Definimos a soma de seqüências fazendo as operações coordenada-a-coordenada:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Definimos a soma de seqüências fazendo as operações coordenada-a-coordenada:"

Transcrição

1 Aula 8 polinômios (Anterior: chinês. ) 8.1 séries formais Fixemos um anel A. Denotaremos por A N o conjunto de todas as funções de N = {, 1, 2,... } a valores em A. Em termos mais concretos, cada elemento de A N é uma seqüência infinita (a, a 1, a 2,... ), que abreviaremos por (a n ). 1. Exemplos. Que tal 1. em Z, (a n ) = (, 1, 2,... ), i.e.,, a n = n n N. 2. (1, 2, 6, 24, 12, 72,... ), ou seja, a n = n!. 3. Em Z 2, (, 1,, 1,, 1...), etc. Definimos a soma de seqüências fazendo as operações coordenada-a-coordenada: (a n ) + (b n ) = (a n + b n ). Note que a seqüência nula (,,... ) funciona como elemento neutro dessa operação. Temos também (a n ) = ( a n ) funcionando como o negativo de cada seqüência. Definiremos a seguir uma operação de produto de seqüências. Atenção desde já, a operação não será dada pela regra de multiplicar coordenada-acoordenada.

2 2 polinômios Dadas as seqüências (a n ), (b n ) A N, definiremos uma nova seqüência, (c n ), pela regra seguinte: c = a b c 1 = a 1 b + a b 1 c 2 = a 2 b + a 1 b 1 + a b 2 c n. a ib n i = i+j=n a ib j a n ib i. Note que, apesar de tanto a seqüência (a n ) como (b n ) serem infinitas, a nova seqüência (também infinita) (c n ) é definida usando, passo a passo, para cada n, apenas um número finito de valores: a,..., a n e b,..., a n. 2. Prop. A N é um anel (comutativo e com unidade) com as operações (a n ) + (b n ) e (a n ) (b n ) definidas como acima. Prova. Apresentemos logo 1 = (1,,,,... ). Verifiquemos a distributividade do produto com respeito a soma. São dadas as seqüências x = (x n ), y = (y n ), z = (z n ). Calculamos o termo geral de (w n ) = ((x n ) + (y n )) (z n ). Temos w n = n (x i + y i )z n i = n (x i z n i + y i z n i ) = (x z) n + (y z) n, ou seja, vale (x + y) z = x z + y z. Veja agora a associatividade como se estabelece: (x (y z)) n x i(y z) n i x n i i y j z n i j n i x i y j z n i j k x n ky j z k j (fiz k = n i) x n k k y jz k j x n k(y z) k = (x (y z)) n.

3 8.1 séries formais 3 Note que o anel A se identifica naturalmente ao subanel das seqüências da forma (a,,,... ) em que apenas a coordenada de índice pode ser não nula. Escrevemos, por abuso deliberado, a = (a,,,... ) para cada a A. Em particular, o abuso 1 = (1,,... ) é bastante aceitável... Introduzimos agora o xis da questão. seqüência, x = (, 1,,,...,,... ). Mais precisamente, definimos a Calcule x 2 = x x = (,, 1,,,,... ); x 3 = (,,, 1,,,,... ); x 4 = (,,,, 1,,,,... ). Mais geralmente, temos que x n é a seqüência formada por zeros, exceto na casa n, onde pomos 1. Convencionamos escrever cada elemento (a, a 1,... ) com a expressão simbólica a nx n. Repetimos, nada mais do que uma notação sugestiva. Aliás, daí a terminologia série formal. Consideremos agora, em A N, o subconjunto A (N) formado pelas seqüências em que o número de coordenadas é finito. Por definição, 1, x e todas as suas potências são elementos de A (N). Note ainda que A (N) é certamente fechado para as operações de soma e produto. Cada elemento de A (N) se escreve na forma (a, a 1,..., a d,,,... ) = a + a 1 x + a 2 x a d x d. Não é à toa que chamamos A (N) de anel dos polinômios a coeficientes no anel A, em uma variável x. Entendida a construção, escreveremos A[x] ao invés de A (N) para denotar o anel de polinômios. Note que, por definição, dois elementos a + a 1 x + a 2 x a d x d, b + b 1 x + b 2 x b r x r A[x] são iguais se e só se os coeficientes correspondentes forem iguais.

4 4 polinômios 8.2 o anel de polinômios Não tem a menor importância, doravante, a construção feita na seção anterior para o anel de polinômios, A[x], a coeficientes em um dado anel A. Denotaremos habitualmente um polinômio com símbolos do tipo f(x), g(x), p(x),... Por vezes omitiremos a variável x, abreviando f, g, p,.... f(x) A[x] se escreve, na forma Cada elemento f(x) = a + a 1 x + + a d x d, com a i A. O anel A é chamado de anel dos coeficientes; cada a i A é dito o coeficiente de x i no polinômio f. Enfatizamos que, dizer f(x) = significa exigir que todos os coeficientes sejam nulos. Definimos o grau de um polinômio f(x), denotado por deg f, como o maior dos inteiros i tais que o coeficiente de x i é não nulo. (Nessa definição o grau do polinômio nulo é... mas isso não tem a menor importância: o importante é que o banco tal sei lá qual he dá n dias sem juros... ou será que essa propaganda já tá velha demais?) Na expressão acima para f(x), se a d, temos deg f = d; o coeficiente a d do termo de maior grau se chama coeficiente líder. Dizemos que um polinômio é mônico se seu coeficiente líder for igual a exercícios. 1. Mostre que n Z, x n+1 1 = (x 1)(x n + x n x + 1). 2. Ache exemplos de pares de polinômios f, g a coeficentes em Z 4 tais que o grau do produto f g seja estritamente menor do que a soma dos graus deg f + deg g. 3. Mostre que o grau de uma soma de polinômios é menor do que ou igual ao máximo dos graus das parcelas. Exemplo com desigualdade estrita. E para o produto, o quê esperar? 8.3 algoritmo da divisão No restante desta aula, salvo menção em contrário vamos considerar apenas polinômios a coeficientes em um corpo K.

5 8.3 algoritmo da divisão 5 4. Lema. Sejam f, g K[x] ambos não nulos. Então temos fg e deg(fg) = deg f + deg g. Prova. Escrevemos f = a m x m +, g = b n x n +, onde indica termos de grau menor e a m, b n são os coeficientes líderes, ambos. É imediato que o coeficiente líder de fg é a m b n, certamente, já que estamos em um corpo. Note que o resultado acima também vale para polinômios a coeficientes em qualquer domínio. Segue em particular que, se A é um domínio, então A[x] também é. Vale a recíproca? 5. Prop. Sejam f,g polinômios a coeficientes no corpo K. Se f, então existem polinômios q, r K[x] únicos com as propriedades 1. g = qf + r; 2. r = ou deg r < deg f. O polinômio q é chamado de quociente e r de resto na divisão de g por f. Prova. Se deg g < deg f então faça q = e r = g. Prosseguimos por indução sobre n = deg g m = deg f. Escrevamos f = a m X m +, g = b n X n +. Seja h = g b n X n m a 1 m f. Note o ajuste feito para cancelar o termo de maior grau de g. Por indução, h se escreve na forma h = q 1 f + r, com r = ou deg r < deg f. Fazendo q = q 1 + b n a 1 m X n m, concluímos g = qf + r. Para verificarmos a unicidade, suponhamos qf + r = q f + r. Daí vem (q q )f = r r. Ora, se q q então o primeiro membro é um polinômio de grau m enquanto que o segundo membro, supondo r (resp. r ) = ou deg r (resp. r ) < deg f, certamente é nulo ou de grau < m funções polinomiais Seja A um anel. Fixe um polinômio f A[x]. Escolha um elemento qualquer b A. Definimos f(b) substituindo o símbolo x por b na expressão de f. Explicitamente, se f = a + a 1 x + + a d x d, então f(b) = a + a 1 b + + a d b d.

6 6 polinômios Podemos assim associar a cada polinômio uma função polinomial f : A A a f(a). Insistimos no fato de que, conceitualmente, f e f são objetos distintos. Talvez o exercício abaixo lhe convença disso. 6. exercícios. 4. Sejam f(x) = 1, g(x) = x 2 + x + 1 Z 2 [x]. Mostre que as funções polinomiais correspondentes, f, ĝ : Z 2 Z 2, são iguais, i.e., para cada z Z 2 vale f(z) = g(z). Encontre três polinômios distintos com funções polinomiais associadas iguais a ĥ, onde h(x) = x Mostre que, dados f, g A[x] e b A, valem as fórmulas (f + g)(b) = f(b) + g(b); (f g)(b) = f(b) g(b). 6. Seja f = a n X n +a n 1 X n 1 + +a 1 X +a e seja a K. Mostre que o resto na divisão de f por X a é igual a f(a). Conclua que f é múltiplo de X a se e só se f(a) =. 7. Prop. Todo ideal de K[x] é principal. Prova. Seja I um ideal de K[x]. Se I = {}, não há nada a demonstrar. Assim, podemos supor que existe um elemento f I mônico e de grau mínimo com essa propriedade. Mostraremos que I = (f ), i.e., que todo elemento g I é múltiplo de f. Com efeito, aplicando o algoritmo da divisão, podemos em todo o caso escrever, g = qf + r, onde r = ou deg r < deg f. Como r = g qf é claramente um elemento do ideal I, se ocorresse r, produziríamos um elemento em I com grau inferior ao mínimo, o que é absurdo. Lembremos que o MDC de uma coleção de polinômios {f t } t T é o polinômio mônico p caracterizado pelas propriedades seguintes: p divide cada f t na coleção; se q K[x] divide cada f t na coleção então q divide p.

7 8.3 algoritmo da divisão 7 8. Corolário. Seja {f t } t T uma coleção de polinômios. Então existem t 1,..., t n T e q 1,..., q n K[x] tais que é o MDC dessa coleção. f = q 1 f t1 + + q n f tn Prova. Seja I o ideal gerado por {f t } t T, I = { g i f ti t 1,..., t m T, g 1,..., g m K[x], m =, 1,... }. 1 i m Seja f o gerador mônico de I. Sendo f um elemento de I, necessariamente se escreve na forma f = q 1 f t1 + + q n f tn. Assim, se q divide cada f t na coleção então q divide f. Por fim, sendo I = (f), é claro que cada f t (sendo elemento de I... ) é divisível por f. 9. exercícios. 7. Sejam f, g K[x], f e seja r o resto na divisão de g por f. Prove a igualdade de ideais, (f, g) = (f, r). Deduza então o algoritmo para cálculo do MDC por divisões sucessivas. 8. Sejam f = x 3 + x + 1, g = x 2 + x Z 2 [x]. Seja h o MDC de f, g. Adapte as contas aprendidas em Z para determinar p, q Z 2 [x] tais que pf + qg = h

8 8 polinômios 1. Definição. Um polinômio não constante f R é redutível se existirem polinômios não constantes g, h K[x] tais que f = g h. Um polinômio não constante f K[x] é primo se toda vez que dividir um produto, divide um dos fatores; em símbolos: g, h K[x], f (divide) gh f g ou f h 11. Prop. Seja f K[x] polinômio não constante. Então f é primo se e só se for irredutível. Prova. Suponhamos f mônico, irredutível e sejam p, q, r K[x] tais que p q = f r. Devemos mostrar que se f p então f q. Seja h =MDC(f, p). Visto que f é mônico e irredutível, temos h = 1 = f 1 f +p 1 p. Multiplicando por q, obtemos q = q 1 = q f 1 f + p 1 p q, claramente divisível por f. Reciprocamente, supondo f primo, se exibíssemos f como produto, f = g h, seguiria que f divide algum dos fatores, digamos g = f g 1. Substituindo e cancelando, viria 1 = g 1 h, logo h é constante e concluímos que f é irredutível. 12. Proposição. (Fatoração Única.) Todo polinômio não constante em uma variável e a coeficientes em um corpo se escreve de maneira única (a menos de ordem dos fatores) na forma f = c p 1 p m onde c denota uma constante e cada p i é um polinômio irredutível mônico. Prova. Mostremos inicialmente, a unicidade da fatoração. Como um produto de polinômios mônicos é mônico, evidentemente a constante c é bem determinada pois coincide com o coeficiente líder de f. Por outro lado, se p 1 p m = q 1 q n fosse outra fatoração com cada q i mônico e irredutível, teríamos que p 1 divide algum dos q i. Reordenando se preciso, podemos supor que p 1 q 1 e portanto p 1 = q 1. Cancelando, concluímos por indução sobre o número de fatores (ou, se preferir, sobre o grau de f). Existência da fatoração. Se f já é um polinômio irredutível, não há nada a provar. Se f = g h, com deg g, deg h 1, então deg g, deg h são ambos < deg f e concluímos por indução sobre o grau de f. 13. exercícios. 9. Fatore todos os polinômios de Z 2 [x] de grau 4. Próximo: o lema de Gauss.

é uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que:

é uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que: Matemática Discreta 2008/09 Vítor Hugo Fernandes Departamento de Matemática FCT/UNL Axioma (Princípio da Boa Ordenação dos Números Naturais) O conjunto parcialmente (totalmente) ordenado (N, ), em que

Leia mais

TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais,, que possui as seguintes propriedades:, possui uma relação menor ou igual, denotada por O1: Propriedade Reflexiva:

Leia mais

Polinômios irredutíveis

Polinômios irredutíveis Polinômios irredutíveis Sérgio Tadao Martins 23 de janeiro de 2009 1 Introdução: polinômios em uma variável Um polinômio de grau n em uma variável x é uma expressão da forma p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x

Leia mais

1. Prove que (a+b) c = a c+b c para todo a, b, c em ZZ /mzz. (Explique cada passo).

1. Prove que (a+b) c = a c+b c para todo a, b, c em ZZ /mzz. (Explique cada passo). 1 a Lista de Exercícios de Álgebra II - MAT 231 1. Prove que (a+b) c = a c+b c para todo a, b, c em ZZ /mzz. (Explique cada passo). 2. Seja A um anel associativo. Dado a A, como você definiria a m, m IN?

Leia mais

Contando o Infinito: os Números Cardinais

Contando o Infinito: os Números Cardinais Contando o Infinito: os Números Cardinais Sérgio Tadao Martins 4 de junho de 2005 No one will expel us from the paradise that Cantor has created for us David Hilbert 1 Introdução Quantos elementos há no

Leia mais

Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x

Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x EQUAÇÃO POLINOMIAL Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x C a incógnita e a n, a n 1,..., a

Leia mais

(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos

(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos LIMITE DE FUNÇÕES REAIS JOSÉ ANTÔNIO G. MIRANDA versão preinar). Revisão: Limite e Funções Continuas Definição Limite de Seqüências). Dizemos que uma seqüência de números reais n convergente para um número

Leia mais

AULA. Corpo de raízes

AULA. Corpo de raízes META: Conceituar corpo de raízes de um polinômio sobre um corpo, determinar sua existência e unicidade e caracterizá-lo por meio de extensões finitas e normais. AULA 10 OBJETIVOS: Ao final da aula o aluno

Leia mais

1 INTRODUÇÃO 3 PRODUTO 2 SOMA 4 DIVISÃO. 2.1 Diferença de polinômios. 4.1 Divisão Euclidiana. Matemática Polinômios

1 INTRODUÇÃO 3 PRODUTO 2 SOMA 4 DIVISÃO. 2.1 Diferença de polinômios. 4.1 Divisão Euclidiana. Matemática Polinômios Matemática Polinômios CAPÍTULO 02 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 1 INTRODUÇÃO Como com qualquer outra função, podemos fazer operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios. A soma e a

Leia mais

NÚMEROS INTEIROS. Álgebra Abstrata - Verão 2012

NÚMEROS INTEIROS. Álgebra Abstrata - Verão 2012 NÚMEROS INTEIROS PROF. FRANCISCO MEDEIROS Álgebra Abstrata - Verão 2012 Faremos, nessas notas, uma breve discussão sobre o conjunto dos números inteiros. O texto é basicamente a seção 3 do capítulo 1 de

Leia mais

Generalizações do Teorema de Wedderburn-Malcev e PI-álgebras. Silvia Gonçalves Santos

Generalizações do Teorema de Wedderburn-Malcev e PI-álgebras. Silvia Gonçalves Santos Generalizações do Teorema de Wedderburn-Malcev e PI-álgebras Silvia Gonçalves Santos Definição 1 Seja R um anel com unidade. O radical de Jacobson de R, denotado por J(R), é o ideal (à esquerda) dado pela

Leia mais

Aula 14 DOMÍNIOS FATORIAIS META. Estabelecer o conceito de domínio fatorial. OBJETIVOS

Aula 14 DOMÍNIOS FATORIAIS META. Estabelecer o conceito de domínio fatorial. OBJETIVOS Aula 14 DOMÍNIOS FATORIAIS META Estabelecer o conceito de domínio fatorial. OBJETIVOS Aplicar a definição de domínio fatorial na resolução de problemas. Estabelecer a definição de máximo divisor comum

Leia mais

PARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL. Introdução Considere f uma função, não constante, de uma variável real ou complexa, a equação f(x) = 0 será denominada equação de uma incógnita. EXEMPLO e x + senx

Leia mais

MDC, MMC, Algoritmo de Euclides e o Teorema de Bachet-Bézout

MDC, MMC, Algoritmo de Euclides e o Teorema de Bachet-Bézout Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Teoria dos Números - Nível 3 Carlos Gustavo Moreira Aula 3 MDC, MMC, Algoritmo de Euclides e o Teorema de Bachet-Bézout 1 mdc, mmc e Algoritmo de Euclides Dados

Leia mais

Complementos sobre Números Complexos

Complementos sobre Números Complexos Complementos sobre Números Complexos Ementa 1 Introdução Estrutura Algébrica e Completude 1 O Corpo dos números complexos Notações 3 Interpretação Geométrica e Completude de C 4 Forma Polar de um Número

Leia mais

Alguns exercícios amais para vocês (as resoluções dos exercícios anteriores começam na próxima pagina):

Alguns exercícios amais para vocês (as resoluções dos exercícios anteriores começam na próxima pagina): Alguns exercícios amais para vocês (as resoluções dos exercícios anteriores começam na próxima pagina): Seja A um domínio. Mostre que se A[X] é Euclidiano então A é um corpo (considere o ideal (a, X) onde

Leia mais

Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c

Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c Números Reais Víctor Arturo Martínez León (victor.leon@unila.edu.br) 1 Os números racionais Os números racionais são os números da forma a, sendo a e b inteiros e b 0; o conjunto b dos números racionais

Leia mais

Anéis de polinómios sobre anéis comutativos com identidade

Anéis de polinómios sobre anéis comutativos com identidade Capítulo 2 Anéis de polinómios sobre anéis comutativos com identidade Neste capítulo faremos um estudo de anéis de polinómios numa indeterminada, analisando, neste caso particular, diversos conceitos e

Leia mais

Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Máximo Divisor Comum e Algoritmo de Euclides

Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Máximo Divisor Comum e Algoritmo de Euclides Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Máximo Divisor Comum e Algoritmo de Euclides 1 Máximo Divisor Comum Definição 1.1 Sendo a um número inteiro, D a indicará o conjunto de seus divisores positivos,

Leia mais

Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina.

Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 11 - Seção 1.3 do livro texto da disciplina: Aritmética, A. Hefez,

Leia mais

Limites. 2.1 Limite de uma função

Limites. 2.1 Limite de uma função Limites 2 2. Limite de uma função Vamos investigar o comportamento da função f definida por f(x) = x 2 x + 2 para valores próximos de 2. A tabela a seguir fornece os valores de f(x) para valores de x próximos

Leia mais

MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08

MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08 MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08 Neste curso, consideraremos o conjunto dos números naturais como sendo o conjunto N = {0, 1, 2, 3,... }, denotando por N o conjunto N \ {0}. Como

Leia mais

Aula 1. e o conjunto dos inteiros é :

Aula 1. e o conjunto dos inteiros é : Aula 1 1. Números reais O conjunto dos números reais, R, pode ser visto como o conjunto dos pontos da linha real, que serão em geral denotados por letras minúsculas: x, y, s, t, u, etc. R é munido de quatro

Leia mais

Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015

Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015 bras.png Cálculo I Logonewton.png Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015 Objetivos da Aula: Definir limite de uma função Definir limites laterias Apresentar as propriedades operatórias

Leia mais

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA: APLICAÇÕES

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA: APLICAÇÕES 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA: APLICAÇÕES 1). Achando os divisores de um número natural 2). Quantidade de divisores de um número natural 3). Decidindo se um número natural divide outro 4). Extrema

Leia mais

MA14 - Aritmética Unidade 5 Resumo. Máximo Divisor Comum

MA14 - Aritmética Unidade 5 Resumo. Máximo Divisor Comum MA14 - Aritmética Unidade 5 Resumo Máximo Divisor Comum Abramo Hefez PROFMAT - SBM Julho 2013 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio

Leia mais

A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e Máximos e Mínimos - Aula 18

A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e Máximos e Mínimos - Aula 18 A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e - Aula 18 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 10 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106

Leia mais

1.1 Propriedades Básicas

1.1 Propriedades Básicas 1.1 Propriedades Básicas 1. Classi que as a rmações em verdadeiras ou falsas, justi cando cada resposta. (a) Se x < 2, então x 2 < 4: (b) Se x 2 < 4, então x < 2: (c) Se 0 x 2, então x 2 4: (d) Se x

Leia mais

A resolução desses problemas pode geralmente ser feita com o seguinte procedimento: Problemas de divisibilidade 1

A resolução desses problemas pode geralmente ser feita com o seguinte procedimento: Problemas de divisibilidade 1 Três VIPs da Teoria dos Números É claro, VIP significa Very Important Problems. Os problemas discutidos aqui, além de suas variações, são bastante comuns em Olimpíadas de Matemática e costumam ser resolvidos

Leia mais

Números Primos, Fatores Primos, MDC e MMC

Números Primos, Fatores Primos, MDC e MMC Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17,

Leia mais

Bases Matemáticas. Aula 4 Conjuntos Numéricos. Rodrigo Hausen. v /9

Bases Matemáticas. Aula 4 Conjuntos Numéricos. Rodrigo Hausen. v /9 Bases Matemáticas Aula 4 Conjuntos Numéricos Rodrigo Hausen v. 2016-6-10 1/9 Números Naturais, Inteiros e Racionais naturais: inteiros: racionais: N = {0, 1, 2,...} Z = {... 2, 1, 0, 1, 2,...} { } p Q

Leia mais

Matemática Discreta - 07

Matemática Discreta - 07 Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia da Computação Matemática Discreta - 07 Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti www.twitter.com/jorgecav

Leia mais

(x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ) a(x + iy) = ax + i(ay)

(x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ) a(x + iy) = ax + i(ay) Espaços Vetoriais Definição. Um espaço vetorial sobre R é um conjunto V no qual se tem definida uma adição e uma multiplicação de seus elementos por escalares (isto é, por números reais), ou seja, dados

Leia mais

Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais

Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais 1. Verifique, recorrendo ao algoritmo da divisão, que: 6 4 0x 54x + 3x + é divisível por x 1.. De um modo geral, que relação

Leia mais

CURSO PRF 2017 MATEMÁTICA

CURSO PRF 2017 MATEMÁTICA AULA 001 1 MATEMÁTICA PROFESSOR AULA 001 MATEMÁTICA DAVIDSON VICTOR 2 AULA 01 - CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS É o primeiro e o mais básico de todos os conjuntos numéricos. Pertencem

Leia mais

O verbo induzir significa gerar. Nesta aula, começaremos a ver o assunto Indução Matemática

O verbo induzir significa gerar. Nesta aula, começaremos a ver o assunto Indução Matemática Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível 2 Prof. Marcelo Mendes Aula 6 Indução - Parte I O verbo induzir significa gerar. Nesta aula, começaremos a ver o assunto Indução Matemática (ou Indução

Leia mais

O Corpo completo dos Números Reais

O Corpo completo dos Números Reais O Corpo completo dos Números Reais Márcio Nascimento da Silva 15 de janeiro de 2009 Resumo Neste trabalho definimos uma estrutura algébrica chamada corpo e a partir de fatos elementares (axiomas), deduzimos

Leia mais

Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se

Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios

Leia mais

Matrizes - Parte II. Juliana Pimentel. juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2

Matrizes - Parte II. Juliana Pimentel.  juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2 Matrizes - Parte II Juliana Pimentel juliana.pimentel@ufabc.edu.br http://hostel.ufabc.edu.br/ juliana.pimentel Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2 AB BA (Comutativa) Considere as matrizes [ ] [ 1 0 1 2 A =

Leia mais

Parte 2. Polinômios sobre domínios e corpos

Parte 2. Polinômios sobre domínios e corpos Parte Polinômios sobre domínios e corpos Pressupomos que o estudante tenha familiaridade com os anéis comutativos com unidade, em particular com domínios e corpos. Alguns exemplos importantes são Z Q R

Leia mais

a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn

a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn Matrizes Definição Definição Uma matriz m n é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn Embora a rigor matrizes possam ter quaisquer tipos de elementos,

Leia mais

- identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;

- identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades; DISCIPLINA: ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA UNIDADE 3: ÁLGEBRA LINEAR. OPERADORES OBJETIVOS: Ao final desta unidade você deverá: - identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;

Leia mais

Exponencial de uma matriz

Exponencial de uma matriz Exponencial de uma matriz Ulysses Sodré Londrina-PR, 21 de Agosto de 2001; Arquivo: expa.tex Conteúdo 1 Introdução à exponencial de uma matriz 2 2 Polinômio característico, autovalores e autovetores 2

Leia mais

Roteiro da aula. MA091 Matemática básica. Simplificação por divisões sucessivas. Divisores. Aula 4 Divisores e múltiplos. MDC. Operações com frações

Roteiro da aula. MA091 Matemática básica. Simplificação por divisões sucessivas. Divisores. Aula 4 Divisores e múltiplos. MDC. Operações com frações Roteiro da aula MA091 Matemática básica Aula Divisores e múltiplos. MDC. Operações com frações 1 Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Março de 016 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática

Leia mais

Álgebra. Polinômios.

Álgebra. Polinômios. Polinômios 1) Diga qual é o grau dos polinômios a seguir: a) p(x) = x³ + x - 1 b) p(x) = x c) p(x) = x 7 - x² + 1 d) p(x) = 4 ) Discuta o grau dos polinômios em função de k R: a) p(x) = (k + 1)x² + x +

Leia mais

XIX Semana Olímpica de Matemática. Nível 3. Polinômios em Z[x] Matheus Secco

XIX Semana Olímpica de Matemática. Nível 3. Polinômios em Z[x] Matheus Secco XIX Semana Olímpica de Matemática Nível 3 Polinômios em Z[x] Matheus Secco O projeto da XIX Semana Olímpica de Matemática foi patrocinado por: Polinômios em Z[x] N3 Professor Matheus Secco 1 Ferramentas

Leia mais

Especialização em Matemática - Estruturas Algébricas

Especialização em Matemática - Estruturas Algébricas 1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Especialização em Matemática - Estruturas Algébricas Prof a.: Elisangela Farias e Sérgio Motta FUNÇÕES Sejam X e Y conjuntos.

Leia mais

Anéis de polinómios a várias indeterminadas

Anéis de polinómios a várias indeterminadas Capítulo 2 Anéis de polinómios a várias indeterminadas Todos os resultados, e respectivas demonstrações, deste capítulo são transcritos do livro Polinómios, Textos de Matemática, Vol. 20, Universidade

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Polinômios Lista A Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Polinômios Lista A Professor Marco Costa 1 Projeto Jovem Nota 10 1. (Ufv 2000) Sabendo-se que o número complexo z=1+i é raiz do polinômio p(x)=2x +2x +x+a,calcule o valor de a. 2. (Ita 2003) Sejam a, b, c e d constantes reais. Sabendo que a divisão

Leia mais

MA14 - Aritmética Unidade 2 Resumo. Divisão Euclidiana

MA14 - Aritmética Unidade 2 Resumo. Divisão Euclidiana MA14 - Aritmética Unidade 2 Resumo Divisão Euclidiana Abramo Hefez PROFMAT - SBM Aviso Este material é apenas um resumo de parte da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material

Leia mais

Técnicas de. Integração

Técnicas de. Integração Técnicas de Capítulo 7 Integração TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 7.4 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Nessa seção, vamos aprender como integrar funções racionais reduzindo-as a uma soma de

Leia mais

Derivadas Parciais Capítulo 14

Derivadas Parciais Capítulo 14 Derivadas Parciais Capítulo 14 DERIVADAS PARCIAIS 14.2 Limites e Continuidade Nesta seção, aprenderemos sobre: Limites e continuidade de vários tipos de funções. LIMITES E CONTINUIDADE Vamos comparar o

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização:

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO Realização: Fortaleza, Fevereiro/2010 1. LIMITES 1.1. Definição Geral Se os valores de f(x) puderem

Leia mais

(A1) As operações + e são comutativas, ou seja, para todo x e y em A, x + y = y + x e x y = y x

(A1) As operações + e são comutativas, ou seja, para todo x e y em A, x + y = y + x e x y = y x Notas de aula de MAC0329 (2003) 17 3 Álgebra Booleana Nesta parte veremos uma definição formal de álgebra booleana, a qual é feita via um conjunto de axiomas (ou postulados). Veremos também algumas leis

Leia mais

Para simplificar a notação, também usamos denotar uma sequência usando apenas a imagem de :

Para simplificar a notação, também usamos denotar uma sequência usando apenas a imagem de : Sequências Uma sequência é uma função f de em, ou seja. Para todo número natural i associamos um número real por meio de uma determinada regra de formação. A sequencia pode ser denotada por: Ou, por meio

Leia mais

Bases Matemáticas. Definição ingênua de conjunto. Aula 3 Conjuntos. Rodrigo Hausen

Bases Matemáticas. Definição ingênua de conjunto. Aula 3 Conjuntos. Rodrigo Hausen 1 ases Matemáticas ula 3 Conjuntos Rodrigo Hausen v. 2012-9-26 1/14 Definição ingênua de conjunto 2 Um conjunto é uma qualquer coleção de objetos, concretos ou abstratos, sem repetição. Dado um conjunto,

Leia mais

MA14 - Aritmética Lista 1. Unidades 1 e 2

MA14 - Aritmética Lista 1. Unidades 1 e 2 MA14 - Aritmética Lista 1 Unidades 1 e 2 Abramo Hefez PROFMAT - SBM 05 a 11 de agosto 2013 Unidade 1 1. Mostre, por indução matemática, que, para todo n N {0}, a) 8 3 2n + 7 b) 9 10 n + 3.4 n+2 + 5 2.

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat - Polinômios

Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat - Polinômios Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios. (Espcex (Aman) 05) O polinômio (x) x x deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r( ) é a) 0. b) 4. c) 0. d) 4. e) 0. 5 f(x) x x x, uando dividido

Leia mais

LIMITES E CONTINUIDADE

LIMITES E CONTINUIDADE LIMITES E CONTINUIDADE Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE

Leia mais

Diagonal mais curta. Como d = mx e l = nx, teríamos: l 1 = d l = mx nx = (m n)x = n 1 x. d 1 = a:d + b:l = amx + bnx = (am + bn)x = m 1 x

Diagonal mais curta. Como d = mx e l = nx, teríamos: l 1 = d l = mx nx = (m n)x = n 1 x. d 1 = a:d + b:l = amx + bnx = (am + bn)x = m 1 x Diagonal mais curta Seja P um polígono regular de lados ( > 6), d a medida da sua diagonal mais curta e l a medida do seu lado. Supondo que d e l são comensuráveis, temos d mx e l nx, onde m e n são inteiros

Leia mais

SISTEMA DECIMAL. No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à direita implica em multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez).

SISTEMA DECIMAL. No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à direita implica em multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez). SISTEMA DECIMAL 1. Classificação dos números decimais O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base dez. Os dez algarismos indo-arábicos - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - servem para

Leia mais

XXXV Olimpíada Cearense de Matemática Nível 3 - Ensino Médio

XXXV Olimpíada Cearense de Matemática Nível 3 - Ensino Médio XXXV Olimpíada Cearense de Matemática Nível 3 - Ensino Médio Reservado para a correção Prova Probl. 1 Probl. Probl. 3 Probl. 4 Probl. 5 Total # 3000 Nota - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Leia mais

Chama-se conjunto dos números naturais símbolo N o conjunto formado pelos números. OBS: De um modo geral, se A é um conjunto numérico qualquer, tem-se

Chama-se conjunto dos números naturais símbolo N o conjunto formado pelos números. OBS: De um modo geral, se A é um conjunto numérico qualquer, tem-se UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos Prof.:

Leia mais

(b) O limite o produto é o produto dos limites se o limite de cada fator do produto existe, ou seja, (c) O limite do quociente é o quociente dos limit

(b) O limite o produto é o produto dos limites se o limite de cada fator do produto existe, ou seja, (c) O limite do quociente é o quociente dos limit MATEMÁTICA I AULA 03: LIMITES DE FUNÇÃO, CÁLCULO DE LIMITES E CONTINUIDADES TÓPICO 02: CÁLCULO DE LIMITES Neste tópico serão estudadas as técnicas de cálculo de limites de funções algébricas, usando alguns

Leia mais

PROFMAT P1 MA

PROFMAT P1 MA PROFMAT P1 MA 11 011 Questão 1. Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes, deve atravessar o oceano em 4 dias. Seu suprimento de água potável permite a cada pessoa dispor de 3,5 litros de água por dia

Leia mais

Raízes quadrada e cúbica de um polinômio

Raízes quadrada e cúbica de um polinômio Raízes quadrada e cúbica de um polinômio Lenimar Nunes de Andrade UFPB - João Pessoa, PB 1 de abril de 2011 1 Raiz quadrada de um polinômio Consideremos p(x) e r(x) polinômios tais que (r(x)) 2 = p(x).

Leia mais

Universidade Estadual de Campinas Departamento de Matemática. Teorema de Jacobson. Adriana Wagner(RA: 144768) Gustavo Terra Bastos(RA: 143800)

Universidade Estadual de Campinas Departamento de Matemática. Teorema de Jacobson. Adriana Wagner(RA: 144768) Gustavo Terra Bastos(RA: 143800) Universidade Estadual de Campinas Departamento de Matemática Teorema de Jacobson Adriana Wagner(RA: 144768) Gustavo Terra Bastos(RA: 143800) Campinas - SP 2013 1 Resumo Nesta monografia apresentamos a

Leia mais

TEOREMA DE LEGENDRE GABRIEL BUJOKAS

TEOREMA DE LEGENDRE GABRIEL BUJOKAS TEOREMA DE LEGENDRE GABRIEL BUJOKAS A nossa meta hoje é responder a seguinte questão: Questão. Para a, b Z, determine se a equação ( ) tem uma solução com x, y, z Z, além da solução trivial x = y = z =

Leia mais

OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA

OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA Professora: Elisandra Figueiredo OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA DEFINIÇÃO 1 Sendo E um conjunto não vazio, toda aplicação f : E E E recebe o nome de operação sobre E (ou em E) ou lei de composição

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 6. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Congruências II. Prof. Samuel Feitosa

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 6. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Congruências II. Prof. Samuel Feitosa Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Teoria dos Números - Nível 2 Prof. Samuel Feitosa Aula 6 Congruências II Na aula de hoje, aprenderemos um dos teoremas mais importantes do curso: o pequeno teorema

Leia mais

1). Tipos de equações. 3). Etapas na resolução algébrica de equações numéricas. 4). Os dois grandes cuidados na resolução de equações

1). Tipos de equações. 3). Etapas na resolução algébrica de equações numéricas. 4). Os dois grandes cuidados na resolução de equações 1). Tipos de equações LIÇÃO 7 Introdução à resolução das equações numéricas Na Matemática, nas Ciências e em olimpíadas, encontramos equações onde a incógnita pode ser número, função, matriz ou outros

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento (POT) Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Aula 1 - Divisibilidade I

Polos Olímpicos de Treinamento (POT) Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Aula 1 - Divisibilidade I Polos Olímpicos de Treinamento (POT) Curso de Teoria dos Números - Nível 2 Aula 1 - Divisibilidade I Samuel Barbosa Feitosa Arquivo Original 1 1 Documento:...gaia/educacional/matematica/teoria numeros2/aula01-divisibilidadei.pdf.

Leia mais

Criptografia e Segurança de Rede Capítulo 4. Quarta Edição por William Stallings

Criptografia e Segurança de Rede Capítulo 4. Quarta Edição por William Stallings Criptografia e Segurança de Rede Capítulo 4 Quarta Edição por William Stallings Capítulo 4 Corpos Finitos Na manhã seguinte, ao nascer o dia, Star entrou em casa, aparentemente ávida por uma lição. Eu

Leia mais

Lista 6. Bases Matemáticas. Funções I. 1 Dados A e B conjuntos, defina rigorosamente o conceito de função de A em B.

Lista 6. Bases Matemáticas. Funções I. 1 Dados A e B conjuntos, defina rigorosamente o conceito de função de A em B. Lista 6 Bases Matemáticas Funções I Dados A e B conjuntos, defina rigorosamente o conceito de função de A em B. Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {,, 3, 4, 5}, diga qual das relações abaixo

Leia mais

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 02 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 02 Licenciatura em Matemática Osasco -2010 Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 0 Licenciatura em Matemática Osasco -010 Equações Polinomiais do primeiro grau Significado do termo Equação : As equações do primeiro grau são aquelas que podem

Leia mais

Aula 2 Divisibilidade - raízes

Aula 2 Divisibilidade - raízes Aula 2 Divisibilidade - raízes Objetivos Aprender o conceito de divisibilidade e o algoritmo euclidiano para polinômios. Compreender o conceito de raiz real de um polinômio em R[x]. Relacionar a existência

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 2. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 2. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 2 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Mínimo múltiplo comum Continuando nossa aula, vamos estudar o mínimo múltiplo comum de um conjunto finito

Leia mais

1 A Álgebra do corpo dos números complexos

1 A Álgebra do corpo dos números complexos Números Complexos - Notas de Aulas 1 1 A Álgebra do corpo dos números complexos 1.1 Preliminares Suponhamos fixado no plano um sistema retangular de coordenadas. Como usual, designaremos os pontos do planos

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 6

Matemática E Extensivo V. 6 Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. ) D a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = +

Leia mais

ITA º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR

ITA º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR ITA - 2006 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos e interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C

Leia mais

, com k 1, p 1, p 2,..., p k números primos e α i, β i 0 inteiros, as factorizações de dois números inteiros a, b maiores do que 1.

, com k 1, p 1, p 2,..., p k números primos e α i, β i 0 inteiros, as factorizações de dois números inteiros a, b maiores do que 1. Como seria de esperar, o Teorema Fundamental da Aritmética tem imensas consequências importantes. Por exemplo, dadas factorizações em potências primas de dois inteiros, é imediato reconhecer se um deles

Leia mais

Polinômios. 02) Se. (x 1), então. f(x) (x 2) (x 1) 5ax 2b, com a e b reais, é divisível por a b 1. 04) As raízes da equação

Polinômios. 02) Se. (x 1), então. f(x) (x 2) (x 1) 5ax 2b, com a e b reais, é divisível por a b 1. 04) As raízes da equação Polinômios 1. (Ufsc 015) Em relação à(s) proposição(ões) abaixo, é CORRETO afirmar ue: 01) Se o gráfico abaixo representa a função polinomial f, definida em por f(x) ax bx cx d, com a, b e c coeficientes

Leia mais

Bases Matemáticas Continuidade. Propriedades do Limite de Funções. Daniel Miranda

Bases Matemáticas Continuidade. Propriedades do Limite de Funções. Daniel Miranda Daniel De modo intuitivo, uma função f : A B, com A,B R é dita contínua se variações suficientemente pequenas em x resultam em variações pequenas de f(x), ou equivalentemente, se para x suficientemente

Leia mais

ENFOQUE USANDO CORTES DE DEDEKIND

ENFOQUE USANDO CORTES DE DEDEKIND Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit CONSTRUÇÃO DOS REAIS: UM ENFOQUE

Leia mais

Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos

Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos Pode-se dizer que a é em grande parte trabalho de um único matemático: Georg Cantor (1845-1918). noção de conjunto não é suscetível de definição precisa a partir d noções mais simples, ou seja, é uma noção

Leia mais

Faculdade de Computação

Faculdade de Computação UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Faculdade de Computação Disciplina : Teoria da Computação Professora : Sandra de Amo Solução da Lista de Exercícios n o 8 - Indecidibilidade Exercicio 1-5.5 do Livro

Leia mais

Objetivos. Compreender o Teorema Fundamental da Álgebra.

Objetivos. Compreender o Teorema Fundamental da Álgebra. MÓDULO 3 - AULA 6 Aula 6 Fatoração em R[x] Objetivos Compreender o Teorema Fundamental da Álgebra. Relacionar uma raiz β complexa não-real de um polinômio em R[x] com a sua divisibilidade por x 2 (β +

Leia mais

Parte 3. Domínios principais

Parte 3. Domínios principais Parte 3 Domínios principais Nosso objetivo agora é introduzir os conceitos de ideal em anéis comutativos com unidade e domínio principal, mostrando que em um domínio principal vale a fatoração única. Começamos

Leia mais

Unidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos

Unidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos Unidade I MATEMÁTICA Prof. Celso Ribeiro Campos Números reais Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, são aceitas sem a necessidade de definição. São elas: a) Conjunto. b) Elemento. c)

Leia mais

Limites Uma teoria abordando os principais tópicos sobre a teoria dos limites. José Natanael Reis

Limites Uma teoria abordando os principais tópicos sobre a teoria dos limites. José Natanael Reis Limites Uma teoria abordando os principais tópicos sobre a teoria dos limites Este trabalho tem como foco, uma abordagem sobre a teoria dos limites. Cujo objetivo é o método para avaliação da disciplina

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS. Julio Cesar Pereira

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS. Julio Cesar Pereira UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS Julio Cesar Pereira Uma Introdução à Teoria dos Números e Aplicações Alfenas 2010 Julio Cesar Pereira Uma Introdução à Teoria dos Números e Aplicações Trabalho de Conclusão

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR: MARCELO SILVA 1. Introdução No ensino fundamental você estudou

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente

Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Números Irracionais e Reais Oitavo Ano Prof. Ulisses Lima Parente 1 Os números irracionais Ao longo deste módulo, vimos que a representação

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Polinômios Lista C Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Polinômios Lista C Professor Marco Costa 1 1. (Fuvest 97) Suponha que o polinômio do 3 grau P(x) = x + x + mx + n, onde m e n são números reais, seja divisível por x - 1. a) Determine n em função de m. b) Determine m para que P(x) admita raiz

Leia mais

Construção dos Números Reais

Construção dos Números Reais 1 Universidade de Brasília Departamento de Matemática Construção dos Números Reais Célio W. Manzi Alvarenga Sumário 1 Seqüências de números racionais 1 2 Pares de Cauchy 2 3 Um problema 4 4 Comparação

Leia mais

Sequencias e Series. Exemplo 1: Seja tal que. Veja que os dez primeiros termos estão dados por: ,,,,...,, ou seja que temos a

Sequencias e Series. Exemplo 1: Seja tal que. Veja que os dez primeiros termos estão dados por: ,,,,...,, ou seja que temos a Sequencias e Series Autor: Dr. Cristian Novoa MAF- PUC- Go cristiancalculoii@gmail.com Este texto tem como objetivo principal, introduzir alguns conceitos de Sequencias e Series,para os cursos de Engenharia,

Leia mais

Polinómios. Integração de Fracções Racionais

Polinómios. Integração de Fracções Racionais Polinómios. Integração de Fracções Racionais Escola Superior de Tecnologia e de Gestão, Instituto Politécnico de Bragança. Mário Abrantes 2016 1 / 17 Índice de Matérias 1. Polinómios Denição Factorização

Leia mais

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0 Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A

Leia mais

Equações de 2º grau. Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: IR e

Equações de 2º grau. Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: IR e Equações de 2º grau Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0; a, b, c IR e Exemplo: x 2-5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e

Leia mais

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 REVISÃO

Leia mais