Prof a Dr a Ana Paula Marins Chiaradia MATRIZ INVERSA. Menores: O menor de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o

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1 Projeto TEIA DO SABER 006 UNESP Campus de Guaratinguetá Secretaria de Estado da Educação, SP Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá Coordenador Prof Dr José Ricardo Zeni Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias do Ensino Médio: Física, Química, Biologia e Matemática (Eixo Temático I) Prof a Dr a Ana Paula Marins Chiaradia MATRIZ INVERSA Menores: O menor de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o determinante da submatriz M ij gerada pela retirada de i-ésima linha e da j-ésima coluna desta matriz Notação: M ij Exemplo: Seja A uma matriz de ordem : A O menor do elemento a é o determinante da submatriz M gerada pela retirada da linha e coluna, isto é, M 7 9 Uma matriz de ordem n possui nxn menores, cada um associado a um elemento desta matriz Cofatores: O cofator de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o "menor com sinal" de a ij e é dado pela seguinte relação: Cofa ij ij M ij Exemplo: Em relação ao exemplo anterior: Cofa M 9 9 Matriz de Cofatores: é definida como sendo a matriz cujos elementos são os cofatores dos elementos da matriz original, ou seja: a a a n Se A a a a n a n a n a nn nxn, então a matriz dos cofatores é dada por:

2 Projeto Teia do Saber 007 CofA cofa cofa cofa n cofa cofa cofa n cofa n cofa n cofa nn nxn Matriz Adjunta: é definida como sendo a matriz de cofatores transposta, ou seja, AdjA CofA T Exemplo: A matriz dos cofatores de A é Exemplo: E a matriz adjunta de A é: Matriz Inversa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n Se deta 0, então existe uma matriz B, tal que a seguinte relação seja satisfeita : A B B A I (I é a matriz identidade) A matriz B é chamada de matriz inversa de A e representada por B A Logo, temos: A A A A I Observe que a operação de multiplicação com a matriz inversa é comutativa Se deta 0, dizemos que a matriz A é não-inversível ou singular

3 Projeto Teia do Saber 007 Cálculo da Matriz Inversa A matriz inversa é calculada pela seguinte relação: A det A AdjA Exemplo: Calculando a matriz inversa de A Calculando-se o determinante da matriz A: A matriz de cofatores é calculada como sendo: CofA A matriz adjunta é,a matriz dos cofatores A transposta: AdjA CofA T Com isso temos: A det A AdjA Obs: Uma matriz triangular é inversível, se e somente se seus elementos na diagonal principal são todos não-nulos

4 Projeto Teia do Saber 007 Exercício : Calcule a matriz inversa de A, se possível: a) A 6 Propriedades ) A inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior ) A inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior ) Se A B é inversível, então A B B A 4) A é inversível, então A A ) A n A n A A A n fatores ) A n é inversível e A n A n para n 0,,, 6) Para qualquer k constante real, a matriz k A é inversível e k A k A 7) Se A é uma matriz inversível, então A T também é inversível e A T A T 8) Se A é uma matriz simétrica inversível, então A é simétrica 9) Se A é uma matriz inversível, então A A T e A T A são também inversível 0) deta, se deta 0 det A 4 7 Exercício : Seja A Calcule: a) A A c) A A I, onde I é a matriz identidade Exercício de Fixação Encontre a matriz inversa de cada matriz dada, se possível: a) A 4 6 Resp:é singular Resp: 0 c) cos sen sen cos Resp: cos sen sen cos Mostre que a matriz cos sen 0 sen cos é inversível para todos os valores de Em 4

5 Projeto Teia do Saber 007 seguida, encontre a sua inversa Resp: cos sen 0 sen cos Dada A Calcule:a) A A c) A A I Resp: a) c) matriz nula 4 Dadas as matrizes A e B 0 4 Calcule: a) A B A B T c) A A I d) B Resp: a) c) 0 d) 0 4

6 Projeto Teia do Saber 007 Exercício de aplicação Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo: A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z Suponhamos que a nossa mensagem seja "PUXA VIDA" Podemos formar uma matriz x assim: P U X A V I D A, que usando a correspondência numérica fica M Agora seja C uma matriz qualquer x inversível, por exemplo: C 0 0 Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C, obtendo M C Transmitimos esta nova matriz (na prática, envia-se a cadeia de números ) Quem recebe a mensagem decodifica-a através da multiplicação pela inversa MC C M) e posterior transcrição dos números para letras C é chamada a matriz chave para o código a) Você recebeu a mensagem: Utilizando a mesma chave, traduza a mensagem Aconteceu que o inimigo descobriu sua chave O seu comandante manda você substituir a matriz chave por C Você transmite a mensagem "CRETINO" a ele (codificada, naturalmente!) Por que não será possível a ele decodificar sua mensagem? c) Escolha uma outra matriz-chave que dê para codificar palavras até 9 letras Codifique e descodifique à vontade! 6