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1 Matemática Discreta 2008/09 Vítor Hugo Fernandes Departamento de Matemática FCT/UNL Axioma (Princípio da Boa Ordenação dos Números Naturais) O conjunto parcialmente (totalmente) ordenado (N, ), em que é a relação de ordem usual, é um conjunto bem ordenado, i.e. todo o subconjunto não vazio de N possui primeiro elemento. Como provar que a soma dos primeiros n números naturais é 1 2n(n + 1), para qualquer n N? (Princípio de Indução) Sejam k N 0, N k = {n N n k} e S um subconjunto de N k tal que: (i) k S; (ii) Para qualquer n N k, se n S então n + 1 S. Então, S = N k. Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 2n n, para qualquer natural n 3. (Segundo Princípio de Indução / Princípio de Indução Completa) Sejam k N 0, N k = {n N n k} e S um subconjunto de N k tal que: Então, S = N k. (i) k S; (ii) Para qualquer n N k, se t S, para todo o t {k,...,n}, então n + 1 S (i.e. ( n N k ) [( t {k,...,n}) t S] = n +1 S ). Consideremos a sucessão (a n ) n 0 definida por a 0 = 1 a 1 = 2. Então a n = 2 n, para qualquer n N 0. a n = 4a n 1 4a n 2 Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 O Princípio de Indução pode ser reformulado utilizando uma condição de variável natural: Princípio de Indução. Sejam k N e Φ(n) uma condição, com n N k, tal que: 1 Φ(k) é uma proposição verdadeira; 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. Então, ( n N k ) Φ(n) é uma proposição verdadeira. Princípio de Indução Completa. Sejam k N e Φ(n) uma condição, com n N k, tal que: 1 Φ(k) é uma proposição verdadeira; 2 n N k, [( k t n) Φ(t)] = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. Então, ( n N k ) Φ(n) é uma proposição verdadeira. Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24

2 Seja X um conjunto com n elementos (n N). Então, P(X) = 2 n. Demonstração. Efectuamos a demonstração por indução em X. Se X = 0 então X = e, portanto, P(X) = { }, pelo que P(X) = 1 = 2 0. Admitamos então (por hipótese de indução) que, para certo n 0, P(Y ) = 2 n, para qualquer conjunto Y com n elementos. Seja X um conjunto com n + 1 elementos. Então, em particular, X. Tomemos pois x X. Seja Y = X \ {x}. Então Y = n, pelo que, por hipótese de indução, P(Y ) = 2 n. Como P(X) = P(Y ) {Z {x} Z P(Y )}, com P(Y ) {Z {x} Z P(Y )} =, temos P(X) = P(Y ) + {Z {x} Z P(Y )} = 2 n + 2 n = 2 2 n = 2 n+1, como queríamos demonstrar. Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 Com vista a uma contradição, suponhamos que r m. Então, n m(q + 1) = n mq m = r m 0, pelo que n m(q + 1) S. Mas, como m > 0, então n m(q + 1) = n mq m < n qm = r, o que contraria a escolha de r como mínimo de S. Logo, n = mq + r, com 0 r < m. Mostremos agora a unicidade. Suponhamos que q 1,q 2,r 1 e r 2 são inteiros tais que e n = mq 1 + r 1, com 0 r 1 < m. n = mq 2 + r 2, com 0 r 2 < m. Então, mq 1 + r 1 = mq 2 + r 2, ou seja m(q 1 q 2 ) = r 2 r 1, donde r 2 r 1 é um múltiplo de m. Mas, como 0 r 1 < m e 0 r 2 < m, então m < r 2 r 1 < m, pelo que r 2 r 1 = 0, visto que r 2 r 1 é um múltiplo de m. Assim, r 1 = r 2 e, também, q 1 = q 2. Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 (Algoritmo da Divisão) Sejam n,m Z tais que m 0. Então, existem dois únicos inteiros q e r tais que n = mq + r, com 0 r < m. Demonstração. Basta demonstrar o caso m > 0 (justifique!). Seja S = {n mx x Z e n mx 0} N. É claro que S (justifique!), pelo que, pelo Princípio da Boa Ordenação, S possui elemento mínimo. Sejam r = min(s) e q Z tal que n mq = r. Então n = mq + r. Ora, r 0, visto que r S, donde para provar a existência falta apenas mostrar que r < m. Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 Definição Nas condições do teorema anterior, os inteiros q e r designam-se respectivamente por cociente e resto da divisão inteira de n por m. O algoritmo da divisão justifica a representação usual dos inteiros. Seja t 2 um inteiro. Sendo x um inteiro positivo, através do algoritmo da divisão temos: x = tq 0 + r 0, com 0 r 0 < t q 0 = tq 1 + r 1, com 0 r 1 < t. q k 2 = tq k 1 + r k 1, com 0 r k 1 < t q k 1 = tq k + r k, com 0 r k < t. O processo termina quando q k = 0. Eliminando os quocientes q i, obtemos x = r k t k + r k 1 t k r 1 t + r 0. Desta forma, x está representado (com respeito à base t) pela sequência dos restos e escreve-se, x = (r k r k 1...r 1 r 0 ) t. Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24

3 Vamos escrever 245 na base 2. Dividindo sucessivamente por 2, obtemos 245 = = = = = = = = Notação. Sejam a, b Z. Escrevemos a b para denotar que a divide b (i.e. existe c Z tal que ac = b). Note que, se a b também se diz que a é um divisor de b ou ainda que b é um múltiplo de a. Observação A relação não é uma relação de ordem parcial sobre Z (porquê?). No entanto, a sua restrição ao conjunto N dos números naturais já o é, i.e. (N, ) é um c.p.o.. Então, (245) 10 = ( ) 2. Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 Dados dois números inteiros não nulos a e b, existe um único número natural d (designado por máximo divisor comum de a e b) tal que: 1 d a e d b; 2 Se c Z é tal que c a e c b então c d. Demonstração. [Algoritmo de Euclides] Uma vez que b 0, pelo Algoritmo da Divisão, existem inteiros q 1 e r 1 tais que a = bq 1 + r 1, com 0 r 1 < b. Se r 1 = 0, então d = b verifica as condições (1) e (2) do teorema (Exercício). Se r 1 > 0, aplicando novamente o Algoritmo da Divisão, encontramos inteiros q 2 e r 2 tais que b = r 1 q 2 + r 2, com 0 r 2 < r 1. Se r 2 = 0, então d = r 1 verifica as condições (1) e (2) do teorema. Com efeito, temos de imediato que r 1 b e a = bq 1 + r 1 = r 1 q 2 q 1 + r 1 = r 1 (q 2 q 1 + 1), pelo que também r 1 a. Por outro lado, seja c Z tal que c a e c b. Sejam então a, b Z tais que a = ca e b = cb. Então pelo que c r 1. r 1 = a bq 1 = ca cb q 1 = c(a bq 1 ), Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24

4 Se r 2 > 0, aplicando uma vez mais o Algoritmo da Divisão, encontramos inteiros q 3 e r 3 tais que r 1 = r 2 q 3 + r 3, com 0 r 3 < r 2. Assim, procedendo deste modo, podemos encontrar sucessivamente inteiros q i e r i, 1 i k + 1 (com k 2), tais que a = bq 1 + r 1, 0 < r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2, r 2 = r 3 q 4 + r 4, 0 < r 4 < r 3,. r k 2 = r k 1 q k + r k, 0 < r k < r k 1, r k 1 = r k q k+1, r k+1 = 0. Nestas condições, d = r k verifica as condições (1) e (2) do teorema (Exercício). A prova da unicidade é também deixada como exercício. Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 (Igualdade de Bezout) Dados dois números inteiros não nulos a e b, existem números inteiros m e n (designados coeficientes da Igualdade de Bezout) tais que mdc{a,b} = am + bn. Demonstração. Seja d = mdc{a,b}. Pelo Algoritmo de Euclides, temos a = bq 1 + r 1, 0 < r 1 < b b = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 q 4 + r 4, 0 < r 4 < r 3. r k 2 = r k 1 q k + d, 0 < d = r k < r k 1, para certo k N. Então, d = r k 2 r k 1 q k ( ) e, mais geralmente, para i {1,...,k}, r i = r i 2 r i 1 q i ( ) (tomando r 0 = b e r 1 = a). Assim, partindo de ( ) e substituindo sucessivamente cada r i usando ( ), obtemos d como combinação linear de a e de b. Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 Notação. Dados dois números inteiros não nulos a e b, denotamos por mdc{a,b} o seu máximo divisor comum. Vamos calcular usando o Algoritmo de Euclides: Assim, mdc{51975, 31752} = 189. mdc{51975, 31752}, = = = = = = Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 Vamos calcular coeficientes da Igualdade de Bezout para os inteiros do 1.11 (189 = mdc{51975, 31752}): = = = = = = Assim 189 = = 8694 ( ) 3 = = ( ) = = ( ) 7 = = ( ) = = ( 18). Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24

5 Observação Os coeficientes da Igualdade de Bezout para dois números inteiros não nulos dados não são únicos. Por exemplo, 1 = mdc{2,3} e temos 1 = 2 ( 1) = ( 1) = 2 ( 4) =. Dados dois números inteiros não nulos a e b, existe um único número natural m (designado por mínimo múltiplo comum de a e b) tal que: 1 a m e b m; 2 Se c Z é tal que a c e b c então m c. Notação. Dados dois números inteiros não nulos a e b, denotamos por mmc{a,b} o seu mínimo múltiplo comum. Demonstração. Considere o conjunto S = {x N + a x e b x}. Como por exemplo ab S, então S, pelo que, pelo Princípio da Boa Ordenação, S tem elemento mínimo m. Ora, por definição, m satisfaz a condição (1) do teorema. Vejamos que também satisfaz (2). Seja c Z tal que a c e b c. Pelo Algoritmo da Divisão, existem inteiros q e r tais que c = mq + r, com 0 r < m. Uma vez que a c e a m, então a r. Por razões análogas, b r. Logo, se r > 0, teríamos r S e r < m, o que contraria a escolha de m. Portanto, r = 0 e, consequentemente, m c. A prova da unicidade é deixada como exercício. Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 Dados dois inteiros não nulos a e b, então mmc{a, b} = Vamos calcular mmc{32060, 31652}. Como então mdc{32060, 31652} = 4, donde = = = = = = = = , mmc{32060, 31652} = = ab mdc{a, b}. Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 Definição 1 Um número inteiro p diz-se primo de p > 1 e p apenas possui como divisores positivos 1 e p. 2 Dois números inteiros não nulos a e b dizem-se primos entre si se mdc{a,b} = 1. Lema Sejam a e b dois números inteiros não nulos e primos entre si. Seja c Z tal que a bc. Então a c. Demonstração. Atendendo à Igualdade de Bezout, existem inteiros m e n tais que 1 = am + bn, donde c = amc + bnc. Como a bc, então em particular a bnc. Além disso, claramente, a amc. Logo a (amc + bnc), ou seja, a c. Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24

6 Lema Seja p um número primo e sejam a 1,a 2,...,a n Z (com n N + ) tais que p a 1 a 2 a n. Então p a i, para algum i {1,...,n}. Demonstração. Por indução em n. Para n = 1 é imediato. Admitamos então o resultado válido para n 1, para certo n > 1. Sejam a 1,a 2,...,a n Z tais que p a 1 a 2 a n. Ora, se p a 1 a 2 a n 1, por hipótese de indução, p a i, para algum i {1,...,n 1}. Se, pelo contrário p a 1 a 2 a n 1, então mdc{p,a 1 a 2 a n 1 } = 1, visto que p é um número primo. Neste caso, pelo lema anterior, deduzimos que p a n. ( Fundamental da Aritmética) Todo o número inteiro maior do que um pode ser escrito como um produto de números primos (com um só factor, no caso do número ser primo). Além disso, uma tal decomposição em números primos é essencialmente única, i.e. duas decomposições apenas diferem na ordem pela qual os primos são escritos. Observação Por reordenação dos factores de uma decomposição em números primos, um inteiro n > 1 pode ser escrito na forma n = p r 1 1 pr 2 2 pr k k, com p 1 < p 2 < < p k, em que p 1,p 2,...,p k são números primos e k,r 1, r 2,...,r k N + (unicamente determinados por n). Uma decomposição deste tipo é designada por forma standard de n. Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 Por exemplo, a forma standard de 300 é : Sejam m = p s 1 1 ps 2 2 ps k k e n = p t 1 1 pt 2 2 pt k k (k N), em que p 1 < p 2 < < p k são números primos e s i e t i são números inteiros não negativos, para i = 1, 2,..., k. Sejam para qualquer i = 1, 2,...,k. Então: 1 mdc{m,n} = p u 1 1 pu 2 2 pu k k ; 2 mmc{m,n} = p v 1 1 pv 2 2 pv k k. u i = min{s i,t i } e v i = max{s i,t i }, Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24 s (Outras aplicações do Fundamental da Aritmética) 1 Se m e n forem dois naturais maiores ou iguais a 2, então m 2 2n 2. Prova. Suponhamos que m = 2 s a e n = 2 t b, em que s, t N 0 e a,b N não são divisíveis por 2. Então a 2 e b 2 também não são divisíveis por 2 e temos m 2 = 2 2s a 2 e 2n 2 = 2 2t+1 b 2. Como 2s é um número par e 2t + 1 um número ímpar, não podemos ter m 2 = 2n 2. 2 Se n 2 não é um número primo, então existe um número primo p tal que p n e p 2 n. Prova. Como n 2 e n não é primo, então n = pqa, com p e q primos tais que p q e a N. Donde p 2 pq n. 3 O número 79 é primo. Prova. Se 79 não fosse primo, pela propriedade anterior, teria de existir um número primo p divisor de 79 tal que p Como 11 2 = 121 > 79, então p {2,3,5,7}. Mas nenhum destes quatro primos é divisor de 79. Departamento de Matemática (FCT/UNL) MD / 24

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