Universidade Estadual de Campinas

Transcrição

1 Universidade Estadual de Campinas Nathalia Cristina Ribeiro Ra:

2 Universidade Estadual de Campinas Fernando Torres 2

3 Sumário. Introdução 4 Biografia de Leonardo Fibonacci 5 O que é uma seqüência? 6 Seqüência de Fibonacci 7 Representações de Fibonacci 9 Aplicações 11 Identidades de Fibonacci 13 Bibliografia 15 3

4 Introdução. A sucessão de Fibonacci ou seqüência de Fibonacci é uma seqüência de números naturais, na qual os primeiros dois termos são 0 e 1, e cada termo subseqüente corresponde à soma dos dois precedentes. A seqüência tem o nome do matemático pisano do século XIII Leonardo de Pisa, conhecido como Leonardo Fibonacci, e os termos da seqüência são chamados números de Fibonacci. Os números de Fibonacci são, portanto, os números que compõem a seguinte seqüência de números inteiros 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, Em termos matemáticos, a seqüência é definida recursivamente pela fórmula abaixo, sendo os dois primeiros termos F 0 = 0 e F 1 = 1. Em seu livro de 1202, intitulado Liber Abaci, Fibonacci introduziu a seqüência na matemática da Europa Ocidental, embora ela já tivesse sido descrita anteriormente por matemáticos indianos. Pela convenção moderna, a seqüência inicial com F 0 = 0, no Liber Abaci, ela começava com F 1 = 1, omitindose o zero inicial, e alguns ainda escrevem a seqüência dessa forma. A seqüência de Fibonacci tem aplicações na análise de mercados financeiros, na ciência da computação e na teoria dos jogos. Também aparece em configurações biológicas, como, por exemplo, na disposição dos galhos das árvores ou das folhas em uma haste, no arranjo do cone da alcachofra, do abacaxi, ou no desenrolar da samambaia. 4

5 Biografia de Leonardo Fibonacci. Leonardo Fibonacci, também conhecido como Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano ou ainda Leonardo Bigollo, mas, na maioria das vezes, simplesmente como Fibonacci foi um matemático italiano, tido como o primeiro grande matemático europeu da Idade Média. É considerado por alguns como o mais talentoso matemático ocidental da Idade Média. Ficou conhecido pela descoberta da sequência de Fibonacci e pelo seu papel na introdução dos algarismos arábicos na Europa. Com outros matemáticos do seu tempo, contribuiu para o renascimento das ciências exatas, após a decadência do último período da antiguidade clássica e do início da Idade Média, mas Fibonacci destacou-se ao escrever o Liber Abaci, em1202 (atualizado em 1254), a primeira obra importante sobre matemática desde Eratóstenes, isto é, mais de mil anos antes. O Liber Abaci introduziu os numerais hindu-arábicos na Europa, além de discutir muitos problemas matemáticos. Fibonacci é também conhecido pela sequência numérica nomeada após sua morte como sequência de Fibonacci. Ele não descobriu, mas usou-a como exemplo no Liber Abaci. 5

6 O que é uma sequencia? Seqüência é todo conjunto ou grupo no qual seus elementos estão escritos em uma determinada ordem. Exemplos: a) 0,2,4,6,8,10,...) é a seqüência dos números pares. b) (1,3,5,7,9,11,...) é a seqüência dos números ímpares. c) (0,5,10,15,20,25,...) é a seqüência dos múltiplos de 5. As seqüências são classificadas em: finita ou infinita. Em uma seqüência numérica, o primeiro termo é representado por a 1, o segundo termo por a 2, o terceiro termo por a 3, e assim sucessivamente. Em uma seqüência numérica finita o último termo é representado por a n. A letra n indica a quantidade de termos da seqüência ou a posição de cada termo. Muitas seqüências são geradas de observações do cotidiano, como a de Fibonacci. 6

7 Seqüência de Fibonacci. No ocidente, a seqüência de Fibonacci apareceu pela primeira vez no livro Liber Abaci, embora ela já tivesse sido descrita por matemáticos indianos. Fibonacci criou a seqüência que leva seu nome a partir da observação do crescimento de uma população de coelhos. Os números descrevem a quantidade de casais em uma população de coelhos após n meses, partindo dos seguintes pressupostos: No primeiro mês nasce apenas um casal, Casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida, Não há problemas genéticos no cruzamento consangüíneo, Todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal, E os coelhos nunca morrem. Com essas condições, inicia-se a construção da seqüência: No 1º mês há apenas 1 casal de coelhos. Como a maturidade sexual dos coelhos dá-se somente a partir do segundo mês de vida, no mês seguinte continua havendo apenas 1 casal. No 3º mês teremos o nascimento de mais um casal, totalizando 2 casais. No 4º mês, com o nascimento de mais um casal, gerado pelo casal inicial, (visto que o segundo ainda não amadureceu sexualmente ) teremos 3 casais. No mês seguinte (5º), com nascimento de dois novos casais gerados pelo casal 1 e pelo casal 2, totalizam-se 5 casais. Seguindo essa lógica e as condições estabelecidas previamente por Fibonacci temos a seqüência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... Ela representa a quantidade de casais de coelhos mês a mês. Observando com mais cuidado, pode-se perceber que qualquer termo posterior dessa seqüência é obtido adicionando os dois termos anteriores. Mas genericamente, chama-se seqüência de Fibonacci qualquer função g onde g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Essas funções são precisamente as de formato g(n) = af(n) + bf(n + 1) para alguns números a e b, então as seqüências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F(n) e F(n + 1) como base. Em particular, a seqüência de Fibonacci com F(1) = 1 e F(2) = 3 é conhecida como os números de Lucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áurea para as enésimas potências: Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmula: 7

8 Com esta fórmula podemos montar a seqüência de Fibonacci e descobrir, por exemplo, quantos coelhos foram gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita acima até chegar ao ponto inicial de 1 e 1, como mostra a figura abaixo: Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos. F(6) = (F(6) - 1) + (F(6) - 2) = 5 e 4 8 ( Soma do Resultado de F(5) e F(4) ) F(5) = (F(5) - 1) + (F(5) - 2) = 4 e 3 5 ( Soma do Resultado de F(4) e F(3) ) F(4) = (F(4) - 1) + (F(4) - 2) = 3 e 2 3 ( Soma do Resultado de F(3) e F(2) ) F(3) = (F(3) - 1) + (F(3) - 2) = 2 e 1 2 F(2) = (F(2) - 1) + (F(2) - 2) = 1 e 0 1 e a primeira posição 1. 8

9 Representações de Fibonacci. Para analisar a seqüência de Fibonacci (e, em geral, quaisquer seqüências) é conveniente obter outras maneiras de representá-la matematicamente. Função geradora: Uma função geradora para uma seqüência qualquer é a função ou seja, uma série potências formais em que cada coeficiente é um elemento da seqüência. Os números de Fibonacci possuem a seguinte função geradora Quando se expande esta função em potências de seqüência de Fibonacci:, os coeficientes são justamente os termos da Forma Explicita: Conforme mencionado por Johannes Kepler, a taxa de crescimento dos números de Fibonacci, que é F(n + 1) /F(n), tende à Proporção áurea, denominada φ. Esta é a raiz positiva da equação de segundo grau x² x 1 = 0, então φ² = φ + 1. Se multiplicarmos ambos os lados por φ n, teremos φ n+2 = φ n+1 + φ n, então a função φ n é uma seqüência de Fibonacci. É possível demonstrar que a raiz negativa da mesma equação, 1 φ, tem as mesmas propriedades, então as duas funções φ n e (1 φ) n formam outra base para o espaço. Ajustando os coeficientes para obter os valores iniciais adequados F(0) = 0 e F(1) = 1, tem-se a fórmula de Binet: Este resultado também pode ser derivado utilizando-se a técnica de funções geradoras, ou a técnica de resolver relações de recorrência. Quando n tende a infinito, o segundo termo tende a zero, e os números de Fibonacci tendem à exponencial φ n / 5. O segundo termo já começa pequeno o suficiente para que os números de Fibonacci possam ser obtidos usando somente o primeiro termo arredondado para o inteiro mais próximo. Forma Matricial: Para argumentos muito grandes, quando utiliza-se um computador bignum, é mais fácil calcular os números de Fibonacci usando a seguinte equação matricial: 9

10 em que a potência de n é calculada elevando-se a matriz ao quadrado repetidas vezes. Um exemplo de aplicação desta expressão matricial é na demonstração do teorema de Lamé sobre o algoritmo de Euclides para o cálculo do MDC. 10

11 Aplicações. Os números de Fibonacci são importantes para a análise em tempo real do algoritmo euclidiano, para determinar o máximo divisor comum de dois números inteiros. Matiyasevich mostrou que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma Equação diofantina, o que o levou à solução original do Décimo Problema de Hilbert. Os números de Fibonacci aparecem na fórmula das diagonais de um triângulo de Pascal. Um uso interessante da seqüência de Fibonacci é na conversão de milhas para quilômetros. Por exemplo, para saber aproximadamente a quantos quilômetros 5 milhas correspondem, pega-se o número de Fibonacci correspondendo ao número de milhas (5) e olha-se para o número seguinte (8). 5 milhas são aproximadamente 8 quilômetros. Esse método funciona porque, por coincidência, o fator de conversão entre milhas e quilômetros (1.609) é próximo de φ (1.618) (obviamente ele s ó é útil para aproximações bem grosseiras: além do fator de conversão ser diferente de φ, a série converge para φ). Em música os números de Fibonacci são utilizados para a afinação, tal como nas artes visuais, determinar proporções entre elementos formais. Um exemplo é a Música para Cordas, Percussão e Celesta de Béla Bartók. Le Corbusier usou a seqüência de Fibonacci na construção do seu modulor, um sistema de proporções baseadas no corpo humano e aplicadas ao projeto de arquitetura. Em The Wave Principal, Elliot defende a idéia que as flutuações do mercado seguem um padrão de crescimento e decrescimento que pode ser analisado segundo os números de Fibonacci, uma vez determinada a escala de observação. Defende que as relações entre picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa tendem a seguir razões numéricas aproximadas das razões de dois números consecutivos da seqüência de Fibonacci. Teorias mais recentes defendem que é possível encontrar relações de ouro entre os pontos de pico e os de vale, como no gráfico abaixo: 11

12 Se tomarmos o valor entre o início do ciclo e o primeiro pico, e o compararmos com o valor entre este pico e o pico máximo, encontraremos também o número de ouro. O ciclo, naturalmente, pode estar invertido, e os momentos de pico podem se tornar momentos de vale, e vice-versa. 12

13 Identidades de Fibonacci. F(n + 1) = F(n) + F(n 1) F(0) + F(1) + F(2) + + F(n) = F(n + 2) 1 F(1) + 2 F(2) + 3 F(3) + + n F(n) = n F(n + 2) F(n + 3) + 2 É possível essas identidades usando diferentes métodos. Mas, entretanto, nós queremos demonstrar uma elegante prova para cada um de seus usos aqui. Particularmente, F(n) podem ser interpretados como o número de formas de adicionar 1's e 2's até n 1, convencionando-se que F(0) = 0, significando que nenhuma soma irá adicionar até -1, e que F(1) = 1, significando que a soma 0 será "adicionada" até 0. Aqui a ordem dos números importa. Por exemplo, e são consideradas duas diferentes somas e são contadas duas vezes. Prova da primeira identidade: Sem perda de generalidade, podemos assumir n 1. Então F(n + 1) conta o número de formas de somar 1's e 2's até n. Quando a primeira parcela é 1, há F(n) formas de completar a contagem para n 1; quando a primeira parcela é 2, há F(n 1) formas de completar a contagem para n 2. Portanto, no total, há F(n) + F(n 1) formas de completar a contagem para n. Prova da segunda identidade: Contamos o número de formas de somar 1's e 2's até n + 1 de forma que pelo menos uma das parcelas é 2. Como antes, há F(n + 2) formas de somar 1's e 2's até n + 1 quando n 0. Já que há apenas uma soma n + 1 que não usa nenhum 2, a saber (n + 1 termos), subtraímos 1 de F(n + 2). Equivalentemente, podemos considerar a primeira ocorrência de 2 como uma parcela. Se, em uma soma, a primeira parcela é 2, então há F(n) formas de completar a contagem para n 1. Se a segunda parcela é 2, mas a primeira é 1, então há F(n 1) formas de completar a contagem para n 2. Continuando este raciocínio iremos chegar à ( n + 1)-ésima parcela. Se é 2, mas todas as n parcelas anteriores são 1's, então há F(0) formas de completar a contagem para 0. Se uma soma contém 2 como uma parcela, a primeira ocorrência de tal parcela deve tomar lugar entre a primeira e a (n + 1)-ésima posição. Portanto F(n) + F(n 1) + + F(0) dá a contagem desejada. Prova da Terceira Identidade: Essa identidade pode ser estabelecida em duas fases. Primeiro, contamos o número de formas de somar 1's e 2's até -1, 0,, ou n + 1 tal que pelo menos uma das parcelas seja 2. Pela nossa primeira igualdade, há F(n + 2) 1 formas de somar até n + 1; F(n + 1) 1 formas de somar até n; ; e, finalmente, F(2) 1 formas de somar até 1. Como F(1) 1 = F(0) = 0, podemos adicionar todos as somas n + 1 e aplicar a segunda igualdade novamente para obter: [F(n + 2) 1] + [F(n + 1) 1] + + [F(2) 1] = [F(n + 2) 1] + [F(n + 1) 1] + + [F(2) 1] + [F(1) 1] + F(0) = F(n + 2) + [F(n + 1) + + F(1) + F(0)] (n + 2) = F(n + 2) + F(n + 3) (n + 2). Por outro lado, observamos a partir da segunda igualdade que existem: F(0) + F(1) + + F(n 1) + F(n) meios somando com n + 1; F(0) + F(1) + + F(n 1) meios somando com n; 13

14 F(0) meio somando com -1. Somando todas as somas n + 1, vemos que há (n + 1) F(0) + n F(1) + + F(n) formas de somar até -1, 0,, ou n + 1. Já que os dois métodos de contagem se referem ao mesmo número, temos: (n + 1) F(0) + n F(1) + + F(n) = F(n + 2) + F(n + 3) (n + 2) Finalmente, completamos a prova subtraindo a igualdade acima de n + 1 vezes a segunda igualdade. 14

15 Bibliografia