Álgebra A - Aula 01 Algoritmo da divisão de Euclides e Algoritmo Euclideano estendido

Transcrição

1 Álgebra A - Aula 01 Algoritmo da divisão de Euclides e Algoritmo Euclideano estendido Elaine Pimentel Departamento de Matemática, UFMG, Brazil 2 o Semestre

2 Introdução Objetivo: estudar o método de criptografia de chaves públicas conhecido como RSA. É necessário o estudo de alguns conceitos de uma área da matemática chamada Teoria de números. Espera-se desenvolver o raciocínio lógico matemático introduzindo métodos de prova de teoremas como indução matemática e demonstração por absurdo. É um curso de matemática para cientistas da computação.

3 Criptografia Criptografia: estuda os métodos para codificar uma mensagem de modo que só seu destinatário legítimo consiga interpretá-la. Primórdios: Cesar (translação do alfabeto). Criptoanálise: arte de decifrar códigos secretos. Decodificar x Decifrar (quebrar).

4 Criptografia Substituir letras por símbolos - contagem de frequência: vogais são mais frequentes; letra mais frequente: A; monossílabo de uma letra = vogal; consoantes mais frequentes: S e M Método de contagem de frequência de caracteres pode ser usado para decifrar inscrições antigas. Computadores: método de cifragem completamente inseguro (polinomial). Internet e criptografia: segurança, assinatura. Chave pública: saber codificar não implica saber decodificar!

5 Criptografia RSA RSA: Rivest, Shamir, Adleman (M.I.T.) Codificação: basta conhecer o produto de dois primos (n = pq). n é chamado chave pública. Decodificação: precisamos conhecer p e q (chave de decodificação). Decifrar RSA = fatoração de n. Se n possui 150 algarismos ou mais, fatorá-lo levaria milhares de anos. Obs: É difícil determinar os fatores primos de um número composto, mas é possível verificar se um número é primo ou composto sem tentar fatorá-lo. Teoria de números: parte da matemática que estuda números inteiros.

6 Computação algébrica Chave pública do RSA: multiplica-se dois primos muito grandes. Pascal, C: não permitem lidar com números dessa magnitude. Computação algébrica: trata do cálculo exato com inteiros, frações, etc. Exemplo: Mathematica, Maple. Inteiro de tamanho indeterminado: de tamanho flexível, grandes o suficiente. Restrições: tamanho da memória, estruturas de dados (vetores de tamanhos pré-fixados). Inteiros = listas! Algarismos = elemento da lista; operações de soma e multiplicação: usuais, como com lápis e papel. Divisão é mais complicado...

7 Algoritmos Algoritmo = processo de cálculo baseado em regras formais. Especificação de um algoritmo: entrada + instruções + saída. Perguntas: ao executarmos um conjunto de instruções, sempre chegaremos a um resultado? (ponto fixo) o resultado obtido é sempre o desejado? (semântica)

8 Algoritmo da divisão Objetivo: encontrar o quociente q e o resto r (saída) da divisão entre dois inteiros positivos a e b (entrada): a = bq + r 0 r < b. Algoritmo da divisão: Etapa 1: q = 0; r = a Etapa 2: Se r < b, pare. Nesse caso, o quociente é q e o resto r. Etapa 3: Se r b, faça r := r b, q := q + 1 e volte à Etapa 2.

9 Algoritmo da divisão Observações: 1. O algoritmo sempre para: sequência decrescente de números inteiros positivos. 2. O resultado da aplicação do algoritmo corresponde às especificações da saída (trivialmente). 3. O algoritmo é extremamente ineficiente, em especial se a >> b.

10 Teorema da Divisão Teorema de divisão: Sejam a e b inteiros positivos. Existem números inteiros q e r tais que a = bq + r 0 r < b Além disso, q e r são únicos. Prova: Unicidade - Sejam q, q, r, r tais que a = bq + r 0 r < b (1) a = bq + r 0 r < b (2) Subtraindo-se (1) de (2), obtemos: r r = b(q q) Ora, mas 0 r, r < b e portanto 0 r r < b. Ou seja, Como b > 0, temos 0 b(q q) < b 0 q q < 1 ou seja, q q = 0 q = q e r = r.

11 Algoritmo Euclideano Objetivo: Calcular o mdc entre dois números inteiros. Definição: o máximo divisor comum entre a e b é o número d tal que: d a (ou d é divisor de a) d b se d é divisor de a e b, então d d. Escrevemos d = mdc(a, b). Se mdc(a, b) = 1, dizemos que a e b são primos entre si.

12 Algoritmo Euclideano Dados dois números inteiros positivos a e b tais que a b, divide-se a por b, encontrando resto r 1. Se r 1 0, dividimos b por r 1, obtendo resto r 2. Se r 2 0, dividimos r 1 por r 2 e assim por diante. O último resto diferente de zero dessa sequência de divisões é o mdc(a, b). Exemplo: Ou seja, mdc(1234, 54) = 2.

13 Algoritmo euclideano Perguntas: 1. Por que o último resto não nulo é o mdc? 2. Por que o algoritmo para? a = bq 1 + r 1 e 0 r 1 < b b = r 1 q 2 + r 2 e 0 r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3 e 0 r 3 < r 2 r 2 = r 3 q 4 + r 4 e 0 r 4 < r 3..

14 Algoritmo euclideano Respostas: Segunda pergunta: observe que b > r 1 > r 2 >... 0 Como essa sequência é finita, o algoritmo sempre para. Mais ainda, o número de divisões efetuadas é no máximo b (por que?). Primeira pergunta: demonstração do algoritmo euclideano

15 Demonstração do algoritmo euclideano Lema Sejam a e b números inteiros positivos. Se existem inteiros g e s tais que a = bg + s, então mdc(a, b) = mdc(b, s). Prova Sejam d 1 = mdc(a, b) e d 2 = mdc(b, s). Afirmamos que d 1 d 2. De fato, existem inteiros positivos u e v tais que: a = d 1 u e b = d 1 v Substituindo a e b na equação a = bg + s obtemos s = d 1 u d 1 vg = d 1 (u vg).

16 Demonstração do algoritmo euclideano Ou seja, d 1 é um divisor comum de b e s. Mas d 2 é o maior divisor de b e s e portanto (por definição) d 1 d 2 como queríamos. Seguindo um argumento semelhante, podemos provar o inverso, ou seja, d 2 d 1. Em outras palavras, d 1 = d 2

17 Demonstração do algoritmo euclideano Teorema Dados a e b inteiros positivos, o último resto diferente de zero da sequência de divisões dada pelo algoritmo euclideano para a e b é o máximo divisor comum entre a e b. Prova a = bq 1 + r 1 e 0 r 1 < b b = r 1 q 2 + r 2 e 0 r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3 e 0 r 3 < r 2 r 2 = r 3 q 4 + r 4 e 0 r 4 < r 3.. r n 2 = r n 1 q n e r n = 0 Da última linha, temos que r n 1 divide r n 2 e portanto mdc(r n 1, r n 2 ) = r n 1. Aplicando sucessivamente o lema 1, temos que mdc(a, b) = r n 1.

18 Algoritmo euclideano estendido Teorema Sejam a e b inteiros positivos e seja d o máximo divisor comum entre a e b. Existem inteiros α e β tais que αa + βb = d. Exemplo: Sejam a = 1234 e b = 54. Temos que: 1234 = ou seja, 46 = = ou seja, 8 = Logo, 8 = = 54 ( ).1 = 54( ) ( 1) = 54.(23) ( 1)

19 Algoritmo euclideano estendido Logo, 46 = = = ( ) (54.(23) ( 1)).5 = 1234.(6) + 54.( 22 (23).5) = 1234.(6) + 54.( 137) 8 = = 8 6 = (54.(23) ( 1)) (1234.(6) + 54.( 137) = 1234( 1 6) + 54( ) = 1234( 7) + 54(160) E portanto, α = 7 e β = 160.

20 Algoritmo euclideano estendido Obs. α e β não são únicos. Pergunta: para que serve calcular α e β? Resposta: unicidade de fatoração de um inteiro; RSA depende de um método eficiente de cálculo de α e β.

21 Exercícios propostos - Capítulo 1 1. Livro texto: 2 a 7.