Algoritmos. OBMEP Teoria dos números - Parte I. Algoritmo da divisão:

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1 OBMEP Teoria dos números - Parte I Elaine Pimentel 1 o Semestre Algoritmos Algoritmo = processo de cálculo baseado em regras formais Especificação de um algoritmo: entrada + instruções + saída Perguntas: ao executarmos um conjunto de instruções, sempre chegaremos a um resultado? (ponto fixo) o resultado obtido é sempre o desejado? (semântica) Algoritmo da divisão Algoritmo da divisão Objetivo: encontrar o quociente q e o resto r (saída) da divisão entre dois inteiros positivos a e b (entrada): a = bq + r 0 r < b Algoritmo da divisão: Etapa 1: q = 0; r = a Etapa 2: Se r < b, pare Nesse caso, o quociente é q e o resto r Etapa 3: Se r b, faça r := r b, q := q + 1 e volte à Etapa 2 Observações: 1 O algoritmo sempre para: sequência decrescente de números inteiros positivos 2 O resultado da aplicação do algoritmo corresponde às especificações da saída (trivialmente) 3 O algoritmo é extremamente ineficiente, em especial se a >> b

2 Teorema da Divisão Teorema de divisão: Sejam a e b inteiros positivos Existem números inteiros q e r tais que a = bq + r Além disso, q e r são únicos 0 r < b Prova: Unicidade - Sejam q, q, r, r tais que a = bq + r 0 r < b (1) a = bq + r 0 r < b (2) Subtraindo-se (1) de (2), obtemos: r r = b(q q) Ora, mas 0 r, r < b e portanto 0 r r < b Ou seja, Como b > 0, temos 0 b(q q) < b 0 q q < 1 ou seja, q q = 0 q = q e r = r Algoritmo Euclideano Objetivo: Calcular o mdc entre dois números inteiros Definição: o máximo divisor comum entre a e b é o número d tal que: d a (ou d é divisor de a) d b se d é divisor de a e b, então d d Escrevemos d = mdc(a,b) Se mdc(a,b) = 1, dizemos que a e b são primos entre si Algoritmo Euclideano Algoritmo euclideano Dados dois números inteiros positivos a e b tais que a b, divide-se a por b, encontrando resto r 1 Se r 1 0, dividimos b por r 1, obtendo resto r 2 Se r 2 0, dividimos r 1 por r 2 e assim por diante O último resto diferente de zero dessa sequência de divisões é o mdc(a,b) Exemplo: Ou seja, mdc(1234, 54) = 2 Perguntas: 1 Por que o último resto não nulo é o mdc? 2 Por que o algoritmo para? a = bq 1 + r 1 e 0 r 1 < b b = r 1 q 2 + r 2 e 0 r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3 e 0 r 3 < r 2 r 2 = r 3 q 4 + r 4 e 0 r 4 < r 3

3 Algoritmo euclideano Demonstração do algoritmo euclideano Respostas: Segunda pergunta: observe que b > r 1 > r 2 > 0 Como essa sequência é finita, o algoritmo sempre para Mais ainda, o número de divisões efetuadas é no máximo b (por que?) Primeira pergunta: demonstração do algoritmo euclideano Lema 1 Sejam a e b números inteiros positivos Se existem inteiros g e s tais que a = bg + s, então mdc(a, b) = mdc(b, s) Prova Sejam d 1 = mdc(a, b) e d 2 = mdc(b, s) Afirmamos que d 1 d 2 De fato, existem inteiros positivos u e v tais que: a = d 1 u e b = d 1 v Substituindo a e b na equação a = bg + s obtemos s = d 1 u d 1 vg = d 1 (u vg) Demonstração do algoritmo euclideano Demonstração do algoritmo euclideano Teorema 2 Dados a e b inteiros positivos, o último resto diferente de zero da sequência de divisões dada pelo algoritmo euclideano para a e b é o máximo divisor comum entre a e b Ou seja, d 1 é um divisor comum de b e s Mas d 2 é o maior divisor de b e s e portanto (por definição) d 1 d 2 como queríamos Prova a = bq1 + r1 e 0 r1 < b b = r1q2 + r2 e 0 r2 < r1 r1 = r2q3 + r3 e 0 r3 < r2 r2 = r3q4 + r4 e 0 r4 < r3 rn 2 = rn 1qn e rn = 0 Seguindo um argumento semelhante, podemos provar o inverso, ou seja, d 2 d 1 Em outras palavras, d 1 = d 2 Da última linha, temos que r n 1 divide r n 2 e portanto mdc(r n 1, r n 2 ) = r n 1 Aplicando sucessivamente o lema 1, temos que mdc(a, b) = r n 1

4 Algoritmo euclideano estendido Algoritmo euclideano estendido rema 3 Sejam a e b inteiros positivos e seja d o máximo sor comum entre a e b Existem inteiros α e β tais que αa + βb = d Exemplo: Sejam a = 1234 e b = 54 Temos que: 1234 = ou seja, 46 = = ou seja, 8 = = = 54 ( )1 = 54( ) ( 1) = 54(23) ( 1) Logo, 46 = = = ( ) (54(23) ( 1))5 = 1234(6) + 54( 22 (23)5) = 1234(6) + 54( 137) 8 = = 8 6 = (54(23) ( 1)) (1234(6) + 54( 137)) = 1234( 1 6) + 54( ) = 1234( 7) + 54(160) E portanto, α = 7 e β = 160 Algoritmo euclideano estendido Teorema da fatoração única Obs α e β não são únicos Pergunta: para que serve calcular α e β? Resposta: unicidade de fatoração de um inteiro; RSA depende de um método eficiente de cálculo de α e β p é primo: p 1 e os únicos divisores de p são p e 1 Número (diferente de 1) não primo = composto Teorema da fatoração única: Dado um inteiro positivo n 2 podemos sempre escrevê-lo, de maneira única, na forma: n = p e 1 1 p e k k onde 1 < p 1 < p 2 < < p k são números primos e e 1,,e k são inteiros positivos (multiplicidades)

5 Existência da fatoração Algoritmo ingênuo: Dado n 2 inteiro positivo, tente dividir n por cada um dos inteiros de 2 a n 1 Se algum desses inteiros (digamos k) dividir n, então achamos um fator de n Perguntas: 1 k é primo ou composto? 2 Quando se deve parar a busca? Em n 1? Respostas: Existência da fatoração 1 k é primo Se k composto, k = ab com 1 < a,b < k Mas k n, então existe c inteiro tal que n = kc Logo, n = abc ABSURDO! Logo, k é primo 2 Podemos parar o algoritmo em n De fato, n = kc ou c = n Como k é o menor fator de n, k c Logo, k k n k ou seja, k2 n k n Algoritmo de fatoração Existência da fatoração Etapa 1 F = 2; Etapa 2 Se n/f é inteiro, escreva F fator de n e pare; Etapa 3 Incremente F de uma unidade; Se F > n escreva n é primo e pare; se não, volte para a Etapa 2 Algoritmo acima: acha todos os fatores primos de n n n n q 1 Próximo passo: q 1 q 2 A seguir, q 1 q 2 q 3 n Paramos em q 1 q 2 q s 1 = q s, com q s primo Observe que q 1 q 2 q s 1 q s e n > n > n n > > > 0, q 1 q 1 q 2 q 1 q 2 q s ou seja, o algoritmo sempre termina Exemplo: n = 450 = 23355

6 Eficiência do algoritmo ingênuo de fatoração Propriedade fundamental dos primos Algoritmo simples mas muito ineficiente! Exemplo n primo com 100 ou mais algarismos Logo, n e portanto n Logo serão loops para determinar que n é primo Se o computador executa divisões/s, levaremos = segundos, ou seja, anos Tempo estimado de existência do universo: anos! Algoritmo bom para números pequenos Não existe (atualmente) algoritmo de fatoração eficiente para todos os inteiros Não se sabe se tal algoritmo não existe ou se não fomos espertos o suficiente para inventá-lo Lema: Sejam a,b,c inteiros positivos e suponhamos que a e b são primos entre si Então: 1 Se b divide o produto ac então b divide c 2 Se a e b dividem c então o produto ab divide c Propriedade fundamental dos primos Propriedade fundamental dos primos 1 mdc(a, b) = 1 Pelo Algoritmo euclideano estendido, existem α e β tais que αa + βb = 1 Então, αac + βbc = c Como b divide ac pela hipótese (1) e como b divide βbc, então b divide c 2 Se a divide c, então c = at Mas b também divide c Como mdc(a, b) = 1, pela afirmação (1), b divide t Logo, t = bk para algum inteiro k e portanto, c = at = abk Podemos usar o lema acima para provar se seguinte propriedade: Propriedade fundamental dos primos: Seja p um primo e a e b inteiros positivos Se p divide o produto ab, então p divide a ou p divide b A demonstração fica como exercício (façam!)

7 Unicidade Seja n o menor inteiro positivo que admite duas fatorações distintas Podemos escrever: n = p e 1 1 p e k k = q r 1 1 q rs s onde p 1 < p 2 < < p k e q 1 < q 2 < < q s são primos e e 1,,e k, r 1,, r s são inteiros positivos Como p 1 divide n, pela propriedade fundamental dos primos p 1 deve dividir um dos fatores do produto da direita Mas um primo só pode dividir outro se forem iguais Então p 1 = q j para algum j entre 1 e s Logo, n = p e 1 1 p e k k = q r 1 1 q r j j qs rs = q r 1 1 p r j 1 qs rs Unicidade Podemos então cancelar p 1 que aparece em ambos os lados da equação, obtendo m = p e p e k k = qr 1 1 pr j 1 1 q r s s onde m é um número menor que n que apresenta duas fatorações distintas ABSURDO pois isso contraria a minimalidade de n