Definimos a soma de seqüências fazendo as operações coordenada-a-coordenada:

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1 Aula 8 polinômios (Anterior: chinês. ) 8.1 séries formais Fixemos um anel A. Denotaremos por A N o conjunto de todas as funções de N = {, 1, 2,... } a valores em A. Em termos mais concretos, cada elemento de A N é uma seqüência infinita (a, a 1, a 2,... ), que abreviaremos por (a n ). 1. Exemplos. Que tal 1. em Z, (a n ) = (, 1, 2,... ), i.e.,, a n = n n N. 2. (1, 2, 6, 24, 12, 72,... ), ou seja, a n = n!. 3. Em Z 2, (, 1,, 1,, 1...), etc. Definimos a soma de seqüências fazendo as operações coordenada-a-coordenada: (a n ) + (b n ) = (a n + b n ). Note que a seqüência nula (,,... ) funciona como elemento neutro dessa operação. Temos também (a n ) = ( a n ) funcionando como o negativo de cada seqüência. Definiremos a seguir uma operação de produto de seqüências. Atenção desde já, a operação não será dada pela regra de multiplicar coordenada-acoordenada.

2 2 polinômios Dadas as seqüências (a n ), (b n ) A N, definiremos uma nova seqüência, (c n ), pela regra seguinte: c = a b c 1 = a 1 b + a b 1 c 2 = a 2 b + a 1 b 1 + a b 2 c n. a ib n i = i+j=n a ib j a n ib i. Note que, apesar de tanto a seqüência (a n ) como (b n ) serem infinitas, a nova seqüência (também infinita) (c n ) é definida usando, passo a passo, para cada n, apenas um número finito de valores: a,..., a n e b,..., a n. 2. Prop. A N é um anel (comutativo e com unidade) com as operações (a n ) + (b n ) e (a n ) (b n ) definidas como acima. Prova. Apresentemos logo 1 = (1,,,,... ). Verifiquemos a distributividade do produto com respeito a soma. São dadas as seqüências x = (x n ), y = (y n ), z = (z n ). Calculamos o termo geral de (w n ) = ((x n ) + (y n )) (z n ). Temos w n = n (x i + y i )z n i = n (x i z n i + y i z n i ) = (x z) n + (y z) n, ou seja, vale (x + y) z = x z + y z. Veja agora a associatividade como se estabelece: (x (y z)) n x i(y z) n i x n i i y j z n i j n i x i y j z n i j k x n ky j z k j (fiz k = n i) x n k k y jz k j x n k(y z) k = (x (y z)) n.

3 8.1 séries formais 3 Note que o anel A se identifica naturalmente ao subanel das seqüências da forma (a,,,... ) em que apenas a coordenada de índice pode ser não nula. Escrevemos, por abuso deliberado, a = (a,,,... ) para cada a A. Em particular, o abuso 1 = (1,,... ) é bastante aceitável... Introduzimos agora o xis da questão. seqüência, x = (, 1,,,...,,... ). Mais precisamente, definimos a Calcule x 2 = x x = (,, 1,,,,... ); x 3 = (,,, 1,,,,... ); x 4 = (,,,, 1,,,,... ). Mais geralmente, temos que x n é a seqüência formada por zeros, exceto na casa n, onde pomos 1. Convencionamos escrever cada elemento (a, a 1,... ) com a expressão simbólica a nx n. Repetimos, nada mais do que uma notação sugestiva. Aliás, daí a terminologia série formal. Consideremos agora, em A N, o subconjunto A (N) formado pelas seqüências em que o número de coordenadas é finito. Por definição, 1, x e todas as suas potências são elementos de A (N). Note ainda que A (N) é certamente fechado para as operações de soma e produto. Cada elemento de A (N) se escreve na forma (a, a 1,..., a d,,,... ) = a + a 1 x + a 2 x a d x d. Não é à toa que chamamos A (N) de anel dos polinômios a coeficientes no anel A, em uma variável x. Entendida a construção, escreveremos A[x] ao invés de A (N) para denotar o anel de polinômios. Note que, por definição, dois elementos a + a 1 x + a 2 x a d x d, b + b 1 x + b 2 x b r x r A[x] são iguais se e só se os coeficientes correspondentes forem iguais.

4 4 polinômios 8.2 o anel de polinômios Não tem a menor importância, doravante, a construção feita na seção anterior para o anel de polinômios, A[x], a coeficientes em um dado anel A. Denotaremos habitualmente um polinômio com símbolos do tipo f(x), g(x), p(x),... Por vezes omitiremos a variável x, abreviando f, g, p,.... f(x) A[x] se escreve, na forma Cada elemento f(x) = a + a 1 x + + a d x d, com a i A. O anel A é chamado de anel dos coeficientes; cada a i A é dito o coeficiente de x i no polinômio f. Enfatizamos que, dizer f(x) = significa exigir que todos os coeficientes sejam nulos. Definimos o grau de um polinômio f(x), denotado por deg f, como o maior dos inteiros i tais que o coeficiente de x i é não nulo. (Nessa definição o grau do polinômio nulo é... mas isso não tem a menor importância: o importante é que o banco tal sei lá qual he dá n dias sem juros... ou será que essa propaganda já tá velha demais?) Na expressão acima para f(x), se a d, temos deg f = d; o coeficiente a d do termo de maior grau se chama coeficiente líder. Dizemos que um polinômio é mônico se seu coeficiente líder for igual a exercícios. 1. Mostre que n Z, x n+1 1 = (x 1)(x n + x n x + 1). 2. Ache exemplos de pares de polinômios f, g a coeficentes em Z 4 tais que o grau do produto f g seja estritamente menor do que a soma dos graus deg f + deg g. 3. Mostre que o grau de uma soma de polinômios é menor do que ou igual ao máximo dos graus das parcelas. Exemplo com desigualdade estrita. E para o produto, o quê esperar? 8.3 algoritmo da divisão No restante desta aula, salvo menção em contrário vamos considerar apenas polinômios a coeficientes em um corpo K.

5 8.3 algoritmo da divisão 5 4. Lema. Sejam f, g K[x] ambos não nulos. Então temos fg e deg(fg) = deg f + deg g. Prova. Escrevemos f = a m x m +, g = b n x n +, onde indica termos de grau menor e a m, b n são os coeficientes líderes, ambos. É imediato que o coeficiente líder de fg é a m b n, certamente, já que estamos em um corpo. Note que o resultado acima também vale para polinômios a coeficientes em qualquer domínio. Segue em particular que, se A é um domínio, então A[x] também é. Vale a recíproca? 5. Prop. Sejam f,g polinômios a coeficientes no corpo K. Se f, então existem polinômios q, r K[x] únicos com as propriedades 1. g = qf + r; 2. r = ou deg r < deg f. O polinômio q é chamado de quociente e r de resto na divisão de g por f. Prova. Se deg g < deg f então faça q = e r = g. Prosseguimos por indução sobre n = deg g m = deg f. Escrevamos f = a m X m +, g = b n X n +. Seja h = g b n X n m a 1 m f. Note o ajuste feito para cancelar o termo de maior grau de g. Por indução, h se escreve na forma h = q 1 f + r, com r = ou deg r < deg f. Fazendo q = q 1 + b n a 1 m X n m, concluímos g = qf + r. Para verificarmos a unicidade, suponhamos qf + r = q f + r. Daí vem (q q )f = r r. Ora, se q q então o primeiro membro é um polinômio de grau m enquanto que o segundo membro, supondo r (resp. r ) = ou deg r (resp. r ) < deg f, certamente é nulo ou de grau < m funções polinomiais Seja A um anel. Fixe um polinômio f A[x]. Escolha um elemento qualquer b A. Definimos f(b) substituindo o símbolo x por b na expressão de f. Explicitamente, se f = a + a 1 x + + a d x d, então f(b) = a + a 1 b + + a d b d.

6 6 polinômios Podemos assim associar a cada polinômio uma função polinomial f : A A a f(a). Insistimos no fato de que, conceitualmente, f e f são objetos distintos. Talvez o exercício abaixo lhe convença disso. 6. exercícios. 4. Sejam f(x) = 1, g(x) = x 2 + x + 1 Z 2 [x]. Mostre que as funções polinomiais correspondentes, f, ĝ : Z 2 Z 2, são iguais, i.e., para cada z Z 2 vale f(z) = g(z). Encontre três polinômios distintos com funções polinomiais associadas iguais a ĥ, onde h(x) = x Mostre que, dados f, g A[x] e b A, valem as fórmulas (f + g)(b) = f(b) + g(b); (f g)(b) = f(b) g(b). 6. Seja f = a n X n +a n 1 X n 1 + +a 1 X +a e seja a K. Mostre que o resto na divisão de f por X a é igual a f(a). Conclua que f é múltiplo de X a se e só se f(a) =. 7. Prop. Todo ideal de K[x] é principal. Prova. Seja I um ideal de K[x]. Se I = {}, não há nada a demonstrar. Assim, podemos supor que existe um elemento f I mônico e de grau mínimo com essa propriedade. Mostraremos que I = (f ), i.e., que todo elemento g I é múltiplo de f. Com efeito, aplicando o algoritmo da divisão, podemos em todo o caso escrever, g = qf + r, onde r = ou deg r < deg f. Como r = g qf é claramente um elemento do ideal I, se ocorresse r, produziríamos um elemento em I com grau inferior ao mínimo, o que é absurdo. Lembremos que o MDC de uma coleção de polinômios {f t } t T é o polinômio mônico p caracterizado pelas propriedades seguintes: p divide cada f t na coleção; se q K[x] divide cada f t na coleção então q divide p.

7 8.3 algoritmo da divisão 7 8. Corolário. Seja {f t } t T uma coleção de polinômios. Então existem t 1,..., t n T e q 1,..., q n K[x] tais que é o MDC dessa coleção. f = q 1 f t1 + + q n f tn Prova. Seja I o ideal gerado por {f t } t T, I = { g i f ti t 1,..., t m T, g 1,..., g m K[x], m =, 1,... }. 1 i m Seja f o gerador mônico de I. Sendo f um elemento de I, necessariamente se escreve na forma f = q 1 f t1 + + q n f tn. Assim, se q divide cada f t na coleção então q divide f. Por fim, sendo I = (f), é claro que cada f t (sendo elemento de I... ) é divisível por f. 9. exercícios. 7. Sejam f, g K[x], f e seja r o resto na divisão de g por f. Prove a igualdade de ideais, (f, g) = (f, r). Deduza então o algoritmo para cálculo do MDC por divisões sucessivas. 8. Sejam f = x 3 + x + 1, g = x 2 + x Z 2 [x]. Seja h o MDC de f, g. Adapte as contas aprendidas em Z para determinar p, q Z 2 [x] tais que pf + qg = h

8 8 polinômios 1. Definição. Um polinômio não constante f R é redutível se existirem polinômios não constantes g, h K[x] tais que f = g h. Um polinômio não constante f K[x] é primo se toda vez que dividir um produto, divide um dos fatores; em símbolos: g, h K[x], f (divide) gh f g ou f h 11. Prop. Seja f K[x] polinômio não constante. Então f é primo se e só se for irredutível. Prova. Suponhamos f mônico, irredutível e sejam p, q, r K[x] tais que p q = f r. Devemos mostrar que se f p então f q. Seja h =MDC(f, p). Visto que f é mônico e irredutível, temos h = 1 = f 1 f +p 1 p. Multiplicando por q, obtemos q = q 1 = q f 1 f + p 1 p q, claramente divisível por f. Reciprocamente, supondo f primo, se exibíssemos f como produto, f = g h, seguiria que f divide algum dos fatores, digamos g = f g 1. Substituindo e cancelando, viria 1 = g 1 h, logo h é constante e concluímos que f é irredutível. 12. Proposição. (Fatoração Única.) Todo polinômio não constante em uma variável e a coeficientes em um corpo se escreve de maneira única (a menos de ordem dos fatores) na forma f = c p 1 p m onde c denota uma constante e cada p i é um polinômio irredutível mônico. Prova. Mostremos inicialmente, a unicidade da fatoração. Como um produto de polinômios mônicos é mônico, evidentemente a constante c é bem determinada pois coincide com o coeficiente líder de f. Por outro lado, se p 1 p m = q 1 q n fosse outra fatoração com cada q i mônico e irredutível, teríamos que p 1 divide algum dos q i. Reordenando se preciso, podemos supor que p 1 q 1 e portanto p 1 = q 1. Cancelando, concluímos por indução sobre o número de fatores (ou, se preferir, sobre o grau de f). Existência da fatoração. Se f já é um polinômio irredutível, não há nada a provar. Se f = g h, com deg g, deg h 1, então deg g, deg h são ambos < deg f e concluímos por indução sobre o grau de f. 13. exercícios. 9. Fatore todos os polinômios de Z 2 [x] de grau 4. Próximo: o lema de Gauss.