prof. sergio roberto de freitas

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Célia Alves Mota
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1 MÉTODOS NUMÉRICOS prof. sergio roberto de freitas Departamento de Computação e Estatística Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Universidade Federal de Mato Grosso do Sul 12/01/2000

br Departamento de Computação e Estatística Centro

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3 1 Introdução Soluções Não Construtivas Soluções Construtivas Problemas Reais x Métodos Numéricos Cálculo da Idade da Lua Crescimento de Bactérias em uma Colonia Deflexão de uma Viga Simplesmente Engastada Cálculo de Probabilidades - Distribuição Normal Erros Número Aproximado Erros Absolutos e Relativos Erro Absoluto Cota para o Erro Erro Relativo Fontes de Erros Erros Inerentes Erros de Truncamento Erros de Arredondamento Aritmética de Ponto Flutuante Representação de um Número com t Digitos Erros de Arredondamento Arredondamento Truncado Arredondamento Simétrico Cotas para os Erros de Arredondamento Casas Decimais Exatas Propagação dos Erros Propagação dos Erros Absolutos Propagação dos Erros Relativos

.. 14 2 Erros 17 2.1 Número Aproximado....................... 17 2.2 Erros Absolutos e Relativos................... 17 2.2.1 Erro Absoluto....................... 17 2.2.2 Cota para o Erro..................... 18 2.

4 2.6 Exercícios Propostos Zeros de Funções Delimitação dos zeros de uma função Método Gráfico Método Analítico Método da Bissecção - MB Método Iterativo Linear - MIL Critérios de Parada Ordem de Convergência do MIL Método Iterativo Linear Modificado Método de Newton - MN O Algoritmo de Newton Interpretação Geométrica Condições de Convergência Ordem de Convergência Método da Secante - MS Interpretação Geométrica do MS Ordem de Convergência Exercícios Propostos Zeros de Polinômios Números Complexos Delimitação dos Zeros Zeros Racionais Método de Horner - Avaliação de P(z) Algoritmo de Horner - Caso Real Algoritmo de Horner - Caso Complexo Deflação de um Polinômio Exercícios Propostos Solução de Sistemas Lineares Conceitos Fundamentais Sistema de Equações Lineares Interpretação Geométrica de Sistemas 2x Interpretação Geométrica de Sistemas 3x Métodos Diretos Método de Cramer Solução de Sistemas Triangulares Eliminação Gaussiana

........... 52 3.4 Método Iterativo Linear Modificado.............. 55 3.5 Método de Newton - MN.................... 59 3.5.1 O Algoritmo de Newton................. 59 3.5.2 Interpretação Geométrica.

5 5.3.4 Estratégias para Escolha do Pivô Cálculo de Determinantes Cálculo da Inversa de uma Matriz Estabilidade de Sistemas Lineares Medida da Instabilidade Exercícios Propostos Métodos Iterativos Método de Jacobi - MJ Critério de Parada para as Iterações Método de Gauss-Seidel - MGS Interpretação Geométrica do MGS Matrizes Diagonalmente Dominante Exercícios Propostos Ajuste de Curvas Caso Linear Método dos Mínimos Quadrados-MMQ Sistema Normal para o MMQ Casos Redutíveis ao Linear Exercícios Propostos Interpolação Interpolação Linear Estudo do Erro Cota para o Erro Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange Estudo do Erro Cota para o Erro Fórmulas de Newton Operadores Tabulação das Diferenças Fórmula de Newton para Diferenças Progressivas Estudo do Erro Fórmula de Newton para Diferenças Regressivas Exercícios Propostos Integração Numérica Método dos Trapézios Cota para o Erro na Fórmula do Trapézio

.................... 109 5.7 Critério de Parada para as Iterações.............. 110 5.8 Método de Gauss-Seidel - MGS................. 111 5.9 Interpretação Geométrica do MGS............... 112 5.

6 8.2 Método de Simpson Cota para o Erro na Fórmula de Simpson Método dos Três Oitavos Simpson+Três Oitavos Exercícios Propostos Métodos Numéricos para EDO S Introdução Considerações Gerais sobre EDO s EDO s de Primeira Ordem Problema de Valor Inicial - PVI Método de Picard Solução por Série de Taylor Erro Local e Erro Global Métodos de Passo-Simples Método de Euler Interpretação Geométrica do Método de Euler Método de Heun Método de Runge-Kutta - RK Métodos de Predição-Correção Sistema Preditor-Corretor de Milne Passo-Simples X Predição-Correção Sistemas de EDO s Runge-Kutta para Sistemas de EDO S EDO de Ordem Superior Problemas de Fronteira de Segunda Ordem Método do Artilheiro Exercícios Propostos Projetos Idade da Lua Cálculo da Inversa de uma Matriz Um problema de Geometria Principio de Arquimedes Catenária Distribuição de Temperatura numa Placa Circuito Elétrico Problema de Custos Equação de Van der Pol Problema de Refração

3 EDO s de Primeira Ordem.................... 184 9.4 Problema de Valor Inicial - PVI................. 185 9.5 Método de Picard........................ 186 9.6 Solução por Série de Taylor................... 189 9.

7 13.11Deflexão de uma Viga Simplesmente Engastada Deflexão de uma Viga Simplesmente Apoiada

8 8

9 Capítulo 1 Introdução A matemática é, de alguma maneira, usada na maioria das aplicações da ciência e da tecnologia. Tem sempre havido uma relação muito próxima entre a matemática de um lado e a ciência e tecnologia do outro. Algumas de suas áreas surgiram e foram desenvolvidas na tentativa, as vezes até frustrada, de solucionar problemas reais, ou seja, aqueles relacionados com alguma situação prática. Com frequência estes problemas reais não podem ser convenientemente solucionados através de fórmulas exatas. Assim se for possível aceitar uma solução aproximada os métodos numéricos serão as ferramentas adequadas para sua solução. Uma grande fonte de métodos numéricos são as soluções e demonstrações matemáticas que geram métodos construtivos ou algorítmicos. Os algorítmos gerados são utilizados para se obter as soluções numéricas. 1.1 Soluções Não Construtivas Um exemplo de solução que não gera método contrutivo são as demonstrações de teoremas de existência e unicidade feitas por contradição. Este tipo de demonstração, geralmente, baseia-se na suposição da não existência de solução, ou de sua não unicidade, e nos conduz a uma contradição. Uma prova deste tipo evidentemente não nos fornece informações que nos possibilite determinar a solução. Apesar disso é de vital importância nos permitindo, de antemão, evitar a procura de soluções para problemas sem solução. 9

Algumas de suas áreas surgiram e foram desenvolvidas na tentativa, as vezes até frustrada, de solucionar problemas reais, ou seja, aqueles relacionados com alguma situação prática.

10 1.2. Soluções Construtivas 1.2 Soluções Construtivas Vejamos agora um exemplo de método construtivo para o cálculo de uma aproximação da raiz quadrada de um número real positivo maior do que 1. Algoritmo de EUDOXO de Cnido Seja p um número real positivo maior do que 1. Para determinar p devemos determinar um número x de modo que x 2 = p. 1 p p x p 0 = (1+p) x 0 Figura 1.1: 2 Como p > 1 temos que 1 < p < p. Escolhe-se então x 0, primeira aproximação para p, tomando-se a média aritmética entre 1 e p.... x 0 := 1 2 (1 + p).(veja figura 1.1) Pode-se mostrar que p/x 0 < p < x 0. Escolhe-se agora outra aproximação x 1 calculando a média aritmética entre x 0 e p/x 0 x 1 := (x 0 + p/x 0 )/2 Temos novamente p/x 1 < p < x 1. Continuando deste modo podemos considerar a seqüência de aproximações sugerida por Eudoxo definida como: x n := (1 + p)/2 se n = 0 (x n 1 + p x n 1 )/2 se n 1 (1.1) Vamos utilizar o algorítmo proposto acima para calcular algumas aproximações para 2. 10

1: 2 Como p > 1 temos que 1 < p < p. Escolhe-se então x 0, primeira aproximação para p, tomando-se a média aritmética entre 1 e p.... x 0 := 1 2 (1 + p).(veja figura 1.

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