ALGORITMO DE EUCLIDES

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1 Sumário ALGORITMO DE EUCLIDES Luciana Santos da Silva Martino lulismartino.wordpress.com PROFMAT - Colégio Pedro II 25 de agosto de 2017

2 Sumário 1 Máximo Divisor Comum 2 Algoritmo de Euclides 3 Propriedades do mdc 4 Algoritmo de Euclides Estendido 5 Mínimo Múltiplo Comum 6 A Equação Pitagórica

3 Outline 1 Máximo Divisor Comum 2 Algoritmo de Euclides 3 Propriedades do mdc 4 Algoritmo de Euclides Estendido 5 Mínimo Múltiplo Comum 6 A Equação Pitagórica

4 Máximo Divisor Comum Definição: Sejam dados dois inteiros a e b, distintos ou não. Um número inteiro d será dito um divisor comum de a e b se d a e d b Definição: Diremos que um número inteiro d 0 é um máximo divisor comum (mdc) de a e b, se possuir as seguintes propriedades: i) d é um divisor comum de a e b ii) d é divisível por todo divisor comum de a e b ii ) Se c é divisor comum de a e b então c d Resultado: O mdc de dois números, quando existe, é único

5 Máximo Divisor Comum O mdc de dois números inteiros, que demonstraremos mais tarde sempre existir, é denotado por (a, b), sendo (a, b) = (b, a) Em alguns casos particulares, é fácil verificar a existência do mdc. Se a Z então (0, a) = a, (1, a) = 1 e (a, a) = a. b Z temos que a b (a, b) = a (a, b) = 0 a = b = 0

6 Máximo Divisor Comum Resultado: O máximo divisor comum de dois números, não ambos nulos, quando existe, é efetivamente o maior dentre todos os divisores comuns desses números. Dados a, b Z, se existir (a, b) então (a, b) = ( a, b) = (a, b) = ( a, b) Lema 5.2: Sejam a, b, n Z. Se existe (a, b na), então, (a, b) = (a, b na) O Lema 5.2 é efetivo para calcular o mdc

7 Máximo Divisor Comum Exemplo 5.3: Dados a Z com a 1 e m N, temos que ( a m 1 a 1, a 1 ) = (a 1, m) Exemplo 5.4: Sejam a Z e n N, vamos determinar (a + 1, a 2n + 1) Exemplo 5.5: Sejam a Z e n N, vamos determinar (a + 1, a 2n+1 1)

8 Outline 1 Máximo Divisor Comum 2 Algoritmo de Euclides 3 Propriedades do mdc 4 Algoritmo de Euclides Estendido 5 Mínimo Múltiplo Comum 6 A Equação Pitagórica

9 Algoritmo de Euclides Prova construtiva da existência do mdc dada por Euclides Dados a, b N, podemos supor b a. Se b = 1 então (a, b) = (a, 1) = 1, se b = a então (a, b) = (a, b) = (a, a) = a, ou se b a já vimos que (a, b) = b Suponhamos então que 1 < b < a e que b a q 1 q 2 q 3... q n 1 q n q n+1 a b r 1 r 2... r n 2 r n 1 r n = (a, b) r 1 r 2 r 3 r 4... r n Exemplo 5.6: (372, 162)

10 Outline 1 Máximo Divisor Comum 2 Algoritmo de Euclides 3 Propriedades do mdc 4 Algoritmo de Euclides Estendido 5 Mínimo Múltiplo Comum 6 A Equação Pitagórica

11 Propriedades do mdc Sejam a, b Z. Definimos o conjunto I (a, b) = {xa + yb; x, y Z} Note que se a e b não são simultaneamente nulos então I (a, b) N A seguir utilizaremos a notação dz = {ld, l Z}

12 Propriedades do mdc Teorema 5.7: Sejam a, b Z, não ambos nulos. Se d = mini (a, b) N, então i) d é o mdc de a e b e ii) I (a, b) = dz Esse Teorema nos dá uma outra demonstração da existência do mdc de dois números a e b e da existência dos inteiros m e n tais que (a, b) = ma + nb, mas não é uma demonstração construtiva Corolário 5.8: Quaisquer que sejam a, b Z, não ambos nulos, e n N tem-se que (na, nb) = n(a, b) Corolário ( 5.9: ) Dados a, b Z, não ambos nulos, tem-se que a = 1 (a,b), b (a,b)

13 Propriedades do mdc Definição: Dois números inteiros a e b serão ditos primos entre si, ou coprimos, se (a, b) = 1, ou seja, se o único divisor positivo de ambos é 1 Proposição 5.10: Dois números inteiros a e b são primos entre si se, e somente se, existem números inteiros m e n tais que ma + nb = 1

14 Propriedades do mdc Lema de Gauss Teorema 5.11: Sejam a, b e c números inteiros. Se a bc e (a, b) = 1, então a c Corolário 5.12: Dados a, b e c números inteiros, com b e c não ambos nulos, temos que b a e c a bc (b, c) a

15 MDC: generalização Definição: um número natural d será dito mdc de dados números inteiros a 1,..., a n, não todos nulos, se possuir as seguintes propriedades: i) d é um divisor comum de a 1,..., a n ii) Se c é um divisor comum de a 1,..., a n então c d O mdc, quando existe, é certamente único e será representado por (a 1,..., a n ) Proposição 5.13: Dados números inteiros a 1,..., a n, não todos nulos, existe o seu mdc e (a 1,..., a n ) = (a 1,..., (a n 1, a n )) Essa Proposição nos fornece um método indutivo para o cálculo do mdc de n inteiros

16 Definição: Os inteiros a 1,..., a n serão ditos primos entre si, ou coprimos, quando (a 1,..., a n ) = 1. Dado um subconjunto finito A = {a 1, a 2,..., a n } de Z podemos definir o mdc de A como sendo mdc A = (a 1, a 2,..., a n ). No caso em que A = {a 1, a 2,...} é um subconjunto infinito de Z, ainda existe d = mdc A (Problema p.100) (Exercício 5.19 p.75, livro de exercícios)

17 Outline 1 Máximo Divisor Comum 2 Algoritmo de Euclides 3 Propriedades do mdc 4 Algoritmo de Euclides Estendido 5 Mínimo Múltiplo Comum 6 A Equação Pitagórica

18 Algoritmo de Euclides Estendido Suponhamos a b. Para calcular o mdc de a e b montamos a matriz a b A = [ ]. l 2 = l 2 q 1 l 1, sendo q 1 = [ A 1 = [ b 1 0 a 0 1 b 1 0 a bq 1 q 1 1 ] = ] [ b 1 0 r 1 q 1 1 ] onde r 1 é o resto da divisão de a por b [ ] b. l 1 = l 1 q 2 l 2, sendo q 2 = r 1 A 2 = [ b q2 r q 1 q 2 q 2 r 1 q 1 1 onde r 2 é o resto da divisão de b por r 1 ] = [ r2 1 + q 1 q 2 q 2 r 1 q 1 1 ]

19 Algoritmo de Euclides Estendido. A linha (d, m, n) da matriz B, obtida no final do processo, que contém o elemento não nulo da primeira coluna será tal que d = (a, b). Os inteiros m e n assim obtidos são tais que (a, b) = ma + nb Exemplo 5.14: (162, 372)

20 Outline 1 Máximo Divisor Comum 2 Algoritmo de Euclides 3 Propriedades do mdc 4 Algoritmo de Euclides Estendido 5 Mínimo Múltiplo Comum 6 A Equação Pitagórica

21 Mínimo Múltiplo Comum Definição: Diremos que um número inteiro é um múltiplo comum de dois números inteiros dados se ele é simultaneamente múltiplo de ambos os números Em qualquer caso os números ab e 0 são sempre múltiplos comuns de a e b Definição: Diremos que um número inteiro m 0 é um mínimo múltiplo comum (mmc) dos números inteiros a e b, se possuir as seguintes propriedades: i) m é um múltiplo comum de a e b, e ii) se c é um múltiplo comum de a e b, então m c Resultado: O mmc, se existe, é único e é o menor dos múltiplos comuns positivos de a e b

22 Mínimo Múltiplo Comum. O mínimo múltiplo comum de a e b, se existe, é denotado por [a, b]. Caso exista [a, b] = [ a, b] = [a, b] = [ a, b] Resultado: [a, b] = 0 a = 0 ou b = 0 Proposição 5.15: Dados dois números inteiros a e b, temos que [a, b] existe e [a, b](a, b) = ab

23 Mínimo Múltiplo Comum Corolário 5.16: Se a e b são números inteiros primos entre si, então [a, b] = ab Exemplo 5.17: Sejam b e m dois números naturais. Vamos mostrar que, na sequência de números b, 2b, 3b,..., mb, existem exatamente (b, m) números divisíveis por m

24 Mínimo Múltiplo Comum Definição: Diremos que um número natural m é um mmc dos inteiros não nulos a 1,..., a n se m é múltiplo comum de a 1,..., a n, e, se para todo múltiplo comum m desses números tem-se que m m O mmc, se existe, é único, sendo denotado por [a 1,..., a n ] Proposição 5.18: Sejam a 1,..., a n números inteiros não nulos. Então existe o número [a 1,..., a n ] e [a 1,..., a n 1, a n ] = [a 1,..., [a n 1, a n ]]

25 Outline 1 Máximo Divisor Comum 2 Algoritmo de Euclides 3 Propriedades do mdc 4 Algoritmo de Euclides Estendido 5 Mínimo Múltiplo Comum 6 A Equação Pitagórica

26 A Equação Pitagórica Vamos resolver em Z a equação pitagórica X 2 + Y 2 = Z 2 Pitágoras: conjunto de soluções expressas por x = n2 1, y = n, z = n onde n > 1 é um inteiro ímpar. Note que as soluções de Pitágoras não fornecem todas as soluções, já que a solução (8, 15, 17) não pode ser obtida dessa forma. Quando os lados de um triângulo retângulo, solução da equação pitagórica, forem números naturais, ele será chamado de triângulo pitagórico

27 A Equação Pitagórica Vamos determinar todas as soluções inteiras da equação pitagórica. As únicas soluções com uma das coordenadas não nula são (0, b, ±b), (a, 0, ±a), onde a, b Z: são chamadas de soluções triviais. Como os expoentes a que estão elevadas as incógnitas são todos pares basta encontrar as soluções em números naturais

28 A Equação Pitagórica Lema 5.20: Dados dois números naturais a e b primos entre si, se ab é um quadrado, então tanto a quanto b são quadrados Resultado: Se ab = c n, onde a, b e c são números naturais, com (a, b) = 1, então a e b são potências n-ésimas (Problema 5.5.1, p.113) (Problema 7.1.3, p.149)

29 A Equação Pitagórica. Um terno (a, b, c) de números naturais será dito um terno pitagórico quando for solução da equação pitagórica, ou seja, quando a 2 + b 2 = c 2. Chamaremos de triângulo pitagórico primitivo a um triângulo retângulo cujos lados são números naturais coprimos. Um terno que representa os lados de um triângulo pitagórico primitivo será chamado de terno pitagórico primitivo. Os ternos pitagóricos primitivos (a, b, c) dão origem a todos os ternos pitagóricos. Podemos portanto concentrar nossa atenção nos ternos primitivos

30 A Equação Pitagórica. As soluções primitivas a = n 2 m 2, b = 2nm, c = n 2 + m 2 são devidas a Euclides, e toda solução primitiva é representada de modo único nessa forma Portanto, uma solução a, b, c determina univocamente n e m do seguinte modo:. Se b é par, a fração reduzida equivalente à fração a+c b. Se a é par, a fração reduzida equivalente à fração b+c a Exemplo: Achar n e m para a solução (20, 21, 29) é n m é n m

31 A Equação Pitagórica Teorema 5.21: As soluções em N da equação pitagórica X 2 + Y 2 = Z 2 expressam-se de modo único, a menos da ordem de x e y, como x = l(n 2 m 2 ), y = 2lnm e z = l(n 2 + m 2 ) onde l, n, m N, n > m, com m e n coprimos e com paridades distintas. Reciprocamente, todo terno (x, y, z) como acima, é um terno pitagórico Resultado: Dado um número natural existe sempre um triângulo pitagórico com um dos catetos igual a esse número natural. Entretanto, nem todo número natural c ímpar pode ser a hipotenusa de um triângulo pitagórico

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