Onde: A é a matriz do sistema linear, X, a matriz das incógnitas e B a matriz dos termos independentes da equação

Transcrição

1 Onde: A é a matriz do sistema linear, X, a matriz das incógnitas e B a matriz dos termos independentes da equação

2 À seguir eemplificaremos e analisaremos cada uma dessas três situações.

3 : A X B Podemos solucionar um sistema de equações lineares através do método de escalonamento conhecido como Gauss-Jordan, cujos passos são os seguintes (iniciaremos com Gauss):. Junção: Unir a matriz do sistema linear (A) com a matriz dos termos independentes (B), formando o que se chama de Matriz Aumentada ou Ampliada, que poderemos chamar de (escalonada):

4 Método de escalonamento Gauss - continuação:. Pivotear: Fiar o º elemento da primeira linha como sendo o pivô. Os pivôs só podem ser fiados na porção referente à matriz A. OBS: o elemento nulo () não serve como pivô. Caso seja ele o primeiro elemento, passar direto para o passo. Procurar, à partir do pivô, qual elemento das linhas que seja maior que o pivô. Se for maior, troca a posição das linhas. Caso todas as linhas tenham o primeiro elemento como sendo, passar para o elemento da próima coluna diferente de zero. l l. Normalizar: Significa dividir a linha do pivô pelo número cujo pivô dê, ou seja, ficará na posição do número antes ocupado pelo pivô / l l/ >

5 Método de escalonamento Gauss - continuação: 5. liminar: limina todos os elementos abaio do pivô, deiando-os com o valor. Isso é feito, com o cálculo padrão: linha abaio <- linha abaio elemento abaio do pivô*linha do pivô. ssa operação deve se repetir em todas as linhas que estejam abaio da linha do pivô: / l l l > / / 6. scalonar: Passamos para a coluna seguinte ao pivô, descendo uma linha, fiando o novo pivô. / / 7. Repete-se todos os passos vistos à partir do item ao 6, até que todos os pivôs estejam com o valor unitário () e tenhamos atingido a última linha. Chamamos, portanto, a nova matriz A de matriz modificada. / / l l l l /(/ ) > / / Fim do método de Gauss

6 Método de escalonamento Gauss continuação - critérios: O primeiro elemento de cada linha não-nula é um pivô; m cada linha, à esquerda de cada pivô, só eistem zeros; m cada coluna, abaio de cada pivô, só eistem zeros. Cada pivô da próima linha é deslocado, pelo menos uma coluna em relação à linha anterior (escalonamento) Se a matriz não obedecer aos critérios i acima, ela não pode ser considerada d escalonada, ou seja, houve um erro no método de Gauss Baseado na matriz, podemos encontrar, agora, os valores de e y, substituindo os termos da matriz numa das equações do conjunto. Assim: / > y / A X B Substituindo y na equação de cima, encontraremos : + / y y + > + > + > 6 OBS: Os valores de e y podem ser obtidos no sistema de equações originais.

7 Método de Jordan, para encontrar a solução do sistema de equações lineares: Para um sistema de equações simples, como o deste eemplo, o método gaussiano já resolve. Porém, para sistemas de múltiplas equações e múltiplas incógnitas, devemos aplicar o método de eliminação i inversa, conhecido como método de Jordan. Os passos são os mesmos feitos no método gaussiano ( a 7), porém, percorrendo a matriz de baio p cima, e da direita p esquerda:. Pivotear: Fiar o último elemento da última linha da porção referente à matriz A, como sendo o pivô e que seja diferente de. Caso zero o primeiro elemento, passar direto para o passo / / l l. liminar: i limina i todos os elementos acima do pivô, deiando-os d com o valor. Isso é feito, com o cálculo padrão: linha acima <- linha acima elemento acima do pivô*linha do pivô. ssa operação deve se repetir em todas as linhas que estejam acima da linha do pivô: / / l l / l / /

8 Método de Jordan, para encontrar a solução do sistema de equações lineares (continuação): Baseado na matriz, podemos encontrar, agora, os valores de e y, de forma direta: / > y / y A X B PROVA DA RSOLUÇÃO DO SISTMA D QUAÇÕS LINARS POR GAUSS- JORDAN Basta substituir os resultados obtidos em uma das equações do sistema. Se o primeiro termo for igual ao segundo, indica que encontramos a solução correta e está provado. Assim: + y > + > 6 > OBS: Nem sempre encontraremos uma solução direta (única solução) ou simplesmente o sistema não terá solução. Na sequência, analisaremos este eemplo no tocante ao número de soluções possíveis. + + >

9 Analisando as três situações possíveis na resolução de AB Para que seja possível realizarmos a análise das três situações possíveis na resolução de AB, temos de conhecer alguns outros conceitos: Chamemos, à partir de agora, o número de linhas de uma matriz como sendo m e o número de colunas como sendo n; Chamemos o número de pivôs da matriz resultante escalonada () do método de Jordan como sendo o posto (rank, em inglês) da porção referente à matriz A, obtido através da matriz, então, para termos: Uma única solução: Todas as linhas da matriz possuem pivôs : P m Infinitas soluções: A matriz possui uma linha nula e o elemento do vetor B correspondente é nulo: P < m e n>m Não eiste solução: A matriz possui o número de pivôs menor que o número de linhas e o número de linhas é menor ou igual ao número de colunas ou; A matriz possui o número de pivôs menor que o número de colunas e o número de linhas é maior que o número de colunas: (P < m e m < n) ou (P < n e m > n) OBS: o elemento do vetor B correspondente sempre será não nulo:

10 Analisando as três situações possíveis na resolução de AB - continuação Portanto, para a matriz do eemplo : / / A matriz tem linhas colunas. ntão, m e n. Temos que o posto (rank) da matriz é. Como p m, então o sistema do eemplo possui uma única solução. OBS: Casos particulares, como a resolução de um sistema de espaço nulo (A) não p, ç p ç ( ) será abordado nesta disciplina, por fazer parte do assunto da disciplina de Álgebra Linear.

11 Analisando as três situações possíveis na resolução de AB continuação *** SOLUÇÃO D AB NO SCILAB *** Ainda baseado no eemplo, vamos resolver AB no SciLab:. Insira as matriz AeB: A[,;,] B[;]. Digite, no console: A\B. O resultado será: -. (equivalente a ) e (equivalente a ) OBS: O problema é que nem sempre teremos certeza de termos uma única solução e o SciLab poderá, desta forma, encontrar uma solução qualquer, dando-nos a impressão que aquela é a única solução. O melhor, então, é sempre utilizarmos a forma analítica de resolução para, daí, tirarmos a nossas conclusões. ntão, para o eemplo, fariamos:. Monte a matriz : [,,;,,]. Digite, i no console do SiLb SciLab: rref(). O resultado será amatriz escalonada final, por Jordan: ans y

12 Analisando as três situações possíveis na resolução de AB continuação *** SOLUÇÃO D AB NO SCILAB continuação *** Desta forma, notamos que P e que Pm m. Portanto, esse sistema possui uma única solução. Se quisermos encontrar o posto diretamente, basta digitarmos, no console do SciLab: rank(), onde obteremos como resposta. Desta forma, o SciLab torna-se ferramenta computacional fundamental para a comprovação da resolução dos sistemas de equações lineares (AB).

13 emplo : Dado o sistema de equações lineares abaio, decompô-lo matricialmente e aplicar a técnica Gauss-Jordan: > > > A X B Passo - Junção Passo - normalizar l l > l l/ > / Passo - Pivoteamento Passo Permutar linha maior por linha menor (não necessário neste caso)

14 emplo (continuação): Como não tenho nenhum elemento não-nulo abaio do pivô (5º passo) nem nenhum outro elemento não-nulo na linha dois, encerro o método de Gauss partindo, agora, para Jordan: / Notamos também não ser necessário aplicar Jordan na matriz,, visto que não eistem elementos não nulos que possam servir como pivô. Sendo assim, obtemos a matriz escalonada final () diretamente de Gauss: / Analisando a solução de AB : m; n; p; Logo o sistema do eemplo possui infinitas soluções, visto que p<m e n>m

15 emplo : Dado o sistema de equações lineares abaio, decompô-lo matricialmente e aplicar a técnica Gauss-Jordan: > > > A X B Passo - Junção Passo - normalizar l l > l l/ > / Passo - Pivoteamento Passo Permutar linha maior por linha menor (não necessário neste caso)

16 emplo (continuação): Como não tenho nenhum elemento não-nulo abaio do pivô (5º passo) nem nenhum outro elemento não-nulo na linha dois, encerro o método de Gauss partindo, agora, para Jordan: / Notamos também não ser necessário aplicar Jordan na matriz,, visto que não eistem elementos não nulos que possam servir como pivô. Sendo assim, obtemos a matriz escalonada final () diretamente de Gauss: / Analisando a solução de AB : m; n; p; Logo o sistema do eemplo não possui solução, visto que p<m e m<n, onde o elemento de B correspondente a l é diferente de zero (B, )

17 emplo : Dado o sistema de equações lineares abaio, decompô-lo matricialmente e aplicar a técnica Gauss-Jordan: u 5 > w v u v u w v u > w v u w v u 9 7 w B A X 9 7 Passo - Junção Junção > 6 5 l l > > / 5 6 l l Passo - Passo Passo Pivoteamento Permutar linha maior por linha menor normalizar

18 emplo (continuação): / / / / l l l > 5 > 6 > l l ( ) l Passo 5 eliminar os elementos abaio do pivô / / l l 6 > 8 l l / / / 8 > / / > Passo 6 scalonar e volta ao passo Pivotear Passo normalizar

19 emplo (continuação): l l l Passo 5 eliminar i os elementos abaio do pivô > / / / / Fim do método de Gauss Aplicando Jordan (eliminação inversa): l l / / / / / / l l / l > > l l Passo - Pivoteamento Passo normalizar(não necessário, pois o elemento do pivô já é ). Passo 5 - liminar

20 emplo (continuação): / / l l > > l l ( / ) l Passo 6 scalonar e volta ao passo Pivotear Passo normalizar(não necessário, pois o elemento do pivô já é ). Passo 5 - liminar Analisando a solução de AB : m; n; p; Logo o sistema do eemplo possui uma única solução, visto que pm. Desta forma, seguimos o cálculo para achar os valores de u, v e w. Baseado na matriz, podemos encontrar, agora, os valores de e y, de forma direta: u u v > v w w A X B

21 emplo 5: Dado o sistema de equações lineares abaio, decompô-lo matricialmente e aplicar a técnica Gauss-Jordan: + > > 5 5 B A X Passo - Junção Junção > 5 l l > / 5 l l Passo - Passo Passo Pivoteamento Permutar linha maior por linha menor normalizar

22 emplo 5(continuação): 5 / / 5 / / l l l > > l l l / 7 / > 8 / / Passo 5 eliminar os elementos abaio do pivô 5 / / 5 / / l l l l*/ 8 / / 8 / / / / > > / > Passo 6 Passo scalonar e volta normalizar ao passo Pivotear

23 emplo 5(continuação): l l + 8 / l Passo 5 eliminar i os elementos abaio do pivô > 5/ / / > 5 Fim do método de Gauss ATNÇÃO!!! Observamos que eiste uma linha com um elemento não-nulo, que é a linha. Por analogia ao eemplo, onde um sistema não possui solução quando um dos linhas da matriz é não-nulo, quando os demais elementos são nulos, isso implica dizer que esse sistema não possui solução. Desta forma, não é mais necessário aplicar o método de Jordan, visto que tal situação não iria se modificar. OBS: Nem sempre obteremos o mesmo resultado da matriz quando formos implementá-la no SciLab, no tocante a um sistema de múltiplas soluções ou sem solução, visto que o SciLab procura, através de um esforço computacional, encontrar sempre uma solução para o sistema. O importante é observar o posto da porção da matriz A obtido pelo escalonamento de, e analisar sua situação, baseado nas regras de solução de sistemas de equações lineares já vistos anteriormente.

24 FIM DA PART FAZR LISTA D XRCÍCIOS (Documento à Parte) Utilizar o SCILab para conferir as respostas