Exemplo 2 Determine quais matrizes são diagonalmente estritamente dominante: [ 2 ] [ ] [ ] A = 1 2 1, B = e C = Resposta: A única matriz diagonalmente dominante é a matriz B.

6 Teorema 3 Se A R n n é uma matriz diagonalmente dominante, então A é não-singular. Sobretudo, o sistema linear Ax = b pode ser resolvido usando o método da eliminação de Gauss sem pivoteamento. A demonstração desse teorema pode ser encontrada em: Análise Numérica, R. L. Burden e J. D. Faires. Editora Pioneira, 2003.

7 Matriz Simétrica Definição 4 (Matriz Simétrica) Uma matriz A R n é simétrica se A T = A, ou seja, a ij = a ji, i, j = 1,..., n. Exemplo 5 Determine quais matrizes são simétricas: [ 2 ] [ ] A = 1 2 1, B = e C = [ 6 ]

8 Matriz Simétrica Definição 4 (Matriz Simétrica) Uma matriz A R n é simétrica se A T = A, ou seja, a ij = a ji, i, j = 1,..., n. Exemplo 5 Determine quais matrizes são simétricas: [ 2 ] [ ] A = 1 2 1, B = e C = [ 6 ] Resposta: As matrizes A e C são simétricas.

9 Matriz Definida Positiva Definição 6 (Matriz Definida Positiva) Uma matriz A R n n é definida positiva se x T Ax > 0 para todo x R n, x 0. Teorema 7 (Decomposição de Cholesky) Se A R n n é uma matriz simétrica e definida positiva, então A pode ser decomposta de forma única no produto GG T, em que G é uma matriz triangular inferior com diagonal positiva. Pode-se demonstrar o teorema acima usando a fatoração LU. A demonstração pode ser encontrada em: Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computacionais, M. Ruggiero e V. Lopes, 2a edição, Editora Pearson, 1997.

10 Cálculo do Fator de Cholesky Seja A R n n uma matriz simétrica e definida positiva. Vamos escrever A = GG T, ou seja, a 11 a a n1 g 11 g 11 g g n1 a 21 a a n = g 21 g 22 g g n a n1 a n2... a nn g n1 g n2... g nn g nn Efetuando o produto por colunas, encontramos: Primeira coluna: Logo, a 11 a 21 g 11 g 11 g = g 21 g = g 21 g 11. a n1 g n1 g n2... g nn 0 g n1 g 11 g 11 = a 11 e g j1 = a j1 g 11, j = 2,..., n.

11 Segunda coluna: a 21 g 11 g 21 g 11 g 21 a 22 g 21 g 22 g 22 g21 2 a 32 = g 31 g 32 g g2 22 = g 31 g 21 + g 32 g a n2 g n1 g n2 g n3... g nn 0 g n1 g 21 + g n2 g 22 Logo, g 22 = a 22 g 2 21 e g j2 = a j2 g j1 g 21 g 22, j = 3,..., n.

12 Coluna k: a k1. a kk a k+1,k. a k2 g 11 g k = g k1... g kk g kk g k+1,1... g k+1,k g k+1,k g n1... g nk g n,k+1... g nn 0 Logo, teremos a kk = gk k 1 g2 kk = g kk = akk gki 2, e Portanto, i=1 a jk = g j1 g k g jk g kk, j = k + 1,..., n. g jk = 1 g kk ( ) k 1 a jk g ji g ki, j = k + 1,..., n. i=1

13 Fatoração de Cholesky Entrada: Matriz A R n n simétrica e definida positiva. para k = 1 : n faça k 1 g kk = akk gkj 2. j=1 para i = k + 1 : n faça g ik = 1 k 1 a ik g ij g kj. g kk fim fim Saída: Matriz G triangular inferior com diagonal positiva. j=1

14 Exemplo 8 Determine, se possível, a fatoração de Cholesky das matrizes A = e C =

15 Exemplo 8 Determine, se possível, a fatoração de Cholesky das matrizes A = e C = Resposta: Temos que A = GG T em que 2 G = Ao tentar fatorar a matriz C, encontra-se a raiz quadrada de um número negativo. Logo, embora simétrica, C não é definida positiva.

16 A fatoração de Cholesky pode ser usada para verificar se uma matriz é simétrica e definida positiva; se o método falhar, a hipótese é falsa! A fatoração de Cholesky requer a metade do número de operações efetuadas na fatoração LU! Conhecendo a fatoração de Cholesky, o sistema Ax = b é resolvido em dois estágios: 1. Gy = b. 2. G T x = y.

17 Matriz Banda Definição 9 (Matriz Banda) Dizemos que A R n n é uma matriz banda se existem inteiros p e q, com 1 < p, q < n, tais que a ij = 0, se i > j + p ou j > i + q. O valor p + q + 1 é chamado tamanho da banda. Além disso, p é chamado tamanho da banda inferior e q é o tamanho da banda superior. Em muitas situações, encontramos matrizes banda que são também diagonalmente dominante ou simétrica e definida positiva.

18 Exemplo 10 Determine quais matrizes são banda e, no caso afirmativo, o tamanho da banda: [ 2 ] [ ] [ ] A = 1 2 1, B = e C =

19 Exemplo 10 Determine quais matrizes são banda e, no caso afirmativo, o tamanho da banda: [ 2 ] [ ] [ ] A = 1 2 1, B = e C = Resposta: As matrizes A e B são matrizes banda com tamanho da banda p = q = 1.

20 Definição 11 (Matriz Tridiagonal) Uma matriz banda A R n n com p = q = 1 é chamada matriz tridiagonal. De um modo geral, uma matriz A R n n tridiagonal é da forma: a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 32 a 33 a 34 A = a n 1,n 2 a n 1,n 1 a n 1,n a n,n 1 a n,n Logo, o método da eliminação de Gauss deve modificado de modo a introduzir zeros apenas no lugar dos elementos a 21, a 32,..., a n 1,n. Ideia similar é válida para matrizes banda, de um modo geral!