Cálculo Numérico / Métodos Numéricos. Solução de sistemas não lineares Método de Newton

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Herman Vieira Fernandes
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1 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Solução de sistemas não lineares Método de Newton

2 Várias equações várias incónitas. 5:4 Queremos resolver:... m... m... m... m

3 Eemplo: Intersecção de duas parábolas. Não temos soluções!!!!!!!!!!!!!!!!..

4 Eemplo variáveis incónitas raíes 4 - Escrevendo na orma do slide anterior

5 Tomando duas unções quaisquer Suponha que é uma aproimação de uma solução do sistema. Vamos usar o desenvolvimento de Talor em torno deste ponto:

6 Eemplo - Talor / Pelo teorema de Talor sabemos que perto do ponto.5.5 podemos escrever: em torno de em torno de

7 Eemplo - Talor / em torno de em torno de No ponto.6.6: *. 3*.. - 3*. - 3*. -

8 Como queremos obter uma rai:

9 Em orma matricial: J Matri Jacobiana no ponto J

10 Resolvendo J J J Problema: Custoso calcular J -

11 Resolvendo um sistema linear Em ve de calcular J - vamos chamar - de r e - de s: s r J J Matri conhecida Vetor conhecido Variáveis Sistema linear

12 Processo iterativo J r s Ao resolvermos o sistema teremos s e r e poderemos acilmente obter os novos valores de e r s Lembre que não são os valores de mas os valores de uma nova aproimação ou seja: r s

valores de e r s Lembre que não são os valores de

13 Método de Newton Repetindo o processo temos o processo iterativo de Newton: J

14 Método de Newton Podemos eneraliar o processo iterativo de Newton para sistemas lineares de dimensão n: n J M Precisaremos de métodos eicientes para resolver os sistemas lineares

15 Método de Newton Converência Quando o método convere a converência é quadrática. O método de Newton convere se: As unções i... para i... n e suas derivadas parciais ate seunda ordem sejam continuas e limitadas numa viinhança V contendo a rai **...*. o determinante do Jacobiano é dierente de ero em V. A solução inicial deve ser suicientemente próima da rai.

.. n e suas derivadas parciais ate seunda ordem sejam continuas e limitadas numa

16 Método de Newton - Aloritmo resolva o sistema linear determine a nova solução n t s r J M t s r M

17 Método de Newton - Aloritmo calcule o erro_atual M r s M ma { r s... t } t norma ininito

18 Voltando ao eemplo Iteração de Newton: - J J

19 Voltando ao eemplo J Critério de parada: erro menor que - 5 5

20 Resolução do Eemplo: Cálculo no ponto inicial: F F A b 4 F Jacobiana matri 3

21 Resolva o sistema: A b Eliminação de Gauss Determine nova solução:

22 Resolva o sistema: A b Eliminação de Gauss Determine nova solução: Teste de parada: { } ε ma L n < { } 5> ε ma Continua

23 a. iteração: F F A b Resolva o sistema: b A

24 a. iteração: F F A b Resolva o sistema: b A Determine nova solução:

25 Teste de parada: ma { } < ε L { 5 } 5> ε ma n Continua

26 Teste de parada: { } ε < n ma L { } 5 5 ma > ε Continua 3 a. iteração: F F A b

27 Resolva o sistema: A b Determine nova solução:

28 Resolva o sistema: A b Determine nova solução: Teste de parada: { } ε Solução: 3 ma L { 6 55 } 55 < ε ma n < Pare Verdadeiro Método converiu em 3 iterações!!

29 Método de Newton Modiicado

30 MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO O Método de Newton Modiicado tem a vantaem de calcular uma única ve a matri Jacobiana. No caso de resolver por atoração J LU os atores L e U também serão calculados uma única ve.

31 Aplique o método de Newton Modiicado J Critério de parada com erro menor que - 5 5

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