Método Simplex Revisado
|
|
- Ana Beatriz Graça Pinto
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Método Simplex Revisado Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP
2 Introdução Método Simplex Tradicional - MST: Em cada iteração são modificados todos os elementos das tabelas usadas na aplicação do método. Informações necessárias para a continuidade do Simplex: Coeficientes de custo relativo ( C j ); Coeficientes da variável não básica que entra nas restrições (coluna do pivot); Quais são as variáveis básicas atuais e seus valores ( ). Observação: as demais colunas da tabela do simplex não contém informações relevantes para o pivoteamento: para modelos de PL de porte razoável a aplicação do MST pode ser ineficiente e custosa do ponto de vista computacional. b j 2
3 Método Simplex Revisado Códigos comerciais com implementações do Simplex usam um refinamento conhecido como Método Simplex Revisado - MSR. Características do MSR: Usa os mesmos princípios do MST; Não atualiza toda a tabela em cada iteração; As informações para concretizar cada iteração são obtidas diretamente a partir dos dados originais. 3
4 Vantagens do MSR sobre o MST Quando o número de variáveis do modelo é bem maior que o número de restrições (n >> m) o total de operações em cada iteração é menor no MSR, pois trabalha-se com tabelas cuja dimensão é determinada pelo número de restrições (m); Há um controle maior de erros de arredondamento no MSR; Para modelos onde há muitos coeficientes nulos nas restrições, usando o MST estes coeficientes nulos desaparecem já nas operações iniciais de pivoteamento; O MSR é útil para a abordagem facilitada de outros tópicos de Programação Linear. 4
5 Forma Matricial do Método Simplex Considere o modelo de PL na forma padrão: Min Z = C X s. a. : {AX = b ( 0), X 0} Considere as partições: A = [B N], X t = [X B X N ], C = [C B C N ] onde, B = colunas básicas, N = colunas não-básicas, X B = variáveis básicas (VB), X N = variáveis não-básicas (VNB), C B = coeficientes de VB na Funcão Objetivo (F.O.), C N = coeficientes de variáveis não-básicas na F.O. 5
6 Forma Matricial do Método Simplex Pode-se reescrever o modelo na forma padrão: Min Z = C B X B + C N X N s.a: B X B + N X N = b (), X B 0 (2), X N 0 (3) De () tem-se: X B = B - b - B - N X N, e substituindo na F. O. : Z = C B (B - b - B - N X N ) + C N X N = C B B - b + (C N - C B B - N) X N (4) Denote e calcule por: Z 0 = C B B - b = C B b = valor da F.O. da S.B.V. dada por X 0t = (X B 0); C N = C N - C B B- N = vetor dos coeficientes de custo relativo das VNB na solução X 0t. 6
7 Seja o modelo de PL : Max Z = 3X + 4X 3 - s. a: Exemplo X + 2X 2 + 2X 3 + X 4 = 8 3X + 4X 2 + X 3 + X 5 = 7 X i 0, i =, 2, 3, 4, 5. Onde: A = (a a 2 a 3 a 4 a 5 ), a =, a 2 =, a 3 =, a 4 =, a 5 = C = ( ) = (c c 2 c 3 c 4 c 5 ), X t = (X X 2 X 3 X 4 X 5 ), b = 8 7 = b b 2 7
8 Tabelas do MST no Exemplo VB X X 2 X 3 X 4 X 5 b Tabela x inicial x z x 3 / 2 /2 0 4 Tabela 2 x 5 5/ /2 3 -z Tabela 3 x 3 * 0 2/5 3/5 -/5 7/5 ótima x * 6/5 0 -/5 2/5 6/5 -z * 0-26/5 0-9/5-2/5-8/5 8
9 Método Simplex Revisado Todos os coeficientes das Tabelas 2 e 3 podem ser obtidos a partir dos dados originais e da matriz B -. - Para a Tabela 2: 2 0 B = colunas básicas = (a 3 a 5 ) = B - = - Colunas atualizadas da matriz A: / 2 0 / 2 a j - = B a j para j=,5. a = B a = / 2 0 -/ 2 3 = / 2-5 / 2 a 2 = B a = / / 2 4 =
10 Método Simplex Revisado Constantes atualizadas das restrições (ou seja os valores das variáveis básicas): b = B b = - / / 2 7 C = C - C a = B = 4 3 Coeficientes de custo relativo atualizados: com sendo o Vetor de - Multiplicadores do Simplex = C B B C j = C - C a j = C j j B j ou j j j j B - = C -C B a =C - a / 2 = 5 / 2 j = 2 C 2 = C - C a = B 2 3 = - 4 0
11 MSR - Problemas de Minimização - Considere uma Solução Básica Viável inicial (SBV) = Passo: Montar a tabela com a SBV Inicial X B = B b b Solução inicial X B B - Inversa da matriz das colunas básicas - b = B b Valores da variáveis básicas Variável que entra A ser preenchida no Passo 2 Coluna do pivot A ser preenchida no Passo 3 Passo 2: Teste de otimalidade/escolha da variável não-básica que entra Calcular C j = Cj - CB a para toda VNB X j j Se todo C j 0 Parar. Solução Ótima Senão escolha x r com C r < 0 para ser a VNB que entra (preencher a tabela)
12 MSR - Problemas de Minimização Passo 3: calcular a coluna atualizada do pivot/escolha da VB que sai Achar coluna atualizada do pivot = B a (preencher a tabela) b s = MIN b a i Determinar PARA a ir > 0 x s = ir a r - r b sai, pivot = s a sr Se a ir > 0 Parar. Solução Ilimitada Passo 4: atualizar a SBV, a matriz B -, e o vetor pivoteamento. Voltar ao Passo 2. - b = B b pelo 2
13 Exemplo completo de aplicação do Método Simplex Revisado Max Z = 3X + X 2 + 3X 3 s. a: 2X Xi + X 2 + X 3 2 X + 2X 2 + 3X 3 5 2X + 2X 2 + X 3 6 0, i =, 3. Colocando este modelo na forma padrão de minimização e identificando os dados originais que serão usados nas iterações do Método Simplex Revisado: a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 X B X X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 b S. B. V. X b Inicial X b 2 X b 3 -Z C C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 -Z 0 3
14 Exemplo - MSR Expressões úteis: = Vetor de multiplicadores do simplex = - CN = CN - C B N a j - = B a j B, = - b = B b CN - N C B B - Passo : C B = (0 0 0) B = N = C N = ( ) Tabela S.B.V. B - b Variável que entra Coluna Pivot X X Passo 2 Passo 3 X
15 Exemplo Passo 2 - Cálculos: = = (0 0 0) I 3 = (0 0 0) C B B - 2 C N = (C C 2 C 3 ) = CN - N = ( ) - (0 0 0) 2 3 ( ) 2 2 Candidatas a entrar: X,X 2 e X 3. Escolhendo X para entrar (Preencher a Tabela ). - Passo 3 - Coluna do pivot: a = B a = I3 = (Preencher Tabela ) Min b Determinação do pivot: i para a a i i > Min,, = = sai X 4 e o pivot = a =
16 Exemplo Tabela S.B.V. B - b Variável que entra Coluna Pivot X X X X A seguir efetuar o pivoteamento em B - e b Tabela 2 com nova SBV com X no lugar de X 4. 6
17 Exemplo Aplicar os Passos 2 4 na Tabela 2 Tabela 2 S.B.V. B - b variável entra coluna pivot X /2 0 0 X 5 -/2 0 4 Passo 2 Passo 3 X
18 Método Simplex Revisado Passo 2-3 Cálculos: = C B B - = (-3/2 0 0) C N = (C 2 C 3 C 4 ) = ( ) - (-3 / 2 0 0) (/ 2-3 / 2 3 / 2) 2 0 Candidata a entrar: X 3 (Preencher a Tabela 2). Coluna Pivot: Tabela 2) / a 3 = B a 3 = -/ = / 2 5 / 2 0 (Preencher 8
19 Exemplo Tabela 2 S.B.V. B - b variável entra coluna pivot X /2 0 0 /2 X 5 -/2 0 4 X 3 5/2 X Determinação do Pivot: b Min i para a > 0 a i3 i3 4 8 Min, = sai X 5 e o pivot = a = 5/2 9
20 Exemplo Efetuando o pivoteamento em B - e b Tabela 3 com nova SBV com X 3 no lugar de X 5. Tabela 3 S.B.V. B - b variável entra coluna pivot X 3/5 -/5 0 /5 X 3 -/5 2/5 0 8/5 Passo 2 Passo 3 X
21 Método Simplex Revisado Tabela 3 S.B.V. B - b variável entra coluna pivot X 3/5 -/5 0 /5 X 3 -/5 2/5 0 8/5 Passo 2 Passo 3 X C B = (-3-3 0) B = N = C N = (- 0 0) Cálculos: = C 3 / 5 / 5 0 B B - = (-3-3 0) = (-6/5-3/5 0) / 5 2 /
22 Exemplo - MSR 0 C N = (C 2 C4 C 5 ) = (- 0 0) - (-6/ 5-3/ 5 0) 2 0 (7/ 5 6/ 5 3/ 5) C N 0 a SBV da Tabela 3 é ótima: X * * * * * * = / 5, X = 8 / 5, X = 4, X = X = X = * - Z = C B b = b = (-6 / 5-3 / 5 0) B = - 27 / 5 * * W = - Z = 27 / 5 22
23 Método do Big M para inicialização do MSR Nas restrições onde não há Variáveis Naturais (originais e de folga) do modelo que possam ser variáveis básicas são incorporadas novas Variáveis denominadas Artificiais. Estas Variáveis Artificiais ( 0) também são incorporadas à função objetivo recebendo, para modelos de Minimização (Maximização), coeficientes penalizantes dados por M (-M), onde M é um número positivo suficientemente grande com relação aos demais coeficientes envolvidos com o modelo original. Desta maneira obtém-se uma solução básica viável inicial para o modelo ampliado que contém todas as variáveis artificiais. 23
24 Método do Big M para inicialização do MSR Aplica-se o MSR anteriormente ao modelo ampliado, buscando a substituição das Variáveis Artificiais (VA) básicas por Variáveis Naturais (Decisão e de Folga) do modelo original. As VA que se tornam não-básicas podem ser desconsideradas nas iterações subseqüentes do MSR. A aplicação do MSR ao modelo ampliado pode levar a duas situações: (A) Existe VA como variável básica na solução ótima do modelo ampliado neste caso a conclusão é que o modelo original é inviável. (B) Não existe VA como variável básica na solução ótima do modelo ampliado neste caso o modelo original é viável e uma solução ótima com Variáveis Naturais do modelo original foi obtida. 24
25 Exemplo de aplicação do MSR com Big M Min Z = -3 X + X 2 + X 3 s. a: X - 2X2 + X3-4X + X2 + 2X3 3 2X - X3 = - Xi 0, i =, 3. () (2) (3) (4) Modelo original na forma padrão: Sendo X 4 e X 5 as variáveis de folga para as restrições () e (2), respectivamente; Y, e Y 2 as variáveis artificiais para as restrições (2) e (3), respectivamente. Min Z = -3X + X 2 + X 3 + MY + MY 2 Sujeito a: X - 2X2 + X3 + X4 = () - 4X + X2 + 2X3 - X5 + Y = 3 (2) - 2X + X3 + Y2 = (3) Xi 0, i =, 5. Yj 0, j =, 2. (4) 25
26 Aplicação do MSR com Big M Identificação dos dados originais A = C = a a a a a a a C C C C C C C M M b = 3 b b b
27 Aplicação do MSR com Big M Tabela X B B - b variável entra coluna pivot X Y Passo 2 Passo 3 Y Dados referentes a solução básica viável da Tabela : C B = (0 M M), B = , N = , C = -3 0 N Cálculos: = (O M M) I 3 = (0 M M) 2 0 CN = C C C C = M M = M -M -M M
28 Aplicação do MSR com Big M Tabela X B B - b variável entra coluna pivot X Y X 3 Passo 3 Y Variáveis X 2 e X 3 são candidatas a entrar. Escolhendo X 3 (preencher a Tabela ). para entrar - Coluna do pivot: a 3 = B a 3 = I3 2 = 2 (preencher Tabela ) 28
29 Aplicação do MSR com Big M Tabela X B B - b variável entra coluna pivot X Y X 3 2 Y Determinação do pivot: Min b a i i 3, a > 0 3 2,, = Sai Y e o pivot = a =. i Nova SBV: Pivotear em - a 33, B, b na Tabela Tabela 2. 29
30 Aplicação do MSR com Big M Tabela 2 X B B - b variável entra coluna pivot X Y 0-2 Passo 2 Passo 3 X Dados referentes a SBV da Tabela 2: C B = (0 M ), B = , N = , C = -3 0 M N Cálculos: = (O M ) = (0 M -M) CN = C C C C = -3 0 M - 0 M -M = - -M M M
31 Aplicação do MSR com Big M X B B - Tabela 2 b variável entra coluna pivot X Y 0-2 X 2 X Variáveis X e X 2 são candidatas a entrar. Escolhendo X 2 entrar (preencher a Tabela 2). para Coluna do pivot: a 2 = B a 2 = 0-2 = (preencher Tabela 2)
32 Aplicação do MSR com Big M Tabela 2 X B B - b variável entra coluna pivot X Y 0-2 X 2 X Determinação do pivot: Min b a i i2, a i2 > 0 Min = sai Y e o pivot = a =. 22 Nova SBV: Pivotear em - a 22, B, b na Tabela 2 Tabela 3. 32
33 Aplicação do MSR com Big M Tabela 3 X B B - b variável entra coluna pivot X X Passo 2 Passo 3 X Dados referentes a solução básica viável da Tabela 3: C B = (0 ), B = , N = Cálculos: = (0 ) = (0-2), C = -3 0 M M CN = C C C C = -3 0 M M = - - M M N
34 Aplicação do MSR com Big M Tabela 3 X B B - b variável entra coluna pivot X X X X Variável X é candidata única a entrar. (Preencher a Tabela 3) Coluna do pivot: a = B a = = 0 (preencher Tabela 3)
35 b a i Min, a > 0 Min i Aplicação do MSR com Big M Tabela 3 X B B - b variável entra coluna pivot X X X 0 X Determinação do pivot: 2 3 i = 4 sai X e o pivot = a = 3. 4 Nova SBV: Pivotear em - a, B, b na Tabela 3 Tabela 4. 35
36 Aplicação do MSR com Big M Tabela 4 X B B - b variável entra coluna pivot X /3 2/3-5/3 4 X X 3 2/3 4/3-7/3 9 Dados referentes a SBV da Tabela 4: C B = (-3 ), B = , N = Cálculos: = (-3 ) = (-/3 /3 2/3) / 3 2 / 3 5 / / 3 4 / 3 7 / 3, C = 0 0 M M N 36
37 Aplicação do MSR com Big M C = C C N C C = 0 0 M M - - / 3 / 3 2 / 3 = / 3 / 3 M M Como não há VNB candidatas a entrar. A solução da Tabela 4 é ótima. * X * * * * = 4, X =, X = 9, X = X = * Z = C b = -3 B 4 9 =
Método Simplex Dual. Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP
Método Simplex Dual Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP www.feg.unesp.br/~fmarins fmarins@feg.unesp.br Introdução Algoritmo
Leia maisque não torne uma variável básica negativa. Se esse valor for infinito, o PL é ilimitado. Caso contrário, escolha uma variável
Método Simple. Montar um dicionário inicial 2. Olhando a equação do z, escolha uma variável nãobásica in cujo aumento melhoraria a solução corrente do dicionário (coeficiente negativo se for minimização,
Leia maisProgramação Linear - Parte 4
Mestrado em Modelagem e Otimização - CAC/UFG Programação Linear - Parte 4 Profs. Thiago Alves de Queiroz Muris Lage Júnior 1/2014 Thiago Queiroz (DM) Parte 4 1/2014 1 / 18 Solução Inicial O método simplex
Leia maisAlgoritmo Simplex em Tabelas. Prof. Ricardo Santos
Prof. Ricardo Santos Manipular problemas pequenos e compreender como o método funciona Considerar problema na forma padrão Coeficientes e função objetivo são organizados como: x... x n variáveis c c 2...
Leia maisMétodo Simplex das Duas Fases
Notas de aula da disciplina Pesquisa Operacional 1. 2003/1 c DECOM/ICEB/UFOP. Método Simplex das Duas Fases 1 Descrição do método Suponhamos inicialmente que tenham sido efetuadas transformações no PPL,
Leia maisCAPÍTULO 4. 4 - O Método Simplex Pesquisa Operacional
CAPÍTULO 4 O MÉTODO SIMPLEX 4 O Método Simplex caminha pelos vértices da região viável até encontrar uma solução que não possua soluções vizinhas melhores que ela. Esta é a solução ótima. A solução ótima
Leia maisMÉTODO SIMPLEX QUADRO SIMPLEX
MÉODO SIMPLEX QUDRO SIMPLEX O Método Simplex é um procedimento matricial para resolver o modelo de programação linear na forma normal. omeçando com X, o método localiza sucessivamente outras soluções básicas
Leia maisINVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. III Método Simplex
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Eercícios Cap. III Método Simple António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS edição de 006) i Cap. III - Método Simple - Eercícios
Leia maisTeoria Básica e o Método Simplex. Prof. Ricardo Santos
Teoria Básica e o Método Simple Prof. Ricardo Santos Teoria Básica do Método Simple Por simplicidade, a teoria é desenvolvida para o problema de PL na forma padrão: Minimizar f()=c T s.a. A=b >= Considere
Leia maisUniversidade Federal de Itajubá. Instituto de Engenharia de Produção e Gestão. Pesquisa Operacional. Dualidade
Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Pesquisa Operacional Dualidade Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Dualidade 2 1 Dualidade Em determinadas situações, a
Leia mais(1, 6) é também uma solução da equação, pois 3 1 + 2 6 = 15, isto é, 15 = 15. ( 23,
Sistemas de equações lineares generalidades e notação matricial Definição Designa-se por equação linear sobre R a uma expressão do tipo com a 1, a 2,... a n, b R. a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b (1)
Leia maisUniversidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas Departamento de Física Laboratório de Teoria da Matéria Condensada
Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas Departamento de Física Laboratório de Teoria da Matéria Condensada Sistema de equações lineares e não lineares Tiago de Souza Farias
Leia maisTipos de problemas de programação inteira (PI) Programação Inteira. Abordagem para solução de problemas de PI. Programação inteira
Tipos de problemas de programação inteira (PI) Programação Inteira Pesquisa Operacional I Flávio Fogliatto Puros - todas as variáveis de decisão são inteiras Mistos - algumas variáveis de decisão são inteiras
Leia maisUNIPAC Araguari FACAE - Faculdade de Ciências Administrativas e Exatas SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
UNIPAC Araguari FACAE - Faculdade de Ciências Administrativas e Exatas SISTEMAS DE INFORMAÇÃO SAD Sistemas de Apoio à Decisão 2011/02 Aula Cinco crishamawaki@yahoo.com.br Modelos de decisão Sistemas de
Leia maisMétodo Simplex Resolução Algébrica. Prof. Ricardo Santos
Método Simplex Resolução Algébrica Prof. Ricardo Santos Método Simplex A função objetivo f(x) pode ser expressa considerando a partição básica: f(x)=c T x= [ ] c T c T x B c T x c T x B N = + x B B N N
Leia maisSimplex e o Problema do Transporte
Simplex e o Problema do Transporte Thuener Silva Departamento de Informática Pontifícia Universidade Católica Rio de Janeiro, Brasil E-mail: tsilva@inf.puc-rio.br I. INTRODUÇÃO Programação linear é uma
Leia maisExercícios de Método Simplex Enunciados
Capítulo Exercícios de Método Simplex Enunciados Enunciados 8 Problema Problema Problema 3 Problema 4 Problema 5 max F =0x +7x x + x 5000 4x + 5x 5000 x, x 0 max F =x + x x + x x + x 4 x, x 0 max F = x
Leia maisInvestigação Operacional
Introdução e Histórico Durante a II Guerra Mundial, lideres militares da Inglaterra e dos Estados Unidos requisitaram um grupo de cientistas de diversas áreas de conhecimento para analisarem alguns problemas
Leia maisMANUAL DO USUÁRIO SIMPLEX. Prof. Erico Fagundes Anicet Lisboa, M. Sc.
MANUAL DO USUÁRIO SIMPLEX Prof. Erico Fagundes Anicet Lisboa, M. Sc. erico@ericolisboa.eng.br Versão digital disponível na internet http://www.ericolisboa.eng.br RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL DEZEMBRO DE
Leia maisOnde: A é a matriz do sistema linear, X, a matriz das incógnitas e B a matriz dos termos independentes da equação
Onde: A é a matriz do sistema linear, X, a matriz das incógnitas e B a matriz dos termos independentes da equação À seguir eemplificaremos e analisaremos cada uma dessas três situações. : A X B Podemos
Leia maisResolução Numérica de Equações Parte I
Cálculo Numérico Resolução Numérica de Equações Parte I Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/
Leia maisMatrizes e Sistemas Lineares. Professor: Juliano de Bem Francisco. Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina.
e Aula Zero - Álgebra Linear Professor: Juliano de Bem Francisco Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina agosto de 2011 Outline e e Part I - Definição: e Consideremos o conjunto
Leia maisUM SOFTWARE INTERATIVO PARA O ALGORITMO SIMPLEX EM PROGRAMAÇÃO LINEAR
UM SOFTWARE INTERATIVO PARA O ALGORITMO SIMPLEX EM PROGRAMAÇÃO LINEAR Leizer de Lima Pinto PESC / COPPE / UFRJ Cidade Universitária, Rio de Janeiro, RJ, Brasil leizer@cos.ufrj.br Cláudio Thomás Bornstein
Leia maisÁlgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.
Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br Sistemas Lienares 1 Sistemas e Matrizes 2 Operações Elementares e
Leia maisExercícios de Aprofundamento Mat Polinômios e Matrizes
. (Unicamp 05) Considere a matriz A A e A é invertível, então a) a e b. b) a e b 0. c) a 0 e b 0. d) a 0 e b. a 0 A, b onde a e b são números reais. Se. (Espcex (Aman) 05) O polinômio q(x) x x deixa resto
Leia maisResolução de sistemas de equações lineares: Método de eliminação de Gauss
Resolução de sistemas de equações lineares: Método de eliminação de Gauss Marina Andretta ICMC-USP 21 de março de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R L Burden e J D Faires Marina Andretta (ICMC-USP)
Leia maisIntrodução em Engenharia. Problemas de Engenharia. Engenharia: Sérgio Haffner SÍNTESE. Conceitos Conceitos fundamentais 30.07.
Introdução à Otimização em Engenharia Problemas de Engenharia ANÁLISE Definido o sistema, determinar o desempenho Sérgio Haffner Conceitos Conceitos fundamentais 30.07.008 SÍNTESE Projetar um sistema para
Leia maisProgramação Linear. Problema de produção. Transparências de apoio à disciplina de Métodos de Apoio à Decisão. Matéria prima disponível diariamente
Programação Linear Transparências de apoio à disciplina de Métodos de Apoio à Decisão rupo de ontrolo e estão Problema de produção Matéria prima disponível diariamente 8 Legos pequenos 6 Legos grandes
Leia maisPESQUISA OPERACIONAL: NA TOMADA DE DECISÕES ADMINISTRATIVA
PESQUISA OPERACIONAL: NA TOMADA DE DECISÕES ADMINISTRATIVA Rodrigo de Oliveira SOUZA 1 Letícia Pinheiro Ribeiro da COSTA 1 Camila Pires Cremasco GABRIEL 22 Luís Roberto Almeida GABRIEL-FILHO 2 RESUMO:
Leia maisRegressão, Interpolação e Extrapolação Numéricas
, e Extrapolação Numéricas Departamento de Física Universidade Federal da Paraíba 29 de Maio de 2009, e Extrapolação Numéricas O problema Introdução Quem é quem Um problema muito comum na física é o de
Leia maisAula 8 Variações da Eliminação de Gauss/Fatoração LU.
Aula 8 Variações da Eliminação de Gauss/Fatoração LU. MS211 - Cálculo Numérico Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade
Leia maisProgramação Linear - Parte 3
Matemática Industrial - RC/UFG Programação Linear - Parte 3 Prof. Thiago Alves de Queiroz 1/2016 Thiago Queiroz (IMTec) Parte 3 1/2016 1 / 26 O Método Simplex Encontre o vértice ótimo pesquisando um subconjunto
Leia maisSemana 7 Resolução de Sistemas Lineares
1 CÁLCULO NUMÉRICO Semana 7 Resolução de Sistemas Lineares Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1 2 INTRODUÇÃO Considere o problema de determinar as componentes horizontais e verticais das forças que atuam
Leia maisDefinição de determinantes de primeira e segunda ordens. Seja A uma matriz quadrada. Representa-se o determinante de A por det(a) ou A.
Determinantes A cada matriz quadrada de números reais, pode associar-se um número real, que se designa por determinante da matriz Definição de determinantes de primeira e segunda ordens Seja A uma matriz
Leia maisCálculo Numérico / Métodos Numéricos. Solução de sistemas não lineares Método de Newton
Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Solução de sistemas não lineares Método de Newton Várias equações várias incónitas. 5:4 Queremos resolver:... m... m... m... m Eemplo: Intersecção de duas parábolas.
Leia maisMétodo Simplex. Alexandre Salles da Cunha. DCC-UFMG, Março 2012 - v.02
DCC-UFMG, Março 2012 - v.02 Idéias centrais do método Se um PL na forma padrão possui uma solução ótima, então existe uma solução básica viável ótima para o problema. O baseia-se neste fato. Iniciando
Leia maisPRO 528 - Pesquisa Operacional II
Pesquisa Operacional II 3. Software LINDO Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção Problemas em forma não padrão São 4 características de um problema na forma padrão, lembram-se?
Leia maisLógica do Método Simplex: Passar de Solução Básica Factível para outra Solução Básica, buscando melhorar a Função Objetivo e manter factibilidade
Lógica do : Passar de Solução Básica Factível para outra Solução Básica, buscando melhorar a Função Objetivo e manter factibilidade Para isso, as condições que devem orientar esse movimento são: (i) a
Leia maisCAP. II RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
CAP. II RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES Vamos estudar alguns métodos numéricos para resolver: Equações algébricas (polinómios) não lineares; Equações transcendentais equações que envolvem funções
Leia maisExercícios de Álgebra Linear
Exercícios de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente Mestrado Integrado em Engenharia Biológica Nuno Martins Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Setembro de Índice
Leia maisESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU
INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU Departamento Matemática Disciplina Matemática I Curso Gestão de Empresas Ano 1 o Ano Lectivo 2007/2008 Semestre 1 o Apontamentos Teóricos:
Leia maisPesquisa Operacional. Prof. José Luiz
Pesquisa Operacional Prof. José Luiz Resolver um problema de Programação Linear significa basicamente resolver sistemas de equações lineares; Esse procedimento, apesar de correto, é bastante trabalhoso,
Leia maisCAMPUS DE GUARATINGUETÁ FACULDADE DE ENGENHARIA. Introdução à Programação em C. Algoritmos: Estruturas de Repetição. Prof. Dr. Galeno.J.
Unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE GUARATINGUETÁ FACULDADE DE ENGENHARIA Introdução à Programação em C Algoritmos: Estruturas de Repetição Prof. Dr. Galeno.J. de Sena Departamento de Matemática
Leia maisTEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA
TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA Nome: Turma: Data / / Prof: Walnice Brandão Machado Equações de primeiro grau Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime
Leia maisMétodo Simplex Especializado para Redes
Método Simplex Especializado para Redes Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP www.feg.unesp.br/~fmarins fmarins@feg.unesp.br
Leia maisAlocação de Custos pelo Método Recíproco
1 ALOCAÇÃO DE CUSTOS PELO MÉTODO RECÍPROCO Autor: Luiz João Corrar Doutor em Controladoria e Contabilidade pela FEA/USP Professor do Departamento de Contabilidade e Atuária Introdução O objetivo deste
Leia maisALGA - Eng.Civil - ISE - 2009/2010 - Matrizes 1. Matrizes
ALGA - Eng.Civil - ISE - 00/010 - Matrizes 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma aplicação A : f1; ; :::; mg f1; ; :::; ng R:
Leia maisSeleção de Materiais. 1. Introdução. 1. Introdução
Seleção Engenharia de Produção Faculdade de Engenharia de Bauru Grupo 8 Prof. Dr. Adilson Renófio 1. Introdução A SM é uma das principais tarefas do projeto, pois dela dependerá o sucesso do produto final
Leia maisInvestigação Operacional
Métodos de Programação Linear: Big M, Fases, S Dual (Licenciatura) Tecnologias e Sistemas de Informação http://dps.uminho.pt/pessoais/zan - Escola de Engenharia Departamento de Produção e Sistemas 1 Simplex
Leia maisO método de enumeração de soluções básicas é muito ineficiente.
Resolução de PLs O método de enumeração de soluções básicas é muito ineficiente. O número de possíveis bases pode ser enorme Para encontrar a solução associada a cada base é preciso resolver um sistema
Leia maisMatemática Básica Intervalos
Matemática Básica Intervalos 03 1. Intervalos Intervalos são conjuntos infinitos de números reais. Geometricamente correspondem a segmentos de reta sobre um eixo coordenado. Por exemplo, dados dois números
Leia maisOtimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana
Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana Revisão Método Simplex Solução básica factível: xˆ xˆ, xˆ N em que xˆ N 0 1 xˆ b 0 Solução geral
Leia maisUm pouco da História dos Logaritmos
Um pouco da História dos Logaritmos Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma
Leia maisPROGRAMAÇÃO LINEAR. Formulação de problemas de programação linear e resolução gráfica
PROGRAMAÇÃO LINEAR Formulação de problemas de programação linear e resolução gráfica A programação linear surge pela primeira vez, nos novos programas de Matemática A no 11º ano de escolaridade. Contudo
Leia maisPROLIN. Sistema para PROgramação LINear
PROLIN Sistema para PROgramação LINear www.prolin.ufv.br Manual do Usuário Junho/2002 1. INTRODUÇÃO O Sistema para Programação Linear - PROLIN, desenvolvido para a resolução de problemas genéricos de Programação
Leia maisAnálise de Regressão. Notas de Aula
Análise de Regressão Notas de Aula 2 Modelos de Regressão Modelos de regressão são modelos matemáticos que relacionam o comportamento de uma variável Y com outra X. Quando a função f que relaciona duas
Leia maisa) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Recordando operações básicas 01. Calcule as expressões abaixo: a) 2254 + 1258 = b) 300+590 = c) 210+460= d) 104+23 = e) 239 54 = f) 655-340 = g) 216-56= h) 35 x 15 = i) 50 x 210 = j) 366 x 23 = k) 355
Leia maisA. Equações não lineares
A. Equações não lineares 1. Localização de raízes. a) Verifique se as equações seguintes têm pelo menos uma solução nos intervalos dados: i) (x - 2) 2 ln(x) = 0, em [1, 2] e [e, 4]. ii) 2 x cos(x) (x 2)
Leia maisAula 01 TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS. Aula 1_Teoremas da Análise de Circuitos.doc. Página 1 de 8
ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL ZONA SUL CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA II. CIRCUITOS ELÉTRICOS Aula 0 TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS Prof. Marcio Leite Página de 8 0 TEOREMA DA ANÁLISE DE CIRCUITOS.0 Introdução
Leia maisRoteiro da aula. MA091 Matemática básica. Conjuntos. Subconjunto. Aula 12 Conjuntos. Intervalos. Inequações. Francisco A. M. Gomes.
Roteiro da aula MA091 Matemática básica Aula 1... Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Março de 016 1 3 4 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de 016 1 / 8 Francisco A.
Leia maisProfessor: Rodrigo A. Scarpel
Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br www.mec.ita.br/~rodrigo Programa do curso: Semana : Apresentação da disciplina Introdução à Programação Linear Resolução de problemas de PL pelo Método Gráfico
Leia maisAGRUPAMENTO DE ESCOLAS DA SÉ GUARDA. MATEMÁTICA B Curso de Artes Visuais
Direção-Geral dos Estabelecimentos Escolares Direção de Serviços da Região Centro AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DA SÉ GUARDA MATEMÁTICA B Curso de Artes Visuais ANO LECTIVO: 2015/2016 11º ANO 1º PERÍODO PLANIFICAÇÃO
Leia maisDeterminantes. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica Determinantes 1 / 17
Capítulo 4 Determinantes ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 1 / 17 Definições Seja M n n o conjunto das matrizes quadradas reais (ou complexas) de ordem n Chama-se determinante de
Leia maisDeterminantes. Matemática Prof. Mauricio José
Determinantes Matemática Prof. Mauricio José Determinantes Definição e Conceito Matriz de ordem 1 Dizemos que um determinante é um resultado (numérico) de operações que são realizadas em uma matriz quadrada.
Leia maisInvestigação Operacional
Investigação Operacional Programação Linear Licenciatura em Engenharia Civil Licenciatura em Engenharia do Território Problema Uma firma fabrica dois produtos P e P em três máquinas M, M e M. P é processado
Leia maisInversão de Matrizes
Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2014.2 13 de
Leia mais1 Introdução. 1.1 Importância da Utilização da Amostragem
1 Introdução Um dos principais objetivos da maioria dos estudos, análises ou pesquisas estatísticas é fazer generalizações seguras com base em amostras, sobre as populações das quais as amostras foram
Leia maisExpressões de sequencias
Expressões de sequencias Semana Olímpica/01 Prof. Armando 01 de fevereiro de 01 1 Introdução Um assunto que cai com frequência em olimpíada são as sequências. Sequências são listas ordenadas de números
Leia mais2) Escreva um algoritmo que leia um conjunto de 10 notas, armazene-as em uma variável composta chamada NOTA e calcule e imprima a sua média.
1) Inicializar um vetor de inteiros com números de 0 a 99 2) Escreva um algoritmo que leia um conjunto de 10 notas, armazene-as em uma variável composta chamada NOTA e calcule e imprima a sua média 3)
Leia maisÁlgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.
Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br Autovalores e Autovetores Definição e Exemplos 2 Polinômio Característico
Leia maisDepartamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 1.
Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 1 Matrizes 1 Considere as matrizes A = 1 2 3 2 3 1 3 1 2 Calcule
Leia maiscuja distribuição é t de Student com n 1 graus de liberdade.
Aula 13 Teste de hipótese sobre a média de uma população normal σ 2 desconhecida Objetivos: Nesta aula você completará seu estudo básico sobre testes de hipóteses, analisando a situação relativa a uma
Leia maisAjuste de Reguladores de Velocidade de Turbinas Hidráulicas
Ajuste de Reguladores de Velocidade de Turbinas Hidráulicas Características do Controle de Velocidade de Turbinas Hidráulicas Resposta Inversa da Turbina: Necessidade de redução de ganho transitório; Redução
Leia maisÁlgebra Linear Computacional
Álgebra Linear Computacional Geovan Tavares, Hélio Lopes e Sinésio Pesco. PUC-Rio Departamento de Matemática Laboratório Matmidia http://www.matmidia.mat.puc-rio.br Sistemas de Equações Lineares Espaços
Leia maisProgramação Linear/Inteira
Unidade de Matemática e Tecnologia - RC/UFG Programação Linear/Inteira Prof. Thiago Alves de Queiroz Aula 3 Thiago Queiroz (IMTec) Aula 3 Aula 3 1 / 45 O Método Simplex Encontre o vértice ótimo pesquisando
Leia maisRESOLVER EQUAÇÕES. EXEMPLO. Seja a equação:
RESOLVER EQUAÇÕES É vasto o conjunto de equações que podem apresentar-se no domínio da Matemática, bem como na vida corrente, em que aquela e os seus resultados têm de aplicar-se para resolver problemas
Leia mais( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 - INTRODUÇÃO À RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES. Introdução.
55 3 - INTRODUÇÃO À RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES. Itrodução. No processo de resolução de um problema prático é reqüete a ecessidade de se obter a solução de um sistema de equações ão lieares. Dada
Leia maisElvis Magno da Silva, autor Vladas Urbanavicius Júnior, autor
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PESQUISA OPERACIONAL ANTES DO SURGIMENTO DOS SOFTWARES: UMA ABORDAGEM SOBRE O ALGORITMO SIMPLEX Elvis Magno da Silva, autor Vladas Urbanavicius Júnior, autor 1 FACESM/Gpde, Av.
Leia maisEquação e Inequação do 2 Grau Teoria
Equação e Inequação do Grau Teoria Candidato segue um resumo sobre resolução e discussão de equações e inequações do grau. Bons Estudos! Equação do Grau Onde Uma Equação do Grau é sentença aberta do tipo
Leia mais10 - LEIS DE KIRCHHOFF
0 - LS KRCHHOFF 0.- FNÇÃO NÓ, RAMO MALHA Quando em um circuito elétrico existe mais do que uma fonte de tensão e mais do que um resistor, geralmente são necessárias outras leis, além da lei de Ohm, para
Leia maisCÁLCULO 1 Teoria 0: Revisão Gráfico de Funções elementares Núcleo de Engenharias e Ciência da Computação. Professora: Walnice Brandão Machado
CÁLCULO 1 Teoria 0: Revisão Gráfico de Funções elementares Núcleo de Engenharias e Ciência da Computação FUNÇÕES POLINOMIAIS Função polinomial de 1º grau Professora: Walnice Brandão Machado O gráfico de
Leia maisSimulated Annealing Aplicado ao Problema de Programação de Horário em Escolas
Simulated Annealing Aplicado ao Problema de Programação de Horário em Escolas Prof. Dr. Marcone Jamilson Freitas Souza marcone@iceb.ufop.br André Luiz G. dos Santos andre@nti.ufop.br Caio Yugi Yoneama
Leia maisPROVA RESOLVIDA DA PETROBRAS 2011 ADMINISTRADOR JUNIOR. Professor Joselias http://professorjoselias.blogspot.com
PROVA RESOLVIDA DA PETROBRAS 2011 ADMINISTRADOR JUNIOR 1) (Concurso Petrobras 2011 Administrador Junior) Considere uma sequência infinita de retângulos, cada um deles com base medindo 1cm e tais que o
Leia mais. (A verificação é imediata.)
1 Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação Seminários de Ensino de Matemática (SEMA-FEUSP) Coordenador: Nílson José Machado novembro/2010 Instabilidade em Sistemas de Equações Lineares Marisa Ortegoza
Leia maisCoordenadoria de Matemática Programação Linear. Professor: Oscar Luiz T. de Rezende
Coordenadoria de Matemática Programação Linear Professor: Oscar Luiz T. de Rezende INTRODUÇÃO Pesquisa operacional (P.O) foi a denominação dada ao conjunto de processos e métodos de análise desenvolvidos
Leia maisMétodos Formais. Agenda. Relações Binárias Relações e Banco de Dados Operações nas Relações Resumo Relações Funções. Relações e Funções
Métodos Formais Relações e Funções por Mauro Silva Agenda Relações Binárias Relações e Banco de Dados Operações nas Relações Resumo Relações Funções MF - Relações e Funções 2 1 Relações Binárias Definição
Leia maisBem-vindo ao tópico sobre importação de dados do cadastro do item utilizando o Data Transfer Workbench.
Bem-vindo ao tópico sobre importação de dados do cadastro do item utilizando o Data Transfer Workbench. 1 Nesse curso, você verá como importar dados do cadastro do item, incluindo preços nas listas de
Leia maisAula 02: Algoritmo Simplex (Parte 1)
Aula 02: Algoritmo Simplex (Parte 1) Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo http://www.toffolo.com.br BCC464/PCC174 2018/2 Slides baseados no material de Haroldo Gambini Previously... Aula anterior:
Leia maisGEOMETRIA ANALÍTICA II
Conteúdo 1 O PLANO 3 1.1 Equação Geral do Plano............................ 3 1.2 Determinação de um Plano........................... 7 1.3 Equação Paramétrica do Plano........................ 11 1.4 Ângulo
Leia maisROTEIRO PARA ELABORAÇÃO DO PROJETO DE PESQUISA
ROTEIRO PARA ELABORAÇÃO DO PROJETO DE PESQUISA O objetivo desse roteiro é orientar os estudantes de Estatística para a realização do trabalho proposto conforme previsto no plano de ensino da disciplina.
Leia maisMatrizes. matriz de 2 linhas e 2 colunas. matriz de 3 linhas e 3 colunas. matriz de 3 linhas e 1 coluna. matriz de 1 linha e 4 colunas.
Definição Uma matriz do tipo m n (lê-se m por n), com m e n, sendo m e n números inteiros, é uma tabela formada por m n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Estes elementos podem estar entre parênteses
Leia maisPESQUISA OPERACIONAL I
PESQUISA OPERACIONAL I Profa. Tamara Angélica Baldo Apostila para auxiliar os estudos da disciplina de Pesquisa Operacional I Esta apostila encontra-se em fase de construção e está sujeita a erros e alterações.
Leia maisO cilindro deitado. Eduardo Colli
O cilindro deitado Eduardo Colli São poucas as chamadas funções elementares : potências e raízes, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas e suas inversas, funções trigonométricas hiperbólicas
Leia maisCapítulo VI. Teoremas de Circuitos Elétricos
apítulo VI Teoremas de ircuitos Elétricos 6.1 Introdução No presente texto serão abordados alguns teoremas de circuitos elétricos empregados freqüentemente em análises de circuitos. Esses teoremas têm
Leia mais1. Escreva um programa em Pascal que leia três valores inteiros e mostre-os em ordem crescente. Utilize seleção encadeada.
Universidade Estadual Vale do Acaraú Curso: Engenharia Civil Disciplina: Programação de Computadores Prof. Hudson Costa Instruções: as equipes de cinco componentes (ou elementos) deverão fazer apenas 30
Leia maisOBSERVAÇÕES: EXERCÍCIOS
OBSERVAÇÕES: 1. Esta lista de exercícios poderá ser resolvida individualmente ou em grupos de 2 pessoas. 2. A lista possui 25 exercícios, destes você deve responder os 5 primeiros exercícios e os outros
Leia maisTeoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada. antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br Grafos e Algoritmos Preparado a partir do texto: Rangel, Socorro.
Leia maisEstatística - exestatmedposic.doc 25/02/09
Medidas de Posição Introdução Vimos anteriormente que, através de uma distribuição de freqüências se estabelece um sistema de classificação que descreve o padrão de variação de um determinado fenômeno
Leia maisEngenharia Econômica
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO UFPE CENTRO ACADÊMICO DO AGRESTE NÚCLEO DE TECNOLOGIA ENGENHARIA CIVIL Engenharia Econômica Aula I Professora Jocilene Otilia da Costa, Dra Conteúdo Juros Simples Juros
Leia mais